Luận văn phép tính TENXƠ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phươngtrình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ.. Đồng thờitá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã

có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn.

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn

ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này.

Tác giả

Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN 1

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép biến đổi tọa độ 5

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các 5

1.2.2 Hệ tọa độ cong 7

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 8

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide 14

1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 20

1.3.1 Tenxơ hạng nhất 20

1.3.2 Tenxơ hạng hai 21

1.3.3 Khai triển cụ thể 21

1.4 Đạo hàm hiệp biến 23

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở 23

1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất 31

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai 32

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 33

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng 48

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48

2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng 49

2.3.3 Phương trình cân bằng 52

2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyếtcác vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đànhồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhàtoán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán họckhác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa cáctập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ cácphương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng -chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay cácgiáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệthức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổicủa tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phươngtrình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được cácphương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằngtrong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tàiliệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tínhcủa tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thờitác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtrichiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamétrong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việcxác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biếndạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bàitoán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm cơ bản

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng

khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể: ,

,

Cách thành phần còn lại của

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc vớivéc tơ cơ sở (Hình 1)

là véctơ bán kính của điểm P bất kỳtrong hệ tọa độ Đềcác

Véc tơ được biểu diễn dưới dạng

(1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P

là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và trực giao nêntích vô hướng =0 nếu , nếu nên

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương

tự như đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùngloại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ

1.2.2 Hệ tọa độ cong

Hệ tọa độ cong với hệ véc tơ cơ sở(Hình 2).

là véctơ bán kính của điểm P bất kỳtrong hệ tọa độ cong

Biểu diễn véc tơ dưới dạng :

Lấy điểm là lân cận của điểm

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng

Trong đó

Phép tính đối với vectơ

Cho hai véctơ và

Phép cộng, trừ

Tích vô hướng

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng:

Với các véc tơ cơ sở là không đổi

O

Hình 2

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xétbằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị.

và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

Ta có:

Suy ra 2 ma trận là nghịch đảo của nhau

Ta kí hiệu :

Các véctơ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của

hệ tọa độ cong Trong đó

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ thứcsau

(1.4)Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vôcùng nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính của điểm

Vậy véctơ được biểu diễn dưới dạng:

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa

Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:

Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong

Khai triển cụ thể (1.9)

Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ Có thể biểu diễn véc tơ dưới dạng:

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi.Biểu diễn với các thành phần phản biến

Suy ra:

Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

Biểu diễn với các thành phần hiệp biến

từ đó suy ra

Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau

Đối với tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ

là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ

là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở tenxơ hạng

2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:

Suy ra:

bao gồm 9 thành phần:

Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được

Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:

Vậy:

Hệ thống gồm có 9 phần tử

trong đó

Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:

Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với

Tương tự tính được

Thay các vào ( 1.19) suy ra

Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở Ví dụ

Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được

Do nên

Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có

Nhân 2 vế của ( 1.23) với

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là

Xét trong tọa độ cong

Trong đó là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau

b Xác định tenxơ mêtric phản biến

Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức

- tenxơ KroneckerVới hệ cơ sở đã biết ta xác định được

hay Đặt:

Trong trường hợp này:

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:

Thực hiện tương tự ta cũng nhận được

Giống như trên ta có thể suy ra .

,

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)

Phép biến đổi tọa độ:

Ta tính được các đạo hàm riêng

là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ

1.3.3 Khai triển cụ thể

Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ

Đối với hệ tọa độ cầu

Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:

Tọa độ trụ (Hình 3) Tọa độ cầu (Hình 4).

Bảng 1.

1.4 Đạo hàm hiệp biến

1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở

Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

Ta biểu thị qua các véctơ cơ sở như sau :

Vậy :

Các đại lượng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2

Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ

Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22): suy ra

Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận được:

Biểu thức (1.54) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phảnbiến

b Biểu thức liên hệ giữa các thành phần và đạo hàm của véctơ cơ sở

Do ta đã xác định được biểu thức

Để xét ta thay ở biểu thức (1.45) vào tích sẽ có

Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau:

Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở không đổi,

Suy ra:

Hay

Trong hệ tọa độ cong trực giao, với thì

Suy ra

Thay vào công thức (1.47) suy ra:

Thay vào biểu thức (1.40) suy ra

Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử

c Ví dụ

Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụngbảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra được các rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả.Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhưng do tính chất (9 cặp) nên ta chỉ cầntính 18 thành phần Christoffel

Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai )

Do

Nên:

Từ (1.58) suy ra:

Theo (1.55) ta có

Vậy trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần của kí hiệu Christoffel khác không

Trong hệ tọa độ cầu (Christoffel loại 2 )

Ta có

suy ra

Các thành phần khác bằng 0

1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất

Trong hệ tọa độ cong với các véctơ cơ sở tạo thành rêpe địa phương thay đổi tạitừng điểm

Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất đối với biến

số trong hệ tọa độ cong

gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần của véctơ

Trong trường hợp rêpe cố định , suy ra

Xét véctơ với các thành phần hiệp biến

Lấy vi phân hai vế của véctơ

Sử dụng biểu thức (1.54):

Đặt:

là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất

1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai

Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai

Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)

ở số hạng thứ 2: , ta thế ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành:

ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3 trởthành:

Thay các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được

Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có dạng

Và đạo hàm hiệp biến

Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.

Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thứcOstrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ

Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường liêntục chuyển động

Vật chuyển động với vận tốc , chịu tác

động của lực khối , tại một điểm bất

kỳ trên mặt chịu tác dụng của véctơ

Xét vế trái của (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất của tích phân khối

Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng của phần môi trường vật chất giữnguyên, không đổi trong quá trình chuyển động Do đó

Thể tích được chọn tùy ý nên

O S

Từ đó ta có

Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu được biểu thức

Do thể tích V là tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương

hay

Các phương trình ở (2.5) là các phương trình chuyển động của môi trường liên tục.Trong đó, do và áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến đối với tenxơ hạng hai ta

có thể biểu diễn

nên (2.5) được viết như sau

Viết dưới dạng toàn phần

Các phương trình ở (2.6) là các phương trình chuển động của môi trường liên tụckhi chiếu lên các trục tọa độ

Biểu thức (2.6) có thể biểu diễn chi tiết bởi 3 phương trình

Nếu vận tốc của vật thể bằng không thì phương trình (2.5) có dạng

Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục

Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ

Trong tọa độ trụ

Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng hai (1.72) ta có

Trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần Christoffel ( là khác không, còn lại là bằngkhông.

Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1:

Từ đó ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý sẽ thu đượ c

Áp dụng thành phần vật lý của tenxơ hạng hai:

nên

Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có

Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu được

Thay i=1, j=2 vào (2.8)

Áp dụng tương tự ta tính được các giá trị còn lại

Thay các giá trị của vào phương trình đầu của (2.6), thay các giá trị vào phươngtrình thứ 2 và các giá trị vào phương trình thứ 3 ta được kết quả

Vậy phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ được biểu diễn bởi các phươngtrình

Với cách làm tương tự như trên ta có thể viết được phương trình chuyển động trong

hệ tọa độ cầu

Trong hệ tọa độ cầu có

Có 9 thành phần của ký hiệu Christoffel khác không, còn lại bằng không

Ta cũng áp dụng biểu thức (2.8) tính được

Ta thay các lần lượt vào các phương trình của (2.6) như sau

Vậy ta xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa đồ cầu

Như vậy qua các phép tính toán như trên ta đã xác định được các phương trìnhchuyển động trong hệ tọa độ trụ và cầu tương ứng với các phương trình ở (2.9) và(2.10) như trên

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị

Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức

Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào (2.11) tathu được