Trong những vấn đề về khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lại là một trở ngại không nhỏ khiến nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các bài tập về hình học không gian. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc các học sinh này phải vượt qua.
Trang 1MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Toán học ngày càng trở thành ngôn ngữ của khoa học hiện đại, được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực Là một trong những bộ môn khoa học đứng đầu về ứng dụng đời sống Toán học đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ của con người Đặc biệt là bộ môn hình học
sơ cấp , nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic, tính linh hoạt, suy luận và kỹ năng khai thác sáng tạo cho người học Bộ môn này còn bồi dưỡng cho học sinh, sinh viên tính linh hoạt, kiên trì, chính xác và tính độc lập
Với các sinh viên chuyên ngành toán thì việc nghiên cứu bộ môn này là hết sức cần thiết, là mảng kiến thức quan trọng cần có để sau này giảng dạy Là một sinh viên chuyên ngành toán đang trực tiếp nghiên cứu chúng tôi nhận thấy rằng: Trong chương trình toán học , chuyên đề về khoảng cách là một chuyên đề vô cùng quan trọng bắt buộc học sinh bậc THPT phải nắm bắt được và có kĩ năng giải một cách thành thạo
Trong những vấn đề về khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lại là một trở ngại không nhỏ khiến nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các bài tập về hình học không gian Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc các học sinh này phải vượt qua
Tuy nhiên, tài liệu đi chuyên sâu vào vấn đề này còn ít, nó chỉ nằm tản mạn trong sách giáo khoa là chủ yếu Để giúp cho học sinh giải thành thạo các bài toán
về hình học không gian và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng thì các em cũng đưa ra được cách giải quyết tốt
Trang 2nhất Vậy nên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài “ Một số phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.”
2.Mục đích nghiên cứu
Khi nghiên cứu về đề tài này,mục đích của chúng tôi là nhằm giúp học sinh, sinh viên hệ thống lại kiến thức về hình học không gian Đặc biệt là một số phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Từ đó học sinh sẽ trau dồi khả năng của bản thân và tạo hứng thú trong việc giải các bài tập về hình học không gian
3 Nội dung nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài bao gồm:
Chương I: Cơ sở lý thuyết
Ở chương này chúng tôi sẽ trình bày một số định nghĩa định lý liên quan đến phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Chương II: Một số phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ở chương này chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp và một số ví dụ để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Chương III: Một số bài tập tương tự
Ở chương này chúng tôi đưa ra một số bài tập không có lời giải để bạn đọc tự giải
4 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu,mạng internet
Trang 3CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
mặt phẳng Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng và được kí hiệu là d O ,
+, Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng đó
1.2 Các định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lý 1.1 Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy
Định lý 1.2 Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau theo giao tuyến đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P và d vuông góc với giao tuyến
thì ta suy ra được d vuông góc với mặt phẳng Q
Định lý 1.3 Định lý Thales thuận
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Với tam giác ABC nếu có đường thẳng d song song với BC và cắt AB AC, lần lượt tại điểm D E, thì:
Hệ quả
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho
Trang 4Với tam giác ABC nếu có đường thẳng d song song với BC và cắt AB AC, lần lượt tại điểm D E, thì:
Định lí Ta-Lét trong hình học không gian
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Nếud d, ' là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song , , lần lượt tại các điểm A B C, , và A B C', ,' ' thì
' ' ' ' ' '
Trang 5CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT
ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
2.1 Thông qua định nghĩa
Trong không gian cho mặt phẳng P và một điểm M không nằm trên mặt phẳng P , để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P ta làm như sau:
Bước 1: Dựng mặt phẳng Q đi qua M và vuông góc với mặt phẳng P
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mặt phẳng P và mặt phẳng Q
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại Hsuy ra MH vuông góc với mặt phẳng
P suy ra d M P , MH
Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại A.SA a 2,AB a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (
Giải
Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A đến BC, H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD Ta có:
Lại có BC AD BC SAD AH BC
Ta lại có AH SD AH SBC d A SBC , AH
Xét tam giác ABC có:
Trang 6Xét tam giác SAD có :
Vậy , 2
5
2.2 Thông qua đường thẳng song song với mặt phẳng
Cho mặt phẳng P và đường thẳng d song song với mặt phẳng P A B C, ,
là các điểm bất kì nằm trênd Khi đó d A P , d B P , d C P ,
Bài 2: Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a ,SA a gọi K là trung điểm của BC Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng SAB
Giải :
OK AB
Nên d O SAB , d K SAB ,
AB suy ra SOI SAB
2
a
Xét tam giác SAO ta có:
2 2
Trang 7Xét tam giác SOI ta có : 2 2 2 2 2 2
OH a 6
2.3 Thông qua định lý Thales
Cho mặt phẳng P và đường thẳng d giao với mặt phẳng P tạiI.A B, là các điểm nằm trên d( A B, khác I và B là điểm ở giữa A vàI).Gọi K là hình chiếu của A lên P và H là hình chiếu của B lên P (BH song song với AK
).Khi đó ta có BH IB
AK IA hay ta nói
, ,
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với ABCD Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là 600, G là trọng tâm của tam giácSAD
a, Tính thể tích khối chóp S ABCD
b, Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC theo a
Giải
SA vuông góc với đáy nên SA là chiều cao của khối chóp
2
ABCD
2
S ABCD ABCD
Trang 8Xét tam giác vuông SAB ta có: tan 600 SA
SB
3 2
.
3
S ABCD
SA
SA a a
a
Gọi M là trung điểm của AB suy ra G SM
MA BC
Theo giao tuyến SB
Trong SAB kẻ AI SB I SB
Xét tam giác vuông SABcó
3 3
2
a
2 3
,
3
a
d G SBC
Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang Góc ABC bằng góc
BAD bằng 900 ,BA CB a AD , 2 a Cạnh SA vuông góc với đáy ,SA a 2
Trang 9Gọi H là hình chiếu của A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
SCD theo a
Giải :
Gọi I là trung điểm của AD ta có 1
2
CI AD suy ra tam giác ACD vuông tại
C hay ACCD SAC SCD
Kẻ AI vuông góc với SC tại I suy ra
Ta có AC2 AB2 BC2 2a2
Nối AB cắt CD tại K suy ra B là trung điểm của AK
,
d B SCD
2.4 Thông qua thể tích tứ diện
Cho tứ diện S ABC Khi đó V S ABC. V A SBC. V B SAC. V C SAB. Mà
.
1 , 3
.
1
3
.
1
3
Trang 10
.
1 , 3
Bước 1: Tính thể tích tứ diện
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua thể tích
Bài 5: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân tại A mặt bên SBC
vuông góc với đáy , tam giác SBC vuông tại S , SA SB AB a SC a , 2
a, Tính V S ABC.
b, Tính d B SAC , theo a
Giải
Gọi H ,I lần lượt là trung điểm của BC và SC
ABC
cân tại A nên AH là đường cao của tam giác
Theo giả thiết (SBC) ( ABC) theo giao tuyến BC
Vậy AH là đường cao của khối chóp A SBC
1 3
S ABC A SBC SBC
SBC
2
.
S ABC
b, Ta có .
1
, 3
B SAC SAC
Trang 11
3 2 1 1
12 3 2
a
SC AI d B SAC
3
2
2
a
2 2
2
2
3 ,
2 ,
2 2
a
a
d B SAC
a
Trang 12CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B
AB a BC a Mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC Biết
0
SB a SBC Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình chữ nhật
giao điểm của AC và BD Góc giữa mặt phẳng ADD A' ' và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng A BD'
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Cạnh AB có độ dài bằng a và nằm trong mặt phẳng Biết rằng cạnh AC có độ dài bằng a 2 và tạo với mặt phằng một góc 600 Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
giao điểm của AM và AC' Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC theo a
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh bằng 3a , cạnh bên bằng 2a Gọi G là tâm của đáy M là trung điểm của SC
a, Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC
Trang 13b, Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAG
Bài 6: Cho ABC là tam giác vuông cân tại B ,BA a Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA a M,I theo thứ tự là trung điểm của SC AB, Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (ABC)
KẾT LUẬN
Đề tài này giải quyết vấn đề đặt ra là: “Một số phương pháp tính khoảng cách
từ một điểm đến mặt phẳng”
Ở chương 1, chúng tôi đã trình bày được một số định nghĩa định lý về cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Chương 2, chúng tôi cũng đã trình bày được một số phương pháp quen thuộc, một số ví dụ khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Chương 3, chúng tôi đã đưa ra được một số bài tập tương tự để bạn đọc tự tìm hiểu
Trên đây là một số phương pháp mà chúng tôi tìm hiểu được Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu về vấn đề này và các dạng khác trong thời gian tới Rất mong bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để chúng tôi có thể chỉnh sửa và hoàn thiện hơn nữa
Và chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên –……đã hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình thực hiện đề tài này