SKKN Một số ứng dụng của phương pháp đồng bậc

1 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chƣơng trình môn toán ở cấp THPT cũng nhƣ trong các đề thi tuyển sinh vào các trƣờng ĐH-CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thƣờng gặp các bài toán giải bằng phƣơng pháp đồng bậc. Phƣơng pháp đồng bậc (hay còn gọi là phƣơng pháp đẳng cấp) là một phƣơng pháp thƣờng gặp trong khi giải các bài toán về phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất đẳng thức Theo phƣơng pháp này, từ giả thiết ta tìm một hệ thức giữa các ẩn mà ở đó mỗi hạng tử cùng bậc, sau đó đƣa hệ thức đó về hệ thức một ẩn, hoặc phân tích thành nhân tử hoặc một hệ thức mới đơn giản hơn. Đối với các em học sinh chuẩn bị thi vào các trƣờng ĐH-CĐ hoặc thi học sinh giỏi các cấp, việc tìm ra một phƣơng pháp ôn tập hợp lí có ý nghĩa rất quan trọng. Các em cần có một cái nhìn xuyên suốt về kiến thức và các phƣơng pháp giải toán đã học. Nhằm giúp các em học sinh có đƣợc một cái nhìn toàn diện về một phƣơng pháp giải toán quan trọng, tôi chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một phƣơng pháp giải toán hiệu quả - Giúp học sinh tìm ra phƣơng pháp ôn tập hiệu quả thông qua việc ôn luyện theo các phƣơng pháp giải toán. - Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới phƣơng pháp có hiệu quả. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc qua các chủ đề quan trọng trong chƣơng trình môn toán bậc THPT hiện hành. 2 IV. ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu các ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc qua các chủ đề: phƣơng trình, hệ phƣơng trình; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; bất đẳng thức. - Phạm vi nghiên cứu: Trong chƣơng trình toán hiện hành và trong nội dung thi ĐH-CĐ, thi học sinh giỏi các cấp. V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Khảo sát ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc qua từng chủ đề. - Phân tích cách nhận dạng, áp dụng phƣơng pháp cho mỗi dạng toán. - Tổng kết, rút kinh nghiệm. VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI: - Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về một phƣơng pháp giải toán hiệu quả, góp phần đổi mới phƣơng pháp dạy học, phƣơng pháp học tập chủ động, tích cực của học sinh. - Nâng cao chất lƣợng dạy học của bản thân, của đồng nghiệp. 3 PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Trong nhà trƣờng phổ thông, nhiệm vụ của môn toán không chỉ là trang bị cho học sinh các kiến thức toán học nhƣ các định lý, khái niệm, quy tắc mà quan trọng hơn là phải trang bị cho các em những kiến thức về phƣơng pháp và tƣ duy. Việc hình thành ở các em các kĩ năng tƣ duy nhƣ khái quát hóa, tổng quát hóa…thông qua việc dạy và học môn toán có vai trò quan trọng trong việc hình thành phẩm chất của con ngƣời lao động có tƣ duy sang tạo sau này. Việc có đƣợc một cái nhìn toàn diện về một phƣơng pháp giải toán hiệu quả qua nhiều dạng toán quan trọng trong chƣơng trình giúp các em học sinh có đƣợc năng lực tƣ duy độc lập, khái quát, tổng kết đƣợc những vấn đề đã học. Qua đó phần nào hình thành đƣợc những kĩ năng tƣ duy quan trọng. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI - Trong chƣơng trình môn toán trung học phổ thông hiện hành, các chủ đề liên quan đến phƣơng pháp đồng bậc khá nhiều song chƣa có một nghiên cứu toàn diện cho vấn đề đó. - Đối với các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi cuối cấp, các em thƣờng lúng túng khi chọn ra phƣơng pháp ôn tập phù hợp. Việc ôn tập theo phƣơng pháp giải toán giúp các em có hƣớng nhìn xuyên suốt vấn đề và tiết kiệm thời gian. - Việc đổi mới phƣơng pháp hƣớng tới phát tính tích cực của học sinh đòi hỏi giáo viên phải tìm ra những cách thức phù hợp nhằm phát huy năng lực của học sinh. 4 Chƣơng II: ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH. Trong phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình, việc tạo ra các biểu thức đồng bậc giúp ta dễ dàng đƣa cách hệ thức đã cho về dạng 1 ẩn hoặc có thể phân tích thành nhân tử. Từ đó thu đƣợc những hệ thức đơn giản hơn. Trong chƣơng này ta sẽ xem xét một số ví dụ đặc trƣng từ các phƣơng trình lƣợng giác, phƣơng trình mũ, phƣơng trình vô tỉ, hệ phƣơng trình Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: 33 4(sin cos ) cos 3sinx x x x   (1) Lời giải: Ta có (1)     3 3 2 2 4(sin cos ) cos 3sin sin osx x x x x c x     3 2 2 3 sin -sin .cos -3sin .cos 3cos 0x x x x x x   (2) Nếu cos 0x  , từ (2) suy ra sin 0x  vô lí vì 22 sin os 1x c x , do đó (2) 32 tan tan 3tan 3 0x x x       4 tanx 1 tanx 3 3 tanx 3 3 xk x k k xk                                 Vậy phƣơng trình có các họ nghiệm:   ;; 4 3 3 x k x k x k k               . Nhận xét: Đây là dạng phƣơng trình lƣợng giác đẳng cấp với sin và cos thƣờng gặp. Do 22 sin cos 1xx nên các biểu thức bậc nhất đối với sin và cos ta có thể coi là bậc ba (nhân thêm 22 sin os 1x c x ). Ví dụ 2 (A-2006) Giải phƣơng trình: 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x     . 5 Lời giải: Ta viết lại phƣơng trình dƣới dạng:         3 2 2 3 3. 2 4. 2 .3 2 . 3 2. 3 0 x x x x x x     Ta thấy đây là phƣơng trình đẳng cấp bậc hai đối với 2 x và 3 x . Do đó phƣơng trình tƣơng đƣơng với 32 2 2 2 3 4 2 0 3 3 3 x x x                         2 1 3 1 22 33 x x vn x                   Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 3: Giải phƣơng trình   23 2 2 5 1xx   (1) Lời giải: Ta có (1)       22 2 1 1 5 1 1x x x x x x            (2) Điều kiện: 1x  . Khi đó: (2) 22 11 2. 5. 2 0 11 xx x x x x            2 2 2 2 1 2 4 5 3 0 1 5 3 0 11 12 x x x vn xx xx x xx                          5 37 2 5 37 2 x tm x            . 6 Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm 5 37 2 x   ; 5 37 2 x   . Nhận xét: Việc sử dụng hằng đẳng thức và tách số hạng hợp lí giúp đƣa một phƣơng trình vô tỉ khá khó khăn về một phƣơng trình dạng đẳng cấp đơn giản. Đây là dạng phƣơng trình khá thƣờng gặp trong các kì thi. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho những kĩ thuật tƣơng tự. Ví dụ 4: Giải phƣơng trình   2 4 2 3 3 1 1x x x x     . Lời giải: Tập xác định . Ta có phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với   2 4 2 2 3 3 1 2 1x x x x x           2 2 2 3 3 1 1 1x x x x x x               2 2 2 2 3 2 1 1 1 1x x x x x x x x              22 22 11 2 3 3 0 11 x x x x x x x x               2 2 2 2 13 13 13 12 xx xx xx vn xx               2 2 4 2 0 1x x x      Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 5: Giải phƣơng trình 22 5 14 9 20 5 1x x x x x       Lời giải: Điều kiện: 5x  Ta có: phƣơng trình 22 5 14 9 20 5 1x x x x x        7 Bình phƣơng hai vế và biến đổi ta đƣợc:         22 2 4 5 3 4 5 4 5 4 0x x x x x x         22 4 5 4 5 2 5 3 0 44 x x x x xx          2 2 2 2 5 61 45 1 2 5 9 0 4 8 4 25 56 0 4 5 3 7 42 4 x xx xx x x xx xx x x                                      Đối chiếu điều kiện ta đƣợc : 5 61 8; 2 xx   Ví dụ 6(A-2007). Cho phƣơng trình 2 4 3 1 1 2 1x m x x     . (1) Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm . Lời giải: Điều kiện : 1x  (1)  2 4 4 2 1 1 1 1 3 2 3 2 1 ( 1) 1 1 x x x x mm x x x x              Đặt t= 4 1 1 x x   >0,vì 12 1 1 [0;1) 11 x t xx        Bài toán trở thành tìm m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm 2 ( ) 3 2 01 f t t t m t         Ta có     1 ' 6 2 ' 0 3 f t t f t t       8 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phƣơng trình có nghiệm khi 1 1 3 m   Ví dụ 7: Giải hệ     22 22 2 4 1 1 3 2 2 7 2 x xy y x xy y             . Hướng dẫn: Nhân phƣơng trình (1) với 7 rồi cộng với phƣơng trình (2), ta đƣợc:   22 17 26 9 0 3x xy y   Dễ thấy 0y  không thỏa mãn hệ, do đó   2 1 3 17 26 9 0 9 9 17 17 x xy y xx y x yy x y                        Từ đó giải đƣợc các nghiệm: (1;1), (-1;-1), 9 17 ; 161 161    , 9 17 ; 161 161     Nhận xét: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai quen thuộc, việc làm mất hệ số tự do nhằm tạo ra một phƣơng trình thuần nhất. 9 Ví dụ 8: Giải hệ 33 5 5 2 2 1xy x y x y          Lời giải: Ta có:          33 33 33 5 5 2 2 3 3 5 5 2 2 2 2 1 11 1 02 xy xy xy x y x y x y x y x y x y x y                             Ta có   2 0 0 0x y x y       Nếu 0x  , kết hợp với (1) ta đƣợc 1y  Nếu 0y  , kết hợp với (1) ta đƣợc 1x  Nếu 0x y x y     , thì (1) không thỏa mãn. Vậy hệ có hai nghiệm         ; 0;1 , ; 1;0x y x y Ví dụ 9: Giải hệ phƣơng trình:     2 0 1 1 2 1 1 2 x y xy xy             Lời giải: Điều kiện: 1 1; 2 xy . Khi đó     1; 1 2 0 4 2 x vl y xx xy yy x y                 Thay vào (2) ta đƣợc: 4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 y y y y y y y y y                     10 1 () 2 1 0 2 2 5 10 2 1 2 () 2 y tm y x x y y tm                       Vậy hệ có hai nghiệm   1 ; 2; 2 xy     và   5 ; 10; 2 xy     . Nhận xét: Dễ nhận thấy (1) là phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với x và y nên ta có cách biến đổi nhƣ trên. Ta cũng có thể đặt x=ty hoặc biến đổi (1)    20x y x y    . Ví dụ 10: Giải hệ phƣơng trình 22 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 x y xy y x xy y x y            Lời giải: Nếu 0y  , từ (1) 0x thỏa mãn hệ Nếu 0y  , nhân hai vế của (1) với y rồi trừ theo vế cho (2) ta đƣợc:         3 3 2 2 22 2 22 2 2 4 4 0 2 2 2 0 0 y x x y xy y x x y xy y x x y x y                      2 22 00 xy x y x y vl do y            Với xy thay vào (1) ta đƣợc   2 2 2 0 1 0 1y y y do y x       thỏa mãn hệ . Vậy hệ có hai nghiệm         ; 0;0 , ; 1;1x y x y [...]... - 4a  4a -12  105  20 Chƣơng III: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Ta đã biết đối với biểu thức một biến, đạo hàm là một công cụ khá hữu hiệu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số Việc lợi dụng sự đồng bậc của các biến trong một số trƣờng hợp có thể giúp đễ dàng đƣa các biểu thức nhiều biến về biểu thức một biến Do đó ta thu đƣợc bài toán dễ... nhỏ nhất của A x 2  y2   xy 2 x2  y 2  x  24 Chƣơng IV: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1) Thuần nhất hóa bất đẳng thức không đồng bậc Các bất đẳng thức cổ điển hầu hết đều phát biểu dƣới dạng các biến độc lập, do đó chúng đều ở dạng đồng bậc Từ đó đối với các bài toán mà giả thiết cho các biến có sự ràng buộc thì một trong những ý tƣởng là sử dụng hợp... mãn ab  bc  ca  a  b  c Chứng minh rằng: ab bc ca  2  2  3 a 2  b2 b  c 2 c  a 2 10) a, b, c là các số dƣơng thỏa mãn a  b  c  1 Chứng minh rằng: a 2 b2 c 2    3 a 2  b2  c 2  b c a 32 PHẦN III: KẾT LUẬN Phƣơng pháp đồng bậc là phƣơng pháp có nhiều ứng dụng trong toán học phổ thông Việc giúp các em học sinh thấy rõ đƣợc đƣợc ứng dụng của phƣơng pháp trong nhiều vấn đề, làm cho... những ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc trong nhiều chủ đề quan trọng nằm trong nội dung thi tuyển sinh ĐH- CĐ và thi học sinh giỏi các cấp Trong mỗi ví dụ minh họa cho phƣơng pháp ở mỗi chủ đề, tôi đã cố gắng phân tích những ý tƣởng, kĩ thuật để đƣa các bài toán về áp dụng phƣơng pháp đồng bậc Những ví dụ phong phú đƣợc lấy từ nhiều chủ đề nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn xuyên suốt về phƣơng pháp. .. , từ đó suy ra (2) Đpcm 2 2) Chuẩn hóa bất đẳng thức đồng bậc Đối ngẫu với phƣơng pháp trên, đối với các bất đẳng thức đồng bậc, ta có thể dùng kĩ thuật chuẩn hóa, đƣa về các bất đẳng thức có điều kiện Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số dƣơng Chứng minh rằng: 28 abc  a  b  c    a 2  b2  c 2   4abc 3 a 2  b2  c 2  2 Lời giải: Do hai vế của BĐT đều là các biểu thức thuần nhất đối với a, b,... này đã đƣợc sử dụng để ôn thi cho các học sinh đang chuẩn bị thi vào ĐH-CĐ, thi HSG cấp tỉnh ở trƣờng THPT Lạng Giang số 1 các năm 2012-2013 và 2013-2014 và thu đƣợc kết quả tốt Việc đƣa ra một hình thức ôn tập mới, tiết kiệm thời gian và công sức làm cho các em học sinh cảm thấy hào hứng, chủ động và có hiệu quả Hi vọng kết quả của SKKN này sẽ góp một phần nhỏ bé vào việc đổi mới phƣơng pháp dạy và học... 3 số dƣơng a, b, c thỏa mãn abc  1 Chứng minh: 1 a5  b  2c  2  1 b 5  c  2a  2  1 c5  a  2b  2  1 3 6) Cho 3 số dƣơng a, b, c thỏa mãn abc  1 Chứng minh: 1 1 1 1  2  2  2 2 2 a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 2 31 7) Cho a, b, c là các số dƣơng chứng minh  a  b  b  c  c  a   8abc abc ab  bc  ca 8) Cho a, b, c là các số dƣơng chứng minh  a  b  b  c  c  a  ... 3 Chứng minh a3 b3 c3   1 b  2c  a  c  2a  b  a  2b  c  2) Cho a, b, c  0; ab  bc  ca  1 Chứng minh 1 1 1 9    a  a  b  b b  c  c  c  a  2 3) Cho a, b, c là ba số dƣơng có tích bằng 1 Chứng minh ab bc ca  5 5  5 1 a5  b5  ab b  c  bc c  a 5  ca 4) Cho 3 số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 TìmGTNN của P ab bc ca   ab  c bc  a ca  b 5) Cho 3 số dƣơng... 1   2 2 Từ đó thu đƣợc nghiệm của hệ đã cho  x; y     1 2 2  5; 1   1   7  ;  x; y      5;   7 2 2 2 2   2 2  1 Nhận xét: -Trong ví dụ trên ta dùng phép tịnh tiến để đƣa hệ về đồng bậc - Bằng phép tịnh tiến nhƣ trên ta có thể tạo ra hệ phƣơng trình khá khó khăn xuất phát từ một hệ đơn giản 5 x 2  2 xy  y 2  3  Ví dụ 16: Tìm các giá trị của m để hệ  2 m (I) có nghiệm... 2a  3abc ab2  bc 2  ca 2  3 3 ab2 bc2 ca 2  3abc 27 Nhận xét: Ý tƣởng đƣa về đồng bậc với bài trên là hoàn toàn tự nhiên và đơn giản!!! Ví dụ 5.(HSG Bắc Giang 2011) Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa mãn a  b  c  1 Chứng minh rằng: 1 1 1  2  2  a 2  b2  c 2 2 a b c Lời giải Ta có 1 1 1 1 1 1 abc Ta sẽ chứng minh:  2 2    2 a b c ab bc ca abc abc  a 2  b2  c 2 (1) abc Thật vậy . một phƣơng pháp giải toán quan trọng, tôi chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc . II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một phƣơng pháp giải toán. học sinh giỏi các cấp. V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Khảo sát ứng dụng của phƣơng pháp đồng bậc qua từng chủ đề. - Phân tích cách nhận dạng, áp dụng phƣơng pháp cho mỗi dạng toán. - Tổng kết,. các cấp ta thƣờng gặp các bài toán giải bằng phƣơng pháp đồng bậc. Phƣơng pháp đồng bậc (hay còn gọi là phƣơng pháp đẳng cấp) là một phƣơng pháp thƣờng gặp trong khi giải các bài toán về phƣơng