Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

Trang 1

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS Khuất Văn Ninh đã trực tiếp hướng dẫn

tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn các bạn học viên lớp KII Toán Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này

Trang 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Trang 3

Mục lục 3

Mé dau 5

Chương 1 Một số khái niệm mớ đầu - -.- - -<- -<« ‹«< <<7

1.1 Không gian metriC - -.- ẶcằẰ cĂc kàà ke sec D 1.1.1 Định nghĩa không gian metriC / 1.1.2 Tập mở và tập đóng 7

1.1.3 Ánh xạ liên tụC cà sành nh se se ca

1.1.4 Không gian metric đầy - -.- „8 1.1.5 Nguyên lý Banach về ánh Xạ €O .- Ð 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn .Ð

1.3 Phương pháp xấp xi liên tiếp 11

1.4 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu

và liên tục Lipschit 13

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz l6

Trang 4

định chuẩn - ‹ - c c<< «<< c<+ se «+ s<+ «+ 25

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong

khơng gian ĐÌ cee ee cence eee cen eee eee eaeeaeeee ane 25 3.1.1 Định nghĩa c cà cà sài cài có 25

3.1.2 Sự tồn tại nghiệm 25

3.2 Sự tổn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong

khơng gian ĐŸ c cà cà nàn Sàn hy kh hy ky key xá các cáà BO)

3.2.1 Định nghĩa c cà sàc cài sec cóc xe 30

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm - 31

Kết luận 39

Trang 5

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng

đề cập đến Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rất rộng lớn

và có hiệu lực thực tiễn mạnh mẽ Trong đó có rất nhiều công trình nghiên

cứu về việc tìm nghiệm của phương trình toán tử loại hai đặc biệt là phương

trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz x + Ax = f Trong

thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán tử theo quan điểm xấp xi

Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử rất phong phú và đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp được thực hiện thông qua việc chia nhỏ bài toán phức tạp thành những bài toán đơn giản có thể giải được bằng phương pháp ánh xạ co

Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn các bước theo tham số e và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xa co

Bởi vậy tôi đã chọn đề tài “Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trang 6

nghiên cứu của luận văn là:

Nghiên cứu lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

4 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng phương pháp lặp qua một số hữu hạn các bước theo tham sốe và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co đề tính nghiệm gần đúng của phương trình

5, Giá thuyết khoa học

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS Khuất Văn Ninh Tác giả mong rằng luận văn này sẽ có những đóng góp hữu ích trong việc giải và nghiên cứu phương trình toán tử

Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, của thầy giáo TS Khuất Văn Ninh, cảm ơn các thầy (cô) giáo phòng sau đại học, khoa

Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng bạn bè, đồng nghiệp đã động

viên, khích lệ và tạo điều kiện tốt nhất giúp hoàn thành đề tài này

Trang 7

1.1.1 Định nghĩa không gian metric

Ta gọi là không gian metric một tập hợp X # ® cùng với một số ánh xạ

d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây: I1.(Vx,y e X) d(x, y) >0, d(x, y) = 0 © x = y, ( tiên đề đẳng nhất)

2 (Vx, y € X) d(x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng)

3 (Vx, y,z € X) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y), (tién dé tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x & y Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đề metric Không gian metric được ký hiệu là:M = (X,d) 1.1.2 Tập mở và tập đóng Lân cận Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric M = (X, d) Ta gọi là lân cận của điểm xe X

trong không gian M mọi hình câu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy Tập mở và tập đóng

Định nghĩa 1.1.3

Cho không gian Metric M = (X, đ) và tập AcX Tập A goi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói

Trang 8

lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A

Định lý 1.1

Trong khong gian metric bat ky, moi hinh cau mo la tập mở, mọi hình câu đóng là tập đóng

1.1.3 Ánh xạ liên tục

Cho hai không gian metric M¡ = (X, d¡), Mạ = (Y, d;), ánh xạ f từ không

gian Mi đến không gian M;, Định nghĩa 1.1.4

Ánh xạ ƒ goi là liên tục tại điểm xạ&X nếu:

(Ve > 0) (48 > 0) (VxeX: dj(x, x) <8 thi dz (f(x), f(%m)) < &) Dinh nghia 1.1.5

Anh xa Ff goila lién tuc trén tap ACX, nếu ánh xạ ƒ liên tục tại mọi điểm xeA KhiA = X thì ánh xạ ƒ gọi là liên tục Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ ƒ gọi là liên tục đều trên tập ACX nếu: (Ve > 0) (45> 0) (Vx, xe Ar dj(x, x) <8, d2( f(x), f(x)) < €) 1.1.4 Không gian metric day Dinh nghia 1.1.7 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (x„) c X gọi là dãy cơ bản trong M nếu: (VE> 0) (1nạ€ N°) (Vm, n >No) thi d(x, Xm) < ehay lim d(x nme n3 x„)=0 Định nghĩa 1.1.8

Trang 9

Định nghĩa1.1.9

Cho hai không gian metric M = (X, dị), M = (Y, do) Ánh xạ A không

gian Mị vào không gian Mỹ gọi là ánh xạ co nếu tốn tại số œ, 0 S œ< ] sao cho:

d,(Ax,Ax )Sad, (x,x),Vx,xeX Nguyên lý ánh xạ co

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đây M = (X, d) vào chính nó

đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là xe X thoả mãn hệ thức Ax=x Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ T: X—>X thỏa mãn điều

kiện:

d(Tx, Ty) S œd(x, y) với hằng số œ< ] và Vx, y eX

Khi đó tốn tại duy nhất phần tử x € X sao cho x = Tx hon nita voi

moi

x,€ X thi day {x,}„„ xác định bởi x¿.¡ = Tx, VkeN, là hội tụ đến x`, dong CN thời ta có tước lượng: n * Qa d(xmx)S l-a d(x.) 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là || và doc la chuẩn, thoả mãn các tiêu đề sau đây:

1.(Vx e X) |a|>0, |x|=Ø0 ©x= 9 (Ki hiéu phan tir khong lae )

Trang 10

3 (Wx, y € X) |x+y| < ||x|* Íy|

S6 |x| gọi là chuẩn của vectơ x

Kí hiệu không gian định chuẩn là X Các tiên đề 1,2, 3 gọi là hệ tiên đề

chuẩn

Định nghĩa 1.2.2

Day điểm (x„ ) của không gian định chuẩn X goi là hội tụ tới điểm xeX,nếu limlx, —x|=0 Kí hiệu limx, =x hay x, > x (n>) Dinh nghia 1.2.3 Day diém (x„ ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu: lim |x, —x„||=0 Định nghĩa 1.2.4

Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi day co

ban trong X déu héi tu Xét phương trình có dạng x+Ax=f (1.2.1) Dinh ly 1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn, A là toán tử tác dụng từ miễn D(A) c X vào X

Giả thiết những diéu sau day dwoc thuc hién

1 Phwong trinh (1.2.1) có nghiệm tại diém trong x của miền D(A)

2 Đối với số dương a tùy ý, và đối với các x, y tầy ý thuộc D(A) ta có bắt đẳng thức |aœ- »)~=(Ax-Ay)Ï <a Ix-zl +||Ax-AyŸ

3.A bị chặn địa phương tại điểm x `

Khi đó:

Trang 11

2 Tôn tại hình cầu § = S(x * r) với tâm x * 1.3 Phương pháp xấp xí liên tiếp

Kí hiệu X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính tác động trong Trong X xét phương trình toán tử tuyến tính:

x=Ax+f (1.3.1)

trong đó f là phần tử cho trước thuộc X

Để giải phương trình (1.3.1) ta xây dựng phép lặp nhờ các đẳng thức

Sau:

x, =Ax,,+f,n=1,2,3 (1.3.2)

Trong d6 x,¢X 1a phan tử tùy ý

Dinh ly 1.3

Giả sử toán tử tuyến tính A tác động trong X và |A|<1

Khi đó dãy { x„} hội tụ đến nghiệm duy nhất x ` của phương trình (1.3.1) và|x, —x'|<|A|f-|x, =x| lA 1-|al" Hay Ix, —x |< Chứng minh Dat Bx = Ax +f

Ta có ||Bx, — Bx,||=||Ax, + ƒ — Ax; — f||=||Ax, - Ax, = |A( —%;) *|Alllx -:|

Đặt q = ||A||, theo giả thiết 0 < q <1 nên B là ánh xạ co từ X vào X Mặt

khác X là không gian metric đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co tỒn tại duy nhat x’ sao cho Bx =x- hay Ax +f=x"

Vậy x” là nghiệm của (1.3.1)

Theo nguyên lý ánh xạ co, x = limx, noo

Trang 12

Íx;=x¡|=|l4x,~ Axj||<||A||lx, - 2

IIx, | = |Ax; — Ax, | s | Allllas 7% | s IAl lx — xl

lx, = x;||=ÏAx, = Ax, | <|All|x, = x, Í SAY" | ~ 30l] Ym

Với mọi p nguyên dương ta có: n+p~2 xu, —x/||< |X;., ~%›.,- |* -#|x,„, ~x,[<(|AFT”” +|AT”” + +|AI|x ~xÏ =|Al HT +||A|” + +) |x — x;|| “bs ~ Xoll wo ha SS 1 => xX, "¬- X„.„ -x,| >0 => {x,} la day co ban và X là không gian đủ = {x,} hoi tu

Trang 13

Š Xzyp — Äz+p—~ + + [Xa TWF nm Sn < (lal +4)" Xp 1-]|A ja), > - ct — X44 A Do {z,} là dãy cơ bản, cho p—>œ ta được limx,„„ pre n-l Dinh ly 1.3.2

Giả sử A là một toán tử tuyến tính tác động trong X Nếu một luỹ thừa A* nào đó của A có tính chất |A'|<1 thì dãy {x,} được xác định theo công

thức (1.3.2) hội tụ đến nghiệm duy nhất x` của phương trình (I.3.]) và

Ts ql pn

Dinh nghia 1.3.1

p(4) =limd||A|' được gọi là bán kính phổ của toán tử A

Định nghĩa 1.3.2

Nếu toán tử A tác động trong X và p(A) < I thi phương trình (1.3.1) có một nghiệm duy nhất, nghiệm đó là giới hạn cua day (1.3.2)

1.4 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz Xét phương trình loại hai

X+Ax=f

Trang 14

Định nghĩa 1.4.1

Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là liên tục

Lipschitz néu đối với các phần tử tuỳ ý x,,x,6 X ước lượng sau đây đúng:

Jax ~4s.I< rJx -x|

Trong đó || là chuẩn của không gian X, L = const > 0 Định nghĩa 1.4.2

Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là đơn điệu nếu đối với các phần tử tu) ý x,x,€ X và đối với số e >0tw}) ý ước lượng sau đây đúng: |x,— x,Ì|< |x, —x, +e [Ax,- Ax, ]|

Bổ đề 1.3

Giả sử A là một ánh xạ đơn điệu tác động trong không gian Banach X Khi đó đối với các phan tu tuy ¥ x,,x,EX va đối với các số dương tuỳ ý

E,,e,,0<e, <e, bất đẳng thức sau đây đúng:

Í~xs+Ei[Axi=Ass ||<|—x*› +E, [ Ax, - Ax, ]

Ching minh

Giả sử ngược lại tồn tại những phần tử x,,x,,||x,-x,|>0 va nhing sd

dương tuỳ ý e,,e,,0<e, <e, bất đẳng thức sau đây đúng:

Ix, —x,+€, [Ax, — Ax, || > |x, —x, +8, [Ax, — Ax, ] (1.4.1)

Do tính đơn điệu của ánh xạ A, từ bất đẳng thức (1.4.1) suy ra:

< |x, —X,+€, [Ax, _ Ax, |

lx,—x, <x, -x, +¢, [Ax, - Ax, ] (1.4.2)

Mặt khác, đối với các phần tử tuỳ ý x, yeX phụ thuộc điều kiện

|x|<|x+ y|| thì bất đẳng thức |x+y||< |x+(I+£)y , VE>0 (1.4.3)

đúng

Trang 15

Do đó giao của hình cầu Kứ) với tỉa P={v:v=x+p;x,ye X,0<r<œ}

với điều kiện |x|<z Iy[>0 là một đoạn Œ)= KŒ)nP={v:v=x+/y,0<r</()} trong đó tham biến dương t(r) được xác định từ điều kiện |x+:œ)y|=r

Vì KŒ,)C KŒ,) khi <x, nên hàm tí) tăng khi r tăng

Từ điều kiện t(r) ting với re (|x |,+=) và từ bắt đẳng thức [x+:)y|=n < , =|[y+!(;)y| Suy ra rằng ||x+i,y||<||x+i,y | (1.4.4) đối với ¡:,„ 1, dương tuỳ ý, ¡,<¿,, và đối với các phần tử tuỳ ý x,yeX, lxl|< |x+:.zÍ Từ bất đẳng thức (1.4.4) suy ra bất đẳng thức (1.4.3) đúng Ta đưa vào kí hiệu: €,-€ X=Xx,-X),y =€,(Ax, —Ax,),€ mẽ 1 Khi đó hệ thức (1.4.2) có thể viết dưới dạng: lx|<|x+( +0y|<||š+ y| (1.4.5) So sánh (1.4.3) và (1.4.5) ta thấy sự mâu thuẫn * KET LUAN

Chương Ï trình bày một số khái niệm quan trọng trong một số không gian định chuẩn phục vụ cho nội dung hai chương sau

Phương pháp xấp xi liên tiếp, phương trình loại hai với toán tử đơn

Trang 16

Chương 2

Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz 2.1 Sự tồn tại nghiệm Xét họ một tham biến các phương trình toán tử x+EAx=f,0<£<1 (2.1.1) Với Ê =0 ta có phương trình thường x =f Với £ = 1 ta có phương trình:

x + EAx = f (Phuong trinh loai hai) (2.1.2) Nếu toán tử A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì có thể chi

ra được £¿ >Ö sao cho £,L<1 bằng cách cố định một số tự nhiên NÑ sao cho

Vay 1

Ñ >L và đặt Ê› ẾN

Khi đó phương trình x+£¿Ax=f xác định một toán tử co £yÁ

Thật vậy

Vx,,x,€ X :|fe Ax, —€,Ax, =e, |Ax — Ax, || Do A thoả mãn điều kiện Lipschitz nên

€, JAx,-Ax, <Š €,L||x, — x,|| = |,Ax,-£,Ax,||< e„# ||x, - x: |

Mà 0<E£,L<l suy ra e,A là toán tử co

Trang 17

Như vậy ta đã cho trượt một bước e, theo tham biến e từ phần tử

x(0) = f theo hướng đến phần tử x(1) =u

Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến e sẽ đến nghiệm

của phương trình (2.1.2) sau một số hữu hạn bước

Xét phương trình loại hai: x+Ax=f (2.1.3) trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử cho trước Giá thiết A(0) = 0 Định lý 2.1

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là liên tục Lipschitz va don điệu Khi đó phương trình (2.1.3) có nghiệm duy nhất với phân tử tuỳ ý ƒe X

Ching minh

Giả sử ánh xạ A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L

Ta cố định một số tự nhiên N sao choN >L và đặt e, =

Ta viết phương trình (2.1.3) dưới dạng sau:

1 1 1

x+Ax=x+—Ax+—Axt+ 4+—Axef

N N

Hay x+Ax=x+te,Axte, Axt t€,Ax=f

Trang 18

Sau các phép thay biến trên phương trình (2.1.3) có dạng:

@ +EgAF, 'F,' Fy 0= Fy@0= ƒ (2.1.5)

Ta sẽ chứng minh ánh xạ £,AF, 'F, ' F„', là ánh xạ co với hệ số co q=£,¿L<l

Thật vậy:

Do e¿A là toán tử co do đó với y tuỳ ý thuộc X phương trình Fx=x+£,Ax=y có nghiệm duy nhất

Vì vậy toán tử Ƒ' và Ƒ, xác định tại tất cả các điểm của khơng gian X

Tốn tử F—' thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1 vi:

Vy,,y,€X ,dat Fo 'y,=x,,F/'y, = x,

Tù tính đơn điệu của A ta có: = |x.- x:||< Ï*x.—x,+£u(Ax,— Ax,) Ay, — Fr'y, = |x, +e, Ax, )- (x, +€,Ax,) = |b - >I

Suy ra toán tử e,AF,' là toán tử co với hệ số Le, < 1 và do đó toán tử F;' cũng thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1

Thật vậy sử dụng bỏ đề (1.3.1) đối với ánh xạ A ta thu được:

|: ': — F,'z,|= ll, ¬ v»;|= Il, +€,)AX,— x, - €,Ax,]|| <Š Ils, — x, + 2€,(Ax,- Ax,)

= IIx, —X,+€,)(Ax, - Ax,)

= |x, +€,Ax,)- (x, + €,Ax,) + €, Ax, — €,Ax,|

= ly, — 32 +€,AF,'y, — €,AF,'y,

= Io, +€ AF, 'y)- (y;+AF,'y;)||

Trang 19

Một cách tương tự ta có thể chứng minh rằng tất cả các toán tử

F,'(k =1,2, ,N-1) duoc xác định trên tồn khơng gian và liên tục Lipschitz với hệ số L = 1 Do đó ánh xạ €,AF,'F,' Fy' là ánh xạ co với hệ số co q=£gL<l Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.1.5) với f tuỳ ý có nghiệm duy nhất œ

Như vậy phương trình xuất phát (2.1.3) tương đương với phương trình

(2.1.5) cũng giải được duy nhất với phần tử tuỳ ý f

Cụ thể đối với phương trình:

x+Ax=f

trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử

cho trước Giả thiết A(0) = 0

Giá sử hằng số Lipschitz là L và esi Trong trường hợp này có thể lấy số N = 2 Khi đó X+ AX=X+CAX+CAX=f (2.1.6) 1 Đặt y = x+ xAx = Fx (2.1.7) Phương trình (2.1.6) tương đương với phương trình 1 yt SAR y= f (2.1.8)

Đầu tiên ta tìm nghiệm y từ phương trình (2.1.8) sau đó đặt y vào (2.1.7) ta sẽ tìm được x Nghiệm y trong phương trình (2.1.8) có thể tìm bằng công thức xấp xỉ của phép lặp đơn

Trang 20

Mỗi lần muốn tìm F-'Œ,) ta cần giải phương trình

1

x+zAxey, (2.1.10)

Nghiệm xấp xi của (2.1.10) có thể tìm bằng phép lặp

x, ‘m+l -l1

=z Mn +y,,x¿ cho tuỳ ý,m =0, 1,2,

Dưới dạng tổng quát có thé viết quá trình lặp như sau: m+I -l 1 X= — Ax, -— Ax, + 2 m 2 k f m =0, 1,2, ;k =0, 1,2, (2.1.11) Ta có thể hiểu cách viết (2.1.11) như sau Ta lay xap xi khong x, =x va dựng quá trình lặp

X= AN, AATF =H M=OL2 2 2

Giá sử dãy này hội tụ đến phần tử x Tiếp theo ta dựng quá trình lặp -| 1= = Xing} = AX, —TAX+ fx, =x,m = 0,1, 2, 2 2 m+ Trường hợp €, = x (N bước theo tham biến e ) ta đi đến quá trình lặp có dạng: ¬1 1 1 =— Ax, -— Ax, — -—Ax +f 2.1.12 ¬ ẻ (2.1.12) Amel m,n,p=0, 1, 2,

2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ

Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách

tự nhiên là trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép

lặp Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp Ta giả thiết toán tử trong định lý

Trang 21

Định lý 2.2

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục Lipschitz voi hằng số Lipschuz L Khi đó dãy nghiệm xấp xi

{x(n,N)}, N > L,n = 1, 2, , được dựng với quá trình lặp (2.1.12), hội tụ

đến nghiệm đúng x của phương trình (2.1.3), theo chuẩn của không gian X,

hơn nữa ta có trớc lượng K”'[expd-1]- [lf |x(2,N)—al]s (I—K)[exp(q)-1] Trong đó K =—,n = l,2, + N Ching minh

Ta đi thiết lập ước lượng

Bài toán I (một bước theo tham bién £)

Xét phương trình

x+&Ax=f (2.2.1)

Trang 22

Bài toán 2 (hai bước theo tham biễn e)

Xét phương trình

x+2&Ax=f (2.2.3)

Nói chung toán tử 2e„4 khơng phải là tốn tử co Đề sử dụng nguyên

tắc ánh xạ co khi giải phương trình (2.2.3) ta thực hiện phép thay biến (2.1.4)

Sau đó phương trình (2.2.3) sẽ có dạng

y+E,AF 'y=ƒ (2.2.4)

Như đã chứng minh, trong phương trình này toán tử e,¿4F,” là toán tử co do đó nhờ nguyên lý ánh xạ co phương trình (2.2.4) có nghiệm y Giá trị xấp xỉ của phần tử y thu được nhờ quá trình lặp

y, =-€,AFy, +f (2.2.5)

với sai số wŒ) Vì toán tử e,A co với hệ số co qz=e,L <1 nén sai số u(n)cho

đối số của toán tử ¿A4 tương đương với sai số gu@) cho về phải của phương

trình y+£,AF,'y=ƒ

Vì ánh xạ 7;' liên tục Lipschitz với hằng số L = 1, nên mang sai số qu@œ) vào về phải của phương trình y+£E,AF'y=ƒ sẽ gây ra trong nghiệm tương ứng sai số không quá gH()

Sai số tứ) sau một số hữu hạn n phép lặp khi giải phương trình y+E,AF'y= ƒ, đối với nghiệm xấp xỉ y, ta sẽ thu được

|», - x|=ð,@ <au0œ ~+u(Œ) =að,(n) +u()

Mặt khác với phép thay đôi biến ngược, nghĩa là nếu chuyển từ biến y về biến x cũng sẽ có sai số uứ) Như vậy sai số của nghiệm xấp xi x, thu được sau khi thực hiện n phép lặp trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng sẽ là

Trang 23

Lý luận tương tự đối với bài toán k:

x+ke,Ax=f,fe[1,N] ta thu được ước lượng |[x, —x(ke,) |=, (a) $8, (0) + +8,(n), (2.2.6) ồ,(@)< 4|ồ, (n)+ +õ, (n)|+ u(n),l<¡ <k (2.2.7) Trong đó n là số các phép lặp thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng V iết bất đẳng thức (2.2.7) dưới dạng khác k-1 ỗ, <w+4}`ồ,,ỗ, <u,k =2,3, M (2.2.8) isl Do sự tương tự rời rạc cúa bổ đề Belman-Gronwall đã biết tt bat dang thức (2.2.8) ta được: 5, < pexp[q(k-1)], =2,3, ,N (2.2.9) Do đó có thể viết ước lượng sai số (2.2.9) đối với bài toán K dưới dạng sau đây nếu lưu ý đến ước lượng (2.2.9) k |x,~x(Ke,)||= A,(n) < X80) i= exp(kq)-1 exp(q)-1 sud exp[q(i-l) =u

Ta ký hiệu nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.1.3) được dựng với quá trình

lặp (2.1.13) là x(n,N), trong đó N là số các bước theo tham biến £, n là số

phép lặp được thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng Ta thu được: „-¡ lexp(aN)-1]|7 | =4)[exp(q)-1] Định lý đã được chứng minh |xé N)- *[ <q * KET LUAN

Chương 2 trình bày phương pháp thác triển theo tham số đối với

Trang 24

Phương pháp đề nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử rất phong phú

và đa dạng Có thê giải xấp xỉ phương trình toán tử bằng một số phương pháp như phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp Galerkin

Tuy nhiên những phương pháp này chỉ áp dụng dễ dàng đối với phương

trình mà ánh xạ của phương trình là ánh xạ co với hệ số co nhỏ hơn 1

Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với

toán tử đơn điệu và liên lục Lipschitz là một quá trình lặp sử dụng một số hữu

hạn các bước theo tham biến e và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co Ưu điểm của phương pháp này là áp dụng cho cả phương trình mà

Trang 25

Chương3

Giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

Xét phương trình loại hai

x+Ax=f (3.1)

trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian X vào X, f là phần tử cho trước

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong

không gian “'

3.1.1 Định nghĩa

Ánh xạ A tác dụng trong không gian R` được gọi là đơn điệu nếu với các

phan tik tuy ¥ x,,x,€X thi (Ax, - Ax, (x,—x,)}>0

3.1.2 Sự tồn tại nghiệm

Định lý

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian R` là liên tục Lipschiz và đơn điệu Khi đó phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất voi phan tur tuy ¥

/ƒeR' Chú ý

Giả sử phải giải phương trình

x+f(x)=m (m e#') (3.2)

trong đó f là hàm số xác định trên đoạn [a, b]

Trang 26

xạ co và dãy các giá trị

XX, = @Ó%§), X„ = @ŒX,)

với x„ tuỳ ý thuộc [a, b] sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình (3.3)

và do đó của (3.2)

Trường hợp riêng ánh xạ co được thoả mãn nếu hàm cho trên đoạn [a, b] c6 dao ham g’(x) va |g (|< K <1

Ví dụ 3.1.1

Giải phương trình x = cosx trong đoạn [Z3]

Xét g(x) = cosx

AA

Ta thấy ngay |g =|sin x|< sin <1 trén doan [3]: Lay x, =

ta có các xấp xi tiếp theo được xác định như sau:

x _42 v2

Xi =CO§—=——;X, =CO0S§——; 1 „2 > 4 2

Day x, hoi tu về nghiệm duy nhất của phương trình x = cosx Tốc độ

hội tụ được ước lượng bởi bắt đẳng thức (sin—)” 2} _ 1 ix’ -x,|< m2 = —(0,866)" 4 2 1-sin— Vidu 3.1.2

Giai phuong trinh

x + sim = 0 trong đoạn [os (3.4)

Xét ham sé f(x) = 5 sinx

Trang 27

Mặt khác ta có với Vx,ye fo *]

4) 4

|ƒ@=7G|= in x=sin »|ssk-y

Ham sé f(x) thoả mãn điều kiện liên tục Lipschitz với hệ số L =

Phương trình (3.4) có thể viết lại đưới dạng sau

x+ sinx =x+ 2 ging + 2 sinx =0 (3.5) 3 3 3 x 2 Ta đặt y=x + 3 Sinx = Fx (3.6) Phương trình (3.5) tương đương với phương trình y+ 2ify=0 (3.7) Nghiệm của phương trình (3.7) được xác định qua công thức xắp xỉ của phép lặp đơn Ya =F PEAY AM = OL Dorey 3.8)

yạ cho tuỳ ý

Mỗi lần muốn tìm F.'y, ta cần giải phương trình x+ 2Í) = y, (3.9) Nghiệm xấp xi của (3.9) có thể tìm bằng phép lặp -1 ¿ai — —ƒŒ„ ) + Vn 2 Dang tổng quát quá trình lặp là: -l 1 Xt Hy FO mF ICL), m = 0,1,2, :k = 0,1,2,

Trang 28

*Chương trình

type mang1=array[0 100]of real;

Trang 30

x„ =0.000000000 3.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong không gian rR’ Trong không gian R’, (3.1) có dạng: fren wl yt fy) =b C10) 3.2.1 Dinh nghia

Ánh xạ A tác dụng trong không gian R°được gọi là đơn điệu nếu với

cdc phan tử tuỳ ý X,,X, e R° thi (AX,-AX,,X,-X,)20 Có nghĩa là: Với A=(,,ƒ,),X,,X,e<R?,X, =(x,,x,),X„, =(y,.y;) thì (AX,—AX,,X,—X,)>0 S© (/@I,x;)— fỚi, y¿))ŒI — VIF A282) — fo Ov VIO — V2) 20 3.2.2 Sự tồn tại nghiệm Định lý 3.2

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian RỲ, với A = (ƒ,, ƒ,) thoả mãn

Trang 31

y+ƒ,(x,y)=b

Trong đó A=(/,,/,) là đơn điệu trên R&?

Ta có:

V X,=(%.y), X,=(+,y) €Ñ°, với A=(/,./,)

|A(œ.»)~ AG.)|= f,Gy)= 0G y)|*|f;

<|#.@œy)~ #0 y)|+|#,@ y)~ #0 y)|+|, siết OY) fC G+] Fem) fC) fy) on) 5 y) yx —x]+ Se y) yA FE Gone] y= cole Healy J] 3ÌxB|y— 1c + ĐI: 1 — 39 œ +ĐIX -X,| <a : Gy]s0,% Trong đó of, là m1 <B oy Với 6,6, € (x,x) hoặc Š,Š, e (x,x) T1), € (y, y) hoặc Tị.n, e Oy) Đặt L = (œ+B) Khi đó

Từ đó suy ra toán tử A thoả mãn điều kiện Lipschitz trên #?

Trang 32

y + —(arctany —— x) +—(arctany -—x) =0

eee

1 1

Đặc /(*,y)= arctanx+— y, f, (x, y) = arctany s1

*A thoả mãn điều kiện đơn điệu trong &?

A=Œ.f,).X,.X,eR),Xị =(1Xi,x;),X, = (yị; y;) Ta có: 1 1 (AX,—AX,,X,— X,) = (arctanx, +2% —arctany, ~z%X% —%,)+ 1 1 +(arctanx, _z" — arctany; + sử )(%; — y;) 1

= (arcfanx, — arctany,)(x¡ — y,)+ 2% — ;)(%¡— y,)+ +(arcfanx; — arctany;)(x; — y;) -F — yy (%,- y,)

= (arctanx, —arctany,)(x,— y,)+(arctanx, —arctany,)(x, — y,) 20

* A thoa min diéu kién Lipschitz Ta có: A=Œ.ƒ,).X.,X,e€ R}.X, =(xi,x;),X; =(yi.};)

|Ax-A YI =| arctanx 45% — arctany -5), +] arctanx, _ — arctany, +>

Trang 33

=ŸJX -rI 2

Trong đó ce[x¡.y,|.đ e [x; y; ]

1 1 1 1

Đặt z= x47 (aretanx+— y)= & (X,Y), p= y ts (arctany—.x)= 8 (x,y)

Hệ phương trình (II) tương đương với hệ phương trình 1 [+t e's =1 | 1 am") [p+ ha"? =0 Nghiém (z, p) trong hé phuong trinh (IIT) c6 thé tim bằng công thức xắp xỉ của phép lặp đơn -1 - Ba FZ AB '(z,)+1 n= 0,1,2, , apg Pai = ƒ;8; (P,)

(Zy> P,) cho tuy y

Trang 34

Dưới dạng tổng quát có thể viết quá trình lặp như sau:

1 1 1 1

=——~(arctanx, +— y„)——(arctanx,+—y,) +l 2( nt Zz Ind Fb +23)

mol

1 1 1 m =0, 1, 2, ;k = 0,1, 2,

ne) = 7 (aretany,, -—x,,)-=(arctany, -—x, )

Yas = 5 (arclany , — 5%, )— 5 (arctany, — 5%, x xX, =0,1 Dùng lập trình Pascal, nêu chọn xâp xi ban dau là { ° 0.5 và thực 3o =1, hiện sau 20 phép lặp chỉ số k với ước lượng cho trước ta thu được kết quả sau: *Chương trình

type mang1=array[0 50]of real;

Trang 37

x,, =0.48637021 y,, =0.121892295 x, =0.48636979 y„ =0.121891475 x,, =0.48637001 y, =0.121891715 x„ =0.48636992 y„ =0.121891655 x„, =0.48636995 y„ =0.121891665 Xj, =0.48636994 y„ =0.121891665 x„ =0.48636994 y„ =0.121891665 x„ =0.48636994 Yu =0.121891665 * KET LUAN

Chương 3 trình bày ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử trong một số không gian định chuẩn Ba ví dụ minh họa thể hiện được vai trò của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

Ta có thê giải phương trình toán tử trong một số không gian định chuẩn

Trang 38

thay biến của phương pháp trên để đưa về phương trình toán tử với ánh xạ co

mà hệ số co nhỏ hơn 1, từ đó có thể tìm được nghiệm xấp xỉ duy nhất của

Trang 39

Luận văn trình bày logic, khoa học các nội dung ở 3 chương Chương 1 trình bày một số khái niệm mở đầu Chương 2 trình bày nội dung của phương pháp trác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz Chương 3 nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số đề giải phương trình toán tử trong một số không gian định chuẩn

Luận văn trình bày thuật toán giải phương trình toán tử loại hai với toán tứ đơn điệu và liên tục Lipschitz trong một số không gian định chuẩn và xây dựng lập trình giải bằng máy tính Các lập trình này có thể áp dụng cho các ví dụ khác nhau của phương trình toán tử bằng cách thay các số liệu trong lập trình

Việc xây dựng lập trình có vai trò quan trọng trong việc đưa ra nghiệm xấp xỉ của phương trình Nhờ đó việc nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử sẽ đơn giản hơn

Với phạm vi luận văn và thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi

những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và

Trang 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[A] Tài liệu Tiếng Việt 1] [2] [3] [4] [5]

Nguyễn Minh Chương, Y a.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh

(1992), Giải xap xï phương trình toán tw, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội

Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn

Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (1996), Giải tích số, NXB Giáo dục Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, ÑXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh

[6] Bruck R.E.Jr (1973), The interative solution of equation

ye x + Tx for monotone operator in Hilber space Bull