PHÉP TÍNH TENXƠ và một số ỨNG DỤNG

Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phươngtrình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ.. Đồng thờitá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tìnhhướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoahọc Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quantâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiêncứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ họcvật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiệnluận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trìnhnghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luậnvăn này

Tác giả

Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyếtcác vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đànhồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhàtoán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán họckhác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa cáctập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ cácphương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng -chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay cácgiáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệthức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổicủa tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phươngtrình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được cácphương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằngtrong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tàiliệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tínhcủa tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thờitác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtrichiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamétrong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việcxác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biếndạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bàitoán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng

Ví dụ hệ thống Kronecker

nếu nếu là hệ thống đối xứng

khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể: ,

,

Cách thành phần còn lại của

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các

là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và trực giao nêntích vô hướng =0 nếu , nếu nên

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương

tự như đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùngloại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ

1.2.2 Hệ tọa độ cong

Biểu diễn véc tơ dưới dạng :

Lấy điểm là lân cận của điểm

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng

Trong đó

Phép tính đối với vectơ

Cho hai véctơ và

Phép cộng, trừ

Tích vô hướng

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng:

Với các véc tơ cơ sở là không đổi

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xétbằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị.

và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

Ta có:

Suy ra 2 ma trận là nghịch đảo của nhau

Ta kí hiệu :

Các véctơ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của

hệ tọa độ cong Trong đó

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ thứcsau

(1.4)Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vôcùng nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính của điểm

Vậy véctơ được biểu diễn dưới dạng:

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa

Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:

Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong

Khai triển cụ thể (1.9)

Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ Có thể biểu diễn véc tơ dưới dạng:

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi.Biểu diễn với các thành phần phản biến

Suy ra:

Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

Biểu diễn với các thành phần hiệp biến

từ đó suy ra

Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau

Đối với tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:

Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ

là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ

là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở tenxơ hạng

2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:

Suy ra:

bao gồm 9 thành phần:

Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được

Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:

Vậy:

Hệ thống gồm có 9 phần tử

trong đó

Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:

Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với

Tương tự tính được

Thay các vào ( 1.19) suy ra

Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở Ví dụ

Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được

Do nên

Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có

Nhân 2 vế của ( 1.23) với

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a Tenxơ mêtric hiệp biến

Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là

Xét trong tọa độ cong

Trong đó là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau

b Xác định tenxơ mêtric phản biến

Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức

- tenxơ KroneckerVới hệ cơ sở đã biết ta xác định được

hay Đặt:

Trong trường hợp này:

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:

Thực hiện tương tự ta cũng nhận được

Giống như trên ta có thể suy ra .

Hình 3.

z

Hình 4.

Ta tính được các đạo hàm riêng

là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ

18 21

222324

25262728

29

303132

333435

36373839

404142

43

46Bảng 1

47

48 1.4 Đạo hàm hiệp biến

49 1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở

50 Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

51

52 Ta biểu thị qua các véctơ cơ sở như sau :

53

54 Vậy :

55 Các đại lượng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2

56 Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệvéctơ cơ sở

57 Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với hệ véctơ cơ sở

77 Đạo hàm theo biến

78

79 Ta thay từ (1.42) vào (1.44)

80

81 1.4.2 Kí hiệu Christoffel

82 Kí hiệu Christoffel đã được xuất hiện ở biểu thức (1.39) Và trong mục này sẽ

đi vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạohàm véctơ cơ sở

100 Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến

101 Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22):suy ra

102

103 Trong đó:

104 Thay (1.49) vào (1.48), (1.48) trở thành:

134 Thay vào biểu thức (1.40) suy ra

139 Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhưng do tính chất (9 cặp) nên tachỉ cần tính 18 thành phần Christoffel

140 Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai )

158 Vậy

159

160 Các thành phần khác bằng 0

161 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất

162 Trong hệ tọa độ cong với các véctơ cơ sở tạo thành rêpe địa phương thay đổitại từng điểm

176 gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần của véctơ

177 Trong trường hợp rêpe cố định , suy ra

178 Xét véctơ với các thành phần hiệp biến

186 Vậy:

187

188 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai

189 Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai

190

191 Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)

192

193 ở số hạng thứ 2: , ta thế ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành:194

195 ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3trở thành:

203 Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ

204 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.

205 Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thứcOstrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ

206 Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môitrường liên tục chuyển động

207 Vật chuyển động với vận tốc ,

chịu tác động của lực khối , tại

một điểm bất kỳ trên mặt chịu

tác dụng của véctơ ứng suất

223 Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu được biểu thức

242 Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục

243 Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ

251 Trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần Christoffel ( là khác không, còn lại làbằng không.

252 Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1:

253 Từ đó ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý sẽ thu đượ c

254

255 Áp dụng thành phần vật lý của tenxơ hạng hai:

256 257 nên258

259 Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên

272 Vậy phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ được biểu diễn bởi cácphương trình

273

274 Với cách làm tương tự như trên ta có thể viết được phương trình chuyển độngtrong hệ tọa độ cầu

275

277 Trong hệ tọa độ cầu có

278 Có 9 thành phần của ký hiệu Christoffel khác không, còn lại bằng không.279

280

281282

283284

302 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị

303 Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức304

305 Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào(2.11) ta thu được

306

307 Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) ở chương 1 vào (2.12) để thiếtlập các thành phần vật lý của tenxơ biến dạng.

308 Với ta thay vào (2.12) biểu thức trở thành

341342343

367 2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng

368 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi

369 Vỏ mỏng là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong, độ dày của vỏ nhỏ so với cáckích thước khác

370 Mặt chia đôi độ dày của vỏ gọi là mặt giữa Tùy thuộc vào dạng của mặt giữachúng ta phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở đây chỉ xét vỏ có độ dày không đổi

P O

Hình 5

giữa là hàm Trong đó là hai thông số

tạo thành hệ tọa độ cong của các điểmtrên mặt Ta có

380 Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng các giả thiết

381 Đoạn thẳng vật chất giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ vẫn thẳng và trựcgiao với mặt giữa sau khi biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng củaKirchhoff)

382 Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt giữa nhỏ so với các thành phầnứng suất khác nên có thể bỏ qua

Hình 6

383 Chọn hệ trục tọa độ như sau trục

trực giao với mặt giữa, trục

hướng theo đường chính khúc

( đường có tiếp tuyến tại mỗi

điểm trùng với phương chính) của

388 Trong đó là chuyển dịch của điểm trên mặt giữa, tức là với

389 Theo giả thiết thứ nhất “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt giữa trước khibiến dạng sẽ vẫn trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng” dẫn đến biến dạngtrượt tại

390 Thay các giá trị ở công thức (2.34) vào các giá trị trong (2.19 ) ta suy ra

404 Thay các giá trị ở (2.38) vào (2.34) ta nhận được thành phần chuyển dịch theocác hướng

414 Trong đó là chuyển dịch mặt giữa,

415 biểu thị biến dạng mặt giữa,

416 là biến thiên của độ cong mặt giữa,

417 là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường của mặtgiữa,

ds

a Hình 7

434 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu

435 a Vỏ trụ

436 Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ như sau ( Hình 7)

437 Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh của trụ tròn, đường trùng với đườngtròn trong mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính của trụ tròn là , khi đó phần

445 Các thành phần biến dạng của vỏ trụ xác định theo công thức (2.40)

446 Thay các đại lượng ở (2.47) vào công thức (2.41) ta thu được kết quả sau447

448 Vậy ta có các thành phần biến dạng của vỏ trụ

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi đã thu được các phươngtrình tính biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độtrụ và hệ tọa độ cầu.

475 Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

i. Trình bày các phép biến đổi để thu được

- Các véctơ cơ sở hiệp biến, phản biến của hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

- Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

- Dẫn ra được các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàm củavéctơ cơ sở

- Xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa

độ cầu

- Dẫn ra được biểu thức đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất và đạo hàm hiệp biếncủa tenxơ hạng hai

ii. Trình bày được phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu,

iii. Tính được các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu