BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH đối NGẪU và một số ỨNG DỤNG

Bộ môn quy hoạch tuyến tính là một môn học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng sáng tạo cho người học.Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh. Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để được phương án tối ưu cần thiết.

Đề tài:“ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU VÀ MỘT

về tìm phương án tối ưu

Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong sốnhững quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhấttrong sản xuất kinh doanh Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạchtuyến tính để được phương án tối ưu cần thiết

Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiếnthức rất quan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạpnào trong thực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờviệc lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàngnhanh chóng và chính xác Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng,

nó đem lại những hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toánđúng quy cách

Trong đó “ Bài toán đối ngẫu” cũng được đề cập dưới nhiều mảng kiến thức

với các hình thức đa dạng và phong phú.Với lý do nêu trên em đã chọn đề tài: Một

số dạng bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về bài toán đối ngẫu

- Xây dựng hệ thống bài tập về bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

- Từ đó có thể rèn luyện và trau dồi khả năng tư duy về sự hứng thú trongviệc giải các bài tập về bài toán đối ngẫu

3 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng bài toán cơ bản quy hoạch tuyến tính đốingẫu

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc cái tài liệu về môn quy hoạch tuyến

tính, các luận văn tốt nghiệp về bài toán đối ngẫu của các khóa trước ở trường Đạihọc Hà Tĩnh

+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến của giảng viênhướng dẫn, và các giảng viên dạy môn quy hoạch tuyến tính của trường

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thântrong quá trình học tập học phần quy hoạch tuyến tính và các bạn sinh viên đã họcbài toán đối ngẫu của các lớp sư phạm và các lớp quản trị kinh doanh

5 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có bachương

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tôi đã hệ thống những kiến thức cơ bản về bài toán quyhoạch tuyến tính đối ngẫu nhằm làm cơ sở cho chương 2

Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu và một số ứng dụng

Nội dung của chương 2 là nội dung chính của đề tài, trong chương này tôi đã

sử dụng cơ sở lý thuyết để giải quyết một số dạng bài toán đối ngẫu

2.1 Viết bài toán đối ngẫu của các bài toán dạng chính tắc, chuẩn tắc, vàdạng tổng quát

2.2 Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án

2.3 Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

2.4 Ý nghĩa kinh tế của bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

2.5 Bài toán hậu tối ưu

2.6 Giải bài toán có dạng đặc biệt

Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

• Đối ngẫu là một phương pháp mà ứng dụng với mỗi bài toán QHTT đã cho (gọi làbài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán QHTT khác (gọi là bài toán đối ngẫu)sao cho từ lời giải của bài toán này ta có thể thu được thông tin về lời giải của bàitoán kia.

• Khi phân tích đồng thời cả hai bài toán gốc và đối ngẫu ta có thể rút ra các kết luậnsâu sắc cả về mặt toán học lẫn về ý nghĩa thực tiễn

1.1 Định nghĩa cặp bài toán đối ngẫu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

2 1

' 1

1 2

ij j i j

n

ij j i j

n

ij j i j

j j j

1

1 1

2 1

1

1 2

ij i j i

n

ij i j i

n

ij i j i

i i i

1.2 Định nghĩa cặp điều kiện đối ngẫu

Bài toán P và Q được gọi là một cặp bài toán đối ngẫuCác cặp điều kiện đối ngẫu (2) và (2’)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

 SƠ ĐỒ ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT

Sơ đồ đối ngẫu tổng quát

Các biến gốc: x1, x2,…, xn Các biến đối ngẫu: y1, y2,…,ymHàm mục tiêu

f(x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → min

1 1 2 2

1 1 2

1 2

2 2

2

,,

   

0,0,0,

i i i

i I

i I i

j j j

mj m

c j J c

1.3 Các tính chất của cặp bài toán đối ngẫu

1.3.1 Nguyên lí đối ngẫu

Bổ đề: Xét cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

1.3.2 Định lí đối ngẫu thứ nhất và các hệ quả

Xét cặp bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát nếu bài toán gốc có phương án tối ưu thì bài toán đối ngẫu cũng có phương án tối ưu và ngược lại Đồng thời giá trị tối ưu của hai bài toán bằng nhau

Hệ quả 2 Trong cặp bài toán đối ngẫu nếu một trong hai bài toán có

phương án nhưng không có phương án tối ưu thì bài toán kia không cóphương án

Hệ quả 3 Xét cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu dạng tổng

quát nếu cả hai bài toán đều có phương án tối ưu thì chúng đều có phương án tối ưu

Ví dụ: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

ra dấu bằng

Ví dụ: Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

1.4 Một số phương pháp suy nghiệm

Cho bài toán gốc

0

f x Cx

Ax b x

,,

1.4.1 Chứng minh phương án tối ưu

Nếu biết phương án tối ưu của bài toán gốc, vận dụng lý thuyết đối ngẫu ta cóthể suy ra phương án tối ưu của bài tối đối ngẫu tương ứng mà không cần giải nó

Ví dụ: Bài toán qui hoạch tuyến tính

Có phương án tối ưu x* = (0, 1, 0, 2, 3) với fmin = 6 Hãy tìm phương án tối

ưu của bài toán đối ngẫu tương ứng

1 2 3

111, ,

y y y

y y y

y y

y y y tuøy yù

Gọi y* là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Do x*2, x*3, x*5 >0, nên theo định lý độ lệch bù, y* là nghiệm đúng hệphương trình:

1 1

1 5

3 2

3 2 1

y y

y y

3 2 1

y y y

Vậy y* (-5, 1, 1) là phương án tối ưu của g(y) với

gmax = -5 +(3*1) + (8*1) = 6 = fmin

1.4.2 Suy nghiệm cho bài toán đối ngẫu hoặc bài toán gốc

Dạng 1 Nếu

0

x

là phương án tối ưu của bài toán gốc Ta tìm phương án tối

ưu của bài toán đối ngẫu

Ví dụ Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

là phương án tối ưu của bài toán đã cho Hãy tìm phương

án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đã cho là tập nghiệm của hệ.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x ≤

x ≤

)Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đã cho là:

1.4.3 Suy nghiệm từ bảng đơn hình

Giả sử giải bài toán quy hoạch tuyến tính mà vế phải của hệ ràng buộc cưỡngbức không âm

Bước 1 Ta đưa nó về dạng chính tắc Sau đó dùng thuật toán đơn hình gốc đểgiải hoặc giải bằng thuật toán M

Bước 2 Nếu bước cuối cùng xuất hiện dấu hiệu tối ưu và ở đó xác định

phương án tối ưu với cơ sở: { A j : j J∈ 0}

Ví dụ: Dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch gốc (P) sau đây, từ đó

suy ra lời giải của bài toán đối ngẫu tương ứng với nó

= + +

=

− + +

→

− +

−

−

=

6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0

9 3 4 2

12 2

min 3

2 2 )

(

6 5 4 3

6 4

2

6 5 4 1

6 5 4 2 1

j x

x x x x

x x

x

x x x x

x x x x x x

-1A

2

1

A

4

2

Để tìm lời giải của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ bảng đơn hình cuối cùngcủa (P) các ∆j (j∈J) rồi cộng với hệ số cj tương ứng.

Vì thế, lời giải của bài toán đối ngẫu y* = (y*1, y*2, y*3) được xác định nhưsau:

−

= +

∆

=

= +

−

= +

∆

=

5

3 0 5

3

*

1 1 0

*

5

1 1 5

4

*

3 3 3

2 2 2

1 1 1

c y

c y

c y

( ) ( ) ( )

2.2Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án

Bài 1.Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

Giải

Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:

3 2 1

, 6 4 3

1

, 3 3 4

2

, 4 0 1 1

, 2 4

3

1

x0 = (-1, 1, 1) thỏa (*) ⇒ x0 là phương án của bài toán gốc

Gọi y0 = (y1, y2, y3, y4, y5) là phương án của bài toán đối ngẫu

Do độ lệch ràng buộc 2, 4 của bài toán gốc khác 0 nên theo định lí về độ lệch

0 ,

0

, 3 2

3 4

, 1 4

3

, 4 2

4 2

5 3

1

3 1

5 3

1

y y

y y

y

y y

y y

y

Giải hệ phương trình, ta được y0 = (1, 0, 1, 0, -1)

Với: f(x) = g(x) = -8

⇒ x0 = (-1, 1, 1) là phương án tối ưu của bài toán gốc

⇒ y0 = (1, 0, 1, 0, -1) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Bài 2 Xét qui hoạch tuyến tính:

a Kiểm tra tính tối ưu của phương án x0 = (5, -6, 1, -4, 0).

b Chứng tỏ bài toán đã cho không có phương án tối ưu

=

− + +

−

=

− + +

8 3 5

, 6 4 2 18 10

, 6 12 1 12 5

Do độ lệch ràng buộc 2 khác 0 và x10, x20, x30, x40 khác 0 nên theo định lí về

độ lệch bù vectơ x0 = (5, -6, 1, -4, 0) là phương án tối ưu của bài toán gốc khi tồntại vectơ y0 = (y1, y2, y3) ∈ R3 sao cho:

= + +

−

0 , 0

, 1 4 2

, 1 3

, 1 3 2

, 2 3

2

, 1 3 2

3 2

3 2 1

2 1

3 2 1

2 1

3 2 1

y y

y y y

y y

y y y

y y

y y y

Hệ này vô nghiệm

⇒ không tồn tại y0∈ R3 thoả hệ trên

⇒ phương án x0 = (5, -6, 1, -4, 0) không phải là phương án tối ưu của bàitoán gốc

b Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:

≤ + +

−

→ +

−

=

0 , 0

, 1 4 2

, 1 3

, 1 3 2

, 2 3

2

, 1 2

max, 8

4 6 ) (

3 2

3 2 1

2 1

3 2 1

2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y

y y y

y y

y y y

y y y y g

Ta giải hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu:

, 28 5

, 21 4

, 4

, 7 8

, 7 5

Hệ này vô nghiệm ⇒ bài toán đối ngẫu có tập phương án rỗng

Mà bài toán gốc có tập phương án khác rỗng (vì x0 là 1 phương án)

⇒ bài toán gốc không có phương án tối ưu (theo định lí tồn tại)

Bài 3 Xét qui hoạch tuyến tính:

a Kiểm tra tính tối ưu của phương án x0 = (2, 0, 1, -2, 3)

b Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Giải

a Thế x0 = (2, 0, 1, -2, 3) vào hệ ràng buộc (*), ta có:

= +

−

−

2 9 4 1 2

, 9 15 4 4 2

, 6 3 6 1 10

Do độ lệch ràng buộc 1 của bài toán gốc khác 0 và x10, x30, x40, x50 khác khôngnên theo định lí về độ lệch bù vectơ x0 = (2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bàitoán gốc khi tồn tại vectơ y0 = (y1, y2, y3) ∈ R3 sao cho:

−

−

= +

−

=

− +

−

≤

− +

, 20 3

5

, 8 2

2 3

, 16 4

, 9 2 2 4

, 4 5

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

Giải hệ phương trình, ta được y0 = (0, 4, 0)

Vì f x( ) =g y( )

⇒ tồn tại y0∈ R3 thỏa hệ trên

⇒ phương án x0 = ( 2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc

b Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:

−

−

= +

−

≤

− +

−

≤

− +

−

=

0 , 0

, 20 3

5

, 8 2

2 3

, 16 4

, 9 2 2 4

, 4 5

max, 2

9 5 ) (

2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y y g

Vì đã biết x0 = (2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc nênphương án tối ưu y0 của bài toán đối ngẫu có thể tìm từ định lí độ lệch bù:

−

−

= +

−

−

=

− +

−

−

−

= +

+

− +

−

0 3

5 20

0 2

2 3 8

0 4

16

0 2

2 4

9

0 5

4

0 3

2 2

2

0 5

2 4 2 9

0 3

4 5

5

5 3 2 1

4 3 2 1

3 3 2 1

2 3 2 1

1 3 2 1

3 5 4 3 2 1

2 5 4 3 2 1

1 5 4 3 2 1

x y y y

x y y y

x y y y

x y y y

x y y y

y x x x x x

y x x x x x

y x x x x x

Thay các giá trị đã biết vào hệ, ta được:

−

−

= +

20 3

5

8 2

2

0 4

0

3 2 1

3 2

3 2

3 2

1

y y y

y y

y y

y y

nên theo định lý độ lệch bù yếu, ta phải có x2 =0

Vậy X* là phương án tối ưu

Suy ra thành phần thứ 2 và thành phần thứ 4 bằng 0

2.3 Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Nhờ tiêu chuẩn tối ưu nên khi ta biết được phương án tối ưu của một trong cặp bàitoán đối ngẫu thì dễ dàng tìm được phương án tối ưu của bài toán còn lại

Bài 1 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Cho biết bài toán trên có phương án tối ưu là x0 =(7,0, 9− )

Hãy lập và giảibài toán đối ngẫu của bài toán trên

Mặt khác khi thay phương án x0 =(7,0, 9− )

vào các ràng buộc của bài toángốc ta thấy ràng buộc thứ 3 thỏa mãn không chặt nên :

( )

y =

Từ hệ phương trình (1), (2), (3) ta dễ dàng suy ra nghiệm y0 =(1 / 5,0,9 / 10)

ta thấy nghiệm này thỏa mãn hai ràng buộc còn lại của bài toán đối ngẫu nên nó làphương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Vậy bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu là y0 =(1 / 5,0,9 / 10)

Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là:

{ 1 2 ,2 2 : 1 / 6 2 0}

y= − − y y − ≤ y ≤

2.4 Ý nghĩa kinh tế của bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

Bài 1 Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất của xí nghiệp

Xí nghiệp sản xuất các mặt hàng j ( j=1,n

) từ các loại nguyên liệu i (i=1,m

), với lượng dự trử tương ứng i

Giải

Gọi

=( 1, )

j

x j n

là số lượng sản phẩm j cần sản xuất với Tổng giá trị sảnphẩm lớn nhất và lượng nguyên liệu sử dụng không vượt qua lượng dự trữ ta có bàitoán quy hoạch tuyến tính

dự trữ cho việc sản xuất các sản phẩm nói trên

Cần mua các loại nguyên liệu

i(i=1, )n

với lượng yêu cầu i

u

Hãy lập kếhoạch mua các loại nguyên liệu sao cho thỏa mãn tổng số tiền mua nguyên liệu nhỏ

nhất và số tiền chi phí cho một đơn vị sản phẩm

là đơn giá của nguyên liệu loại i

Tổng số tiền mua nguyên liệu: 1

m

i i i

Rõ ràng bài toán (2) là bài toán đối ngẫu của bài toán (1)

Như vậy bài toán mua nguyên liệu là bài toán đối ngẫu của bài toán lập kếhoạch sản xuất

m

j ij i i

m

ij i j i

0

n

ij j i j

n

ij j i j

Bài 2 Xét bài toán sau:

Một cửa hàng bán lẽ hiện có 10,2 kg bánh và 3 kg kẹo dùng để gói thành cácgói quà để bán Chi tiết của các gói quà được cho bởi bảng

Nguyên liệu Gói quà

a) Cửa hàng này phải đóng bao nhiêu gói mỗi loại để bán được nhiều tiền nhất?

b) Nếu một người đến hỏi mua hết số bánh kẹo nêu trên thì phải trả giá bao nhiêu mỗi

kí bánh, kẹo để cửa hàng đồng ý bán và số tiền bỏ ra là ít nhất?

Theo yêu cầu bài toán là doanh thu cao nhất, ta có : f x( ) →max

Vậy khi cửa hàng dùng số bánh kẹo trên để đóng 36 gói loại B và 96 gói loại

C thì doanh thu sẽ cao nhất và bằng 4.824.000 đồng

b) Gọi y y1, 2là giá ( tính theo đơn vị trăm đồng ) mỗi 10g bánh, kẹo thì:

• y1≥0,y2 ≥0

• Tổng số tiền người mua bỏ ra là g y( ) =1020y1+300y2

Theo yêu cầu số tiền bỏ ra mua là thấp nhất ta có :g y( ) →min

Để cửa hàng đồng ý bán hết bánh kẹo thì số tiền thu được ứng với số bánh,kẹo có trong mỗi gói quà là không được thấp hơn giá bán gói quà Vậy:

Đây chính là bài toán đối ngẫu của bài toán đã giải ở câu a.

Vậy theo định lý độ lệch bù yếu, ta có:

( ) ( )

Lưu ý đến đơn vị tính và:

0,32; 0,52

Thì ta có lời giải thực tế như sau:

Nếu người mua trả giá 3200 đ/kg bánh và 5200 đ/kg kẹo thì cửa hàng sẽ đồng

ý bán Số tiền bỏ ra mua 10,2 kg bánh và 3kg kẹo là thấp nhất và bằng 482400đồng

Bài 3 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

liệu loại A, 2 đơn vị nguyên liệu loại B và 1 đơn vị nguyên liệu loại C Các chi tiêu

đó cho môt đơn vị sản phẩm loại II là 4,1 và 3 Còn cho đơn vị sản phẩm loại III là

2, 2 và 2 Lượng nguyên liệu dự trữ loại A và B hiện có là 40, 60 và 80 đơn vị Hãyxác định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận/ đơn vị sảnphẩm bán ra là 2, 4 và 3 (đơn vị tiền tệ) cho các sản phẩm loại I, II, III

Gỉa sử có một khách hàng muốn mua lại các đơn vị nguyên liệu loại A, B và

C Bài toán đặt ra là cần định giá các đơn vị nguyên liệu Rõ ràng rằng giá các

nguyên liệu được quy định bởi giá trị của sản phẩm mà chúng tạo nên Nếu các sảnphẩm này mang lại lợi nhuận lớn trên thị trường thì giá ước định các nguyên liệunày phải cao, còn nếu trái lại thì giá ước định của chúng phải thấp Mặt khác, lợiluận của các sản phẩm khác thu được trên thị trường lại phụ thuộc vào nhiều yếu tốnhư: giá các sản phẩm được bán trên thị trường (đã được thị trường chấp nhận),lượng dự trữ nguyên liệu hiện có, hệ số chi phí sản xuất,

Như vậy, giá ước định chi phí nguyên liệu A,B,C phụ thuộc vào:

- Hệ số hàm mục tiêu của bài toán gốc: 1 2 3

Xét ràng buộc thứ nhất,vế trái là 1 2 3

chính là số tiền khách hàngphỉa bỏ ra để mua 3 đơn vị nguyên liệu loại A, 2 đơn vị nguyên liệu loại B và 1đơn vị nguyên liệu loại C Đây là số đơn vị nguyên liệu cần thiết để sản xuất ramột đơn vị sản phẩm loại I Rõ ràng rằng người khách hàng không thể mua được

số nguyên liệu này thấp hơn lợi nhuận mà một đơn vị sản phẩm loại A mang lại khiđược bán ra thị trường (2 đơn vị tiền tệ) điều này dẫn đến ràng buộc thứ nhất

2.5Giải bài toán có dạng đặc biệt

Bài 1 Xét qui hoạch tuyến tính:

−

→ + +

=

0 x , 0 x , 0 x

, 1 x

x

, 1 x x

, 1 x x

min, x

x x f

3 2

1

2 1

3 1

3 2

2 2 1

Chứng tỏ rằng bài toán này trùng với bài toán đối ngẫu của nó (bài toán tựđối ngẫu)

Giải

Giả sử bài toán g’(y) sau đây trùng với bài toán gốc: