các bài toán về cơ sở chiều và hạng của một hệ vecto

Đại số tuyến tính nâng cao luôn là những bài toán khó, hóc búa, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở học sinh, sinh viên, cũng như các giáo viên bộ môn Toán. Việc tìm ra lời giải các bài toán ở mức độ khó thì không đơn giản với bất kì ai. Với các sinh viên chuyên ngành toán thì việc nghiên cứu tìm tòi ra những kinh nghiệm để giải toán Đại số tuyến tính nâng cao là rất cần thiết.Trong đó Không gian vectơ là một phần quan trọng trong chương trình của môn đại số tuyến tính nâng cao này.Nó cũng được đề cập dưới nhiều mảng kiến thức với các hình thức đa dạng và phong phú. Khá nhiều bài toán được đặt ra khi nghiên cứu về không gian véctơ như: các bài toán chứng minh một hệ là không gian vectơ, chứng minh một hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính…, trong số đó thì cơ sở, chiều, và hạng của một hệ vectơ là một trong những bài toán có tầm quan trọng trong nội dung nghiên cứu Không gian vectơ, là cơ sở, nền tảng làm tiền đề cho các chương trình học liên quan ở trong các môn học khác.

Đề tài: :“ Các bài toán về cơ sở, chiều và hạng của một hệ véctơ”.

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn học cơ bản mang tính trừu tượng, khái quát,nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gủi trong mọi lĩnh vực của đờisống xã hội, trong khoa học và ứng dụng

Bộ môn Đại số tuyến tính nâng cao được xuất phát từ môn đại số tuyến tính, làmột trong những môn khó của chương trình giảng dạy chuyên ngành Toán, và làmột môn học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng sángtạo cho người học

Tuy nhiên các bài toán về Đại số tuyến tính nâng cao luôn là những bài toánkhó, hóc búa, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở học sinh, sinh viên, cũng như các giáo viên

bộ môn Toán Việc tìm ra lời giải các bài toán ở mức độ khó thì không đơn giảnvới bất kì ai Với các sinh viên chuyên ngành toán thì việc nghiên cứu tìm tòi ranhững kinh nghiệm để giải toán Đại số tuyến tính nâng cao là rất cần thiết

Trong đó "Không gian vectơ" là một phần quan trọng trong chương trình củamôn đại số tuyến tính nâng cao này.Nó cũng được đề cập dưới nhiều mảng kiếnthức với các hình thức đa dạng và phong phú Khá nhiều bài toán được đặt ra khinghiên cứu về không gian véctơ như: các bài toán chứng minh một hệ là khônggian vectơ, chứng minh một hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính…,trong số đó thì "cơ sở, chiều, và hạng của một hệ vectơ" là một trong những bàitoán có tầm quan trọng trong nội dung nghiên cứu "Không gian vectơ", là cơ sở,nền tảng làm tiền đề cho các chương trình học liên quan ở trong các môn học khác

Với lý do nêu trên tôi chọn đề tài: “ Các bài toán về cơ sở, chiều và hạng của một hệ vectơ”.

Phạm vi nghiên cứu: không gian vectơ và một số bài toán về cơ sở, chiều vàhạng của một hệ vectơ.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích tổng hợp, lí thuyết

5 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có haichương

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tôi đã hệ thống những kiến thức cơ bản về cơ sở, chiều vàhạng nhằm làm cơ sở cho chương 2

Chương 2: Một số bài toán về cơ sở, chiều và hạng của không gian vectơNội dung của chương 2 là nội dung chính của đề tài, trong chương này tôi đã

sử dụng cơ sở lý thuyết để giải quyết một số bài toán nâng cao, tiêu biểu

Các bài toán ở đây được chọn lọc và sắp xếp nhằm làm nổi bật ý định của tácgiả

2.1 Bài toán về chứng minh cơ sở và đổi cơ sở

2.2 Bài toán về chiều của không gian vectơ

2.3 Bài toán về hạng của ma trận

2.4 Một số bài tập tương tự

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Không gian vectơ

V V V

x

X V K

2) Có0 V

 sao cho 0   0 ,3) Có ' V

1 , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó V được gọi là một không gian vectơ trên trường K hay K- không gianvectơ

Khi K R, thì V được gọi là không gian vectơ thực, K = C thì V được gọi là

không gian vectơ phức

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là vô hướng

1.1.2 Chú ý

 Các phần tử của V được gọi là các vectơ

Phần tử  được gọi là vectơ không,  được gọi là phần tử đối của  và được

kí hiệu là  

Ta có:         và gọi là hiệu của hai vectơ  ,

 Khi  (Tương ứng K  ) ta nói V là không gian vectơ thực (tương ứngkhông gian vectơ phức)

Khi ta nói V là một không gian vectơ, ta ngầm hiểu rằng ta đang nói đến Vcùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V và phép nhân một phần tửcủa V với một phần tử của K

 Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ kí hiệu phép nhân một phần

tử của x thuộc trường K với một vectơ là x thay vì viết x.

và cùng độ dài thì bằng nhau, còn phép cộng được định nghĩa theo quy tắc hìnhbình hành Khi đó việc kiểm tra các tính chất trên là nhưng bài tập đơn giản củahình học sơ cấp Vậy các vectơ tự do trên mặt phẳng hoặc trong không gian lậpthành các không gian vectơ trên trường số thực

iii) Nếu Klà trường con của L và V là không gian vectơ trên Lthì nó cũng làkhông gian vectơtrên K Chẳng hạn  vừa là không gian vectơ trên chính nó, vừa

là không gian vectơ trên , và cũng là không gian vectơ trên 

 i Tương tự, tập tất cả các đa thức một biến K x  bậc nhỏ hơn hoặc bằng một

số n 0  cho trước là một không gian vectơ

 ii Tuy nhiên tập tất cả các đa thức một biến K x  bậc lớn hơn hoặc bằng một

số n 0  cho trước với phép cộng đa thức thông thường và phép nhân đa thức vớiphần tử của trường nêu trên không phải là một không gian vectơ

Lí do ở đây là tổng của hai đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng n có thể có bậc nhỏhơn n, nên phép cộng thông thường không phải là phép toán

 ii Tập hợp các hàm số thực xác định trên đoạn thẳng a,b , a b  với cácphép cộng và phép nhân một số thông thường rõ ràng thỏa mãn cả 8 tiên đề trênnếu vectơ 0 là hàm đồng nhất bằng 0 và vectơ đối của f x  là  f x  Vậy nó làmột không gian vectơ

Hệ quả Nếu U là không gian con của V, thì 0 U 

Ví dụ 1.1.3 Cho V ,i I i  i là một họ các không gian vectơ trên trường K.Tậpcon U  i IV icủa tích đề các V  i I V i gồm các phần tử u  ui i I,



 sao cho u i  0 itrừ một số hữu hạn chỉ số i I  là không gian con của V

Thật vậy nếu u u   ui i I  U với tập chỉ số A i, u i  0 i hữu hạn và   K,thì  ui  0 với mọi i A  nên   u U Nếu v  vi i I  U là một vectơ thứ hai củatập chỉ số B A  i, v i  0 i hữu hạn thì u v  i  u i  v i  0 i với mọi i A   B Do

A  Bcũng hữu hạn nên u v U   Vậy U đóng với cả hai phép toán Do đó nó làkhông gian con theo bổ đề trên

Ta gọi U là tổng trực tiếp ngoài của các không gian V i Chú ý rằng khi I hữuhạn thì khái niệm tổng trực tiếp ngoài trùng với khái niệm tích Đề-các tức là

ChoVlà không gian vectơ trên trường K

Ta nói các vectơ v , , v 1 n phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại  1 , ,   n K khôngđồng thời bằng 0 sao cho 1 1 v , ,  n n v  0

Ta nói tập các vectơ S là phụ thuộc tuyến tính nếu có chứa một hệ hữu hạnvectơ phụ thuộc tuyến tính

Tập vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính

Biểu thức  1 1 v , ,  n n v được gọi là tổ hợp tuyến tính của các phần tử v , , v 1 n.Nếu v là tổ hợp tuyến tính của v , , v 1 nthì ta cũng nói v biểu diễn tuyến tính qua

v , , v

Từ định nghĩa trên ta có các phương pháp:

Phương pháp 1 Để chứng tỏ hệ Sphụ thuộc tuyến tính thì phải chỉ ra bộ

a , ,a không đồng thời bằng không thỏa mãn hệ thức trên

Một cách đối ngẫu, muốn chứng minh một tậpS các vectơ độc lập tuyến tính,thông thường ta giả sử có một quan hệ tuyến tính

Chú ý Từ định nghĩa ta thấy một hệ vô hạn vectơ là độc lập tuyến tính khi và

chỉ khi mọi tập hữu hạnvectơ của nó độc lập tuyến tính Một hệ vô hạn vectơ là phụthuộc tuyến tính khi và chỉ khi nó chứa một tập hữu hạnvectơ phụ thuộc tuyến tính

Như vậy, khi xét tính độc lập tuyến tính của một hệ vectơ vô hạn vectơ, thực

chất ta vẫn làm việc với hữu hạn vectơ

Ví dụ 1.2.1 Hãy xét xem ba vectơ 1, 2,1 , 2,1, 1 , 7, 4, 1         trong 3

 có độclập tuyến tính hay không?

x 2y 7z 0 x 2y 7z 0

x 2y 7z 0 2x y 4z 0 5y 10z 0

Vậy 3 vectơ trên phụ thuộc tuyến tính

Phương pháp 2 Các kết quả sau đây nhiều khi cũng cho phép thu được lời

giải ngắn gọn:

Hệ quả 1.2.1.

- Tập con của một tập độc lập tuyến tính là độc lập tuyến tính

- Một tập chứa một tập phụ thuộc tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính

Bổ đề 1.2.1 TậpSphụ thuộc tuyến tính khi nó chứa mộtvectơ biểu diễn tuyếntính qua các vectơ còn lại

Phương pháp 3 Dựa trên kết quả về chiều ở mục tiếp theo:

Hệ quả 1.2.2 NếudimV n  thì n 1  mọi tập từ phần tử trở lên đều phụ thuộctuyến tính, còn tập có tối đa n 1  phần tử không thể là hệ sinh

Phương pháp 4 Dựa trên một kết quả cơ bản trong lý thuyết định thức các

ma trận

Định lí 1.2.1 Một ma trận vuông có định thức khác không khi và chỉ khi các

vectơ dòng (tương ứng cột) của nó độc lập tuyến tính

Vậy v , v , v 1 3 4 phụ thuộc tuyến tính

Do đó hệ ban đầu phụ thuộc tuyến tính.( theo phương pháp 2)

Đặt v 0,1,0,0 Từ các vectơ trên ta lập được ma trận:

Ta thấy đây là ma trận tam giác trên nên A  2I 0 

Vậy 4 vectơ vừa nói là độc lập tuyến tính

Do đó v , v , v 1 2 3 độc lập tuyến tính

Sử dụng phương pháp 2 và 4

Định nghĩa 1.2.2 ChoS là một tập con của không gian vectơV Ta gọi tậphợp của các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộcS là bao tuyến tính củaS và kíhiệu E S  SlàE S  S được gọi là hệ sinh của nếuE S   V Ta nói hệ sinhS là tốitiểu nếu nó không chứa một tập con thực sự cũng là hệ sinh

Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạnsinh hay không gian hữu hạn chiều

Bổ đề 1.2.2 E S là không gian con nhỏ nhất củaV chứa S

Ví dụ 1.2.4.

- Nếu S  hoặc S  0 thì E S   0

- Tập các vectơ e 1 1,0, ,0 ,e 2 0,1, ,0 ,e n 0,0, ,1lập thành một hệ sinhcủa không gian K n, vì mọi vectơ x x , , x 1 n có thể viết thành x x e  1 1  x e  n n

- Nếu S là hệ sinh của V thì mọi tập chứa nó cũng là hệ sinh của V

Nói riêng Vlà hệ sinh V

Nếu sử dụng định thức thì ta có thêm phương pháp:

Phương pháp 3 Điều kiện cần và đủ để m vectơ dòng của ma trận

A M m, n,K m n   sinh ra K nlà A có định thức con cấp n khác 0 Tương tự, nvéctơ cột của ma trận A M m,n;K n m       sinh ra K m nếu Acó định thức concấp m khác 0

Ví dụ 1.2.5 Cho 4 véc tơ u 1, 2,3 , v 0, 2,1 , w 0,0, 4 ,z 2,4,5

Ta sẽ chứng tỏ chúng sinh ra R 3theo phương pháp 1, ta xét hệ phương trình:

Theo phương pháp 2, ta thấy e 3  w / 4,e 2  v / 2 w / 8,e  3   u v w / 2 

Vì e ,e ,e 1 2 3 là hệ sinh ,nênu, v, w, z là hệ sinh

Mối liên hệ đẹp đẽ và bất ngờ của 2 khái niệm chính xét trong mục này là:

Định lý 1.2.2 Tập S là hệ sinh tối thiểu của E S  khi và chỉ khi S độc lậptuyến tính

1.3 Cơ sở của một không gian vectơ

1.3.1 Định nghĩa

Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một không gian vectơ được gọi là một cơ

sở của không gian vectơ

kn n

Hay k1( 1 , 0 , , 0 )  k2( 0 , 1 , , 0 )   kn( 0 , 0 , , 1 )  ( 0 , 0 , 0 )

thì k1  k 2   k n  0

Những điều trên chứng tỏ e ,e , ,e                             1 2               n

là hệ sinh độc lập tuyến tính của Rn

Vậy nó là một cơ sở của Rnvà được gọi là cơ sở chính tắc

1.3.3 Những tính chất của cơ sở trong không gian véctơ

V là một không gian vectơ, Sv1, v2, , vn là một họ gồm n vectơ

i, Nếu V là một không gian n chiều, S là một cơ sở thì  x  V có biểu diễnduy nhất

n n 2

2 1

V là một không gian n chiều, Su1, u2, , un  V Điều kiện cần và đủ để họ

S là cơ sở của V là A  0, A xác định bởi

n n 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

u

u u

u

u u

u

u u

٭Định lý 5

V là một không gian n chiều, nếu S=v1, v2, , vn  V là một họ độc lập tuyếntính và r < n thì có thể tìm được n-r vectơ vr1 , , v n sao cho họv1, , vr, vr1, vn

là một cơ sở của V

Ví dụ 1.3.3.

Xét trong không gian R3các vectơ hình học gốc tại điểm xác định 0 có sốchiều n 3, hai vectơ không đồng phương là độc lập tuyến tính Nếu ta thêm vàohai vectơ đó một vectơ thứ ba không đồng phẳng với chúng thì được một cơ sở của

R3

٭Hệ quả

i, Bất kỳ hệ sinh nào cũng chứa một cơ sở

ii, Bất kỳ tập độc lập tuyến tính nào cũng có thể mở rộng thành cơ sở.

٭Định lý 6

Cho S là hệ vectơ của không gian vectơ V Các điều kiện sau là tương đương:

i) S là cơ sở của V

ii) S là một hệ sinh cực tiểu

iii) S là một hệ độc lập tuến tính cực đại

iv) S vừa là hệ sinh, vừa độc lập tuyến tính

Khi dim V n   thì các điều kiện sau là tương đương với :

i) Cơ sở của không gian C trên R là 1 và i vì mọi số phức đều được biểu diễn

dưới dạng a  bi  a 1  b i. và a 1  b i  0chỉ khi a  b  0 Nói riêng dimRC  2

ii) Trong không gian vectơR  K x với mỗi n N chọn một đa thứcf ncóbậc đúng bằng n Tập S  f0, f1, f2  lập thành một cơ sở của R Nói riêng

Cho f  R là một đa thức tuỳ ý, giả sử đa thức này có bậc là r và hệ số caonhất là a, còn hệ số cao nhất của f rlà b Khi đó ta có thể viết f g

b

a

f  r  , trong đó g

là đa thức bậc nhỏ hơn r Bằng quy nạp ta có thể biểu diễn tuyến tính qua S, tức là

S là hệ sinh Vậy S là cơ sở của R (theo điều kiện iv của định lý)

di r   Vì r  1 vectơ f 0 , , f r  Rrvà độc lập tuyến tính nên suy ra nó là cơ

sở của Rr Do đó nó cũng là hệ sinh, tức là f biểu diễn tuyến tính qua r  1 vectơ

đầu của S Vậy S là hệ sinh, S là cơ sở của R (theo điều kiện iv của định lý).

iii) Giả sử e 1 , e 2 , e 3là một cơ sở của không gian vectơ V Khi đó

1 3 3 2

K-1.4 Bài toán đổi cơ sở

1.4.1 Toạ độ của một vectơ đối với một cơ sở

٭Định nghĩa

Nếu  1 , 2 , , n là một cơ sở của không gian vectơ V thì mỗi   V



có cáchbiểu diễn duy nhất dưới dạng

n n 2

2 1

Các số a1 , a 2 , , a nđược gọi là các toạ độ của 

 đối với cơ sở đã cho

Để nói rằng a1 , a 2 , , a nlà các toạ độ của 

, ta viết ( a1, a2, , an)

Ví dụ 1.4.1.

Trong R3xét hai hệ cơ sở

) 1 ( )

1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 ,

1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ),

0 , 0 ,

1 , ,

Là hai cơ sở của một không gian vectơ V và

n 1 2

21 1 11

22 1 12

n 1 n

n 1

n

2 n

2 2

2 1

n 1

1 2 11

a

a a

.

a

a a

a

a a

được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở   sang cơ sở  

Ví dụ 1.4.2.

Trong R3xét hai cơ sở

) 1 ( ) 1 , 0 , 0 ( ),

0 , 1 , 0 ( ),

0 , 0 , 1

0 , 1 , 1 ( ),

0 , 0 , 1

3 2 1

3 2 1

2      0 



3 2 1

1 1 0

0 1

ii) T 1 là ma trận chuyển cơ sở từ   sang cơ sở  '

a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ   



sang   

 '

b) Tìm  v  ' nếu v= 





 2 7

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ ( ) sang ( '

2 1

Chú ý rằng ma trận này cũng có thể tìm được bằng cách biểu diễn 

1 và 

2

0 2 0

1 7 2

7 1 1 2 1

1.4.4 Liên hệ giữa các toạ độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác nhau

Giả sử cho hai cơ sở ( )và ( '

 ) của không gian vectơ V, liên hệ với nhau bởicác đẳng thức  

 '

i ij j

y a

j 1jn

n 2

12 1 11

j 2jn

n 2

22 1 21

j njn

nn 2

2 1 1

Số các vectơ của một cơ sở của không gian vectơ V được gọi là số chiều của V.

Cho V là một không gian vectơ S =u 1 , u 2 , , u p V thế thì

W = span(S) là một không gian con của V có số chiều bằng 1 và mọi họ r độclập tuyến tính rút từ S là một cơ sở của W

Định lý 3

Giả sử L, M là các không gian con của không gian vectơ hữu hạn chiều, khi

đó ta có dimM L dimM L dimM  dimL

4 5

1

4 2

0

0 3

4 5

1

4 2

0

0 3

1

4 2

0

0 3

0

0 0

0

2 1

0

0 3

1

Vậy dim A = 2 và  u1, u2 là một cơ sở

Cho V1 , V 2 , , V n là các không gian con hữu hạn chiều Khi đó

dim (V1+V2…+Vn )  dim V1  V 2   dim V n và dấu bằng xảy ra khi vàchỉ khi V1  V 2   V n là tổng trực tiếp, tức là V1  V 2   V n=V 1  V 2   V n

Hệ quả 4

i) Không gian con của một không gian hữu hạn chiều là hữu hạn chiều

ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.

Ví dụ 1.5.2.

Giả sử V1 và V2 là hai không gian con khác nhau chiều 4 của không gianvectơ V có chiều 6 Hãy xác định các giá trị có thể có của dim (V1 V2)

Giải

Vì V1  V 2 và không thể chứa trong nhau nên dim (V1 V2)  5

Do đó dim (V1 V2) chỉ có thể là 5 hoặc 6 Theo định lý về chiều của tổng tacó:

dim (V  V2)  dim V1 dim V2  dim ( V1 V2)  8  dim ( V1 V2)=2 hoặc 3

1.6 Hạng của không gian vectơ

1.6.1 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ

Định nghĩa

Cho hệ gồm m vectơ của không gian vectơ V, m 1 Số vectơ của hệ con độclập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của hệ vectơ độc lập đã cho

Hệ quả

i) Nếu thêm vào một hệ hữu hạn vectơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ thì

hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho

ii) Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương có cùng hạng.

1.6.2 Hạng của ma trận

Định nghĩa 1

m 1

m

n 2

2 2 21

n 1

1 2

1 1

a a

a

a a

a

a

a a

Coi mỗi dòng của ma trận như một vectơ trong không gian vectơ Kn Ta gọihạng của hệ vectơ dòng:

) a , , a , a

0 4

0 2 1

0 0 3

0 k

2

0 k

k 3

3 2 1

Trái lại ta có một định thức cấp s+1  0.Ta tiếp tục cách làm như trên Vì sốdòng của ma trận hữu hạn nên ắt tới một lúc tìm được một định thức con cấp r màmọi định thức cấp r  1 chứa nó đều bằng 0 Hạng của ma trận bằng r.

10 0

9 6

7 1

8 1

4 2

1 0

3 1

4 3

2 1

Giải

Ta có D2 11 23



  0Xét các định thức cấp 3 chứa D2 :