phép biến hình và một số ứng dụng trong toán THPT

phép biến hình khá là quen thuộc đối với chúng ta, nằm trong phần hình học phổ thông, nó là nền tảng để ta giải các bài toán liên quan đến mặt phẳng,... các bài toán trắc nghiệm hiện nay. ở đây tôi nếu các kiến thức liên quan đến phép biến hình và vận dụng nó vào giải các bài toán liên quan, các bài toán trắc nghiệm và tự luận

Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Mục lục Tên Mục Trang Chơng I : Cơ sở lý luận Mở đầu phép biến hình Các phép biÕn h×nha Nh×n chung phÐp dêi h×nh PhÐp biến hình đồng Phép tịnh tiến Phép ®èi xøng qua t©m PhÐp ®èi xøng trơc 10 Phép quay 13 Các phép biến hình đồng dạng 14 Phép đồng dạng 14 Phép vị tự 17 Kết hợp phép biến đổi 19 Sơ đồ mối liên hệ phép biến hình 21 Chơng II : Thực hành - Vận dụng 22 Phép tịnh tiến 22 Phép ®èi xøng qua t©m 24 PhÐp ®èi xøng trơc 27 Phép quay 29 Phép vị tự 32 Phép đồng dạng 33 Một số câu hỏi trắc nghiệm 34 Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa hình học nâng cao + lớp 11 - Sách tập hình học nâng cao + lớp 11 - Phơng pháp giải toán hình học 11 - Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Toán THPT - Phép biến hình mặt phẳng Đỗ Thanh Sơn - Sách giáo trình môn Hình học cao cấp hệ đào tạo GVTHCS Văn Nh Cơng (chủ biên) - Một số tài liệu su tầm Internet Nhóm - Lớp Toán 30 B -1- Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Chơng I : sở lý luận A Mở đầu phép biến hình I Phép biến hình 1.1 Định nghĩa Trong đại số ta biÕt mét kh¸i niƯm quan träng : kh¸i niƯm “ Hàm số đợc phát biểu : Nếu có quy tắc để với số x R quy tắc gọi hàm số xác định tập số thực R. Nếu mệnh đề tathay số thực điểm thuộc mặt phẳng ta đợc khái niệm phép biến hình mặt phẳng Cụ thể : Nếu có quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định đợc điểm M thuộc mặt phẳng quy tắc gọi phép biến hình ( mặt phẳng) Vậy ta suy định nghĩa phép biến hình : Định nghĩa : Phép biến hình (trong mặt phẳng ) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M thuộc mặt phẳng Điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình 1.2 Các ví dụ Ví dụ : Cho đờng thẳng d Với điểm M, ta xác định M hình chiếu (vuông góc) M d (hình 1) ta đợc phép biến hình Phép biến hình gọi phép chiếu (vuông góc) lên đờng thẳng M d M' Hinh Nhóm - Lớp Toán 30 B -2- Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Ví dụ : Cho véc tơ u , với điểm M ta xác định điểm M theo quy tắc = (hình 2) M  u M’ Nh vËy, ta còng cã mét phép biến hình Phép biến hình gọi phép tịnh tiến theo véctơ u Ví dụ : Với điểm M, ta xác định điểm M trùng với M ta đợc phép biến hình Phép biến hình gọi phép đồng 1.3 Kí hiệu thuật ngữ Nếu ta kí hiệu phép biến hình F điểm M ảnh điểm M qua phép biến hình F ta viết M = F(M), F(M) =M Khi đó, ta nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M Với hình H, ta gọi hình H gồm điểm M = F(M), M H, ảnh H qua phép biến hình F, biết H = F(M) B.Các phép biến hình I Phép dời hình 1.1 Định nghĩa : Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm 1.2 Định lý - tính chất a Định lý : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính, biến góc thành gãc b»ng nã b TÝnh chÊt: NÕu phÐp dêi h×nh f có ba điểm bất động không thẳng hàng, f phép đồng Chứng minh : Ta kí hiệu 1.3 Nhóm phép biến hình dời hình 1.3.1 Phép đồng 1.3.1.1 Định nghĩa Phép đồng phép biến hình đặc biệt, biến ®iĨm M thµnh chÝnh ®iĨm M PhÐp ®ång nhÊt thêng đợc kí hiệu Id với điểm M thuộc mặt phẳng P, Id(M) = M F:P P Nhóm - Líp To¸n 30 B -3- TiĨu ln Trêng CĐSP Hà Tây phép biến hình M M Thì f = Id 1.3.2 Phép tịnh tiến 1.3.2.1 Định nghĩa Phép tịnh tiến theo vectơ phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho = Phép tịnh tiến theo vectơ u thờng đợc kí hiệu T T u Vectơ đợc gọi vectơ tịnh tiến Phép tịnh tiến đợc xác định biết vec tơ tịnh tiến T u : M  M’  =  Chó ý = phép tịnh tiến thành phép đồng 1.3.2.2 §Þnh lý, tÝnh chÊt a §Þnh lý : NÕu phép tinh tiến biến hai điểm M N lần lợt thành hai điểm M N MN = MN Chứng minh : Giả sử phép tịnh tiến theo u biến điểm M, N lần lợt thành hai ®iÓm M’, N’ ta cã:  T u (M) = M’ T u (N) = N’ V× = , = nên = MNNM hình bình hành MN = MN Ngời ta diễn tả tính chất phép tịnh tiến : Phép tịnh tiến không làm thay dổi khoảng cách hai điểm b Định lý : Phép tịnh tiến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay ®ỉi thø tù ba ®iĨm ®ã Chøng minh : Gi¶ sử phép tịnh tiến ba điểm A, B, C thành ba điểm A, B, C Theo định lý 1, ta cã: A’B’ = AB ; B’C’ = BC vµ AC = AC Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm A C : AB + BC = AC Do ®ã ta còng cã : A’B’ + BC = AC ; tức A, B, C thẳng hàng, B nằm A C Từ định lý ta có hệ sau c Hệ : Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thằng nó, biến tam giác thành tam Nhóm - Líp To¸n 30 B -4- TiĨu ln Trêng CĐSP Hà Tây phép biến hình giác nó, biến đờng tròn thành đờng tròn thành đờng có bán kính, biến góc thành góc d Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u y Biết tọa độ (a,b ) Giả sử điểm M(x,y) biến thành điểm M (x,y) Khi ta cã x’ = x + a y’ = y + b Công thức gọi biểu thức tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ (a ;b) 1.3.3 Phép đối xứng qua tâm 1.3.3.1 Định nghĩa : Cho tríc ®Ĩm O PhÐp biÕn ®ỉi Z O biÕn O thành O biến điểm M khác O thành điểm M cho + = đợc gọi phép đối xứng qua tâm Điểm O đợc gọi tâm phép đối xứng tâm đối xứng Cho hình F Tập hợp ảnh điểm thuộc F phép biến đổi Z O lập thành hình F đợc gọi ảnh hình F phép đối xứng qua tâm O Nếu F trùng với F, ta nói F hình có tâm đối xứng 1.3.3.2 Định lý - Tính chất : a Tính chÊt : PhÐp biÕn ®ỉi Z O cã mét ®iÓm bÊt ®éng nhÊt Chøng minh : NÕu O’ điểm bất động thứ Z O , nghÜa lµ : Z O : O’  O’  = -  =  O’  O b Tính chất : Nếu A B ảnh hai điểm A B phép biến đổi Z O , th× = - Nhãm - Lớp Toán 30 B -5- Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình A' B O A B' Chứng minh : Theo định nghĩa ta có : = - vµ = Suy : = - =- + =-( - )=- => §PCM c TÝnh chÊt : Phép biến đổi Z O phép biến đổi 1 Chứng minh: Thật vậy, điểm A ảnh điểm A B phép biến đổi Z O , ta có = - = - suy =  A B TÝnh chÊt cho ta thÊy phÐp biÕn ®ỉi Z O cã phép biến đổi ngợc phép biến đổi ngợc lµ Z O d TÝnh chÊt 4: PhÐp biÕn đổi Z O biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng Chứng minh : Giả sử A, B, C ảnh điểm A, B, C phÐp biÕn ®ỉi Z Theo tÝnh chÊt ta cã = - , = - V× A, B, C thẳng hàng nên phơng k cho = = phơng Điều chứng tỏ A, B, C thẳng hàng e hệ : Phép biến đổi Z O biến : i) Đờng thẳng d thành đờng thẳng d d// d d d ii) Tia Sx thành tia Sx ngợc chiều iii) Đoạn EF thành đoạn EF EF = E’F’ iv) Gãc thµnh gãc vµ vµ = v) Đờng tròn ( I , R) thành đờng tròn (I, R) Chứng minh ; ii) Lấy d hai điểm A B phân biệt Gọi A B ảnh A B phép biến đổi Z O Nhãm - Líp To¸n 30 B -6- Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình A C B d d' B' C' A' NÕu C lµ điểm thuộc d C ảnh C phép biến đổi Z O , A, B , C thẳng hàng Điều chứng tỏ C thuộc đờng thẳng AB hay thuộc d Đảo lại, C thuộc đờng thẳng AB, ta chọn điểm C ảnh C phép biến đổi Z O Vì A,B ảnh A , B phép biến đổi đó, nên C thuộc đờng thẳng AB hay C thuộc d Nh vậy, tồn điểm C d cho C ảnh C Nếu A không thuộc d, d//d Nếu A thuộc d, th× d’  d ii) S A B B' S' A' Lấy tia Sx điểm A ta xác ®Þnh PhÐp biÕn ®ỉi Z O biÕn  S  S’ , A  A’ vµ = - Nếu B điểm thuộc Sx, tì tồn t¹i sè m > cho = Gäi B ảnh B, =- =- = §iỊu ®ã chøng tá B’, A’ cïng phÝa víi S’ Điểm B thuộc tia SA Đảo lại, B thuộc tia SA, phép đối xứng Z O biến S  S , A’  A B’  B LËp luËn t¬ng tù ta suy B thuéc tia Sx Nh tồn tia Sx điểm B nhận B ảnh iii)Chứng minh tơng tự nh trờng hợp tia iv) Lấy hai cạnh góc xSy điểm A B (khác S) gọi A, B , S ảnh A, B, S phép biến đổi Z O Nhãm - Líp To¸n 30 B -7- Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình y x S' B A O A' S y' B' x' Khi ®ã ta cã = - , = - , = - VËy  SAB =  S’A’B’ suy = Theo hệ ảnh SA SB Đó điều cần chứng minh v) M R I O I' R' M' NÕu M điểm thuộc (I ; R) M ảnh M phép biến đổi Z O , = - = =R không đổi Chứng tỏ M thuộc ( I ; R) Đảo lại M điểm thuộc (I;R) ảnh M I thuộc M I phép biến đổi Z O thỏa mãn điều kiện IM = IM = R Điều ®ã chøng tá tån t¹i ®iĨm M thc (I;R) nhËn M ảnh f Tính chất 5: Tích ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm O1 B A O2 O C Chøng minh: Gäi A, B, C lµ tâm đối xứng phép biến đổi Z A , Z B , Z C đặt Z = Z A Z B Z C Nhãm - Líp To¸n 30 B -8- TiĨu ln Trêng CĐSP Hà Tây phép biến hình Trớc hết ta cần chøng minh r»ng Z cã mét ®iĨm bÊt ®éng Thật vậy, gọi O điểm bất động Z Theo định nghĩa ta có Z A : O  O1 vµ = - ; Z B : O  O vµ = - ; ZC : O O =- ; Từ kết ta suy = + Hệ thức chứng tỏ O điểm bất động Z Ta cần chứng minh Z phép đối xứng tâm O Giả sử M điểm M ảnh M phép biến đổi Z Ta cần OM = OM ThËt vËy, ta cã Z A : M  M , O  O vµ = (1)   Z B : M M , O O vµ = - (2) Z c : M  M’, O  O = - (3) Từ kết (1),(2),(3) ta suy = Tóm lại phép biến đổi Z phép đối xứng tâm O, O đợc xác ®Þnh bëi hƯ thøc (*) 1.3.3.3 PhÐp ®èi xøng qua tâm hệ tọa độ Đề Các y y M(x ; y ) M’(x’, y’) M(x ; y ) x O x M’(x’, y’) Gi¶ sư Z o phép đối xứng tâm O Ta chọn hệ toạn độ Oxy cho O gốc tọa ®é Nh vËy, víi ®iĨm M(x ; y ) hệ tọa độ đó, ảnh M’ cđa M phÐp biÕn ®ỉi Z o cã tọa độ ( - x ;- y ) Nhãm - Líp To¸n 30 B -9- TiĨu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Nếu tâm đối xứng P điểm khác gốc có tọa độ (a,b), với điểm M (x ; y ) tọa độ ảnh điểm phép biến đổi Z o đợc xác định hệ phơng trình sau : x = 2a - x y’ = 2b - y ®ã (x’, y’) tọa độ ảnh 1.3.3.4 Những hình ảnh thể phép đối xứng tâm A I B a) Cỏc chữ H, N, O, I hình có tâm đối xứng b) Các hình tứ giác có trục đối xứng như: hình chữ nhật, hình vng, hình thoi, hình bỡnh hnh, 1.3.3.5 Tâm đối xứng hình Định nghĩa : Điểm I đợc gọi tâm đối xứng hình H qua phép đối xứng tâm I biến H thành Khi ta gọi H hình có tâm đối xứng 1.3.4 Phép đối xứng trục 1.3.4.1 Định nghĩa : Cho đờng thẳng d Phép biến hình biến điểm M không thuộc d thành nó, biến điểm M thuộc d thành M cho d đờng trung trực đoạn thẳng MM đợc gọi phép đối xứng qua đờng thẳng d hay phÐp ®èi xøng trơc d M M O M' Đờng thẳng d đợc gọi trục phép đối xứng đơn giản lad trục đối xứng Nhóm - Líp To¸n 30 B - 10 - TiĨu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Chứng minh S , S diện tích tứ giác Giải: C C' D B A Ta nhËn thÊy S = S (  ABD) + S (  CBD ), ®ã kÝ hiƯu S ( ABD) diện tích tam giácABD; S ( CBD) diện tích tam giác CBD Ta có : S (  ABD)  S S (  CBD) Để chứng toán ta cần tìm mộ phép biến đổi cho diện tích tứ giác thay đổi Ta dựng đờng trung trực đờng chéo BD gọi C ảnh C phÐp ®èi xøng qua  , ®ã :  BC’D =  BCD, DC’ = BC = b , BC’ = DC = c Tø gi¸c låi ABCD có diện tích S cạnh liên tiÕp AB = a, BC’ = c, C’D = b, DA = d ĐPCM Bài toán 2: Dựng hình Ví dụ 2: Cho đờng thẳng dvà hai đờng tròn (O), (O’) n»m vỊ hai phÝa ®èi víi d h·y dựng hình vuông ABCD cho đờng chéo BD nằm d, đỉnh A nằm đờng tròn (O), đỉnh C nằm đờng tròn (O) Nhóm - Lớp Toán 30 B - 29 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình O A D B d O" C O' - Phân tích : Giả sử ABCD hình vuông dựng Phép đối xứng S (d) biến A thành C đờng tròn (O) thành (O) qua C Vì điểm C điểm chung hai đờng tròn (O) (O) Mặt khác, AC đờng kính đờng tròn ngoại tiếp hình vuông, qua B D - Cách dựng: + Dựng ảnh (O) (O) phép biến đổi S (d) Gọi C điểm chung (O) (O) + Dựng ảnh C phép biến đổi s(d) Đó đỉnh A + Dựng đờng tròn đờng kính AC Gọi B,D giao điểm đờng tròn với d ABCD hình vuông phải dùng - Chøng minh : Theo c¸ch dùng, C thuéc (O), nên A ảnh C phép biến ®ỉi S thc (O) Tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chéo nhau, vuông góc với trung điểm đờng ABCD hình vuông - Biện Luận: toán có nghiệm (O) (O) có điểm chung Nếu hai đờng tròn trùng nhau, toán có vô số nghiệm Bài toán : Tìm tập hợp điểm Ví dụ 3: Cho hai đờng thẳng a,b đờng tròn (O) Với điểm M thc (O) ta dùng ®iĨm N ®èi xøng víi M qua a, ®iĨm P ®èi xøng víi N qua b điểm Q đối xứng với P qua a Tìm tập hợp điểm Q, M thay đổi đờng tròn (O) Giải: Ta kí hiệu : S phép đối xứng qua a biến M N; S biÕn ®èi xøng qua b biÕn N P PhÐp ®èi xøng S = S S S bien M Q (c ảnh b phép biến đổi S (a)) Nhãm - Líp To¸n 30 B - 30 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Do S(c) biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O) chứa Q Tập hợp điểm Q đờng tròn (O) ảnh (O) phép đối xứng qua c Bài toán : Bài toán cực trị Ví dụ : Cho đờng tròn (O,R) tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng tròn Gọi A,B,C lần lợt giao điểm thứ hai đờng cao tam giác kẻ từ A,B,C với đờng tròn Hãy xác định kích thức cạnh tam giác ABC để diện tích lục giác ABCABC max B' A C' H B C A' Gäi H lµ trực tâm tam giác ABC, ABC có góc nhọn nên H nằm tam giác Rõ ràng ảnh H phép đối xứng qua cạnh tam giác giao điểm A,B,C Vì dt(ABCABC) = 2S ( S diện tích tam giác ABC) DiƯn tÝch lơc gi¸c lín nhÊt S lín nhÊt Bây ta tòm kích thứớc cạnh tam giác ABC để S đạt max Từ bất đẳng thức S  vµ a+ b+ c  R, ta suy S đạt max dấu hai bất đẳng thức xảy đồng thời ( a,b,c độ dài cạnh tam giác ABC) Từ suy ABC tam giác mà độ dại cạnh R IV Phép quay : Bài toán : Chứng minh tính chất hình học Ví dụ 1: Cho tứ giác lỗi ABCD Trên cạnh AB CD phí ta dựng tam giác ABM CDP Trên hai cạnh lại phía tứ giác ta dựng ta, giác BCN ADK Chứng minh MN = PK Giải : Nhóm - Lớp Toán 30 B - 31 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình K C B A P N D Trên h×nh biĨu diƠn ta thÊy phÐp quay R (B, 60) : M A , N C Do ®ã MN = AC (1) R (P,60 ) : P C , K A Do AC = PK (2) Từ (1) (2) đpcm Bài toán : Dựng hình Ví dơ 2: Dùng tø gi¸c ABCD, biÕt AB = AD = a, BC = b, tỉng sè ®o hai gãc B D - Phân tích Giả sử tứ giác ABCD dựng Phép quay tâm A biến D B, C C ta có ABC = ADC, BC’ = CD = c XÐt gãc CBC’ Gãc ®ã có số đo 360 - mà ta kí hiệu BCC hoàn toàn xác định (nếu = 180 tam giác suy biến) Nhãm - Líp To¸n 30 B - 32 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình B C D C' A x - C¸ch dùng + Dùng tam giác BCC (c.g.c) + Dựng đờng trung trực x đoạn CC + Dựng đờng tròn tâm (B, a) Giao điểm đờng tròn với x A + Dựng đờng tròn tâm A, bán kính a đờng tròn tâm C bán kính c Điểm chung đờng tròn D - Biện luận : Bài toán có nghiệm x đờng tròn tâm B có điểm chung đờng tròn tâm C, bán kính c tâm A bán kính a có điểm chung Số nghiệm có đợc phụ thuộc vào số điểm chung Bài toán : tím tập hợp điểm Ví dụ : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M nằm tam gi¸c cho MA + MB = MC C M' M A B Gi¶i: PhÐp quay R : M M’ ; A C Do ®ã MA = M’C, MB = MM Tam giác MMC vuông M MC+ MM = MA+ MB = MC Nhãm - Líp To¸n 30 B - 33 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Từ suy = 150 Mặt khác, từ AMB = CMB, suy = 150 Chøng tá M thuéc cung chøa gãc 150 o dựng dây AB Tâp hợp điểm M cung 150 o nằm tam giác ABC dựng dây AB từ A,B Đảo lại, M điểm thuộc cung đó, phép quay R biÕn M  M’ vµ cung thµnh cung cã sè đo 150 Vì tam giác BMM đều, = 150 - 60 = 90 MMC vuông M’ ®ã M’M+ M’C = MC Do MA = M’C , MM’ = MB ta suy MA + MB = MC Bài toán : Tính đại lợng hình học Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh AB = a Gọi M trung điểm CD, N giao điểm cạnh BC với tia phân giác goc BAM Tính độ dài đoạn BN A B N N' D M C Thùc hiÖn phÐp quay tâm A, góc quay 90 biến điểm B D ABN ADN (điểm N ảnh N) Điểm N’ thc tia ®èi cđa tia DC Ta cã DN’ = BN, = , = = = , V× vËy tam giác AMN cân M MA = MN = MD + DN’, Suy DN’ = BN = a Bài toán : Bài toán cực trị Ví dơ : Tam gi¸c ABC cã BC = a, AC = b, C =  (  < 120 ) Tìm điểm M mặt phẳng cho MA + MB +MC A' M' A M B C Nhãm - Líp To¸n 30 B - 34 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình Thực hiÖn phÐp quay R : M M’ ; A A’ , ta có MA = MA Vì tam giác CMM , nên MM = CM Vậy MA + MB + MC = BM + MM’ + M’A’ Để MA + MB + MC ta cần tìm vị trí M cho độ dài đờng gấp khúc BMMA ngắn Rõ ràng ABC có CB = a, CA’ = b, = 60 +  A’B = a + b - 2abcos(+ 60) Độ dài đờng gấp khúc BMMA ngắn M M nằm BA V Phép vị tự Bài toán : Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng d 3x + 2y -6 = Viết phơng trình đờng thẳng d ảnh d qua phép vị tự tâm O tỷ số k = Lời giải : Vì d//d nên phơng trình d: 3x + 2y + a = Xét điểm I(2;0) d Qua phép vị tự tâm O (0;0) tỉ số k = -2 I biÕn thµnh I’(-4 ;0)  d’  3.(-4) + 2.0 + a =  a = 12 VËy d: 3x + 2y + 12 = Bài toán : Cho hai đờng tròn (O) (O) cắt A B Một đờng thẳng thay đổi qua A cắt (O) M, cắt (O) A M Gọi P P lần lợt trung điểm AM AM a Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng PP b Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn thẳng MM Giải: a Gọi Q trung điểm OO QI IA Suy quỹ tích I đờng tròn đờng kính AQ b Vì J trung điểm MM Nên = ( + ) = + = VËy nªn phép vị tự tâm A tỉ số biến điểm I thành điểm J Do quỹ tích J ảnh đờng tròn đờng kính AQ qua phép vị tự V Phép đồng dạng Bài toán : CMR hai tam giác có cạnh tơng ứng tỉ lệ có phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác Nhóm - Lớp Toán 30 B - 35 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình C' A' A B' B' B A' O C C' Giả sử hai tam giác ABC vµ  A’B’C’ cã : = = =k Chän điểm O xét phép vị tự V k V biến ABC thành ABC dễ thấy Abc= ABC Do phép dời hình F biến ABC ABC Vậy phép hợp thành V F phép đồng dạng biến ABC thành ABC Bài toán 2: Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d điểm P cố định Với điểm M thuộc đờng tròn (O) ta xác ®Þnh ®iĨm N ®èi xøng víi M qua d Gäi I trung điểm đoạn thẳng PN Tìm tập hợp điểm I, M thay đổi đờng tròn P d I O" N M O O' Tõ ®iỊu kiện toán ta suy tập hợp N đờng tròn (O) ảnh (O) phép đối xứng S (d) Mặt khác, ta có = , điều chứng tỏ I ảnh N phép vị tự tâm P, hệ số vị tự Tập hợp I đờng tròn (O) ảnh (O) phép vị tự H Tóm lại tập hợp I đờng tròn nhận đợc từ (O) phép đồng dạng V=H.S Một số câu hỏi trắc nghiệm Cõu Cho đáp án Nhãm - Líp Toán 30 B - 36 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình A quy tc t tng ứng điểm M với điểm M’ mặt phẳng gọi phép biến hình B quy tắc đặt tương ứng điểm M với không điểm M’ mặt phẳng gọi phép biến hình C quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ mặt phẳng gọi phép biến hình D quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ mặt phẳng gọi phép biến hình Câu Trong mặt phẳng, với phép biến hình f mà f(M) = M’, M gọi tạo ảnh M’ gọi ảnh Khi A tạo ảnh M có ảnh M’ B tạo ảnh M có khơng q ảnh M’ C tạo ảnh M có khơng phải ảnh M’ D tạo ảnh M có ảnh M’ Câu Trong mặt phẳng, phép biến hình f biến hình H thành H’ Khi A hình H’ có hình H mà f(H) = H’ B hình H’ có khơng q hình H mà f(H) = H’ C hình H’ có hình H mà f(H) = H’ D hình H’ có khơng phải hình H mà f(H) = H’ Câu Trong mặt phẳng, phép biến hình f biến hình H thành hình H’ Khi A hình H’ trùng với hình H B hình H’ ln ln trùng với hình H C hình H’ ln tập hình H D hình H trùng với hình H’ Câu Trong mặt phẳng, với H hình (khơng phải điểm) phép biến hình f mà f(H) = H Khi đó: A f(M) = M với điểm M thuộc H B f(M) ≠ (M’) với điểm M thuộc H C f(M) = M f(M) ≠ (M’) với điểm M thuộc H D f(M) =M với điểm M thuộc H Câu Trong mặt phẳng, A phép biến hình H biến hình H thành hình H f phép đồng B phép biến hình f biến điểm M thành điểm M f phép đồng C phép biến hình f biến số điểm M thành f phép đồng D phép biến hình f biến điểm M thành f phép đồng Câu Mệnh đề sau sai ? Nhãm - Líp To¸n 30 B - 37 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến h×nh Câu Câu Câu Câu r r Trong mặt phẳng, phép tịnh tiến Tvr ( M )  M ' Tvr ( N )  N ' (với v �0 ) Khi đó,uuuuur uuuur uuuu r uuuuuur uuuur uuuuu r A MM '  NN ' B MN  M ' N ' C D MM '  NN ' MN '  NM ' r Trong mặt phằng Oxy, cho vectơ v  (1 ; 3) M(-2 ; 5) Biết Tvr ( M )  M ' Khi toạ độ M’ ? A M’(-1 ; 2) B M’(-3 ; 8) C M’(1 ; -2) D M’(8 ; - 3) r Trong mặt phằng Oxy, cho vectơ v  (3 ; 5) M’(-2 ; 8) Biết Tvr ( M )  M ' Khi toạ độ M ? A M(-1 ; -3) B M(1 ; 3) C M(-5 ; 13) D M(13 ; - 5) 10 Trong mặt phằng Oxy, cho điểm M(5 ; 1) M’(-2 ; 8) Biết r Tvr ( M )  M ' Khi toạ độ v ? r r r r A v  (7 ;  7) B v  (7 ; 7) C v  (7 ; 7) D v  (7 ;  7) 11 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC Gọi M, N, P r uuur trung điểm cạnh BC, CA, AB Phép tịnh tiến theo vecto v  BC biến A điểm M thành điểm N B điểm M thành điểm P C điểm M thành điểm B D điểm M thành điểm C Câu 12 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Phép tịnh tiến theo vecto Tvr biến điểm r M thành điểm P Khi vecto v đươc xác định ? r uuu r r Câu 13 Trong mặt phẳng, qua phép tịnh tiến theo vecto v �0 Tvr ( M )  M ' , ta có kết luận M M’ uuuuur r uuuuur r r uuuuur A MM '  v B MM '  v C MM '  v d MM '  v r A v  MP r uuur B v  AC r r uuu C v  CA r D v   CA Câu 14 Trong mặt phẳng, cho hình bình hành ABCD ( đỉnh lấy theo thứ tự đó) Khi đó: A tồn phép tịnh tiến ubiến AB thành CD B tồn phép uur uuur tịnh tiến biến AB thành CD uuur uuur CD C tồn phép tịnh tiến biến AB thành D tồn phép tịnh uuur uuur tiến biến AB thành CD Câu 15 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + y – 10 = Qua r v  (2;  1) , đường thẳng d có ảnh là phép tịnh tiến theo vectơ Nhãm - Líp To¸n 30 B - 38 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phÐp biÕn h×nh đường thẳng nào các đường thẳng có phương trình xác định ? A 2x – y - 10 = B x + y – = C x + y – 11 = D – x + 2y – 10 = Câu 16 Trong mặt phẳng , cho hình bình hành ABMN (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) Biết A, B là các điểm cố định còn điểm M di động đường tròn tâm B, bán kính R (không đổi cho trước) Khi đó A điểm N di động đường thẳng song song với AB B điểm N di động đường tròn có tâm A và bán kính R C điểm N di động đường tròn có tâm A’ bán kính R, đó A’ đối xứng với A qua B D điểm N cố định Câu 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(-2; 5) Điểm M’ là đối xứng của M qua trục Ox có tọa độ là ? A (0 ; -5) B (-2; -5) C (2; -5) D (2; 5) Câu 18 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(-3; 7) Điểm M’ là đối xứng của M qua trục Oy có tọa độ là ? A (0 ; -7) B (-3; -7) C (3; -7) D (3; 7) Câu 19 Trong mặt phẳng, qua một phép đối xứng trục d bất kì A không thể có điểm nào biến thành chính nó B chỉ có một điểm biến thành chính nó C có hai điểm phân biệt biến thành một điểm D mọi điểm thuộc d thì biến thành chính nó Câu 20 Trong mặt phẳng, qua một phép đối xứng trục d bất kì A không thể có hình nào mà điểm thuộc nó lại có ảnh thuộc vào hình đó B đa giác đều nào cũng có điểm mà ảnh của nó lại thuộc vào chính hình đó C có một số hình có điểm mà ảnh của nó lại thuộc vào chính hình đó D chỉ có hình tròn có tính chất là điểm thuộc nó lại có ảnh thuộc vào hình đó Câu 21 Trong mặt phẳng, cho d: x – y – = Đường thẳng d’ là đối xứng với d qua trục Ox Khi đó phương trình của đường thẳng d’ là phương trình nào ? A y = x + B y = C y = – x d y = x – Câu 22 Trong mặt phẳng, cho d: x + y – 10 = Đường thẳng d’ là đối xứng với d qua trục Oy Khi đó phương trình của đường thẳng d’ là phương trình nào ? A x + y + 10= B x – y – 10 = C y – x – 10 D y = 10 Nhãm - Líp To¸n 30 B - 39 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phÐp biÕn h×nh Câu 23 Trong mặt phẳng, hình nào có trục đối xứng ? A Hình thang vuông; B Hình bình hành; C Hình tam giác vuông (không là tam giác cân) D Tam giác cân Câu 24 Trong mặt phẳng, hình vuông có tối đa trục đối xứng ? A B C D Câu 25 Trong mặt phẳng, tam giác đều có tối đa trục đối xứng ? A B C D Câu 26 Trong mặt phẳng, hình tròn có trục đối xứng ? A B C D vô sớ Câu 27 Trong mặt phẳng, cho hình thang cân ABCD ( đỉnh lấy theo thứ tự đó), với AD = BC Khi đó: A tồn phépuutịnh tiến biến AB thành CD B tồn phép ur uuur tịnh tiến biến AC thành DB uuu r uuur C tồn phép tịnh tiến biến AD thành CB D tồn phép uuur uuur tịnh tiến biến AD thành BC Câu 28 Trong mặt phẳng, xét hình thang cân ABMN có đáy nhỏ AB và đáy lớn MN Biết A, B cố định còn N chạy đường tròn tâm O bán kính R (cho trước) Khi đó ta có thể kết luận gì về điểm M ? A Cố định; B Chạy một đường thẳng; C Chạy một cung tròn; D Chạy một đường tròn có bán kính R và tâm O’, đối xứng của O qua đường thẳng d là trung trực của đoạn AB Câu 28 Trong mặt phẳng, xét hình thang cân ABMN có đáy nhỏ AB và đáy lớn MN Biết A, B cố định còn M chạy đường tròn tâm B bán kính R (cho trước) Khi đó: A điểm N di động đường thẳng song song với AB B điểm N di động đường tròn có tâm A và bán kính R C điểm N di động đường tròn có tâm A’ bán kính R, đó A’ đối xứng với A qua B D điểm N cố định Câu 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(-5 ; 8) Điểm M’ là đối xứng của M qua O có tọa độ là ? A (5; 8) B (5 ; -8) C (-5; -8) D (-5 ; 5) Câu 30 Trong mặt phẳng, qua phép đối xứng tâm O, điểm M (khác điểm ) biến điểm M thành điểmr M’ Khiuuu đó : uuuu r uuuuur uuuu r uuuuur uuuuuu u r uuuuur r uuuu r uuuuur r A MO  M ' O B MO  M ' O  M ' M C MO  M ' O  D MO  O ' M  Câu 31 Trong mặt phẳng, qua một phép đối xứng tâm O bất kì Nhãm - Líp To¸n 30 B - 40 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biÕn h×nh A khơng thể có điểm nào biến thành chính nó B mọi điểm biến thành chính nó C có thể có hai điểm phân biệt biến thành một điểm D không thể có hai điểm khác cùng biến thành một điểm Câu 32 Trong mặt phẳng, qua một phép đối xứng tâm O bất kì A không thể có hình nào mà điểm thuộc nó lại có ảnh thuộc vào hình đó B đa giác đều nào cũng có điểm mà ảnh của nó lại thuộc vào chính hình đó C có một số hình có điểm mà ảnh của nó lại thuộc vào chính hình đó D chỉ có hình tròn có tính chất là điểm thuộc nó lại có ảnh thuộc vào hình đó Câu 33 Trong mặt phẳng, cho d: x + y – = Đường thẳng d’ là đối xứng với d qua gốc tọa độ O Khi đó phương trình của đường thẳng d’ là phương trình nào ? A y = x + B y = C y = – x D y = - x – Câu 34 Trong mặt phẳng, hình nào có tâm đối xứng ? A Hình thang; B Hình bình hành; C Tam giác (thường) D Tam giác cân Câu 35 Trong mặt phẳng, hình vuông có tối đa tâm đối xứng ? A B C D Câu 36 Trong mặt phẳng, tam giác đều có tối đa tâm đối xứng ? A B C D Câu 37 Trong mặt phẳng, hình tròn có tối đa tâm đối xứng ? A B C D vô số Câu 38 Trong mặt phẳng, hình nào có vô số tâm đối xứng ? A Hình tròn; B Hình vuông; C Đường thẳng; D tam giác Câu 39 Trong mặt phẳng, cho hình chữ nhật ABCD ( đỉnh lấy theo thứ tự đó) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD Gọi O là giao điểm của AC, BD, qua phép đối xứng tâm O ta có thể kết luậunuurđược gì ? uuu r uuur uuu r uuur uuu r A thành B thành C thành D DF EB DF BE FD BE uuu r uuur FE thành DB Câu 40 Trong mặt phẳng, xét hình bình hành ABCD Biết A, C cố định còn B chạy đường tròn tâm O bán kính R (cho trước) Khi đó ta có thể kết luận gì về điểm D ? Nhãm - Líp To¸n 30 B - 41 - Tiểu luận Trờng CĐSP Hà Tây phép biến hình A Cố định; B Chạy một đường thẳng; C Chạy một cung tròn; D Chạy một đường tròn có bán kính R và tâm O’, đối xứng của O qua điểm I là trung điểm của AC Câu 41 Trong mặt phẳng, cho hình vuông ABCD có tâm O, đồng thời uuur uuu r góc OB và OA là 900 Khi đó ảnh của điểm C qua phép quay tâm O góc quay 900 là điểm nào ? A D; B B; C A; D O Câu 42 Trong mặt phẳng, qua một phép quay tâm O góc quay  �0 (cho trước), A không thể có điểm nào biến thành chính nó B mọi điểm biến thành chính nó C có thể có hai điểm phân biệt biến thành một điểm D không thể có hai điểm khác cùng biến thành một điểm Câu 43 Trong mặt phẳng, qua một phép quay tâm O góc quay  �0 (cho trước), A không thể có hình nào mà điểm thuộc nó lại có ảnh thuộc vào hình đó B bất kì hình nào cũng có điểm mà ảnh của nó lại thuộc vào chính hình đó C có một số hình có điểm mà ảnh của nó lại thuộc vào chính hình đó D chỉ có hình tròn có tính chất là điểm thuộc nó lại có ảnh thuộc vào hình đó Câu 44 Trong mặt phẳng, cho d: x + y – = Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay 900 Khi đó phương trình của đường thẳng d’ là phương trình nào ? A y = x + B (y + 90) + (x + 90) = C (y - 90) + (x 90) = D x + y = -3 Câu 45 Trong mặt phẳng, cho d: x + y + = Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay 1800 Khi đó phương trình của đường thẳng d’ là phương trình nào ? A y = x + B (y + 180) + (x + 180) = C y = x – D x + y = Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trưc tâm H và tâm và tâm đương tròn ngoại tiếp O Gọi M, N, P theo thư tư là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Sử dụng giả thiết để trả lời các câu 46 đến 49 Câu 46 Qua phép vị tự tâm G tỉ số k   A điểm A thành điểm G Nhãm - Líp To¸n 30 B B điểm A thành điểm M - 42 - TiÓu luËn Trêng CĐSP Hà Tây phép biến hình C im A thnh điểm N D điểm A thành điểm P Câu 47 Qua phép vị tự tâm G tỉ số k   A tam giác ABC thành tam giác BCA tam giác CAB C tam giác ABC thành tam giác PMN thành tam giác MNP Câu 48 Qua phép vị tự tâm G tỉ số k   B tam giác ABC thành D tam giác ABC A điểm H thành điểm H B điểm H thành điểm G C điểm H thành điểm A D điểm H thành điểm O Câu 49 A phép vị tự tâm G tỉ số biến tam giác MNP thành tam giác ABC B phép vị tự tâm G tỉ số - biến tam giác MNP thành tam giác ABC C phép vị tự tâm G tỉ số  biến tam giác MNP thành tam giác ABC D phép vị tự tâm G tỉ số Nhãm - Líp To¸n 30 B biến tam giác MNP thành tam giác ABC - 43 - ... đợc phép biến hình Phép biến hình gọi phép đồng 1.3 Kí hiệu thuật ngữ Nếu ta kí hiệu phép biến hình F điểm M ảnh điểm M qua phép biến hình F ta viết M = F(M), F(M) =M Khi đó, ta nói phép biến hình. .. F biến điểm M thành điểm M Với hình H, ta gọi hình H gồm điểm M = F(M), M H, ảnh H qua phép biến hình F, biết H = F(M) B.Các phép biến hình I Phép dời hình 1.1 Định nghĩa : Phép dời hình phép. .. Các hình tứ giác có trục đối xứng như: hình chữ nhật, hình vng, hình thoi, hình bình hành,… 1.3.3.5 Tâm đối xứng hình Định nghĩa : Điểm I đợc gọi tâm đối xứng hình H qua phép đối xứng tâm I biến