Lý thuyết môđun là một trong những lý thuyết phong phú phát triển mạnh mẽ hiện nay và đạt được nhiều kết quả sâu sắc có ý nghĩa.Khi học về môđun, chúng ta đã làm quen với khái niệm và tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội xạ. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn nên trong chương trình học chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các môđun này ở mức độ cơ bản chưa có tính chất chuyên sâu. Giả sử khi cho R là vành có đơn vị bất kỳ, M là Rmôđun phải xạ ảnh,biểu diễn hữu hạn thì ta sẽ tính được số chiều của nó, vậy làm cách nào để tính được số chiều? Một môđun như thế nào được gọi là môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho C là lớp các Rmôđun phải,Ctiền bao, bao,...được định nghĩa ra sao? Hoặc một vài mô tả của FPmôđun nội xạ là gì?
MODUN XẠ ẢNH VÀ MODUN NỘI XẠ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết mơđun lý thuyết phong phú phát triển mạnh mẽ đạt nhiều kết sâu sắc có ý nghĩa Như biết, ngày môn Đại số đồng điều tràn ngập vào tốn học Vì vậy, việc học mơn trở nên thực cần thiết trở thành môn học bắt buộc chương trình Khi học mơn này, học mơđun vành có đơn vị R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều phức, hàm tử xoắn Torn, hàm tử mở rộng Extn Khi học môđun, làm quen với khái niệm tính chất mơđun xạ ảnh, mơđun nội xạ Tuy nhiên, thời gian có hạn nên chương trình học dừng lại việc nghiên cứu môđun mức độ chưa có tính chất chuyên sâu Giả sử cho R vành có đơn vị bất kỳ, M R-môđun phải xạ ảnh,biểu diễn hữu hạn ta tính số chiều nó, làm cách để tính số chiều? Một môđun gọi môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho C lớp R-môđun phải,C-tiền bao, -bao, định nghĩa sao? Hoặc vài mô tả FP-môđun nội xạ gì?, Vì thế, để trả lời cho câu hỏi này, sinh viên chuyên ngành Sư phạm tốn, tơi chọn mơn Đại số đồng điều để nghiên cứu đề tài “MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MƠĐUN NỘI XẠ” Mục đích nghiên cứu Mục đích tơi nghiên cứu đề tài nhằm hiểu sâu tự nâng cao trình độ chun mơn mình, trang bị thêm kiến thức để phục vụ cho trình học tập làm tiền đề, sở cho việc học tập môn học liên quan Đồng thời làm tài liệu tham khảo giúp bạn sinh viên hạn chế khó khăn việc học tập mơn học Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Mô đun xạ ảnh Môđun nội xạ Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu môn lý thuyết môđun, luận văn tốt nghiệp môđun xạ ảnh môđun nội xạ khóa trước trường Đại học Hà Tĩnh + Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn, giảng viên dạy môn sở lý thuyết môđun vành + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân trình học tập học phần sở lý thuyết môđun vành, bạn sinh viên học môđun xạ ảnh, môđun nội xạ lớp sư phạm lớp khác Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có hai chương Chương 1: Các kiến thức sở Trong chương này, hệ thống kiến thức môđun xạ ảnh môđun nội xạ nhằm làm sở cho chương Chương 2: Mở rộng môđun xạ ảnh môđun nội xạ 2.1 Môđun xạ ảnh 2.2 Môđun nội xạ 2.3 Mối liên hệ mô đun xạ ảnh mô đun nội xạ CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI A≤ M : A môđun môđun M A ≤e M : A⊆ M : A môđun cốt yếu môđun M A tập hợp tập hợp M Hom( N , M ) : tập tất đồng cấu môđun từ N đến M ⊕: tổng trực tiếp môđun f :N → M : phép tương ứng từ N đến M M N: môđun thương M N ϕ A: thu hẹp N≅M: ϕ A môđun N đẳng cấu với M Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT I Môđun xạ ảnh Môđun bé_ Môđun hollow 1.1 Định nghĩa a) Cho Mô đun M, mô đun (⇔X +N =M X ⊆M ∀N Ø M gọi mô đun bé M = N ) Kí hiệu: X =M X ⊆0 M ∀N Ø M b) M gọi hollow ⇒ N=M Ví dụ: Cho M môđun chuỗi M hollow Chứng minh: X ØM X + N = M (N ⊆ M) Xét Ta có: X ⊆ N ⇒ X + N = N = M N ⊆ X ⇒ X + N = X Ø M ( loai) 1.2 Tính chất md A = B⊆ C ⇒ A = C a) b) A = M ⇒ A= B md ⊕ A ⊆ B M ⊆ X + N ØM c) d) f :M → N ⇒ f ( A) = N A = M B M md md = B= M ⇔ A A (A ⊆ B ⊆ M) A = M ∀i = 1, n Ai = M ⇒ ∑ Ai = M e) md Ai ⊆ Bi (i = 1, n) n n i =1 i =1 ⊕ Ai = ⊕ Bi ⇔ Ai = Bi ∀i = 1, n f) Mô đun xạ ảnh 2.1 Định nghĩa Mô đun cấu g:A → B g h = f MR gọi xạ ảnh với đồng cấu môđun R f :M → B , tồn đồng cấu toàn h :M → A cho nghĩa là: M h f A B g Mệnh đề: Mọi môđun tự R xạ ảnh Chứng minh: Xét Môđun tự tùy ý X R sinh tập f :X → B Giả sử đồng cấu Môđun R g:A → B toàn cấu tùy ý cho trước j (s) Với s thuộc S, tồn phần tử toàn cấu.Sự tương ứng R lên tập hợp S⊂ X s → j (s) S⊂ X A với xác định hàm go j (s) = f (s) j :S → A g X mơđun tự nên j mở rộng thành đồng cấu S h:X → A : j h X f A B g Gọi x phần tử tùy ý X Vì X sinh S nên x tổ hợp n x = ∑ α i si , (α i ∈ ¡ , si ∈ S) ,i = 1, n i =1 tuyến tính Ta có n n n n go h(x) = ∑ α i go h(si ) = ∑ α i go j(si ) = ∑ α i ff(si ) = ∑ α i si = f (x) i =1 i =1 i =1 i =1 goh= f Vì x phần tử X nên suy Hệ quả: Mỗi mơđun ảnh tồn cấu mơđun xạ ảnh 2.2 Các định lí mơđun xạ ảnh 2.2.1 Định lí AlàK _ xạả nh AlàM _ xạả nh ⇒ M nh K ⊂ M M _ xạả K Chứng minh: A K_ xạ ảnh i: K Xét phép nhúng: Với p1, p2 X k+ X a k+ X p1 : K → K X M p2 : M → X ⇒ ∃g: A → M Ta cần chứng minh: Đặt: →M phép chiếu Do A M_ xạ ảnh Xét X g( A) ⊂ K cho p2g = if a∈ A : f (a) = i ( f (a)) = p2 ( g(a)) = g(a) + X f (a) = k + X (k ∈ K) = g(a) + X ⇒ g(a) − K ∈ X ⇒ g(a) = k + x (x∈ X) ⊂ K + X ⊂ K ⇒ g(A) ⊂ K h: A → K Đặt: a a g(a) ⇒ f(a) = g(a) + X = h(a) + X = p1 ( h(a)) ⇒ f = p1h M Suy ra: A f : A→ p: M K ( ) M → K xạ ảnh K L K ( ) p1 : M → M M K L K phép chiếu K phép chiếu ⇒ ∃g: A → M f = p(p1g) Do A M_ xạ ảnh h = p1g: A → M K ⇒ f = ph Đặt: 2.2.2 Định lí A M_ xạ ảnh tồn cấu Chứng minh: Đặt ker f = X A = f ( M ) = Im f ≅ M ⇒ α :A → M X đẳng cấu Vì A M xạ ảnh nên ker f =M X ∃h: A → M f :M → A chẻ ∀a∈ A : α (a) = m+ X = ph(a) = h( a) + X ⇒ h(a) − m∈ X = ker f ⇒ f ( h(a) − m) = ⇒ f h(a) − f(m) = α :A → M X a a m+ X, f (m) = a ph = α ⇒ f h(a) = a = idA Sao cho: : Suy ra: toàn cấu chẻ ⇔ A⊆ ⊕ F 2.2.3 Định lí A mơđun xạ ảnh ( Với F tự do) Chứng minh: ⇒) A xạ ảnh A≅ F K với F tự Xét dãy khớp: i l → K → F →F K → F ⇒ K Do xạ ảnh p chẻ ⇒F ≅K ⊕F ≅K ⊕A K ⊕ ⇒ A⊂ F ⇐) A ⊂ ⊕ F Với F tự ⇒ +) F tự F xạ ảnh ⊕ A⊂ F ⇒ +) F xạ ảnh II Môđun nội xạ 2.1 Định nghĩa: Môđun Q gọi nội xạ với đồng cấu g: A → B đơn cấu R- Môđun tồn đồng cấu hg=f Nghĩa biểu đồ sau giao hoán: A g B f h Q f : A→Q h: B → Q cho Q = ∏ Qi 2.2 Định lí: Nếu I Q môđun nội xạ Qi nội xạ với i∈I Chứng minh: (⇒) Giả sử Q môđun nội xạ f : A → Qi g: A → B i∈I Giả sử đơn cấu đồng cấu với µi :Qi → Q µi f : A → Qi Gọi phép nhúng tắc ta có đồng cấu Do Q nội xạ nên tồn đồng cấu k: B → Q A g Qi k cho biểu đồ sau giao hốn: B f µi Q nghĩa kg = µi f Bây xét đồng cấu h = π i ki , π i : Q → Qi hg = (π i k)g = π i (µi f) = f Suy Qi nội xạ Qi (⇐) i∈I giả sử mô dun nội xạ với Xét biểu đồ giao hoán: A g B Q hi f πi Qi phép chiếu tắc ta có: Trong g đơn cấu, f đồng cấu πi phép chiếu tắc hi đồng cấu có Qi π i f = hg i tính nội xạ , π i h = hi h: B → Q b∈ B Khi tồn đồng cấu cho cụ thể với h(bi ) = (hi )b, ∀ i ∈ I Ta khẳng định: f=hg f (a)i = π i (f(a)) = hi (g(a)) = π i (hg(a)) = hg(a)i ⇒ f (a) = hg(a) ⇒ f = hg ∀a∈ A Thật ta có 2.3 Hệ quả: Mọi hạng tử trục tiếp môđun nội xạ mơđun nội xạ QR 2.4 Định lí: Đối với mơđun điều sau tương đương: (a) Q nội xạ ϕ :Q → B imϕ (b) Mỗi đơn cấu chẻ (nghĩa là hạng tử trực tiếp Q) α :A → B (c ) Đối với đơn cấu , ánh xạ Hom(a, I Q ): HomR (B,Q) → HomR (A,Q) toàn cấu Hom ( α , 1Q ) ⇔ Chứng minh: (a) (c) Từ định nghĩa suy (c) phát biểu tương đương mệnh đề (a) β :B → Q ⇒ (a) (b) Do Q nội xạ nên tồn đồng cấu cho biểu đồ sau ϕ giao hoán Q B 1Q β Q βϕ = 1Q nghĩa (b) Bởi vậy, ⇒ ϕ chẻ (a) Xét biểu đồ đồng cấu môđun A f Q g B Chứng minh: M có chiều hữu hạn nên M tồn Môđun Gọi X1 Gỉa sử bao đóng X1 Suy : Ta có: U1 U1 M không môđun ∃A, B ≤ X ,(A,B ≠ 0) A∩ B = cho (U1 ∩ A) ∩ ( U1 ∩ B) = U1 ∩ (A ∩ B) = X1 U1 Do Điều mâu thuẩn với tính mơđun Bởi M CS- môđun tử trực tiếp M tức M1 = X2 ⊕ M2 Tương tự ta có CS- mơđun có chiều hữu hạn Tiếp tục lí luận ta Mơđun Mn X1 bao đóng U1 nên X1 hạng M = X1 ⊕ M1 Vì M CS- mơđun có chiều hữu hạn nên hữu hạn M1 U1 ≤ e X, U1 ∩ A ≠ 0, U1 ∩ B ≠ M1 X2 CS- mơđun có chiều Môđun M = X1 ⊕ X2 ⊕ X3 ⊕ Xn M2 Xi ,(1,2, ,n) là CS- mơđun có chiều hữu hạn Do M có chiều hữu hạn nên trình dừng lại sau số hữu hạn bước tức tồn n để Khi Mn = M = X1 ⊕ X2 ⊕ X3 ⊕ Xn với Xi ,(1,2, ,n) môđun 2.2.1.6 Định nghĩa kí hiệu Cho R vành có đơn vị, hai tập khác rỗng J K Một A : J × K → R R hàm Kí hiệu A J×K J×K - Ma trận - ma trận R Với A( j, k ) = a jk ∈ R j, k ∈ J × K , đặt viết A = a jk Ta gọi J ×K ( j, k ) phần tử A với số Nếu khơng có nhầm lẫn J K, ta viết trận chuyển vị A , kí hiệu J ' ⊆ J,K ' ⊆ K a jk At , ma trận dạng bkj , K×J trận A kí hiệu: dòng thứ j cột thứ k ma trận A Tập hợp tất ta kí hiệu M J ×K (R) Ma J ×K Nếu J '× K ' a jk , a { j} × K jk J ×{ k } Lấy A = a jk bkj = a jk tập khác rỗng, thu hẹp A a jk J '× K ' , ta ma theo thứ tự - ma trận vành R, Ma trận A gọi dòng hữu hạn (cột hữu hạn) dòng j ∈ J,k ∈ K A (mỗi cột A) có hầu hết phần tử bằn hạn Nếu J =K ta gọi A J ×K g khơng trừ số hữu - ma trận vuông hay J- vuông a jj j∈J ' Đường chéo ma trận J- vuông A tập phần tử có dạng A = a jk ∈ M J ×K (R) Giả sử J, K, F tập khác rỗng, , B = b jk ∈ M K ×F (R) Với j∈J , f ∈F ∑a b xét chuỗi k∈K ij ij A có dòng hữu hajnhoajwc B có cột ∑a b hữu hạn chuỗi tổng hữu hạn A = ∑ aij bij k∈K J ×F k∈K ij ij = cij ∈ R Khi J ×F - ma trận gọi tích hai ma trận A B Nếu A B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn ) AB có cột (dòng) hữu hạn MJ = ∏ Mj M (J ) = ⊕ M j j∈J Cho J tập khác rỗng, M R- mơđun trái, kí hiệu Ta quy ước phần tử MJ , M (J ) j∈J viết dạng vecto cột - Hệ phương trình tuyến tính M dạng AX = B đó: A ma trận có dòng J ×K hữu hạn tức ( ) A = rjk ∈ RJ ( C = ck ∈ M K ( K) ( ) B = bj ∈ M J ) C = ck Nếu tồn thỏa mãn AC = B ta gọi nghiệm hệ phương trình AX = B gọi giải có nghiệm M Với C ∈ MJ { } R(C ) = p∈ R(J) / pt C = tập gọi linh hóa tử C Dễ dàng kiểm tra R(C) ≤ R(J ) Hệ phương trình tuyến tính AX = B gọi tương thích mạnh M tồn a∈ M K R(Aa) ≤ R(B) R(B) / R(Aa) ≤ e R(J) / R(Aa) phần tử cho Hiển nhiên, hệ AX = B tương thích cốt yếu tương thích mạnh 2.2.1.5 Bổ đề Cho C = cj ∈ M J C { c / j∈J } j Kia hiệu môđun M sinh tập ϕ : R / R(C) → C ϕ (p+ R(C)) = pt C Khi xác định đẳng cấu Chứng minh: Ta có : p + R(C) = q+ R(C), p, q∈ R(J ) ⇔ p − q∈ R(C) (J) ⇔ (p− q)t C = t t ⇔ pC = qC ⇒ϕ ánh xạ với x, y∈ R(J) / R(C), x = p + R(C),y = q + R(C); p, q∈ R(J) : t t ϕ (x+ y) = ϕ (p+ q+ R(C)) = (p+ q)t C = pC + qC = ϕ (x) + ϕ (y) ϕ (xy) = ϕ (rp+ R(C)) = (rp)t C = rpt C = rϕ (x); r ∈ R ϕ ϕ đồng cấu môđun Dễ thấy đơn cấu, đồng thời theo cách xác định ϕ ϕ nên tồn cấu Vậy đẳng cấu nên ϕ 2.2.2 Mơđun giả nội xạ 2.2.2.1 Định nghĩa: Cho M, N R- Môđun trái M gọi N- giả nội f :A → M xạ với môđun A N, với đơn cấu mở rộng thành g :N → M đồng cấu M gọi giả nội xạ M M- giả nội xạ 2.2.2.2 Mệnh đề Cho Chứng minh Lấy A≤ N X≤A Nếu M N- giả nội xạ M A- giả nọi xạ f :X →M đơn cấu Khi đó, X g :N → M môđun N M N- giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu Hiển nhiên g A :A → N , mở rộng cần tìm Vậy M A- giả nội xạ 2.2.2.3 Mệnh đề Cho M, N accs môđun tương đương: X =M ⊕N Các điều kiện sau (1) M N – giả nội xạ (2) Với bất lỳ môđun A X thỏa mãn môđun T X chứa A cho Chứng minh (1) ⇒ , tồn M ⊕T = X (2) Giả sử có (1) A môđun thỏa mãn giả thiết (2) Gọi πM : M ⊕ N → M , πN : M ⊕ N → N θ :π N ( A) → π M ( A) A∩ M = A∩ N = sau: phép chiếu Ta xác định đồng cấu Với giả thiết, θ a ∈ A, θ ( π N ( a) ) = π M ( a) mở rộng thành đồng cấu n∈ N,m∈ M , (2) Đặt A∩ N = g :N → M Từ đây, ta thấy ⇒ Do M ⊕T = X A⊆T Đặt , nên θ đơn cấu Theo T = { n + g ( n) : n ∈ N } ∀a ∈ A, a = m + n = n + θ (n ) = n + g (n), với , thỏa mãn (2) f :B → M (1) Giả sử có (2) Gọi B môđun N A = { b − f (b) :b ∈ B} , mơđun T X chưa A cho A∩ M = A∩ N = M ⊕T = X đơn cấu Theo gải thiết, tồn π :M ⊕ T → M Lấy phép chiếu ∀b ∈ B, b = f (b) + b − f (b ), Khi đó, π ta có: N ( f (b) + b − f (b) ) = f (b) π , N mở rộng f cần tìm 2.2.2.4 Định nghĩa Một dãy đồng cấu R – Môđun: fn fn +1 → An−1 → An → An+1 → Im f n = Kerf n+1 gọi khớp Ta nói khớp khớp Một dãy khớp dạng An An với n f g → M → N → K →0 gọi dãy khớp Imf = Kerg ngắn f đơn cấu, g toàn cấu Một toàn cấu R – Môđun g :N → M đồng cấu cho f M → N →0 fg = 1N gọi chẻ tồn Một đơn cấu R – Môđun g :N → M đồng cấu cho fg = 1M gọi chẻ tồn f g → M → N → K →0 Dãy khớp ngắn Imf f → M →N gọi chẻ (hoặc Kerg) hạng tử trực tiếp N f :M → N 2.2.2.5 Mệnh đề Nếu M N – giả nội xạ đơn cấu N=Imf ⊕ X chẻ ra, , với X mơđun N f :M → N Chứng minh Vì đơn cấu nên xem M môđun N Do M N – giả nội xạ nên g:N →M cho Thật vậy, gf = 1M mở rộng thành đồng cấu N=Imf ⊕ ker g Ta chứng minh g ( n − f ( g ( n) ) ) = g ( n) − g ( f ( g (n) ) ) = g ( n) − g (n) = N=Imf ⊕ ker g ta có x ∈Imf ∩ Kerg , Mặt khác, có x = f ( m) cho tồn Như vậy, m∈M g ( x) = Từ đây, ta suy Do 1M N=Imf ⊕ X m = g ( f ( m) ) = g ( x ) = hay x= Vậy 2.2.2.6 Mệnh đề Nếu M N – giả nội xạ A hạng tử trực tiếp M A N – giả nội xạ Chứng minh Giả sử M N – giả nội xạ, đặt với B ≤ M Lấy K môđun A⊕ N X =M ⊕N cho M = A⊕ B K ∩A=K ∩N =0 , Lấy x∈K ∩ M x=m=a+n , suy n = hay Vậy x = hay m ∈ M , a ∈ A, n ∈ N với , ta có n = m − a∈M x = a ∈ A, x ∈ K K ∩M =0 X chứa K cho Do M N – giả nội xạ, suy tồn mođun T M ⊕T = X Vậy A⊕T = A⊕ N Vậy A N – giả nội xạ 2.2.2.7 Mệnh đề Nếu M N – giả nội xạ Chứng minh Lấy X ≤N ϕ :P → M đẳng cấu M ≅P P N – giả nội xạ f :X → P đơn cấu Do M ≅P nên tồn ϕ f :X → M Khi đơn cấu, M N – giả nội xạ nên φ :N → M ϕf mở rộng thành đồng cấu cho φ iX = ϕ f g = ϕ −1φ : N → P phép bao hàm Đặt , ta có Vậy g mở rộng f cần tìm hay P N – giả nội xạ , iX : X → N giX = ( ϕ −1φ ) iX = ϕ −1φ f = f 2.2.2.8 Định lí Mọi mơđun giả nội xạ thỏa mãn tính chất ( C2 ) Chứng minh Giả sử M môđun giả nội xạ B môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A M Ta chứng minh B hạng tử trực tiếp M f :A → B Thật vậy, lấy đẳng cấu Khi đó, f củng đơn cấu từ A vào M Vì M M – giả nội xạ A M – giả nội xạ, đơn cấu f chẻ Vậy B hạng tử trực tiếp M hay M có tính chất ( C2 ) 2.2.2.9 Định lí Hạng tử trực tiếp mơđun giả nội xạ môđun giả nội xạ Chứng minh Giả sử M môđun giả nội xạ A hạng tử trực tiếp M, tức M = A⊕ B , với B≤M Ta chứng minh A mơđun giả nội xạ Lấy X≤A f :X → A iA : A → M đơn cấu Khi phép nhúng Do M giả nội xạ, nên φ =ϕ ϕ :M → M cấu iA f : X → M Đặt g = πφ : A → A A iA f đơn cấu, mở rộng thành đòng π :M = A ⊕ B → A phép chiếu Lấy giX = πφiX = π iA f = f , iX : X → A , ta có Vậy g mở rộng f cần tìm hay A môđun giả nội xạ phép nhúng 2.2.2.10 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M môđun giả nội xạ mơđun M đẳng cấu với phần bù M phần bù M Chứng minh Cho K phần bù M A môđun M cho f :A → K A≅M Lấy đẳng cấu môđun Theo giả thiết, f mở rộng thành đồng g :M → M cấu nhiên Theo bổ đề Zorn, tồn phần bù A’ M cho gA đơn cấu Vậy K = g ( A ') K = g ( A) ≤e g ( A ') A ≤e A ' Vì K mơđun bù nên A = A' Do 2.2.2.11 Định lí M tựa nội xạ M giả nội xạ môđun Chứng minh Giả sử M giả nội xạ M i ≅ M (i = 1,2) cho V’ X = M1 ⊕ M A ∩ M = 0; A ∩ M ≤e A M2 ta có Hiển cho V ⊕V ' = M2 A ⊕ A' = X , với M2 M2 CS – CS – môđun Lấy , M môđun liên tục Gọi A phàn bù X Do M2 CS – môđun nên tồn môđun V A ∩ M ≤e V A' ≤ X Mặt khác M2 CS – môđun nên Do V hạng tử trực tiếp môđun liên tục nên V mơđun liên tục hay V có tính biến đổi Vì Vậy V ⊕ A' = X Do A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V Gọi C môđun X cho M1 phần bù K X của K1 , K ∩ M2 K2 phần bù C ∩ M1 = K2 K K1 M2 K1 chứa π :M ⊕ M → M Lấy Theo bổ đè Zorn, tồn K ∩ M2 điều kiện trên, nên phần bù M1, M1 ⊕ K = M1 ⊕ π ( K ) ≤e X Theo cách chọn K1 K , π ( K1 ) ⊕ π ( K ) ≤e M M1 ⊕ K = X Vậy M1 M2 2.2.2.12 Mệnh đề Nếu Chứng minh Giả sử K1 ⊕ K ≤e K A∩ M = K K ∩ M ≤e K K1 , thỏa mãn K1 đẳng cấu Do tính liên tục hạng tử trực tiếp nên từ suy π ( Ki ) ≅ Ki M2 Vì K π ( K ) ≤e M , π ( K1 ) ⊕ π ( K ) ≤e π ( K ) M = π ( K1 ) ⊕ π ( K ) = π ( K ) Vậy - giả nội xạ M ⊕N M ⊕N giả nội xạ M N nội xạ lẫn giả nội xạ, ta chứng minh M N – giả nội xạ, N M – giả nội xạ chứng minh tương tự Thật vậy, đặt cho Ta thấy K1 phép chiếu thơng thường ta có , π ( K1 ) ⊕ π ( K ) M2 phần bù T Từ đây, suy M ⊕ ( K1 ⊕ K ) = M ⊕ ( π ( K1 ) ⊕ π ( K ) ) Do V ∩ A' = chứa C Cũng theo bổ đề Zorn, tồn phàn bù T ≅ M2 Thế với phần của , ta có phần bù X Tồn môđun T X chứa M1 ⊕ T = X M2 V ∩ A ≤e A X =M ⊕N A≤ X π :M ⊕ N → N Gọi K phần bù M X chứa A, phép M ⊕ K = M ⊕ π ( K ) ≤e X , chiếu ta có K ≅ π ( K ) từ ta suy π ( K ) ≤e N , f :π ( K ) → K Gọi đẳng cấu Vì X giả nội xạ nên X N – giả nội K = g ( π ( K ) ) ≤e g ( N ), g :N → X xạ Do f mở rộng thành đồng cấu Ta có π (K ) = N K = g(N ) môđun bù X nên K Vậy Vậy M N – nội xạ 2.2.2.13 Bổ đề (1) Nếu môđun M giả nội xạ M tựa nội xạ M = ⊕i∈I M i (2) Cho M giả nội xạ tổng trực tiếp môđun Mi M tựa nội xạ f :A → M Chứng minh (1) Lấy A môđun M đồng cấu Nếu g :M → M Kerf = 0, theo giả thiết f mở rộng thành đồng cấu đặt δ = iA − f , x − f ( x) = hay Kerf ≤ e M iA : A → M x=0 Nếu phép bao hàm Lấy Vậy Từ đây, ta suy , x ∈ Kerf ∩ Kerδ , ta có Kerf ∩ Kerδ = Kerf ≠ Vì M đều, Kerδ =0 g :M → M đồng cấu Kerf ≠ Do M giả nội xạ nên δ nên mở rộng thành 1− g Hiển nhiên, mở rộng f M ( I − i) (2) Cho M giả nội xạ, theo 2.2.2.12 Mi - nội xạ, với i∈I Theo (1) hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ, nên tựa nội xạ Vậy M tựa nội xạ Mi 2.2.2.14 Định lí Mơđun M có chiều hữu hạn tựa nội xạ M giả nội xạ CS – môđun 2.3 Một số tập liên quan Bài tập Chứng minh trực tích tiếp mơđun xạ ảnh Chứng minh Giả sử M abel tự với sở { ei ; i ∈ I } ¢ Từ M = ∏ i∈N ¢ i , ¢ i = ¢ - mơđun xạ ảnh Ta có P = ⊕i∈N ¢ i , ¢ i = ¢ M ⊆F khơng ¢ - với F nhóm đếm được, ta phân tích I thành Chú ý I1 ∪ I M ⊄ F1 , F1 cho I1 đếm P chứa F1 { ei ; i ∈ I } đếm M khơng Xét phép chiếu từ F vào f :F →¢ i ∈ I2 , ta có đống cấu (mâu thuẫn) f (M ) ≠ với f ( F1 ) = ei ¢ với F ( P) = (vì ) Bài tập Một R – mơđun phải P xạ ảnh tồn họ { } i∈I phần tử P hàm tuyến tính kiện sau thỏa mãn: (i) Với (ii) a ∈ P, f i ( a ) = { fi } i∈I HomR ( P, R) cho hai điều với hầu hết i a = ∑ i∈I f i (a ), ∀a ∈P φ :F → P Chứng minh Giả sử P R – môđun phải xạ ảnh cấu, F R – mơđun tự có sở (ei )i∈I R – tồn Khi dãy khớp ngắn φ → Kerφ → F →P → f :P → F chẻ ra, tồn R – đồng cấu ý a∈P cho φ f = 1P Với phần tử tùy f (a ) = ∑ ei f i ( a ) , f (a) ∈ F ln có khai triển hữu hạn có hữu hạn phần tử i∈ I i∈I fi ( a ) ≠ cho Khi rõ ràng tương ứng tức f1 : P → R f i (a) = f i ( a ) , ∀a ∈ P xác định i∈I R – đồng cấu thỏa mãn điều kiện (i) với Bây ta đặt = φ (ei ), ∀i ∈ I a = ( φ f ) (a) = φ ∑ ei ÷ f i ( a ) = ∑ f i (a ), i∈I i∈I Khi họ (ai )i∈I ∈ P thỏa điều kiện (ii) Ngược lại, giả sử tồn họ phần tử { fi } i∈I HomR ( P, R) của P hàm tuyến tính thỏa điều kiện (i) (ii) xét tập hợp g :S → P ánh xạ { } i∈I xác định g (ei ) = , ∀i ∈ I φ :F → P mở rộng g, tức cho S = { ei } i∈I Cho F R- đồng cấu φ (ei ) = , ∀i ∈ I Bây ta định nghĩa f (a ) = ∑ i∈I ei f i (a ); f :P → F ánh xạ ý tổng hữu hạn nên f hoàn tồn xác định R – đồng cấu Khi ta suy i∈I ( φ f ) (a) = φ ∑ ei fi ( a ) ÷= ∑φ (ei ) fi (a) = ∑ fi (a) = a, ∀a ∈ P i∈I φ f = 1P i∈I φ → Kerφ → F →P → tức Do dãy khớp ngắn chẻ Điều nói lên P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự F nên P R – môđun xạ ảnh Nhận xét Để thuận tiện, đề cập đến đối ngẫu” cho môđun (xạ ảnh) P Dĩ nhiên, họ không thiết sở P { } i∈I , { , fi } ∈ P cặp: “cặp sở dạng tập sinh KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài giải vấn đề đặt cụ thể là: Hệ thống lại kiến thức môđun nội xạ môđun xạ ảnh Hệ thống số tính chất định lý, mở rộng môđun nội xạ môđun xạ ảnh 2.1 Môđun xạ ảnh 2.1.1 Môđun giả - xạ ảnh môđun bé – giả - xạ ảnh 2.2 Môđun nội xạ 2.2.1 Chiều Golden CS – Môđun 2.2.2 Môđun giả nội xạ 2.3 Mối liên hệ môđun xạ ảnh môđun nội xạ Ở định lí, tính chất chúng tơi chứng minh cách rõ ràng chi tiết Hi vọng đề tài tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên chuyên ngành Toán sinh viên chuyên nghành khác quan tâm đến chuyên đề Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến …… hướng dẫn, đọc thảo cho ý kiến đóng góp quý báu Chân thành cảm ơn Thầy! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Thiện, Giảo trình sở đại số đại, Đại học sư phạm Huế, 2012 [2] Nguyễn Tự Cường, Đại số đại, Đại học Quốc gia Hà nội, 2003 [3] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999 [4] T.Y Lam, Exercices in Modules anh Rings, Springer, 2007 [5] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun Nhóm Aben, Nhà xuất đại học sư phạm, 2008 ... kiến thức môđun xạ ảnh môđun nội xạ nhằm làm sở cho chương Chương 2: Mở rộng môđun xạ ảnh môđun nội xạ 2.1 Môđun xạ ảnh 2.2 Môđun nội xạ 2.3 Mối liên hệ mô đun xạ ảnh mô đun nội xạ CÁC KÍ HIỆU... Chương 2: MỞ RỘNG CỦA MƠĐUN XẠ ẢNH VÀ MƠĐUN NỘI XẠ 2.1 Mơ đun giả - xạ ảnh mô đun bé - giả - xạ ảnh 2.1.1 Bổ đề Bổ đề 1: Mô đun N gọi M - giả - xạ ảnh với mô đun A α:N →M A M, tồn cấu mở rộng tới... giả nội xạ nên δ nên mở rộng thành 1− g Hiển nhiên, mở rộng f M ( I − i) (2) Cho M giả nội xạ, theo 2.2.2.12 Mi - nội xạ, với i∈I Theo (1) hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ,