Luận văn phép tính TENXƠ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, người bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ .3 1.1 Một số khái niệm .3 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide 11 1.3 Thành phần vật lý tenxơ .15 1.3.1 Tenxơ hạng 15 1.3.2 Tenxơ hạng hai 15 1.3.3 Khai triển cụ thể 15 1.4 Đạo hàm hiệp biến .17 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở 17 1.4.2 Kí hiệu Christoffel 18 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 21 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 22 Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ .23 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động .23 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 26 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 28 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 28 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 29 2.3.3 Phương trình cân 30 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu .31 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phương trình dựa hệ tọa độ cong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thường nêu trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bước biến đổi để thu kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chương trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chương - Chương vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phương trình cân bằng- chuyển động xây dựng phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn trình bày chi tiết đây: Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số Ví dụ Theo quy ước: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử biểu thị phần tử , , , , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker nếu hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo số Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số hoán vị chẵn số 1, 2, hoán vị lẻ số 1, 2, Cụ thể: , , Cách thành phần lại Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc với véc tơ sở (Hình 1) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác O Hình Véc tơ biểu diễn dạng (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P độ dài bình phương vô nhỏ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở véctơ đơn vị trực giao nên tích vô hướng =0 , nên Suy ra: a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ ) Xét hệ thống có thành phần hệ sở Phép cộng Nhân với số Nhân vô hướng Nhân véctơ Hay viết dạng: Tích hỗn hợp Các thành phần khác 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng Trong hệ tọa độ cong với véctơ sở tạo thành rêpe địa phương thay đổi điểm Xét véctơ có thành phần phản biến Lấy vi phân biểu thức véctơ Sử dụng biểu thức suy Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành Trong : Kí hiệu: Vậy: Biểu thức (1.63) đạo hàm hiệp biến tenxơ phản biến hạng biến số hệ tọa độ cong gọi vi phân tuyệt đối thành phần véctơ Trong trường hợp rêpe cố định , suy Xét véctơ với thành phần hiệp biến Lấy vi phân hai vế véctơ Sử dụng biểu thức (1.54): Đặt: đạo hàm biệp biến ten xơ hạng Vậy: 21 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai Xét đạo hàm hiệp biến thành phần phản biến tenxơ hạng hai Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) số hạng thứ 2: , ta biểu thứ (1.60) thay số hạng thứ trở thành: số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) thay số số hạng thứ trở thành: Thay số hạng số 2, vừa biểu diễn vào biểu thức (1.69) nhận Vậy vi phân tuyệt đối thành phần tenxơ có dạng Và đạo hàm hiệp biến 22 Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động Trong phần luận văn sử dụng kết véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý động lượng thành phần vật lý tenxơ Giả sử thời điểm ta xét vật tích giới hạn mặt môi trường liên tục chuyển động Vật chuyển động với vận tốc , chịu tác S động lực khối , điểm mặt chịu tác dụng véctơ V , ứng suất O Động lượng tổng cộng môi trường chứa kí hiệu xác định biểu thức Theo định lý động lượng: biến thiên động lượng miền môi trường liên tục tổng lực tác dụng lên môi trường Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đưa biểu thức tích phân mặt (2.1) thành biểu thức tích phân thể tích Xét vế trái (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất tích phân khối Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng phần môi trường vật chất giữ nguyên, không đổi trình chuyển động Do Thể tích chọn tùy ý nên 23 Từ ta có Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu biểu thức Do thể tích V tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương hay Các phương trình (2.5) phương trình chuyển động môi trường liên tục Trong đó, áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ta biểu diễn nên (2.5) viết sau Viết dạng toàn phần Các phương trình (2.6) phương trình chuển động môi trường liên tục chiếu lên trục tọa độ Biểu thức (2.6) biểu diễn chi tiết phương trình Nếu vận tốc vật thể không phương trình (2.5) có dạng Phương trình (2.7) phương trình cân môi trường liên tục Xác định phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ Trong tọa độ trụ Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng hai (1.72) ta có (2.8) 24 Trong hệ tọa độ trụ có thành phần Christoffel ( khác không, lại không Ta sử dụng kết thống kê bảng 1: Từ ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý thu đượ c Áp dụng thành phần vật lý tenxơ hạng hai: nên Thay i=2, j=1 vào (2.8) thay thành phần vật lý tenxơ hạng hai ta có Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu Thay i=1, j=2 vào (2.8) Áp dụng tương tự ta tính giá trị lại Thay giá trị vào phương trình đầu (2.6), thay giá trị vào phương trình thứ giá trị vào phương trình thứ ta kết Vậy phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ biểu diễn phương trình Với cách làm tương tự ta viết phương trình chuyển động hệ tọa độ cầu 25 Trong hệ tọa độ cầu có Có thành phần ký hiệu Christoffel khác không, lại không Ta áp dụng biểu thức (2.8) tính Ta thay vào phương trình (2.6) sau Vậy ta xác định phương trình chuyển động hệ tọa đồ cầu Như qua phép tính toán ta xác định phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ cầu tương ứng với phương trình (2.9) (2.10) 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị Tenxơ biến dạng nhỏ hệ tọa độ cong cho biểu thức Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng (1.60) vào (2.11) ta thu 26 Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) chương vào (2.12) để thiết lập thành phần vật lý tenxơ biến dạng Với ta thay vào (2.12) biểu thức trở thành (2.13) Với ta thay vào (2.12) thu Với ta thay vào (2.12) có biểu thức Với ta thay (vì hệ trực giao nên ) vào (2.12) nhận Với ta thay vào (1.30), ý hệ trực giao nên làm tương tự ta có (2.17) (2.18) Tổng hợp công thức (2.13)-(2.18) thu thành phần vật lý tenxơ biến dạng (2.19) Xét hệ tọa độ trụ Theo bảng chương 1, ta có Ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) 27 Các tenxơ tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, ta viết gọn lại sau Với cách tính hệ tọa trụ, ta hoàn toàn áp dụng hệ tọa độ cầu Xét hệ tọa độ cầu Theo bảng chương 1, ta có Ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) Tổng hợp biểu thức ta thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thước khác Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày không đổi 28 Vectơ bán kính điểm mặt hàm Trong hai thông số tạo P thành hệ tọa độ cong điểm mặt Ta có O Hình Khi phần tử đường xác định công thức Với 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trước biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff) Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua Chọn hệ trục tọa độ sau trục trực giao với mặt giữa, trục hướng theo đường khúc ( đường có tiếp tuyến điểm trùng với phương chính) mặt giữa( Hình 6) Hình Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ có độ dày nhỏ nên 29 Trong chuyển dịch điểm mặt giữa, tức với Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trước biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt Thay giá trị công thức (2.34) vào giá trị (2.19 ) ta suy (2.35) hay (2.36) Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng có dạng (2.37) Trong đó: hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt bán kính khúc Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho ta xác định (2.38) Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận thành phần chuyển dịch theo hướng (2.39) Do nên bỏ qua số hạng nhỏ , thay (2.39) (2.37) vào (2.19 ) với ý Có thể viết dạng đơn giản (2.40) Với Trong chuyển dịch mặt giữa, biểu thị biến dạng mặt giữa, biến thiên độ cong mặt giữa, hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt giữa, bán kính khúc 2.3.3 Phương trình cân Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục hướng theo tiếp tuyến với đường cong tọa độ Tổng lực theo trục 30 Tổng lực theo trục Tổng lực theo trục Mômen trục Mômen trục Momen trục 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ sau ( Hình 7) Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh trụ tròn, đường trùng với đường tròn mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính trụ tròn , phần tử đường có dạng x ds a Hình 31 suy (2.47) Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu kết sau Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ Phương trình cân vỏ trụ tròn xác định theo công thức (2.42)(2.46) Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.42)-(2.46) ý b Vỏ cầu Chọn hệ trục tọa độ sau (Hình 8) Trục tiếp truyến với đường cong tọa độ Trục tiếp tuyến đường cong tọa r độ ds Bán kính vỏ cầu , phần tử đường có dạng R Hình suy (2.51) Các thành phần biến dạng vỏ cầu xác định theo công thức (2.40) Ta thay đại lượng (2.51) vào (2.41) thu Vậy thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 32 Các phương trình cân vỏ cầu mỏng xác định theo công thức (2.42)(2.46) với ý Mômen trục đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 33 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi thu phương trình tính biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn đạt số kết sau: i Trình bày phép biến đổi để thu - Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu - Dẫn biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm véctơ sở - Xác định thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Dẫn biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ii Trình bày phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, iii Tính thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu iv Vận dụng phép tính sở tenxơ vào toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu Những hướng nghiên cứu tiếp theo: i Giải gần phương pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ cầu theo phương pháp thiết lập ii Giải gần phương pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật tròn theo phương trình thiết lập 34 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York [11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York [12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover [13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover [14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York 35 [...]...Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ) b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương tự như đối với tenxơ hạng nhất Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : Phép cộng Phép trừ Phép nhân... hàm hiệp biến 22 Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường liên tục chuyển động Vật chuyển động với vận tốc... tương ứng với các phương trình ở (2.9) và (2.10) như trên 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào (2.11) ta thu được 26 Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) ở chương 1 vào (2.12) để thiết lập các thành phần vật lý của tenxơ. .. xác định bằng Trong đó Phép tính đối với vectơ Cho hai véctơ và Phép cộng, trừ Tích vô hướng 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng: Với các véc tơ cơ sở là không đổi Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét 7 bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn... thiết thứ nhất “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ vẫn trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng dẫn đến biến dạng trượt tại Thay các giá trị ở công thức (2.34) vào các giá trị trong (2.19 ) ta suy ra (2.35) hay (2.36) Hệ số nhân biến đổi của mặt song song và cách mặt giữa một khoảng có dạng (2.37) Trong đó: là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường... phần phản biến của tenxơ hạng hai Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) ở số hạng thứ 2: , ta thế ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành: ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3 trở thành: Thay các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có dạng Và đạo hàm hiệp biến 22 Chương... trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là Xét trong tọa độ cong Trong đó là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi 11 Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau b Xác định tenxơ mêtric phản biến Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức - tenxơ. .. tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được 27 Các tenxơ trên là các tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, ta có thể viết gọn lại như sau Với cách tính như trong hệ tọa trụ, ta hoàn toàn có thể áp dụng được đối với hệ tọa độ cầu Xét trong hệ tọa độ cầu Theo bảng 1 ở chương 1, ta có Ta thay các giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được Tổng hợp các biểu thức trên ta được các thành phần của tenxơ biến dạng. .. Vậy: 13 , Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4) Phép biến đổi tọa độ: Hình 4 Ta tính được các đạo hàm riêng Vậy từ (1.3) ta có Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu Từ (1.34) ta tính được Vậy theo (1.30) ta có: 14 Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong 1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 1.3.1 Tenxơ hạng nhất Xét véctơ ( tenxơ hạng... tự tính được Thay các vào ( 1.19) suy ra Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở Ví dụ Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được Do nên Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có Nhân 2 vế của ( 1.23) với Thay vào ( 1.23) Hay Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau: ( phép nâng chỉ số) ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến