phép vị tự và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

Trong số các phép biến đổi afin như phép quay, phép tịnh tiến, phép thấu xạ…thì phép vị tự củng là một phép biến đổi với nhiều ứng dụng quan trọng đặc biệt trong việc giải các bài toán sơ cấp. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về phép vị tự và ứng dụng của nó nhawmf giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép vị ttuwj và ứng dụng của nó để giải các bài tooans hình học sơ cấp như tìm quỹ tích điểm, dựng hình, tìm tâm và tỉ số vị tự…Chúng tôi hi vọng bài tập lớn này sẽ giúp bạn đọc có thêm tài liệu để hiểu rõ hơn ề phép vị tự.

LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong số phép biến đổi afin phép quay, phép tịnh tiến, phép thấu xạ…thì phép vị tự củng phép biến đổi với nhiều ứng dụng quan trọng đặc biệt việc giải toán sơ cấp Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu phép vị tự ứng dụng nhawmf giúp người đọc hiểu rõ phép vị ttuwj ứng dụng để giải tooans hình học sơ cấp tìm quỹ tích điểm, dựng hình, tìm tâm tỉ số vị tự…Chúng tơi hi vọng tập lớn giúp bạn đọc có thêm tài liệu để hiểu rõ ề phép vị tự Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phép vị tự củng tính chất ứng dụng trrong việc giải tốn hình học sơ cấp, đồng thời trang bị thêm kiến thức để phục vụ cho việc học tập công tác giảng dạy sau thân Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu Gỉa thuyết khoa học Nếu lĩnh hội tốt kiến thức đề tài kết học tập mơn hình học afin hình học oclit tốt đồng thơi giải nhanh toán sơ cấp phép vị tự Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài “Phép vị tự ứng dụng giải toán sơ cấp” Chương I: Cơ sở lý thuyết Trong chương trình bày cách khái qt định nghĩa, tính chất phép biến đổi afin củng phép vị tự không gian afin Chương II: Ứng dụng giải toán sơ cấp Các ứng dụng tập trung vào giải toán tâm tỉ số vị tự, quỹ tích tốn qua phép vị tự, dựng hình qua phép vị tự hay chứng minh biến đổi afin phép vị tự Với nội dung chúng tơi hy vọng đề tài tài liệu tham khảo tốt bạn sinh viên khoa sư phạm tự nhiên trường đại học Hà Tĩnh bạn say mê học toán Chúng xin chân thành cảm ơn giúp đỡ Thìn-giảng viên hướng dẫn bạn để đề tài sớm hoàn chỉnh, mong tiếp tục nhận ý kiến đóng góp từ quý vị bạn sinh viên CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phép biến đổi afin 1.1 Định nghĩa Ánh xạ afin f : A � A ' hai không gian afin A A’ trường K gọi phép đẳng cấu afin f song ánh Không gian afin A gọi đẳng cấu với không gian afin A’ có đẳng cấu afin f : A � A ' Khi ta kí hiệu AfA ' % 1.2 Tính chất a) f:r A ur � A uur' đẳng cấu afin ánh xạ tuyến tính liên kết f : A � A ' đẳng cấu tuyến tính b) Hai khơng gian afin đẳng cấu với hai không gian vecto liên kết chúng đẳng cấu với c) Hai không gian afin hữu hạn chiều trường K đẳng cấu với chúng có số chiều d) Nếu f: A � A ' đẳng cấu afin ánh xạ ngược f 1 : A ' � A uuuur đẳng cấu afin liên kết với đẳng cấu tuyến tính (f ) 1 e) Quan hệ đẳng cấu không gian afin trường K quan hệ tương đương 1.3 Định nghĩa Phép đẳng cấu afin f: A � A từ khơng gian afin A lên gọi biến đổi afin, hay cho gọn phép afin Phép vị tự không gian afin 2.1 Định nghĩa phép vị tự Trong không gian afin A cho điểm O�A số k�K \  0 xét ánh xạ f:A � A biến uuur uuuu r điểm M thành điểm N cho ON =k OM Phép f goi phép vị tự tâm O tỉ số k 2.2 Tính chất a) Phépr vị tự tâm O tỉ số k; f: A � A biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết f  kId Aur Thật với điểm M, N �A uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuur uuuuur u r f MN  kId A MN  k ON  OM  kON  kOM  ON'  OM'  M ' N' r Ngược lại, f phép biến đổi afin A có ánh xạ tuyến tính liên kết f  kId Aur , k �0, f phép vị tự tỉ số k Thật vậy, f có điểm bất động O lấy I�A Xét       uur uur r r uur uur r OI  OI  If I  Of  I  mà k OI  kId Aur ( If  I  tức k điểm O cho IO  1r k r uur uuuuuuuu uur OI )  f (OI)  f (O)f (I) nên suy O = f(O) Khi với điểm M�A, uuuuuuu r uuuuuuuuuur r uuuu r uuuu r uuuu r Of (M)  f (O)f (M)  f (OM)  kId Aur (OM)  kOM  Tức f phép vị tự tâm O tỉ số k b) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ uuuuur uuuu r : M ' N '  kMN M ' N '  k MN Chứng minh: uuuur uuuu r uuuu r uuur Nếu O tâm phép vị tự theo định nghĩa ta có OM '  kOM , ON '  kON uuuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r Vậy M ' N '  ON'  OM '  kON  kOM  k ON  OM  kMN   Từ suy M ' N '  k MN c) phép vị tự biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm thẳng hàng uuur uuu r Gỉa sử điểm A, B, C thẳng hàng B nằm A C, tức BA  mBC (với m A ',B',C' theo tính chất < 0) Nếu tỉuu số uuuphép uu r vịuutự ur u ur k biến uuu rA, B, C thành b,ta có B'A'  kBA,B'C'  kBC uuuuu r uuur uuu r uuuur Từ suy B'A '  kBA  k mBC  mB'C' ,tức điểm A ',B',C' thẳng hàng với B' nằm A ' C' (đpcm) d) Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k , biến góc thành góc e) Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn thành đường tròn O gọi tâm vị tự đường tròn Nếu phép vị tự có tỉ số dương điểm O gọi tâm vị tự ngồi, phép vị tự có tỉ số âm điểm O gọi tâm vị tự f) Đặc biệt, phép vị tự có tỉ số k=1 phép đồng nhất, k=-1 phép đối xứng   CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Xác định tâm tỉ số phép vị tự Trước hết, ta có nhận xét : Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến (I, R) thành (I’, R’) uuu r uur R' R' k  hay k  � OI'  kOI R R Từ ta có trường hợp sau: TH1: Hai đường tròn (I,R) (I’,R’) đồng tâm, R �R’ Hiển nhiên tâm vị tự O trùng với I Vậy ta có hai phép vị tự: R' +) Phép vị tự V1 tâm I tỉ số R R' +) Phép vị tự V2 tâm I tỉ số M'' R M' R' R M O (Trên hình vẽ bên , phép vị tự V1 tâm I biến điểm M thành M’, phép vị tự V2 tâm I biến M thành M’’) TH2: I không trùng với I’ R = R’ Khi k= �1, điểm O phải thõa mãn điều kiện uuu r uur OI'  kOI nên k -1 O trung điểm đoạn thẳng II’ Vậy tường hợp có phép vị tự tâm O tỉ số k=-1 M' I O I' M TH3: I không trùng với I’ R �R’ M'' M O' O I' I M' Ta lấy uM’M’’ uuur làuuu rđường kính (I’,R’) IM bán kính (I,R) cho hai vecto I'M ' IM hướng Đường thẳng II’ cắt MM’ MM’’ O’ O R' Khi phép vị tự V1 tâm O tỉ số k1 = phép vị tự V2 tâm O’ tỉ số R R' k2 = biến đường tròn (I,R) thành đường tròn (I’,R’) R Bài 2: Cho hai phép vị tự V1 có tâm O1 tỉ số k1 V2 có tâm O2 tỉ số k2 Gọi F phép hợp thành V1 V2 Chứng minh F phép vị tự k1k2 �1 Xác định tâm tỉ số phép vị tự Giải: M1 M M2 O1 O3 I O2 uuur uuuuur � Nếu k1,k2 ta chọn điểm O3 cho O3I = k1k2 O3O1 uuuuuu r uuur uuuu r uuuuu r uuuur uuuuu r Khi đó, O3M2 = O3M  O3I  IM  k1k O3O1  k1k O1M  k1k O3M Vậy F phép vị tự tâm O3 tỉ số k1k2 Chú tâm uuur ý rằnguu uur O3 phép vị tự xác định đẳng thức: O3I  k1k O3I1 uuuuur uuuuur uuur uuuuur Hay O3O1  O1O  O2 I  k1k O3O1 Suy ra: uuuuur  k uuuuur O1O3  O1O2  k1k Do uuuuđó: ur uuuuur uuuuur O1O  k O 2O1  (1  k1k )O1O3 Tâm phép vị tự V1, V2 F điểm thẳng hàng O1, O2, O3 Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Tìm tâm tỉ số phép vị tự biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ Giải Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Khi ta biết : uuuu r r uuur uuur uuuu GA '   GA , GB'   GB 3 uuuu r uuuu r uuur uuur GC'   GC , GD'   GD 3 Suy phép vị tự V tâm G tỉ số k =  biến điểm A, B, C, D thành điểm A’, B’, C’, D’ A C' D' j B' G D B A' C Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định tâm tỉ số vị tự hai đường tròn trường hợp sau: a) Hai đường tròn tiếp xúc ngồi với b) Hai đường tròn tiếp xúc với c) Một đường tròn chứa đường tròn Bài 2: Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B biết rằng, OA = 2OB Khi tỉ số vị tự bao nhiêu? 2.2 Bài tốn quỹ tích Phương pháp Nếu phép biến hình F biến hình H � H� M �H M� =F(M) quỹ tích M�là H� Bài 1: Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A chạy đường tròn (O, R) cố định khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC Giải: Gọi I trung điểm BC I cố định Điểm G trọng tâm VABC B A I C O' G O uur uur IG = IA biến điểm A thành điểm G Từ suy A chạy (O,R) quỹ tích G ảnh đường tròn qua phép vị tự V uuu r uur Tức đường tròn (O’,R’) mà IO'  OI R '  R 3 Như phép vị tự V tâm I tỉ số k = Bài 2: Cho (O, R) I cố định �0 M thay đổi (O) Tia phân giác góc � cắt IM N Tìm quỹ tích N MOI Giải: M N O I Đặt OI=d (d>0) Theo tính chất đường phần giác tam giác MOI, ta có: IN IO d   NM OM R Suy B IN d IN d  �  IN  NM udur R IM d  R uuu r Vì vectơ IN IM hướng M nên đẳng thức có nghĩa uur d uuur I IN  IM Nếu gọi V phép vị dR d tự tâm I tỉ số k= V biến điểm dR M thành điểm N Khi M vị trí M A C O C' � = 0o tia phân giác góc IOM � đường tròn (O, R) cho IOM 0 không cắt IM Điểm N không tồn Vậy M chạy (O, R) (M �M ) quỹ tích điểm N ảnh (O,R) qua phép vị tự V bỏ ảnh điểm M Bài 3: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Một đường thẳng uuur thay uuu r đổi uuu rđi qua P, cắt (O) điểm A, B Tìm quỹ tích điểm M cho PM  PA  PB Giải: uuu r uuu r uu r PA  PB Gọi I trung điểm AB PI  uuur uuu r uuu r uu r PM  PA  PB  2PI Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k=2 V biến điểm I thành điểm M Vì I trung điểm AB nên OI  AB Suy quỹ tích điểm I đường tròn (C) đường kính PO Vậy quỹ tích củauuđiểm M ur uuu rlà đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép vị tự V Nếu ta lấy O�sao cho PO�  2PO (C’) đường tròn đường kính P O� Bài 4: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường tròn Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D G Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho B AM=AB=AD AM AB   AC AC Ngoài (AM, AB)=45 (AM, AD)=-45 Suy phép vị tự V tâm A tỉ số k  biến điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A góc quay 45 biến điểm M thành điểm B Vậy gọi I phép hợp thành V Q F biến C thành B Khi ta có: A O C D Vì quỹ tích C đường tròn (O) nên quỹ tích B ảnh đường tròn qua phép đồng dạng F Đường tròn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR (ta kí hiệu điểm P, Q cho (AR,AP)=45 ) Khi dễ thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B đường tròn đường kính AP Tương tự ta quỹ tích D đường tròn đường kính AQ * Bài tập tương tự Bài 1: Cho điểm A, B cố định đường tròn (O) Một điểm M thay đổi đường tròn Tia đối tia MA lấy điểm N cho MN=MB Tìm quỹ tích điểm N Bài 2: Cho đường tròn (O) ( O� ) cắt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) A M, cắt ( O� ) A M� Gọi P, P� trung điểm AM, A M� Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng P P� Bài 3: Cho đường tròn (O,R) điểm A cố định Một dây cung BC thay đổi (O,R) có độ dài khơng đổi BC=m uuur uuur uuur r Tìm quỹ tích điểm G cho GA  GB  GC  Bài : cho điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó, AB �CD Điểm M thay đổi cho �AMB  �CMD,M �AB Chứng minh M thuộc đường tròn cố định Bài : Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A đường thẳng d M điểm thay đổi d, từ M kẻ hai tiếp tuyến MN MP đến đường tròn (O) AN AP cắt (O’) N’ P’ Chứng minh N’P’ qua điểm cố định 2.3 Bài tốn dựng hình Phương pháp: Bước 1: Phân tích Bước 2: Dựng hình Bước 3: Chứng minh Bước 4: Biện luận Bài 1: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dừng hình vng ABCD có hai đỉnh A, B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C, D nằm đương tròn Giải: N +) Phân tích : Giả sử dựng hình vngABCD thỏa mãn D C điều kiện toán Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực AB Từ suy ra, dựng hình vng PQMN có O phép vị tự tâm I biến hình vng PQMN thành hình vng ABCD B' A' +) Cách dựng : P A B Dựng hình vuông PQMN Lấy giao điểm C C’ đường thẳng IM đường tròn Lấy giao điểm D D’ IN đường tròn ( ta kí hiệu cho hai điểm C, D nằm phía so với đường thẳng PQ ) Gọi điểm B, A, B’, A’ hình chiếu điểm C, D, C’, D’ đường thẳng PQ Ta hình vng ABCD A’B’C’D’ thỏa mãn điều kiện toán M Q +) Chứng minh : Từ cách dựng ta thấy C, D, C’, D’ giao điểm IM IN với đường tròn nên C, D, C’, D’ thuộc đường tròn B, A, B’, A’ hình chiếu C, D, C’, D’ lên đường thẳng PQ nên cạnh AB, A’B’ nằm đường thẳng PQ Suy hình vng ABCD A’B’C’D’ thỏa mãn điều kiện toán +) Biện luận: Từ phân tích cách dựng ta thấy tốn có nghiệm hình Bài 2: Cho (O) cắt (O’) A B Dựng đường thẳng d qua A cắt (O) M, cắt (O’) N cho M trung điểm AN Giải: +) Phân tích: Giả sử dựng (d) Vì uuurM làutrung uuu r điểm AN nên AN  2AM Vậy phép vị tự tâm A tỉ số k=2 biến điểm M thành điểm N A O' O M B N 10 O'' Khi ta có phép vị tự tâm A tỉ số k=2 biến (O) thành (O”) (O”) phải qua N Vậy N giao điểm (O’) (O”) +) Cách dựng: Dựng (O”) ảnh (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=2 Gọi N giao điểm (O’) (O”), N �A Kẻ AN cắt (O) M (d) đường thẳng AN +) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình � cho qua điểm A Bài 3: Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh góc xOy cho nằm góc Giải: A +) Phân tích: Giả sử (I, R) đường thỏa mãn điều kiện tốn Ta lấy đường tròn (I1 ,R1 ) tiếp xúc với � Gọi V cạnh góc xOy phép vị tự tâm O tỉ số k=OI:O I1 V biến (I1 ,R1 ) thành (I, R) A1 I I1 O Gọi A1 tạo ảnh điểm A A1 nằm (I1 ,R1 ) k= OA1 OA +) Cách dựng: Dựng đường tròn tùy ý (I1 ,R1 ) tiếp xúc với cạnh góc xOy Gọi A1 hai giao điểm đường thẳng OA đường tròn (I1 ,R1 ) Dựng ảnh (I, R) đường tròn (I1 ,R1 ) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=OA:O A1 Đường tròn cần dựng (I, R) +) Biện luận: Như từ phân tích cách dựng ta thấy tốn có nghiệm hình * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho đường tròn (O) (O’) cắt A Dựng qua A đường thẳng cắt (O) (O’) B C cho AB=kAC (k số dương cho trước) 11 Bài 2: Dựng tam giác ABC biết góc A  , tỉ số AB  k chu vi tam giác AC m Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC Dựng hình vng MNPQ có điểm M, N nằm cạnh BC, hai đỉnh lại nằm cạnh AB AC 1.1 Chứng minh phép biến đổi afin phép vị tự Bài 1: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ không có cạnh tương ứng song song : AB PA 'B' , BC PB'C' , CA PC'A ' Chứng minh có phép vị tự biến tam giác thành tam giác B' C' Giải Vì AB A’B’ song song không nên hai đường thẳng AA’ BB’ cắt điểm O Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k= B C o A A' OA' OA Thì V biến điểm C thành C1 cho: A’C1 song song với AC, B’C1 song song với BC Suy C1 trùng với C’, tức V biến C thành C’ Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 2: Chứng phép afin f biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song trùng với a f phép tịnh tiến phép vị tự Giải: r Giả sử f phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f, ta chứng r r r r tồn số k cho với véctơ u ta có f ( u )=k u r uuuu r r Thật vậy, với vectơ u ta lấy hai điểm M, N cho MN  u , gọi uuuuur ur r r r ur M’=f(M) N’=f(N) M ' N ' = u ' theo định nghĩa f ta có f ( u )= u ' Nhưng f biến đườngr thẳng MN r ur thành đường thằng M’N’ nên theo giả thiết MN song song M’N’ f ( u )=k u ' r r r r Tương tự vậy, vectơ v , ta có f ( v )=k’ v 12 ur r r r Tuy nhiên ta chứng minh k=k’ Thật vậy, đặt w  u  v ta có : f ( uur r uu r ur r r w) = k” w =k”( u  v) =k” u +k” v r r r uur r r uu Vì f phép biến đổi tuyến tính nên f ( w) = f (u  v) r r r r r r = f (u)  f (v)  ku  k 'v r r r r Tức k” u +k” v =k u +k’ v r r Từ suy u v khơng cộng tuyến k=k”, k’=k” � k=k’ r r r r Còn u v cộng tuyến ta lấy vectơ z khơng cộng tuyến với u r uu r r r r r r r f (z)  kz z khơng cộng tuyến với v nên f (v)  kv uuuu r uuuuur +) Nếu k=1 với điểm M, N ảnh chúng M’, N’ ta có MN  M ' N ' , uuuuu r uuuur MM '  NN ' uuuuu r r Vậy f phép tịnh tiến theo vec tơ MM '  v +) Nếu k �1 (k �0) với cặp điểm M, N ảnh chúng, ta có uuuuur uuuu r Suy hai đường thẳng MM’ NN’ cắt O M ' N '  kMN uuuur uuuu r uuuu r uuur OM '  kOM,ON '  kON Vậy f phép vị tự tâm O có tỉ số k Bài 3: Chứng minh rằng: a) Tích phép vị tự phép vị tự phép tịnh tiến b) Tích phép vị tự phép tịnh tiến phép tịnh tiến phép vị tự phép vị tự tịnh tiến Giải: a) Giả sử V1 phép vị tự tâm O1 tỉ số k1 V2 phép vị tự tâm O2 tỉ số k2 Ta xét tích f = V1V2 Lấy điểm uuuM uur bất kì, uuugọi u r M’uu=uuV uu r1(M) uuuM’’ uur = V2(M’) Tức O1M '  k1 OM O 2M ''  k O 2M ' +) uuuNếu uuu r O1uvới uuuuO u r trùng uuunhau uur : uuuur uuuuu r O 2M ''  kO2 M ''  k O1M '  k1k O1M  k 2k1 O 2M Vậy f phép vị tự tâm O2 tỉ số k1k2 +) Nếu O1 khơng trùng với O2 : Ta tìm điểm bất động f, tức điểm I cho Vuu biến I’ thành I , : uuur V1 biến uuu r I thành uuurI’ u u r O1I'  k1 O1I O 2I  k O� I ' 13 Từuđó uursuy rauu:uu r uuu r uuur k O1I'  k O I'  k1k O1I  O 2I uuuuur uuu r uuuuur uuu r uuu r uuuuur Hay k O1O  k 2k1 O1I  O 2O1  O1I � (k 2k1  1)O1I  (k  1)O1O ( ) Như : Nếu k2 = k1k2 = 1, tức k1= k2= điểm I thỏa mãn (  ), điểm I bất động f, nói cách khác f phép đồng Điều hiển nhiên k1 =k2 = 1, hai phép r vị tự V1 V2 phếp đồng Vì f xem phép tịnh tiến theo vecto phép vị tự tỉ số với tâm Nếu k2 �1 k1k2 = khơng có điểm I thỏa mãn (  ) Vậy f khơng có điểm bất động, uuuuurkhirđó với điểm M M’= V(M), M’’=V2(M’), ta chứng minh vecto MM ''  v cố định uuuuur uuuur uuuuuu r uuuuur Thật vậy, ta có: O1M '  k1 O1M O 2M ''  k O 2M ' Bởi vậy: uuuuur uuuur uuuuur uuuuuu r k1 MM ''  k1 (MO1  O1O2  O2 M '') uuuur uuuuur uuuuuu r   k1 O1M  k1 O1O  k1 O 2M '' uuuuur uuuuur uuuur  O1M '  k1 O1O  k1k OM ' uuuuur uuuuur uuuuur  O1M '  k1 O1O  O M ' uuuuur = (k1  1)O1O2 Ta suy : uuuuur k  uuuuur r MM ''  O1O  v không đổi k1 r Như trường hợp f phép tịnh tiến theo vecto v Nếu k1k �1 , ta có điểm I thỏa mãn điều kiện () Ta chứng minh trường hợp f phép vị tự tâm I tỉ số k1k2 Ta kí hiệu M, M’, M’’ , ta có: 14 uuuu r uuuuur uuu r IM ''  O1M ''  O1I uuuuur uuuuuu r uuu r  O1O  O 2M ''  O1I uuuuur uuuuur uuuuur uuu r  O1O  k (O1M '  O1O )  O1I uuuuur uuuu r uuuuur uuu r  O1O  k (k1 OM  O1O )  O1I uuuuur uuuu r uuu r  (1  k )O1O  k1k OM  O1I uuuuur uuu r uuu r uuu r  (1  k )O1O  k1k (O1I  IM)  O1I uuuuur uuu r uuu r  (1  k )O1O  (1  k1k )O1I  k1k IM uuuu r uuu r Do đẳng thức () ta suy IM ''  k1k IM Vậy f phép vị tự tân I tỉ số k1k2 r b) Giả sử T phép tịnh tiến theo vecto v , V phép vị tự tâm O tỉ số k ta xét tích : V0T Nếu k = V phép đồng nên V0T = T Trong trường hợp k �1 ta chứng minh tích V0T ln có điểm bất động Thật vậy, I điểm bất động thì:uu r r I = V0T(I) = V(I’), I’ = T(I), tức II'  v e uur uuu r uur uu r uur r Như vậy, OI  kOI'  k(OI  II')  k(OI  v) uur r Từ suy : OI(1  k)  kv uur r () OI(1  k)  kv Điểm bất động I hoàn toàn xác định đẳng thức (  ) Bây M bất uuuuu rgiờrlấy uuuuđiểm u r u uuu r kì, gọi M’ = T(M) M’’ = T(M’), tức MM '  v OM ''  kOM ' Như tích V0T biến M thành M’’ Khi đó: uuuu r uuuuu r uur uuuur uur IM ''  OM ''  OI  kOM '  OI uur uuu r uuuuu r uur  k(OI  IM  MM ')  OI uuu r uur r  kIM  (k  1)OI  kv uuu r  kIM Như tích V0T phép vị tự tâm I tỉ số k Chứng minh tương tự với tích V0T * Bài tập tương tự 15 Bài 1: Chứng minh tích phép đồng dạng nghịch với phép vị tự tịnh tiến Bài 2: Cho phép afin f không gian afin A n ( n 2 ), biết f biến đổi đường thẳng A n thành đường thẳng song song với Chứng minh f phép tịnh tiến phép vị tự r r Bài : Cho phép vị tự V tâm O, tỉ số K �1 phép tịnh tiến T theo vecto v �0 Gọi f phép hợp thành V T điểm I xác định cho f biến I thành Chứng minh f phép vị tự tâm I tỉ số k 16 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng có nhiều phép biến hình có nhiều ứng dụng sống củng tính tốn Chúng khai thác phép vị tự việc ứng dụng để giải tốn sơ cấp dựng hình, tìm quỹ tích điểm củng vấn đề liên quan đến phép vị tự tìm tâm tỉ số vị tự chứng minh phép biến đổi phép vị tự Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu phép vị tự nhận thấy phép vị tự phép biến đổi afin việc nghiên cứu phép vị tự cần thiết, giúp chúng tơi hiểu sâu phép biến đổi afin có them tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy sau Hy vọng đề tài giúp bạn đọc hiểu them phép vị tự củng ứng dụng phép vị tự cách hợp lý để giải toán có hiệu Kiến nghị Qua tìm hiểu, nghiên cứu phép vị tự ứng dụng giải tốn sơ cấp, chúng tơi xin đề xuất số ý kiến sau : +) Nhà trường cần quan tâm đến hoạt động học tập sinh viên đồng thời cần tạo điều kiện, môi trường học tập tốt cho sinh viên Đầu tư sở vật chất, trang thiết bị dạy học, đặc biệt tài liệu tham khảo để trình nghiên cứu khoa học sinh viên đạt hiệu cao +) Giangr viên cần quan tâm đến trình làm tập lớn sinh viên, giúp sinh viên có kỹ làm tập tốt +) Sinh viên cần tích cực, tự giác nghiên cứu khoa học để hiểu sâu chun ngành củng để tích lũy kinh nghiệm có thêm kiến thức phục vụ cho việc dạy sau 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Hình học afin hình học oclit -Văn Như Cương 2) Bài tập hình học afin hình học oclit -Văn Như Cương 3) tập hình học -Văn Như Cương 4) Sách giáo khoa hình học 11 -NXB giáo dục 5) Sách tập hình học 11 -NXB giáo dục 6) Sách hình học 12 -NXB giáo dục 7) Hình học cao cấp - Nguyễn Mộng Hy 18 ... tâm vị tự ngồi, phép vị tự có tỉ số âm điểm O gọi tâm vị tự f) Đặc biệt, phép vị tự có tỉ số k=1 phép đồng nhất, k=-1 phép đối xứng   CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP... Vậy f phép vị tự tâm O có tỉ số k Bài 3: Chứng minh rằng: a) Tích phép vị tự phép vị tự phép tịnh tiến b) Tích phép vị tự phép tịnh tiến phép tịnh tiến phép vị tự phép vị tự tịnh tiến Giải: a)... ứng dụng để giải tốn sơ cấp dựng hình, tìm quỹ tích điểm củng vấn đề liên quan đến phép vị tự tìm tâm tỉ số vị tự chứng minh phép biến đổi phép vị tự Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu phép vị