MỞ RỘNG của MODUN XA ẢNH và MODUN nội xạ

Lý thuyết môđun là một trong những lý thuyết phong phú phát triển mạnh mẽ hiện nay và đạt được nhiều kết quả sâu sắc có ý nghĩa.Khi học về môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội xạ. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu. Giả sử khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là Rmôđun phải xạ ảnh,biểu diễn hữu hạn thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Một môđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho C là lớp các Rmôđun phải,Ctiền bao, bao,...được định nghĩa ra sao? Hoặc một vài mô tả của FPmôđun nội xạ là gì?

MODUN XẠ ẢNH VÀ MODUN NỘI XẠ

Khi học về môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạảnh, môđun nội xạ Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừnglại ở việc nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu.Giả sử khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là R-môđun phải xạ ảnh,biểu diễn hữuhạn thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Mộtmôđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho

C là lớp các R-môđun phải,C-tiền bao, -bao, được định nghĩa ra sao? Hoặc một vài

mô tả của FP-môđun nội xạ là gì?, Vì thế, để trả lời cho những câu hỏi này, là mộtsinh viên chuyên ngành Sư phạm toán, tôi đã chọn môn Đại số đồng điều để nghiêncứu trong đề tài “MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của tôi khi nghiên cứu đề tài này là nhằm hiểu sâu hơn và tự nâng caotrình độ chuyên môn của mình, trang bị thêm kiến thức để phục vụ cho quá trình họctập hiện tại và làm tiền đề, cơ sở cho việc học tập các môn học liên quan Đồng thờilàm tài liệu tham khảo và giúp các bạn sinh viên hạn chế khó khăn trong việc học tậpmôn học này

3 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu: Mô đun xạ ảnh và Môđun nội xạ

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc cái tài liệu về môn lý thuyết môđun, các

luận văn tốt nghiệp về bài môđun xạ ảnh môđun nội xạ của các khóa trước ở trườngĐại học Hà Tĩnh

+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến của giảng viên hướngdẫn, và các giảng viên dạy môn cơ sở lý thuyết môđun và vành

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân trongquá trình học tập học phần cơ sở lý thuyết môđun và vành, các bạn sinh viên đã họcbài môđun xạ ảnh, môđun nội xạ của các lớp sư phạm và các lớp khác.

5 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có haichương

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Trong chương này, tôi đã hệ thống những kiến thức cơ bản về môđun xạ ảnh môđunnội xạ nhằm làm cơ sở cho chương 2

Chương 2: Mở rộng của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ

2.1 Môđun xạ ảnh

2.2 Môđun nội xạ

2.3 Mối liên hệ giữa mô đun xạ ảnh và mô đun nội xạ

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI

Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Môđun xạ ảnh

1 Môđun bé_ Môđun hollow

1.1 Định nghĩa.

a) Cho Mô đun M, mô đun X ⊆M

gọi là mô đun con bé

( ):

Mệnh đề: Mọi môđun tự do trên R đều xạ ảnh

Chứng minh: Xét một Môđun tự do tùy ý X trên R sinh ra bởi tập S X⊂

g

AlàK xạả nh AlàM xạả nh

: K:

k X k X

K p

X M

(a)f(a) g(a) X h(a) (a)

(a) m X ker

(a) f(m) 0:A

F xạ ảnh+)

⊕

⊂

A F ⇒

F xạ ảnh

II Môđun nội xạ

2.1 Định nghĩa: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu

Nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

0 A B

Q

g h f

2.2 Định lí: Nếu

i I

hg= π =π µ =

Suy ra

Qinội xạ( )⇐

i

Q

g f k

µi

g f

ih

πi

Trong đó g đơn cấu, f đồng cấu i

2.3 Hệ quả: Mọi hạng tử trục tiếp của môđun nội xạ là môđun nội xạ

2.4 Định lí: Đối với môđun R

, ánh xạ ( , ):Q R(B,Q) Hom (A,Q)R

trong đó g đơn cấu Gọi K là môđun con của

Do g đơn cấu nên γ

cũng đơn cấu Khi đó theo giả thiếtγ

f = νγ f = νβ g hg =điều này chứng tỏ Q là nội xạ

Theo định nghĩa, để xác định tính nội xạ của môđun Q ta cần chứng tỏ sự tồn

tại của đồng cấu

Chứng minh: Hiển nhiên các điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ

của môđun Bây giờ ta tiến hành chứng minh điều kiện đủ theo hai bước

Qtrong đó α

là đơn cấu Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B sao

ρ

i

là một dây chuyển trong Γ

và

D= ∪C

với ( , ) C γ ∈Λ

Bài toán nhúng một môđun vào một môđun nội xạ

2.6 Định lí: Mỗi Môđun R

M

đều có thể ánh ạ đơn cấu vào một moodun nội xạ

2.7 Bổ đề: Môdun Z

D

(= nhóm aben) là nội xạ khi và chỉ khi nó chia được

( nghĩa là nD = D với mọi số tự nhiên n>0

)

Chứng minh: Điều kiện đủ: Cho

là một đơn cấu của 2 nhóm aben,

trong đó D là nhóm chia được Ta sẽ chứng tỏ ϕ

chẻ ra và do đó D là nội xạ

Do ϕ

đơn cấu nên D đồng cấu với ảnh

Im ϕ Bơi vậy không làm mất tính tổng

quát ta có thể xem D là nhóm con của B và ϕ

là đơn cấu chính tắc Gọi Γ

đè Zorn ta thấy rằng trong Γ

có phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm), chẳng hạn V.Khi đó

D V+ = ⊕D V

Bây giờ ta chứng tỏ B D V = ⊕

Đối với phần tử tùy ý b B∈

và ta có điều phải chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử môđun Z

Q

là nội xạ và giả sử

q Q ∈ , 0 m Z≠ ∈

Xétbiểu đồ các đồng cấu

q = ϕ m = ψ m = ψ m = ψ m

Điều này chứng tỏ Q là nhóm chia được

Giả thiết R là một vành tùy ý

2.8 Bổ đề: Nếu D là nhóm aben chia được thì

(R,D)

Z

Hom

là một R- Moodunphải nội xạ

β ψ

α

Khi đó rõ ràng đối với phần tử cố định b B∈

*

τ α chính là đơn cấu phải tìm

Chương 2: MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ2.1 Mô đun giả - xạ ảnh và mô đun bé - giả - xạ ảnh

2.1.1 Bổ đề

Bổ đề 1: Mô đun N được gọi là M - giả - xạ ảnh nếu với mọi mô đun con A của

M, bất kỳ toàn cấu

AMN: →

α

có thể mở rộng tới một đồng cấu

M N : →

β

Hơn nữa

N được gọi là giả - xạ ảnh nếu N là N - giả - xạ ảnh

Bổ đề 2: Mô đun N được goi là bé - M - giả - xạ ảnh nếu với mọi mô đun con A

của M bất kỳ toàn cấu

AMN: →

Định lý 1: N là xạ ảnh khi và chỉ khi N là M - giả - xạ ảnh với mọi M.

Chứng minh: Hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa.

Định lý 2: Mọi tổng trực tiếp của một mô đun M - giả - xạ ảnh cũng là mô đun

M - giả - xạ ảnh.

Chứng minh: Giả sử N là M - giả - xạ ảnh và N=A⊕B

Cho X là một mô đun con

của m và

XMA:

là một toàn cấu Xác định toàn cấu

XMBA:

là một đồng cấu mở rộng từ f Vì vậy A là M - giả - xạ ảnh

Các điều kiện sau tương đương:

( ) ( )i ⇒ ii

Giả sử đã có ( )i

và A thỏa mãn các giả thiết của ( )ii

và cũng có(A M)

;Nn,

khi đó 1 1 1

ma

n = +

và 2 2 2

ma

m1 2∈

Khi đó 1 2 2 1

mma

Cho

BNN:

là một toàn cấu và

BMM

α

Khi đó

MN:

|N →

α

là mở rộng của f Do đó N là M - giả - xạ ảnh

Định lý 4: Nếu mô đun N là một M - giả - xạ ảnh và B là một hạng tử trực tiếp

của M, khi đó N là B - giả - xạ ảnh.

là một phép chiếu tự nhiên của M đến

BM Điều đó chứng tỏ

*

f

là toàn cấu và ker( )f* =B

M là một M - giả - xạ ảnh, A là một M - giả - xạ ảnh

2.2 Môđun giả nội xạ

2.2.1 Chiều Goldle và CS-Môđun

Cho môđun M, chứng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M:

2.2.1.1 Định nghĩa

- Môđun M được gọi là CS- Môđun nếu M thỏa mãn tính chất 1

(C ) hay nói cách khác,

M là CS- môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M

- Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất 1

(C )

và 2(C )

- Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M không chứa tổngtrực tiếp vô hạn các moodun con khác không Ngược lại, ta nói M có chiều đều vô hạn

2.2.1.2 Bổ đề

Cho M là R- Môđun Khi đó:

(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M

(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M

(2) Ta chứng minh: Nếu Môđun con A đóng trong M và mọi e

Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M

Lấy K’ là phần bù giao K trong L, L’ là phần bù giao L trong M

và (K⊕ ⊕K' L')/ K ((K= ⊕K')/ K) (K⊕ ⊕L K'/ )≤ e M/ K

do đó V K=

hay K đóng trong M

2.2.1.3 Hệ quả

Hạng tử trực tiếp của CS- môđun là CS- môđun

Chứng minh: Giả sử M là CS- môđun, P là hạng tử trực tiếp của M tức là

M P= ⊕Q

với

Q M≤

ta chứng minh P là CS- môđun

Lấy A là môđun con đóng trong P do P đóng trong M nên A đóng trong M

Vì M là CS- môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là M A B= ⊕

không là môđun con đều

nên tồn tại các mô đun khác không 2 2

Chứng minh: bởi M có chiều đều hữu hạn nên trong M tồn tại Môđun con đều 1

Tương tự đối với 1

Tiếp tục lí luận như trên ta được 1 2 3

là CS- môđun có chiều đều hữu hạn

Do M có chiều đều hữu hạn nên quá trình dừng lại sau một số hữu hạn bước tức

Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn) nếu mỗi dòng

của A (mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằn

- ma trận vuông hay J- vuông

Đường chéo ma trận J- vuông A là tập các phần tử có dạng

'

∈

 jj

j Ja

nếu A có dòng hữu hajnhoajwc B có cột

hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và

gọi là tích của hai ma trận A và B

Nếu A và B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn ) thì AB có cột (dòng) hữu hạn

Cho J là tập khác rỗng, M là R- môđun trái, kí hiệu

,

( )J M

được viết dưới dạng các vecto cột

- Hệ phương trình tuyến tính trên M dạng AX = B trong đó: A là ma trận có dòng

nên ϕ

là đồng cấu môđun Dễ thấy ϕ

là đơn cấu, đồng thời theo cách xác định của ϕnên ϕ

cũng là toàn cấu Vậy ϕ

đẳng cấu

2.2.2 Môđun giả nội xạ

2.2.2.1 Định nghĩa: Cho M, N là các R- Môđun trái M được gọi là N- giả nội

xạ nếu với mọi môđun con A của N, với mọi đơn cấu

là đơn cấu Khi đó, X cũng là

môđun con của N và do M là N- giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu

là mở rộng cần tìm Vậy M là A- giả nội xạ

2.2.2.3 Mệnh đề Cho M, N là accs môđun và X =M ⊕ N

Các điều kiện sau

Theo gải thiết, tồn tại

môđun con T của X chưa A sao cho M ⊕ = T X

được gọi là dãy khớp

ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và

Imf = K g er

Một toàn cấu của các R – Môđun M → f N → 0

được gọi là chẻ ra nếu tồn

Một đơn cấu của các R – Môđun 0  → → M f N

được gọi là chẻ ra nếu tồn

(hoặc Kerg) là hạng tử trực tiếp của N

2.2.2.5 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ thì mọi đơn cấu

là đơn cấu nên có thể xem M như là một môđun

con của N Do M là N – giả nội xạ nên

1M

có thể mở rộng thành đồng cấu:

Do đó M là N – giả nội xạ, suy ra tồn tại mođun con T

của X chứa K sao cho M ⊕ =T X

Vậy thì A T⊕ = ⊕A N

Vậy A là N – giả nội xạ

2.2.2.7 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và M ≅ P

2.2.2.8 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất ( ) C2

Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của M đẳng

cấu với hạng tử trực tiếp A của M Ta chứng minh B là hạng tử trực tiếp của M

Thật vậy, lấy

:

f A → B

là đẳng cấu Khi đó, f củng là đơn cấu từ A vào M Vì

M là M – giả nội xạ thì A là M – giả nội xạ, đơn cấu f là chẻ ra Vậy B là hạng tử trực

tiếp của M hay M có tính chất ( ) C2

2.2.2.9 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ.

Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M,

tức là M = ⊕A B

, với B M ≤

Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ

2.2.2.10 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của

M đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M

Chứng minh Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M sao cho

Chứng minh Giả sử M là giả nội xạ và

nên V là môđun liên tục hay V có tính biến đổi Vì e

là giả nội xạ, ta chứng minh M là N – giả nội xạ,

N là M – giả nội xạ chứng minh tương tự Thật vậy, đặt X =M ⊕ N

M là tựa nội xạ khi

và chỉ khi M là giả nội xạ

Chứng minh (1) Lấy A là môđun con của M và

:

f A → M

là đồng cấu Nếuer

là tựa nội xạ Vậy M là tựa nội xạ

2.2.2.14 Định lí Môđun M có chiều đều hữu hạn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M

là giả nội xạ và là CS – môđun

2.3 Một số bài tập liên quan

Bài tập 1 Chứng minh trực rằng tích tiếp

Bài tập 2 Một R – môđun phải P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại một họ các

Khi đó họ

( )a i i I∈ ∈P

thỏa điều kiện (ii)

Ngược lại, giả sử tồn tại các họ phần tử { } ai i I∈

KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu đề tài đã giải quyết được các vấn đề đặt ra cụ thể là:

1 Hệ thống lại kiến thức về môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

2 Hệ thống được một số tính chất và định lý, sự mở rộng của môđun nội xạ và môđun

xạ ảnh

2.1 Môđun xạ ảnh

2.1.1 Môđun giả - xạ ảnh và môđun bé – giả - xạ ảnh

2.2 Môđun nội xạ

2.2.1 Chiều Golden và CS – Môđun

2.2.2 Môđun giả nội xạ

2.3 Mối liên hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun nội xạ

Ở mỗi định lí, tính chất chúng tôi đều đã chứng minh một cách rõ ràng chi tiết

Hi vọng đề tài là tài liệu tham khảo tốt cho các bạn sinh viên chuyên ngành Toán

và các sinh viên chuyên nghành khác quan tâm đến chuyên đề này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến …… đã hướng dẫn, đọc bản thảo và cho ýkiến đóng góp quý báu

Chân thành cảm ơn Thầy!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Văn Thiện, Giảo trình cơ sở đại số hiện đại, Đại học sư phạm Huế,

2012

[2] Nguyễn Tự Cường, Đại số hiện đại, Đại học Quốc gia Hà nội, 2003.

[3] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.

[4] T.Y Lam, Exercices in Modules anh Rings, Springer, 2007.

[5] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Môđun và Nhóm Aben, Nhà xuất bản đại học

sư phạm, 2008