các bài toán về cơ sở chiều và hạng của một hệ vecto

Đại số tuyến tính nâng cao luôn là những bài toán khó, hóc búa, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở học sinh, sinh viên, cũng như các giáo viên bộ môn Toán. Việc tìm ra lời giải các bài toán ở mức độ khó thì không đơn giản với bất kì ai. Với các sinh viên chuyên ngành toán thì việc nghiên cứu tìm tòi ra những kinh nghiệm để giải toán Đại số tuyến tính nâng cao là rất cần thiết.Trong đó Không gian vectơ là một phần quan trọng trong chương trình của môn đại số tuyến tính nâng cao này.Nó cũng được đề cập dưới nhiều mảng kiến thức với các hình thức đa dạng và phong phú. Khá nhiều bài toán được đặt ra khi nghiên cứu về không gian véctơ như: các bài toán chứng minh một hệ là không gian vectơ, chứng minh một hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính…, trong số đó thì cơ sở, chiều, và hạng của một hệ vectơ là một trong những bài toán có tầm quan trọng trong nội dung nghiên cứu Không gian vectơ, là cơ sở, nền tảng làm tiền đề cho các chương trình học liên quan ở trong các môn học khác.

Đề tài: :“ Các toán sở, chiều hạng hệ véctơ” MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học mơn học mang tính trừu tượng, khái qt, mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gủi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học ứng dụng Bộ môn Đại số tuyến tính nâng cao xuất phát từ mơn đại số tuyến tính, mơn khó chương trình giảng dạy chun ngành Tốn, mơn học có tác dụng lớn việc rèn luyện tư logic khả sáng tạo cho người học Tuy nhiên toán Đại số tuyến tính nâng cao ln tốn khó, hóc búa, đòi hỏi tư nhiều học sinh, sinh viên, giáo viên mơn Tốn Việc tìm lời giải tốn mức độ khó khơng đơn giản với Với sinh viên chun ngành tốn việc nghiên cứu tìm tòi kinh nghiệm để giải tốn Đại số tuyến tính nâng cao cần thiết Trong "Khơng gian vectơ" phần quan trọng chương trình mơn đại số tuyến tính nâng cao này.Nó đề cập nhiều mảng kiến thức với hình thức đa dạng phong phú Khá nhiều toán đặt nghiên cứu không gian véctơ như: tốn chứng minh hệ khơng gian vectơ, chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính…, số "cơ sở, chiều, hạng hệ vectơ" tốn có tầm quan trọng nội dung nghiên cứu "Không gian vectơ", sở, tảng làm tiền đề cho chương trình học liên quan môn học khác Với lý nêu chọn đề tài: “ Các toán sở, chiều hạng hệ vectơ” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống kiến thức không gianvectơ để vận dụng vào giải số dạng tập nâng cao - Từ rèn luyện trau dồi khả tư hứng thú việc giải tập không gian vectơ Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: không gian vectơ số toán sở, chiều hạng hệ vectơ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích tổng hợp, lí thuyết Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có hai chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, hệ thống kiến thức sở, chiều hạng nhằm làm sở cho chương Chương 2: Một số toán sở, chiều hạng không gian vectơ Nội dung chương nội dung đề tài, chương sử dụng sở lý thuyết để giải số toán nâng cao, tiêu biểu Các toán chọn lọc xếp nhằm làm bật ý định tác giả 2.1 Bài toán chứng minh sở đổi sở 2.2 Bài toán chiều khơng gian vectơ 2.3 Bài tốn hạng ma trận 2.4 Một số tập tương tự Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa    Cho tập hợp V mà phần tử ký hiệu ,  ,  trường K mà phần tử ký hiệu x, y, z … Giả sử V có hai phép toán: - Phép toán cộng: V V  V        ,        - Phép nhân (tích ngoại): K V  X    x,    x      thỏa mãn tính chất sau (cũng thỏa mãn tiên đề sau): Với     , ,  V với x, y  K :              (   ) , 1)         � 2) Có �V cho    0,      3) Có '  V cho '    ' ,     4)      ,    5)  x  y   x  y  ,     6) x     x  x  ,      7) x  y    xy   ,     8)   , phần tử đơn vị trường K Khi V gọi khơng gian vectơ trường K hay K- không gian vectơ Khi K R, V gọi khơng gian vectơ thực, K = C V gọi không gian vectơ phức Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng 1.1.2 Chú ý  Các phần tử V gọi vectơ Phần tử  gọi vectơ không, � gọi phần tử đối  kí hiệu    Ta có:          gọi hiệu hai vectơ ,   Khi   �(Tương ứng K  � ) ta nói V khơng gian vectơ thực (tương ứng khơng gian vectơ phức) Khi ta nói V không gian vectơ, ta ngầm hiểu ta nói đến V với hai phép tốn phép cộng hai phần tử V phép nhân phần tử V với phần tử K  Để đơn giản cách viết, từ trở ta kí hiệu phép nhân phần tử x thuộc trường K với vectơ  x thay viết x. Ví dụ 1.1.1 i) Từ định nghĩa ta thấy trường K khơng gian vectơ Ở phần tử K vừa đóng vai trò vectơ, vừa phần tử vô hướng ii) Tập vectơ tự mặt phẳng không gian thõa mãn tất tiên đề Để kiểm tra điều đó, ta cần phải ý vectơ phương độ dài nhau, phép cộng định nghĩa theo quy tắc hình bình hành Khi việc kiểm tra tính chất tập đơn giản hình học sơ cấp Vậy vectơ tự mặt phẳng không gian lập thành không gian vectơ trường số thực iii) Nếu K trường L V khơng gian vectơ L không gian vectơtrên K Chẳng hạn �vừa khơng gian vectơ nó, vừa khơng gian vectơ �, không gian vectơ � Ví dụ 1.1.2  i  Xét tập đa thức biến K  x  với phép cộng đa thức thong thường phép nhân đa thức với phần tử trường Vì tổng hai đa thức đa thức, tích đa thức với phần tử trường lại đa thức, nên phép cộng phép nhân thông thường thực phép toán K  x  Đa thức đóng vai trò vectơ khơng, đa thức đối vectơ đối Các tiên đề lại tính chất quen biết đa thức Vậy K  x  lập thành không gian vectơ)  i�  Tương tự, tập tất đa thức biến K  x  bậc nhỏ số n �0 cho trước không gian vectơ  ii�  Tuy nhiên tập tất đa thức biến K  x  bậc lớn số n �0 cho trước với phép cộng đa thức thông thường phép nhân đa thức với phần tử trường nêu khơng phải khơng gian vectơ Lí tổng hai đa thức bậc lớn n có bậc nhỏ n, nên phép cộng thông thường phép toán  ii  Tập hợp hàm số thực xác định đoạn thẳng  a, b , a  b với phép cộng phép nhân số thông thường rõ ràng thỏa mãn tiên đề vectơ hàm đồng vectơ đối f  x  f  x  Vậy không gian vectơ Hệ Nếu U không gian V, �U Ví dụ 1.1.3 Cho Vi ,i �Ii họ không gian vectơ trường K Tập U  �i�I Vi tích đề V  �i�I Vi gồm phần tử u   u i  i�I , cho u i  0i trừ số hữu hạn số i �I không gian V Thật u  u   u i  i�I �U với tập số A   i, u i �0i  hữu hạn  �K ,  u  i  với i �A nên u �U Nếu v   v i  i�I �U vectơ thứ hai tập số B  A   i, vi �0i  hữu hạn  u  v  i  u i  vi  0i với i �A �B Do A �B hữu hạn nên u  v �U Vậy U đóng với hai phép tốn Do không gian theo bổ đề Ta gọi U tổng trực tiếp ngồi khơng gian Vi Chú ý I hữu hạn khái niệm tổng trực tiếp trùng với khái niệm tích Đề-các tức �in1 Vi  �in1 Vi 1.2 Độc lập tuyến tính – Hệ sinh Định nghĩa 1.2.1 Cho V không gian vectơ trường K Ta nói vectơ v1 , , v n phụ thuộc tuyến tính tồn 1 , ,  n �K không đồng thời cho 1v1 , ,  n  Ta nói tập vectơ S phụ thuộc tuyến tính có chứa hệ hữu hạn vectơ phụ thuộc tuyến tính Tập vectơ khơng phụ thuộc tuyến tính gọi độc lập tuyến tính Biểu thức 1v1 , ,  n v n gọi tổ hợp tuyến tính phần tử v1 , , v n Nếu v tổ hợp tuyến tính v1 , , v n ta nói v biểu diễn tuyến tính qua v1 , , v n Từ định nghĩa ta có phương pháp: Phương pháp Để chứng tỏ hệ S phụ thuộc tuyến tính phải a1 , , a n không đồng thời không thỏa mãn hệ thức Một cách đối ngẫu, muốn chứng minh tập S vectơ độc lập tuyến tính, thơng thường ta giả sử có quan hệ tuyến tính 1v1 , ,  n v n v1 , , v n phần tử khác S Sau chứng minh a1   a n  Nhìn chung hai trường hợp, để xét tính độc lập tuyến tính hệ v1 , , v n vectơ ta đến giải hệ phương trình tuyến tính với ẩn 1 , ,  n Hệ độc lập tuyến tính hệ phương trình tương ứng có nghiệm tầm thường Chú ý Từ định nghĩa ta thấy hệ vơ hạn vectơ độc lập tuyến tính tập hữu hạnvectơ độc lập tuyến tính Một hệ vơ hạn vectơ phụ thuộc tuyến tính chứa tập hữu hạnvectơ phụ thuộc tuyến tính Như vậy, xét tính độc lập tuyến tính hệ vectơ vô hạn vectơ, thực chất ta làm việc với hữu hạn vectơ Ví dụ 1.2.1 Hãy xét xem ba vectơ  1, 2,1 ,  2,1, 1 ,  7, 4, 1 �3 có độc lập tuyến tính hay khơng? Giải Để giải này, ta cố gắng tìm quan hệ tuyến tính chúng, tức xét xem có tồn x, y, z ��khơng đồng thời không cho: x  1, 2,1  y  2,1, 1  z  7, 4, 1   0, 0,  Do x  1, 2,1  y  2,1, 1  z  7, 4, 1   x  2y  7z, 2x  y  4z, x  y  z  Đẳng thức tương đương với hệ phương trình �x  2y  7z  �x  2y  7z  �x  2y  7z  � � 5y  10z  � � �2x  y  4z  � � �y  z  �x  y  z  � 3y  6z  � � Hệ cuối có nghiệm khơng tầm thường Ta chọn: z  � y  2, x  3 Vậy vectơ phụ thuộc tuyến tính Phương pháp Các kết sau nhiều cho phép thu lời giải ngắn gọn: Hệ 1.2.1 - Tập tập độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính - Một tập chứa tập phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Bổ đề 1.2.1 Tập S phụ thuộc tuyến tính chứa mộtvectơ biểu diễn tuyến tính qua vectơ lại Phương pháp Dựa kết chiều mục tiếp theo: Hệ 1.2.2 Nếu dimV  n n  tập từ phần tử trở lên phụ thuộc tuyến tính, tập có tối đa n  phần tử hệ sinh Phương pháp Dựa kết lý thuyết định thức ma trận Định lí 1.2.1 Một ma trận vng có định thức khác khơng vectơ dòng (tương ứng cột) độc lập tuyến tính Ví dụ 1.2.2 Xét xem vectơ v1   1, 2,3, 4  , v   3, 0, 7,5  , v3   2, 4,9,3  , v   1, 6,6,  ��4 Có độc lập tuyến tính hay khơng? Giải Nhận xét: v  v1  v3 Vậy v1 , v3 , v phụ thuộc tuyến tính Do hệ ban đầu phụ thuộc tuyến tính.( theo phương pháp 2) Ví dụ 1.2.3 Xét xem vectơ v1   1, 2,3,  , v   0, 0, 7,5  , v3   0, 0,0,3  , v   1, 6, 6,7  ��4 Có độc lập tuyến tính hay khơng? Giải Đặt v   0,1, 0,  Từ vectơ ta lập ma trận: � � A� � � � 3 � 0 � � 7 � � 0 � Ta thấy ma trận tam giác nên A  2I �0 Vậy vectơ vừa nói độc lập tuyến tính Do v1 , v , v3 độc lập tuyến tính Sử dụng phương pháp Định nghĩa 1.2.2 Cho S tập không gian vectơ V Ta gọi tập hợp tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc S bao tuyến tính S kí hiệu E  S S E  S S gọi hệ sinh E  S   V Ta nói hệ sinh S tối tiểu không chứa tập thực hệ sinh Khơng gian vectơ có hệ sinh hữu hạn gọi không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều Bổ đề 1.2.2 E  S không gian nhỏ V chứa S Ví dụ 1.2.4 - Nếu S   S   0 E  S  - Tập vectơ e1   1, 0, ,0  , e2   0,1, ,  , e n   0, 0, ,1 lập thành hệ sinh khơng gian K n , vectơ x   x1 , , x n  viết thành x  x1e1   x n e n - Nếu S hệ sinh V tập chứa hệ sinh V Nói riêng V hệ sinh V Nếu sử dụng định thức ta có thêm phương pháp: Phương pháp Điều kiện cần đủ để m vectơ dòng ma trận A  M  m, n, K   m n  sinh K n A có định thức cấp n khác Tương tự, n véctơ cột ma trận A  M  m, n; K   n m  sinh K m A có định thức cấp m khác Ví dụ 1.2.5 Cho véc tơ u   1, 2,3 , v   0, 2,1 , w   0, 0,  , z   2, 4,5  Ta chứng tỏ chúng sinh R theo phương pháp 1, ta xét hệ phương trình: �x1 � 2x1  2x � � 3x1  4x �  2x  b1  4x  b2  5x  b3 Rõ ràng hệ có nghiệm x  0, x1  b1 , x  b /  b1 , x   b3  3b1  / Vậy, u, v, w, z hệ sinh Theo phương pháp 2, ta thấy e3  w / 4, e  v /  w / 8, e3  u  v  w / Vì e1 , e2 , e3 hệ sinh ,nên u, v, w, z hệ sinh 10 Theo phương pháp 3, định thức 2  , nên u, v, w, z hệ sinh 314 Mối liên hệ đẹp đẽ bất ngờ khái niệm xét mục là: Định lý 1.2.2 Tập S hệ sinh tối thiểu E  S S độc lập tuyến tính 1.3 Cơ sở không gian vectơ 1.3.1 Định nghĩa Một hệ sinh độc lập tuyến tính khơng gian vectơ gọi sở không gian vectơ 1.3.2 Ví dụ Ví dụ 1.3.1 Khơng gian Pn gồm đa thức đa thức f  x  K x  với bậc f  x  n (n số tự nhiên) có sở: 1, x, x , …, x n , xn Thật vậy, đa thức f  x  Pn có dạng: n n f  x  a  a x   a n  x  a n x , a i  R Nếu k  k x   k n  x x  k n x n 0 k k  k n  k n 0 Ví dụ 1.3.2 Trong khơng gian R n xét họ vectơ: ur uu r uu r B=  e1 , e2 , , e n  với e i (0, , 0, 1, 0, , 0)  Là sở  Thật vậy, vectơ  (a , a , , a n )  R viết dạng:      a e  a e   a n e n Hơn nữa, họ B độc lập tuyến tính     k e  k e   k n e n 0 Hay k (1, 0, , 0)  k (0,1, , 0)   k n (0, 0, ,1) (0, 0, 0) k  k   k n 0 ur uu r uu r Những điều chứng tỏ  e1 , e2 , , e n  hệ sinh độc lập tuyến tính R n Vậy sở R n gọi sở tắc 1.3.3 Những tính chất sở không gian véctơ ‫٭‬Bổ đề Giả sử V không gian vectơ, T  y1 , y , , y n  họ gồm n vectơ độc lập tuyến tính V, S  x , x , , x n  họ gồm m vectơ V sinh V Thế n m ‫٭‬Định lý Hai sở tuỳ ý khơng gian vectơ có số vectơ ‫٭‬Định lý Giả sử V không gian vectơ, S  v1 , v , , v n  họ gồm k vectơ V Nếu S sinh V độc lập tuyến tính S sở V ‫٭‬Định lý V không gian vectơ, S  v1 , v , , v n  họ gồm n vectơ i, Nếu V không gian n chiều, S sở x  V có biểu diễn x c1 v1  c v   c n v n ii, Nếu với x  V có biểu diễn x c1 v1  c v   c n v n V khơng gian n chiều S sở ‫٭‬Định lý 1   8 0  12   T  0  6    0 b) Theo công thức khai triển Taylor ta có tọa độ f  x  x  x  f "  2 f  3   sở thứ hai f  2 5, f  2 10, 6, 1 2.2 Bài tốn chiều khơng gian vectơ Bài tốn a) Tìm sở chiều tập ma trận vng đối xứng cấp n b) Tìm sở số chiều tập ma trận vuông đối xứng lệch ( gọi ' phản đối xứng, tức a ij  a ji , với i, j cấp n Giải a) Cơ sở tập ma trận vuông đối xứng là: E1, E , , E n ; ij , i  j   E i ma trận có phần tử vị trí đường chéo  i, j 1, lại 0;  ij có phần tử  i, j  j, i  1, lại Do khơng n (n  1) b) Cơ sở tập ma trận vuông đối xứng lệch cần tìm tập A ij , i  j gian có chiều   A ij có phần tử  i, j 1,  j, i   , cong lại Do khơng gian có chiều n (n  1) Bài toán a) Tìm số chiều khơng gian vectơ Mat  m, n , Mat n  trường R b) Gọi S n  tập hợp ma trận đối xứng cấp n (tức ma trận A  a ij  Mat  n  mà a ij a ji ) Chứng minh S n  không gian vectơ Mat  n  Tìm số chiều Giải   a) Dễ thấy ma trận E ij , i m,  j n ma trận có phần tử dòng i cột j 1, phần tử khác sở Mat  m, n  Do dim Mat (m, n ) m.n, dim Mat  n  n b) Mỗi ma trận đối xứng cấp n hoàn toàn xác định số a ij ,   i  j n nên đồng với R-không gian vectơ R p với p  Vậy số chiều cần tìm n  n  1 n  n  1 Bài toán Chứng minh tập hàm khả vi  a , b thoả mãn f '  4f 0 tạo thành không gian C  a , b Tìm số chiều sở Giải Gọi W tập hàm f  C a , b khả vi  a , b thoả mãn phương trình vi phân: f '  4f 0 ' ' Rõ ràng W  C a, b , giả sử f  W, g  W tức f 4f 0, g  4g 0 Khi  f  g   4 f  g  f '  4f  g '  4g 0  0 ' Vậy f  g  W, kf  W Suy W không gian C  a , b Nghiệm tổng quát phương trình vi phân f ' 4f 0 f ce  x , c số Nghĩa   W  f | f ce  x Vậy u e  x sinh W độc lập tuyến tính Cho nên khơng gian W có số chiều nhận u e  x làm sở Bài toán Cho V không gian R n gồm vectơ thoả mãn x1   x n 0 Hãy tìm sở số chiều V Giải Ta có   V,  ( x1, x , , x n )   x , ,  x n , x , , x n    x , x , , 0    x , 0, x , ,      x n , 0, x n  x   1, 1, ,   x   1, 0, 1, , 0   x n   1, 0, , 1  Ta chọn hệ vectơ  i ; (i 1, n  V)   1,  1, ,0, , 0     1, 0,  1, , 0        1, 0, 0, , 1     Ta xét phương trình k   k    k  n  n  k  k  k n 0 k 0     k2 0  k k  k n 0     k n 0 Suy   độc lập tuyến tính Do   sở phải tìm Từ dim V n  Bài toán Giả sử W1 , W2 hai không gian vectơ không gian vectơ hữu hạn chiều V Chứng minh nếu: dim W1  W2   dim W1  W2  1 tổng W1  W2 trùng với khơng gian cho, giao trùng với khơng gian lại Giải Gọi  e , , e k      dim  W1  W2   nên  sở W1  W2 Vì dim W1  W2    W1  W2 cho e k 1  W1  W2 Khi hệ k 1  e , , e k , e k 1    tạo thành sở W1  W2    Giả sử e k 1  W1 cơng thức dim(W1  W2 )  dim W1  W2  dim W1  dim W2  2k  dim W1  dim W2 Nhưng dim W1 k  1, dim W2 k nên dim W1 k  Và dim W2 k Khi W1  W1  W2  W2 W1  W2 Bài tốn Cho dãy khớp khơng gian vectơ hữu hạn chiều f f f f f   V1   V2      Vn   , n n (nghĩa Im  fi  Ker  fi 1 ,  i 0, , n  Chứng minh dim V1  dim V2     1 n dim Vn 0 (1) Giải Với i 1 , ta có Vi / Im  f i   Vi / Ker f  i  Im  f i   dim Vi dim  Im f i    dim  Im f i  Khi đó,ta có: dim V1  dim V2     1 n dim Vn dim  Im f   dim  Im f1   dim  Im f1   dim  Im f      1 n   dim  Im f n    dim  Im f n   (1) dim Im f     1 n  dim  Im f n  Mặt khác, theo Vn f n   Im  f n  0 f  V1  Im  f  0  dim  Im f  0, dim  Im f n  0 (2) Từ (1) (2), ta suy dim V1  dim V2     1 n dim Vn 0 Bài toán Xác định số chiều không gian P3 gồm đa thức a  a 1x  a x  a x với a 0 Giải  Xét tập W  P P 0  a1x  a x  a x  P3  3 W sinh vectơ P1 x , P x , P x Ba vectơ độc lập tuyến tính vì: Theo giả thiết P1  P2  P3 0 tức x   x  x 0 Khi thay x 1 ta      0 Khi thay x  ta 2  8 0 Kết hợp với    0 , x 1     0 Vậy từ P1  P2  P3 0       Do  P1 , P2 , P3   x, x , x vectơ độc lập tuyến tính P3 Chúng tạo   nên khơng gian P3 có số chiều nhận x , x , x làm sở Bài tốn Trong khơng gian R Chứng minh phận sau: A   x1 , x , x  x1 0 B   x1 , x , x  x 0 Là không gian vectơ con.Hãy xác định A  B, A  B, R / A tìm số chiều chúng Giải A  B   x1 , x , x  x1 x 0 ; dim A  B 1 Nhận    thấy, e 1, 0, 0, e  0, 0,1 sở A,  e 1, 0, 0, e  0, 0,1 sở B Do đó:       A  B  e , e    e , e         e , e , e R , dim A  B 3   Giả sử x  x , x , x  , y  y , y , y   R 3     Hai phần tử  x  ,  y  R / A x1 y1 Do     �� �       e Vậy �1 �là  x    x1, 0,   x1  e   x   R / A ��       sở R / A hay dim R / A 1 Bài tốn Trong khơng gian R xét không gian vectơ W sinh bởi: 1, 0, 0, 2,  0, 2,1,  1,   1, 6, 3,  Z sinh  3, 2, 0,1, 1, 2,1,1 Tìm số chiều W, Z, W  Z, W  Z, R / W Giải Đặt    v 1, 0, 0, , v  0, 2,1,  1, v   1, 6, 3,7    u  3, 0, 2, 0,1, u 1, 2,1,1    Dễ thấy hệ  u , u  độc lập tuyến tính nên dim Z 2 , dim W 3   Từ suy dim R / W 1      Hệ  v , v , v , u  độc lập tuyến tính nên Z  W có số chiều 4.Mặt khác     ta có u  v  v từ suy W  Z  u  nên số chiều   2.3 Bài toán hạng ma trận Bài tốn Cho A ma trận vng cấp n có dạng A a ij a ij i  j    Tìm rank A  Giải Ta xét trường hợp: +) Nếu n 1  A  2  rank A  1 +) Nếu n  ma trận A có dạng:   A    1  n  n  n   n     n  n  Bắt đầu từ dòng thứ ta lấy dòng trước nhân với   1 cộng vào dòng kề sau ta được: 2 1 A    1  n       Lấy dòng thứ nhân với   1 cộng vào tất dòng lại ta được: 2 1 A  0  0  n       Ta thấy ma trận có hàng khác 0, tất hàng lại Nên suy rank  A  2  Ở trường hợp n  ta giải theo cách sau: Tách ma trận A thành   A    1  n  n  n    n         n  n     2  n   n    n     n   n     B  2 n       n    B  Nhận thấy rank  B1  1, rank B  1 Ta có rank  A  rank  B1   rank B  2 Mặt khác ma trận A chứa ma trận có định thức 3 0 Nên suy rank  A  2 Bài toán Giả sử u , v phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ V Chứng minh rằng: rank  u  v   rank u  rank v , rank  u , v  min  rank u , rank v  , rank  uv  def u  def v Giải Ta có: rank  u  v  dim  u  V   v  V   dim u  V   dim v  V  rank  uv dim uv V  dim u  v  V   dim v  V  , Tương tự, ta có rank  uv   dim v  V  Vậy rank  uv  min  rank u , rank v  Mà der uv  dim Ker  uv  Rõ ràng Ker  uv   Ker v Giả sử dim Ker v k , dim Ker  uv  r , x1 , , x k sở Ker v Bổ sung tới sở Ker  uv  x1 , , x k , x k 1 , , x r Ta chứng minh v  x k 1 , , v  x r  hệ thống độc lập tuyến tính thuộc Ker u Thật vậy,  k 1v  x k 1     r v  x r  0 v   k 1 x k 1    r x r  0 , Do y  k 1 x k 1    r x r  Ker v Vì ta có y 0 ,   k 1   r 0 Như dim Ker u r  k , đó: dim Ker  uv  dim Ker u  dim Ker v , hay def  uv  def u  def v Bài tốn Cho P, Q ma trận vng cấp n thỏa mãn điều kiện P P, Q Q E   P  Q  ma trận khả nghịch Chứng minh rank  P  rank Q  Giải Ta có E   P  Q  ma trận khả nghịch, suy det  E   P  Q   0 , nên E   P  Q  ma trận không suy biến Áp dụng tính chất ta có: rank P  rank  E   P  Q .P   rank P. E   P  Q        rank EP  P  QP rank PE  P  PQ  Mà P P  rank   QP  rank   PQ  QP PQ Vậy ta có rank P  rank  PQ  (1) Mặt khác ta lại có rank Q  rank  E   P  Q  Q   rank Q E   P  Q         rank Q  rank EQ  PQ  Q rank Q  PQ  Q rank  PQ   rank Q  rank  PQ  (2) Từ (1) (2) ta có rank P  rank Q  , suy điều phải chứng minh Bài toán Cho ma trận:   n 1 n2 A    2 n  n  n  n  Trong n  N, n  Tìm rank A  n  2n     n  Giải Ta tách ma trận A thành tổng ma trận sau:   n 1 n2 A    2 n  n  n  n  n   2n         n     2  n   0   n n n  n     n   n  n n  n          A  A   n     n  n      Nhận thấy rank  A1  1, rank  A  1 1 2  Ta có rank A  rank A1   rank A  2 Mặt khác ma trận A chứa   4 có định thức khác 2.4 Một số tập tương tự Bài tập Kí hiệu O ij ma trận m-hàng n cột có phần tử hàng thứ i cột thứ j 1, phần tử khác Chứng tỏ O 11 , , O1n , O m1 , O mn lập thành sở M  K; m, n  Tìm toạ độ ma trận tuỳ ý theo sở tìm dim M  K ; m, n  Tìm toạ độ ma trận tuỳ ýtheo sở tìm dim M K; m, n  Hướng dẫn giải   Giả sử xét ma trận A  a ij , A  a ij O ij Nhận thấy A  b ijOij  ta có b ij a ij Vậy O ij , i m, j n lập thành sở dim M K; m, n  mn   Toạ độ A a11 , , a1n , , a m1, a mn   Bài tập Tìm ma trận chuyển từ sở 1, x, , x n (1) sang sở  1, , x  2, ,  x  2  n (2) không gian R n  x  Đáp số: Ma trận chuyển từ sở 1 sang sở  2 1  0 T  0 0  2n   C12 C1n  1.2 n    C 2n  1.2 n     Bài tập Tìm toạ độ đa thức f  x bậc n sở 1, , x  2,  x   , ,  x  2 n không gian đa thức R có bậc khơng q n Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức khai triển Taylor ta có: f  n  (a ) x  an f  x  f  a   f '  a  x  a    n!  f  n  (2)  '      f , f , , Ta vectơ toạ độ  n!   Bài tập Giả sử V1 , V2 , V3 , V4 không gian không gian vectơ hữu hạn chiều V Chứng minh rằng: dim  V1  V2 V V4  dim V1  dim V  dim V3  dim V4  dim  V1  V2   dim  V3  V4   dim   V1  V2    V3  V4   Hướng dẫn giải Áp dụng chiều củađịnh lý tổngđể chứng minh Bài tập Cho U V  W a) Cho v1 , , v n hệ sinh V Chứng minh v1 , , v n hệ sinh U / V b) Hãy xây dựng sở U biết sở V U / V Hướng dẫn giải b) Cho S  V sở V T  U / V sở U / V Từ lớp kề T chọn phần tử đại diện tùy ý, xét tập T gồm đại diện   chọn ra, tức T  v; v  T Khi S  T sở U Điều tương tự thay sở hệ sinh Bài tập Cho V1 , V2  V thỏa mãn điều kiện dim V / V1 , dim V / V2   Chứng minh dim V /  V1  V2    Hướng dẫn giải Theo hệ chiều không gian vectơ ta có:  V /  V �V   /  V /  V �V    V / V có chiều hữu hạn ta có: V1 /  V1  V2   V1  V2  / xem khơng gian V / V2 nên có chiều hữu hạn Theo bổ đề chiều hệ vectơ V /  V1  V2  có chiều hữu hạn 1 Bài tập Cho V không gian vectơ n chiều f1 , , f r dạng độc lập tuyến tính V * Chứng minh rằng: dim  Ker f1   Ker f r  n  r Hướng dẫn giải Mở rộng f1 , , f r thành sở f1 , , f n V * , tìm sở cho f i e*i Khi dễ dàng chứng tỏ e r 1 , , e n sở Ker  f1   f r  Bài tập Trong sở tự nhiên tốn tử tuyến tính  có ma trận biểu diễn  15  11     20  15   7   Tìm ma trận biểu diễn tốn tử tuyến tính theo f1  2, 3, 1, f  3, 4, 1, f 1, 2,  Hướng dẫn giải Tìm tọa độ   f i , i 1, 2, Sau viết   f i  x1f1  x f  x f dạng phương trình để tìm ma trận biểu diễn ma trận đường chéo diag 1, 2, 3 Bài tập Cho U, V hai không gian vectơ chiều hữu hạn   Hom  U, V  Chứng minh rank  rank  * Hướng dẫn giải Viết   V   U   W , sau chứng minh V *    U   * Kiểm tra  * V *  * |   U   , chứng minh ánh xạ đơn ánh, nên *      rank  * dim  * V * dim    U   * dim   U  rank  Bài tập 10 Cho   x, y, z, t   2x , 3y, z,  t  Tìm ma trận biểu diễn tốn tử tuyến tính R4 theo sở 1, 2, 1, 1,  2, 3, 1, 0,  3, 1, 1,  2 Hướng dẫn giải Ma trận biểu diễn 42 266   17    93  194   27   2 6  14      22 49   Bài tập 11 Giả sử V1 , V2 không gian không gian vectơ hữu hạn chiều V thỏa mãn điều kiện dim V1  dim V2 dim V Chứng minh V1  V2  Huớng dẫn giải Theo định lý chiều tổng vectơ ta có dimV1  V2  dim V1  dim V2  dim V1  V2  dim V1  dim V2 dim V1  dim V2  dim V  Do V1  V  Suy điều phải chứng minh Bài tập 12 Cho P không gian vectơ gồm đa thức đa thức     f  x   R  x  có bậc f  x  3 Hệ hai vectơ 1 1,  x ,  x ,  x 1 1,   x  2, 3  x   ,   x  2 a) Tìm ma trận chuyển từ sở thứ sang sở thứ hai  b) Tìm tọa độ vectơ  x  x  sở thứ hai Hướng dẫn giải a) Ta có: Vậy ma trận T chuyển từ sở thứ sang sở thứ hai là: 1    0  12   T  0  6    0 b) Theo công thức khai triển Taylor ta có tọa độ f  x  x  x  f "  2 f  3   sở thứ hai f  2 5, f  2 10, 6, 1 ' KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài giải vấn đề đặt cụ thể là: Hệ thống lại kiến thức không gian vectơ, sở, chiều, hạng hệ vectơ Đã hệ thống số ứng dụng sở, chiều, hạng hệ vectơ giải toán đại số 2.1 Bài toán chứng minh sở đổi sở 2.2 Bài toán chiều khơng gian vectơ 2.3 Bài tốn hạng ma trận 2.4 Một số tập tương tự Ở dạng tơi có tập minh họa cụ thể cách giải chi tiết có phần tập tự giải để độc giả tiếp tục nghiên cứu Hi vọng đề tài tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên chuyên nghành Toán sinh viên chuyên nghành khác quan tâm đến chuyên đề Trong trình nghiên cứu đề tài, thân tơi có nhiều cố gắng, đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy giáo bạn sinh viên để đề tài ngày hồn thiện hữu ích Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến cô … hướng dẫn, đọc thảo cho ý kiến đóng góp quý báu Chân thành cảm ơn cô! TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 1998 Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 Hoàng Kỳ, Trần Văn Hạo, Bài tập đại số, NXB ĐH THCN, 1980 Hoàng Kỳ  Vũ Tuấn, Bài tập đại số cao cấp, NXB Giáo dục, 1978 Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp tập 1, NXB Giáo dục, 1997 Ngơ Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002 ... � � 0 0 � � Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ SỞ, CHIỀU, VÀ HẠNG CỦA KHƠNG GIAN VECTƠ 2.1 Bài tốn chứng minh sở đổi sở Bài toán Giả sử F không gian m -chiều K- không gian vectơ n chiều V, m < n Chứng... vectơ hệ độc lập tuyến tính tối đại gọi hạng hệ vectơ độc lập cho Hệ i) Nếu thêm vào hệ hữu hạn vectơ cho tổ hợp tuyến tính hệ hạng hệ hạng hệ cho ii) Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương có hạng. .. dụng sở lý thuyết để giải số toán nâng cao, tiêu biểu Các toán chọn lọc xếp nhằm làm bật ý định tác giả 2.1 Bài toán chứng minh sở đổi sở 2.2 Bài toán chiều khơng gian vectơ 2.3 Bài tốn hạng