Trong những vấn đề về khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lại là một trở ngại không nhỏ khiến nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các bài tập về hình học không gian. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc các học sinh này phải vượt qua.
MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngày trở thành ngôn ngữ khoa học đại, sử dụng khắp giới công cụ thiết yếu nhiều lĩnh vực Là môn khoa học đứng đầu ứng dụng đời sống Tốn học đóng vai trị quan trọng phát triển trí tuệ người Đặc biệt mơn hình học sơ cấp , có tác dụng lớn việc rèn luyện tư logic, tính linh hoạt, suy luận kỹ khai thác sáng tạo cho người học Bộ môn cịn bồi dưỡng cho học sinh, sinh viên tính linh hoạt, kiên trì, xác tính độc lập Với sinh viên chun ngành tốn việc nghiên cứu môn cần thiết, mảng kiến thức quan trọng cần có để sau giảng dạy Là sinh viên chuyên ngành toán trực tiếp nghiên cứu nhận thấy rằng: Trong chương trình tốn học , chun đề khoảng cách chuyên đề vô quan trọng bắt buộc học sinh bậc THPT phải nắm bắt có kĩ giải cách thành thạo Trong vấn đề khoảng cách, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lại trở ngại không nhỏ khiến nhiều học sinh khơng ngỡ ngàng bối rối giải tập hình học khơng gian Thực ra, vấn đề khó Đặc biệt, với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh phải vượt qua Tuy nhiên, tài liệu chun sâu vào vấn đề cịn ít, nằm tản mạn sách giáo khoa chủ yếu Để giúp cho học sinh giải thành thạo tốn hình học khơng gian gặp dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng em đưa cách giải tốt Vậy nên, định chọn đề tài “ Một số phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.” 2.Mục đích nghiên cứu Khi nghiên cứu đề tài này,mục đích chúng tơi nhằm giúp học sinh, sinh viên hệ thống lại kiến thức hình học khơng gian Đặc biệt số phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ học sinh trau dồi khả thân tạo hứng thú việc giải tập hình học khơng gian Nội dung nghiên cứu Nội dung đề tài bao gồm: Chương I: Cơ sở lý thuyết Ở chương chúng tơi trình bày số định nghĩa định lý liên quan đến phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chương II: Một số phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ở chương trình bày số phương pháp số ví dụ để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chương III: Một số tập tương tự Ở chương đưa số tập khơng có lời giải để bạn đọc tự giải Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu,mạng internet CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng kí hiệu d O, +, Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng 1.2 Các định lý đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định lý 1.1 Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Định lý 1.2 Cho hai mặt phẳng P Q vng góc với theo giao tuyến đường thẳng d nằm mặt phẳng P d vng góc với giao tuyến ta suy d vng góc với mặt phẳng Q Định lý 1.3 Định lý Thales thuận Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Với tam giác ABC có đường thẳng d song song với BC cắt AB, AC điểm D, E thì: AD AE AD AE DB EC và AB AC DB EC AB AC Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Với tam giác ABC có đường thẳng d song song với BC cắt AB, AC điểm D, E thì: AD AE DE AB AC BC Định lí Ta-Lét hình học khơng gian Ba mặt phẳng đơi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Nếu d , d ' hai cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song , , điểm A, B, C A' , B ' , C ' AB BC CA A ' B ' B 'C ' C ' A ' CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 2.1 Thông qua định nghĩa Trong không gian cho mặt phẳng P điểm M không nằm mặt phẳng P , để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P ta làm sau: Bước 1: Dựng mặt phẳng Q qua M vng góc với mặt phẳng P Bước 2: Xác định giao tuyến d mặt phẳng P mặt phẳng Q Bước 3: Kẻ MH vng góc với d H suy MH vng góc với mặt phẳng P suy d M , P MH Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông cân A SA a 2, AB a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Giải Gọi D chân đường vng góc hạ từ A đến BC , H chân đường vng góc hạ từ A xuống SD Ta có: SA ABC � BC SA Lại có BC AD � BC SAD � AH BC Ta lại có AH SD � AH SBC � d A, SBC AH Xét tam giác ABC có: 1 1 1 � 2 2 2 AD AB AC AD a a a Xét tam giác SAD có : 1 1 2 � � AH a AH SA2 AD AH 2a a Vậy d A, SBC a 2.2 Thông qua đường thẳng song song với mặt phẳng Cho mặt phẳng P đường thẳng d song song với mặt phẳng P A, B, C điểm nằm d Khi d A, P d B, P d C , P Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SA a gọi K trung điểm BC Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng SAB Giải : OK P AB � �� OK P SAB AB � SAB � Nên d O, SAB d K , SAB S ABCD hình chóp nên SO ABCD Qua O kẻ OI vng góc với AB suy SOI SAB Kẻ OH SI � OH SAB � d O, SAB OH Ta có: AC BD a 2, OI a 2 �a � a Xét tam giác SAO ta có: SO SA2 AO � SO a � � �2 � 1 1 1 � 2 2 2 a a Xét tam giác SOI ta có : OH SO OI OH � OH a Vậy d K , SAB a 2.3 Thông qua định lý Thales Cho mặt phẳng P đường thẳng d giao với mặt phẳng P I A, B điểm nằm d ( A, B khác I B điểm A I ).Gọi K hình chiếu A lên P H hình chiếu B lên P ( BH song song với AK ).Khi ta có d B, P IB BH IB hay ta nói d A, P IA AK IA Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc với ABCD Góc hai mặt phẳng SBC ABCD 600 , G trọng tâm tam giác SAD a, Tính thể tích khối chóp S ABCD b, Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC theo a Giải ABCD �SBC BC SB BC � �� ABCD, SBC SBA AB BC � SA vng góc với đáy nên SA chiều cao khối chóp S ABCD a.a a 1 VS ABCD S ABCD SA a SA 3 Xét tam giác vuông SAB ta có: tan 60 SA SB SA � SA a a a3 � VS ABCD a a 3 � 3 Gọi M trung điểm AB suy G �SM MA P BC � �� MA P SBC BC � SBC � � d M , SBC d A, SBC CB SAB � � �� SBC SAB SBC �CB � Theo giao tuyến SB Trong SAB kẻ AI SB I �SB � AI d A, SBC 1 1 2 Xét tam giác vng SAB có AI SA AB a 2 a 3a 3a � AI � AI a 2 d G , SBC d M , SBC � d G , SBC d G, SBC SG � SM a a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang Góc ABC góc BAD 900 , BA CB a, AD 2a Cạnh SA vng góc với đáy , SA a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SCD theo a Giải : Gọi I trung điểm AD ta có CI AD suy tam giác ACD vuông C hay AC CD � SAC SCD Kẻ AI vng góc với SC I suy AI SCD � d A, SCD AI Ta có AC AB BC 2a 1 1 1 2 2 2 AI AC SA a 2a a � AI a � d A, SCD a Nối AB cắt CD K suy B trung điểm AK � d B, SCD d A, SCD d H , SCD d B, SCD BK a � d B, SCD CK 2 SH SA2 2a 2 a 2 � d H , SCD B, SCD SB SA 2a a 3 2.4 Thơng qua thể tích tứ diện Cho tứ diện S ABC Khi VS ABC VA.SBC VB.SAC VC SAB Mà VS ABC d S , ABC S ABC , VA SBC d A, SBC S SBC , VB SAC d B, SAC S SAC , VC SAB d C , SAB S SAB Bước 1: Tính thể tích tứ diện Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thơng qua thể tích Bài 5: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cân A mặt bên SBC vng góc với đáy , tam giác SBC vuông S , SA SB AB a, SC a a, Tính VS ABC b, Tính d B, SAC theo a Giải Gọi H , I trung điểm BC SC ABC cân A nên AH đường cao tam giác Theo giả thiết ( SBC ) ( ABC ) theo giao tuyến BC �AH BC � �AH �( ABC ) � AH SBC �ABC SBC � Vậy AH đường cao khối chóp A.SBC VS ABC VA.SBC S SBC AH 1 Mà S SBC SB.SC a.a a 2 2 �a � a AH AC HC a � � �2 � 2 2 a a3 Vậy VS ABC a 2 12 b, Ta có VB SAC S SAC d B, SAC a3 1 � SC AI d B, SAC 12 32 a3 � a SA2 SI d B, SAC 2 �a � a2 � a � �.d B, SAC �2 � � d B, SAC a2 a a 2 CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B AB 3a, BC 4a Mặt phẳng SBC vng góc với mặt phẳng ABC Biết SB 2a 3, SBC 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A' B 'C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật AB a, AD a Hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng ABCD trùng với ' ' giao điểm AC BD Góc mặt phẳng ADD A ( ABCD ) 600 ' Tính khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng A BD Bài 3: Cho tam giác ABC vng A Cạnh AB có độ dài a nằm mặt phẳng Biết cạnh AC có độ dài a tạo với mặt phằng góc 600 Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A' B 'C ' có đáy ABC tam giác vuông cân ' ' ' 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC B AB a, AA' 2a, AC I ' giao điểm AM AC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC theo a Bài 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh 3a , cạnh bên 2a Gọi G tâm đáy M trung điểm SC a, Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC b, Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAG Bài 6: Cho ABC tam giác vuông cân B , BA a Trên đường vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) A lấy điểm S cho SA a M , I theo thứ tự trung điểm SC , AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ABC ) KẾT LUẬN Đề tài giải vấn đề đặt là: “Một số phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng” Ở chương 1, chúng tơi trình bày số định nghĩa định lý cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chương 2, chúng tơi trình bày số phương pháp quen thuộc, số ví dụ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chương 3, đưa số tập tương tự để bạn đọc tự tìm hiểu Trên số phương pháp mà chúng tơi tìm hiểu Chúng tiếp tục nghiên cứu vấn đề dạng khác thời gian tới Rất mong bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để chúng tơi chỉnh sửa hồn thiện Và xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên –……đã hướng dẫn giúp đỡ chúng tơi q trình thực đề tài ... quan đến phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chương II: Một số phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ở chương chúng tơi trình bày số phương pháp số ví dụ để tính khoảng. .. THUYẾT CƠ SỞ 1. 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ... trung điểm SC a, Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC b, Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAG Bài 6: Cho ABC tam giác vuông cân B , BA a Trên đường vng góc với mặt phẳng