một số ứng dụng của tích phân trong đại số và lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Tính chất cơ bản của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Tính chất chung của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 2. Một số ứng dụng của tích phân trong đại số . . . . . . . . . . . 7 2.1. Khảo sát phương trình, bất phương trình trong Đại số . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . 8 2.1.2. Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm . . . . . 13 2.2. Phương pháp tích phân trong bất đẳng thức đại số. . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị đại số . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. Một số ứng dụng của tích phân trong lượng giác . . . 32 3.1. Tích phân các hàm lượng giác và hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . 32 3.1.1. Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2. Tích phân đối với các hàm đặc trưng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3. Tích phân đối với hàm tuần hoàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.4. Sử dụng các hệ thức truy hồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Tích phân trong các bài toán về bất đẳng thức lượng giác . . . . 48 3.3. Tích phân trong các bài toán cực trị lượng giác . . . . . . . . . . . 51 3.4. Ứng dụng của tích phân vào phương trình lượng giác. . . . . . . . 56 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1 MỞ ĐẦU Chuyên đề về phép tính tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích mà còn là một công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của lý thuyết hàm số và các ứng dụng liên quan. Bản thân phép tính tích phân thường được sử dụng trong nghiên cứu Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Y học,. . . như một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể của các hoạt động thực tiễn. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên thì các bài toán liên quan đến tính toán tích phân cũng hay được đề cập và được xem như là những dạng toán thuộc loại khó. Hiện nay, các bài toán liên quan đến phép tính tích phân nằm trong chương trình chính thức của Toán giải tích ở bậc trung học phổ thông. Lý thuyết và các bài toán về phép tính tích phân đã được đề cập ở các giáo trình cơ bản về Giải tích toán học. Tuy nhiên, các tài liệu có tính hệ thống về các ứng dụng của phép tính tích phân như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh cuối bậc trung học phổ thông và sinh viên các trường kỹ thuật thì chưa có nhiều. Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề phép tính tích phân và ứng dụng, luận văn "Một số ứng dụng của tích phân trong Đại số và Lượng giác" nhằm cung cấp một số tính chất cơ bản của tích phân hàm một biến và cho phân loại các dạng toán ứng dụng trong khảo sát phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức và các bài toán cực trị liên quan của Đại số và Lượng giác. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây: Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân hàm một biến thực. Chương 2 trình bày các ứng dụng của tích phân trong đại số. Chương 3 trình bày một số ứng dụng của tích phân lượng giác. 2 CHƯƠNG 1 Tính chất cơ bản của tích phân 1.1. Tính chất chung của nguyên hàm Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay nửa khoảng trên trục thực. Định nghĩa 1.1 (xem [3]). Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu hàm số F(x) liên tục trên K, có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K và F  (x) = f (x), ∀x ∈ K. Chú ý 1.1. Trong trường hợp K = [a; b], các đẳng thức F  (a) = f (a), F  (b) = f(b) được hiểu là các giá trị đạo hàm một phía F  (a) = lim x→a + F (x) − F (a) x −a F  (b) = lim x→b − F (x) − F (b) x −b Định lý 1.1 ([3], [5], Về sự tồn tại nguyên hàm). Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Định lý 1.2 (xem [3]). 1) Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F (x) trên K thì trên K nó có vô số nguyên hàm. 2) Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên K là sai khác nhau một hằng số cộng. Từ Định lí 1.2 ta thấy nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C ∈ R. Vậy F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K. Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K được kí hiệu là  f(x)dx. Để đơn giản cách trình bày, ta sử dụng cách viết như trong sách giáo khoa:  f(x)dx = F (x) + C, C ∈ R. 3 Định lý 1.3 (Tính chất của nguyên hàm). i)   f(x)dx   = f(x). ii) d   f(x)dx  = f(x)dx. iii)  df(x) = f (x) + C. Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm). i)  kf(x)dx = k  f(x)dx (k = 0). ii)  f(x)dx+  g(x)dx =  [f(x) + g(x)]dx. iii) Quy tắc đổi biến  f(x)dx =  f[ϕ(t)]ϕ  (t)dt, trong đó x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục. iv) Quy tắc lấy nguyên hàm từng phần  udv = uv −  vdu, trong đó u = u(x), v = v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục. 1.2. Tính chất của tích phân xác định Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định của một hàm số. Định nghĩa 1.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b]. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x i (i = 0, , n): a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < < x n−1 < x n = b. 4 (Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu là Π.) Đặt ∆x i = x i − x i−1 và d (Π) = max ∆x i , 1 ≤ i ≤ n. Trên mỗi đoạn [x i−1 ; x i ], ta lấy một điểm tùy ý ξ i (i = 1, , n) và lập tổng σ Π = n  i=1 f(ξ i )∆x i . (1.1) Tổng (1.1) được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch Π. Nếu giới hạn I = lim d (Π) →0 σ Π = lim d (Π) →0 n  i=1 f(ξ i )∆x i tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a; b] và cách chọn các điểm ξ i thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a; b] và được kí hiệu là b  a f(x)dx = lim d (Π) →0 n  i=1 f(ξ i )∆x i . Khi đó hàm f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b]. Chú ý 1.2. Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: b  a f(x)dx = b  a f(t)dt. Ta luôn luôn có b  b f(x)dx = 0, b  a f(x)dx = − a  b f(x)dx. Như chúng ta đã thấy, để tính diện tích "hình thang cong", ta xấp xỉ phần dưới được giới hạn bởi một đường cong cho trước nhờ các tổng xác định và đã tìm được diện tích chính xác bằng cách thiết lập giới hạn của các tổng 5 đó. Sau đó, chúng ta tìm giá trị bằng số của giới hạn này trên cở sở sử dụng định lí cơ bản về các phép tính giới hạn. Để ý rằng, nếu f (x) là liên tục trên [a; b] thì lim max ∆ x k →0 n  k=1 f(x k )∆x k = b  a f(x)dx = F (x)   b a = F (b) − F (a). (1.2) trong đó F (x) là một nguyên hàm nào đó của f(x). Có nhiều đại lượng khác của Hình học, Vật lí, cũng có thể khảo sát được bằng phương pháp này như thể tích, độ dài, diện tích mặt cũng như các đại lượng vật lí cơ bản như công sinh ra bởi một lực biến đổi tác động từ một khoảng cách cho trước, lực thủy tĩnh, . . Trong mỗi trường hợp như vậy, quá trình này thực hiện phép chia khoảng biến thiên độc lập thành các khoảng nhỏ và đại lượng đang xét được tính gần đúng bằng tổng tương ứng, giới hạn của các tổng ấy cho ta giá trị chính xác của đại lượng cần tính dưới dạng một tích phân xác định - được tính toán nhờ các phép tính cơ bản. Ta cũng thấy rằng những chi tiết của quá trình tính giới hạn của tổng tích phân là rất phức tạp và lặp đi lặp lại nhiều lần do việc chọn các điểm tùy ý. Điều đó gây trở ngại cho nhận thức trực quan của tích phân xác định. Cách thức khảo sát việc xây dựng tích phân xác định (1.2) bằng phương pháp trực quan sẽ dễ hiểu hơn (xem [5]). Ta hình dung diện tích dưới một đường cong (giới hạn phần đường cong và trục x) như là tổng của rất nhiều hình chữ nhật được xếp thẳng đứng dưới hình này có độ cao y và chiều rộng dx, diện tích của nó bằng dS = ydx = f(x)dx. (1.3) Diện tích này được gọi là phần tử tích phân của diện tích hay đơn giản là phần tử diện tích, nằm tại một vị trí tùy ý trong miền đó được đánh dấu bởi giá trị x giữa a và b. Bây giờ, ta xem diện tích toàn bộ S như là hợp nhất tất cả những phần tử diện tích dS khi các diện tích hình chữ nhật thẳng đứng như vậy quét lấp đầy miền đó. 6 Thực hiện hợp nhất trên bằng cách lấy tổng và được kí hiệu bởi S =  dS. Bởi vì, phần tử diện tích dS được quét toàn bộ miền cần tính toán khi x chạy từ a đến b, nên ta có thể biểu diễn S một cách chính xác hơn dưới dạng S =  dS =  ydx =  f(x)dx. (1.4) Ta chỉ có được một tích phân xác định chính xác ở bước cuối cùng trong (1.4) khi biến lấy tích phân và các cận đã xuất hiện một cách tường minh. Bằng cách này, ta đã bỏ qua những bước lập luận rườm rà và thiết lập được tích phân xác định tìm diện tích mà không cần tìm đến việc thiết lập giới hạn của tổng tích phân. Từ cách nhìn đó, ta thấy phép lấy tích phân là cách thực hiện tính toán một đại lượng nhờ cắt nhỏ nó thành nhiều phần và sau đó lấy tổng của chúng. Đó là cách tiếp cận trực quan Leibnitz cho quá trình lấy tích phân mà ta sẽ minh họa và làm rõ hơn ở các chương sau. 7 CHƯƠNG 2 Một số ứng dụng của tích phân trong đại số 2.1. Khảo sát phương trình, bất phương trình trong Đại số Ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của nguyên hàm và tích phân cần thiết cho việc khảo sát phương trình. Định lý 2.1. Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trong [a; b] và giả sử F (x) là một nguyên hàm của nó. Khi đó, nếu tồn tại các số thực x 1 , x 2 ∈ [a; b] với x 1 < x 2 , sao cho F (x 1 ) = F (x 2 ), thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong [x 1 ; x 2 ]. Chứng minh. Giả sử phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc [x 1 ; x 2 ]. Vì f (x) liên tục nên suy ra: hoặc f (x) > 0, ∀x ∈ [x 1 ; x 2 ], hoặc f(x) < 0, ∀x ∈ [x 1 ; x 2 ]. Nếu f(x) > 0, ∀x ∈ [x 1 ; x 2 ] thì hàm số F (x) đồng biến trên đoạn [x 1 ; x 2 ]. Suy ra F (x 1 ) < F (x 2 ), trái với giả thiết. Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ [x 1 ; x 2 ] thì hàm số F (x) nghịch biến trên đoạn [x 1 ; x 2 ]. Suy ra F (x 1 ) > F (x 2 ), trái với giả thiết. Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có F (x 1 ) = F (x 2 ), điều này trái với giả thiết F (x 1 ) = F (x 2 ). Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong [x 1 ; x 2 ]. Nhận xét 2.1. Cũng có thể phát biểu định lí 2.1 dưới dạng sau Nếu hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b] và nếu tồn tại các số thực phân biệt x 1 , x 2 ∈ [a; b] sao cho x 2  x 1 f(x)dx = 0, thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc [x 1 ; x 2 ]. Nhận xét 2.2. Ta thấy định lí 2.1 là hệ quả trực tiếp của định lí Rolle (xem [...]... giá trị lớn nhất của f (x, y) bằng 0 khi x = 0, x = y 0 32 CHƯƠNG 3 Một số ứng dụng của tích phân trong lượng giác 3.1 Tích phân các hàm lượng giác và hàm tuần hoàn 3.1.1 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ Tính chất 3.1 Nếu f (x) hàm liên tục và lẻ trên đoạn [−a, a] thì a f (x)dx = 0 −a Chứng minh a f (x)dx về dạng Biến đổi −a a 0 f (x)dx = −a a f (x)dx + −a f (x)dx (3.1) 0 0 Xét tích phân J = f (x)dx... bởi một số dạng nguyên hàm Ta nhắc lại một số tính chất quen biết của tích phân để sử dụng vào việc xác định nghiệm của phương trình Định lý 2.2 Cho hai số thực a, b trái dấu (a < 0 < b) và f (x) là một hàm số liên tục, không âm (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm) trên [a; b] Khi đó, trong [a; b], phương trình x f (t)dt = 0 0 có nghiệm duy nhất x = 0 x Chứng minh Ta thấy F (x) = f (t)dt là một. .. ln π Hàm số f (t) = −2e−t sin2 (e−t ) là hàm liên tục, không dương ∀t ∈ R, nên theo Định lí 2.4 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = − ln π 2.2 Phương pháp tích phân trong bất đẳng thức đại số Ta nhắc lại nghĩa hình học của tích phân: b Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] thì f (x)dx là a diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường... lý 2.3 Cho hai số thực a, b trái dấu và f (x) là một hàm số liên tục, không dương (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm [a; b]) trên [a; b] Khi đó, phương trình x f (t)dt = 0 0 có nghiệm duy nhất x = 0 trên [a; b] Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: Định lý 2.4 Cho ba số thực a, b, c (a < c < b và f (x) là một hàm số liên tục, không dương (không âm, có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm... tại M và đường thẳng y = b cắt đường y = xp−1 tại N (trong cả hai trường hợp, ap−1 ≤ b và ap−1 > b) Kí hiệu S1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y = 0, x = a, y = xp−1 và S2 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường x = 0, y = b, x = y q−1 Ta có S1 + S2 ≥ ab (2.16) (ở đây ab là diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường y = 0, x = 0, x = a, y = b) Ta có a x+ S1 = bq , q 0 điều phải chứng... đó diện tích S1 của đa giác A1 A2 An−1 An A được xác định theo công thức 1 S = [ln 2 + ln 2 + ln 3 + + ln(n − 2) + ln(n − 1) + ln(n − 1) + ln n] 2 1 1 = ln 2 + ln 3 + + ln n − ln n = ln(n!) − ln n (2.20) 2 2 28 Do S1 < S nên từ (2.19) và (2.20), ta thu được ln(n!) < n + 1 ln n + 1 − n 2 hay 1 1 n! < e1−n e(n+ 2 ) ln n ⇔ n! < e1−n nn+ 2 2.3 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị đại số Bài toán... cho có nghiệm trong (0; 1) 13 Bài toán 2.9 Chứng minh rằng phương trình 2x2 − 3x + 1 (4x − 3) log3 x + =0 x ln 3 1 ;1 2 Lời giải Xét hàm số có nghiệm trong f (x) = (4x − 3) log3 x + 2x2 − 3x + 1 x ln 3 Ta thấy, f (x) liên tục trong (0; +∞) và có một nguyên hàm là F (x) = 2x2 − 3x + 1 log3 x 1 1 = 0 nên F (1) = F 2 2 Theo định lí 2.1, phương trình đã cho có nghiệm trong Ta có F (1) = 0 và F 2.1.2 1... thức xảy ra khi và chỉ khi x = y Bài toán 2.23 Chứng minh rằng √ √ √ 2 √ 4n + 3 √ n n < 1 + 2 + ··· + n < n, n ∈ N∗ 3 6 √ Lời giải Ta có y = x là một hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [0, n] Gọi S là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y = 0, x = n, y = √ x Khi đó, ta có n n √ 2 3 2 √ S= xdx = x 2 = n n 3 0 3 0 √ Gọi Ai là các điểm với toạ độ (i, i) (i = 1, , n) và A là điểm có toạ... toán 2.17 Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm, đơn điệu tăng trên [0, c) với c > 0 Gọi f −1 (x) là hàm ngược của nó Khi đó, ∀a ∈ [0, c) và b ∈ [f (0), f (c)), ta luôn có b a f −1 (x)dx ≥ ab, f (x)dx + 0 f (c) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = f (a) Chứng minh Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = 0, x = a, y = 0, y = f (x), thì a S1 = f (x)dx 0 Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới...8 [3]-[5]) phát biểu dưới dạng sau: Nếu g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong (a, b) và g(a) = g(b) thì luôn tồn tại c ∈ (a, b) sao cho g (c) = 0 2.1.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Bài toán 2.1 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai 3x2 − 2ax + b = 0 (2.1) có nghiệm là tồn tại α, β, γ sao cho a=α+β+γ b = αβ + βγ . viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề phép tính tích phân và ứng dụng, luận văn " ;Một số ứng dụng của tích phân trong Đại số và Lượng giác& quot; nhằm cung cấp một số tính chất cơ bản của. ứng dụng của tích phân trong đại số. Chương 3 trình bày một số ứng dụng của tích phân lượng giác. 2 CHƯƠNG 1 Tính chất cơ bản của tích phân 1.1. Tính chất chung của nguyên hàm Kí hiệu K là một. 28 Chương 3. Một số ứng dụng của tích phân trong lượng giác . . . 32 3.1. Tích phân các hàm lượng giác và hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . 32 3.1.1. Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . .