một số ứng dụng của tích phân trong đại số và lượng giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVI THỊ NGỌC YẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VI THỊ NGỌC YẾN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VI THỊ NGỌC YẾN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Tính chất cơ bản của tích phân 2

1.1 Tính chất chung của nguyên hàm 2

1.2 Tính chất của tích phân xác định 3

Chương 2 Một số ứng dụng của tích phân trong đại số 7

2.1 Khảo sát phương trình, bất phương trình trong Đại số 7

2.1.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 8

2.1.2 Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm 13

2.2 Phương pháp tích phân trong bất đẳng thức đại số 19

2.3 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị đại số 28

Chương 3 Một số ứng dụng của tích phân trong lượng giác 32

3.1 Tích phân các hàm lượng giác và hàm tuần hoàn 32

3.1.1 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ 32

3.1.2 Tích phân đối với các hàm đặc trưng đặc biệt 36

3.1.3 Tích phân đối với hàm tuần hoàn 42

3.1.4 Sử dụng các hệ thức truy hồi 45

3.2 Tích phân trong các bài toán về bất đẳng thức lượng giác 48

3.3 Tích phân trong các bài toán cực trị lượng giác 51

3.4 Ứng dụng của tích phân vào phương trình lượng giác 56

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

MỞ ĐẦU

Chuyên đề về phép tính tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học,

nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích mà còn là mộtcông cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của lý thuyết hàm số và các ứng dụngliên quan Bản thân phép tính tích phân thường được sử dụng trong nghiêncứu Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Y học, như một giải pháp hữu hiệucủa các mô hình toán học cụ thể của các hoạt động thực tiễn

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên thìcác bài toán liên quan đến tính toán tích phân cũng hay được đề cập và đượcxem như là những dạng toán thuộc loại khó Hiện nay, các bài toán liên quanđến phép tính tích phân nằm trong chương trình chính thức của Toán giảitích ở bậc trung học phổ thông

Lý thuyết và các bài toán về phép tính tích phân đã được đề cập ở cácgiáo trình cơ bản về Giải tích toán học Tuy nhiên, các tài liệu có tính hệthống về các ứng dụng của phép tính tích phân như là một chuyên đề chọnlọc cho giáo viên và học sinh cuối bậc trung học phổ thông và sinh viên cáctrường kỹ thuật thì chưa có nhiều

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi

về chuyên đề phép tính tích phân và ứng dụng, luận văn "Một số ứng dụngcủa tích phân trong Đại số và Lượng giác" nhằm cung cấp một số tính chất

cơ bản của tích phân hàm một biến và cho phân loại các dạng toán ứng dụngtrong khảo sát phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức và các bàitoán cực trị liên quan của Đại số và Lượng giác

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương đềcập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phânhàm một biến thực

Chương 2 trình bày các ứng dụng của tích phân trong đại số

Chương 3 trình bày một số ứng dụng của tích phân lượng giác

CHƯƠNG 1

Tính chất cơ bản của tích phân

1.1 Tính chất chung của nguyên hàm

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay nửa khoảng trên trục thực.Định nghĩa 1.1 (xem [3]) Cho hàm số f (x) xác định trênK Hàm số F (x)

được gọi là nguyên hàm của hàmf (x) trên K nếu hàm số F (x) liên tục trên

K, có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K và

F0(x) = f (x), ∀x ∈ K

Chú ý 1.1 Trong trường hợpK = [a; b], các đẳng thứcF0(a) = f (a), F0(b) =

f (b) được hiểu là các giá trị đạo hàm một phía

Định lý 1.1 ([3], [5], Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm số liên tục trên

K đều có nguyên hàm trên K

Từ Định lí 1.2 ta thấy nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)trên

K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C ∈ R.

Vậy F (x) + C, C ∈R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K

Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K được kí hiệu là R f (x)dx Đểđơn giản cách trình bày, ta sử dụng cách viết như trong sách giáo khoa:

Z

f (x)dx = F (x) + C, C ∈R

trong đó x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục.

iv) Quy tắc lấy nguyên hàm từng phần

Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định của một hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho hàm sốy = f (x) xác định trên đoạn [a; b] Chia đoạn

[a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia xi(i = 0, , n):

a = x0 < x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = b

(Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu

Khi đó hàm f (x) được gọi là khả tích trên đoạn [a; b]

Chú ý 1.2 Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấytích phân:

đó Sau đó, chúng ta tìm giá trị bằng số của giới hạn này trên cở sở sử dụngđịnh lí cơ bản về các phép tính giới hạn.

Để ý rằng, nếu f (x) là liên tục trên [a; b] thì

trong đó F (x) là một nguyên hàm nào đó của f (x)

Có nhiều đại lượng khác của Hình học, Vật lí, cũng có thể khảo sátđược bằng phương pháp này như thể tích, độ dài, diện tích mặt cũng nhưcác đại lượng vật lí cơ bản như công sinh ra bởi một lực biến đổi tác động

từ một khoảng cách cho trước, lực thủy tĩnh, Trong mỗi trường hợp nhưvậy, quá trình này thực hiện phép chia khoảng biến thiên độc lập thành cáckhoảng nhỏ và đại lượng đang xét được tính gần đúng bằng tổng tương ứng,giới hạn của các tổng ấy cho ta giá trị chính xác của đại lượng cần tính dướidạng một tích phân xác định - được tính toán nhờ các phép tính cơ bản

Ta cũng thấy rằng những chi tiết của quá trình tính giới hạn của tổngtích phân là rất phức tạp và lặp đi lặp lại nhiều lần do việc chọn các điểmtùy ý Điều đó gây trở ngại cho nhận thức trực quan của tích phân xác định.Cách thức khảo sát việc xây dựng tích phân xác định (1.2) bằng phươngpháp trực quan sẽ dễ hiểu hơn (xem [5]) Ta hình dung diện tích dưới mộtđường cong (giới hạn phần đường cong và trục x) như là tổng của rất nhiềuhình chữ nhật được xếp thẳng đứng dưới hình này có độ cao y và chiều rộng

dx, diện tích của nó bằng

Diện tích này được gọi là phần tử tích phân của diện tích hay đơn giản làphần tử diện tích, nằm tại một vị trí tùy ý trong miền đó được đánh dấu bởigiá trị x giữa a và b

Bây giờ, ta xem diện tích toàn bộ S như là hợp nhất tất cả những phần

tử diện tích dS khi các diện tích hình chữ nhật thẳng đứng như vậy quét lấpđầy miền đó

Thực hiện hợp nhất trên bằng cách lấy tổng và được kí hiệu bởiS =R dS.Bởi vì, phần tử diện tích dS được quét toàn bộ miền cần tính toán khi x

chạy từa đến b, nên ta có thể biểu diễn S một cách chính xác hơn dưới dạng

Từ cách nhìn đó, ta thấy phép lấy tích phân là cách thực hiện tính toánmột đại lượng nhờ cắt nhỏ nó thành nhiều phần và sau đó lấy tổng của chúng

Đó là cách tiếp cận trực quan Leibnitz cho quá trình lấy tích phân mà ta sẽminh họa và làm rõ hơn ở các chương sau

CHƯƠNG 2

Một số ứng dụng của tích phân trong đại số

2.1 Khảo sát phương trình, bất phương trình trong Đại số

Ta nhắc lại một số tính chất quan trọng của nguyên hàm và tích phâncần thiết cho việc khảo sát phương trình

Định lý 2.1 Giả sử hàm số y = f (x) xác định và liên tục trong [a; b]

và giả sử F (x) là một nguyên hàm của nó Khi đó, nếu tồn tại các số thực

x1, x2 ∈ [a; b] với x1 < x2, sao cho F (x1) = F (x2), thì phương trình f (x) = 0

có nghiệm trong [x1; x2]

[x1; x2] Vì f (x) liên tục nên suy ra: hoặc f (x) > 0, ∀x ∈ [x1; x2], hoặc

Vậy phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong [x1; x2]

Nhận xét 2.1 Cũng có thể phát biểu định lí 2.1 dưới dạng sau

Nếu hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [a; b] và nếu tồn tại các sốthực phân biệt x1, x2 ∈ [a; b] sao cho

x 2

Z

x1

f (x)dx = 0,

thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm thuộc [x1; x2]

Nhận xét 2.2 Ta thấy định lí 2.1 là hệ quả trực tiếp của định lí Rolle (xem

[3]-[5]) phát biểu dưới dạng sau: Nếu g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạohàm trong (a, b) và g(a) = g(b) thì luôn tồn tại c ∈ (a, b) sao cho g0(c) = 0.

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình bậchai

Ngược lại, giả sử phương trình (2.1) có nghiệm x1, x2 Để ý rằng F (x) =

x3 − ax2 + bx − c là nguyên hàm của f (x) = 3x2 − 2ax + b với mọi c

Nếux1 = x2 thì ta chọnα = β = γ = x1.Khi đó đa thứcF (x) = (x−x1)3

có ba nghiệm trùng nhau nên đạo hàm của nó có hai nghiệm và có dạng (2.2).Khi x1 6= x2, coi x1 < x2 thì nguyên hàm F (x) có cực đại, cực tiểu vì đạohàm của nó có hai nghiệm phân biệt nên đổi dấu qua nghiệm Chọnc sao chođiểm uốn của đồ thị nằm trên trục hoành Khi đó phương trình F (x) = 0 có

ba nghiệm, ký hiệu là α, β, γ thì theo định lí Viet, ta có ngay biểu diễn dạngdạng (2.2)

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng phương trình bậc ba

Lời giải Thật vậy, xét đa thức nguyên hàm có bốn nghiệm thựcα, β, γ, δ :

F (x) = (x − α)(x − β)(x − γ)(x − δ),

thì F0(x) có dạng (2.3)-(2.4)và theo định lí Rolle sẽ có ba nghiệm thực.Bài toán 2.3 Chứng minh rằng, nếu các hệ số của phương trình

anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0 (2.5)thỏa mãn điều kiện

Suy ra phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong (0; 1).

Bài toán 2.5 Chứng minh rằng phương trình



Nhận xét rằng

F1π



Bài toán 2.6 Chứng minh rằng phương trình

2(x − 1) ln x + x ln2x = 4x

có ít nhất hai nghiệm phân biệt

Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là x > 0 Biến đổi phươngtrình đã cho về dạng

1

0 = 6 log7(6x − 5) ⇔ 7x−1ln 7 = 6 log7(6x − 5) (2.8)Đặt y − 1 = log7(6x − 5) Khi đó phương trình được chuyển thành hệ

Trừ hai vế hai phương trình của hệ ta được

Xét hàm số f (t) = 7t−1 + 6t là hàm đơn điệu trên R

Khi đó (2.9) được viết lại dưới dạng

là hàm đồng biến trên D

Vậy theo định lý Rolle phương trình g(x) = 0 có không quá hai nghiệmtrên D

Nhận xét rằng g(1) = g(2) = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2

Bài toán 2.8 Chứng minh rằng phương trình

Bài toán 2.9 Chứng minh rằng phương trình



= 0 nên F (1) = F

12

.Theo định lí 2.1, phương trình đã cho có nghiệm trong



1

2; 1



Ta nhắc lại một số tính chất quen biết của tích phân để sử dụng vào việcxác định nghiệm của phương trình

Định lý 2.2 Cho hai số thực a, b trái dấu (a < 0 < b) và f (x) là một hàm

số liên tục, không âm (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm) trên [a; b].Khi đó, trong [a; b], phương trình

Nếu x 6= 0 và x ∈ [a; b], thì từ giả thiết f (x) ≥ 0, ta suy ra F (x) đồngbiến trên [a; b] và F (x) 6= F (0) = 0, tức phương trình F (x) = 0 không thể

có nghiệm x 6= 0 trên [a; b]

Vậy phương trình F (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 0

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có:

Định lý 2.3 Cho hai số thực a, b trái dấu và f (x) là một hàm số liên tục,không dương (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm [a; b]) trên [a; b] Khi

có nghiệm duy nhất x = 0 trên [a; b]

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có:

Định lý 2.4 Cho ba số thực a, b, c (a < c < b và f (x) là một hàm số liêntục, không dương (không âm, có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên

[a; b]) trên [a; b] Khi đó phương trình

x

Z

c

f (t)dt = 0

có nghiệm duy nhất x = c thuộc [a; b]

Bài toán 2.10 Giải phương trình

= 8

√2

2 (arcsin

√2

4 arcsin√

t

√

t dt = 0.

Ta thấy, hàm số f (t) = 4 arcsin

√t

√

t là hàm liên tục, không âm trên (0, 1),

nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài toán 2.13 Giải phương trình

Bài toán 2.15 Giải phương trình

t2 + 1 liên tục và không âm với mọi t, nên theo

Định lí 2.2, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0

Bài toán 2.16 Chứng minh rằng phương trình

Hàm số f (t) = −2e−tsin2(e−t) là hàm liên tục, không dương ∀t ∈ R, nên

theo Định lí 2.4 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = − ln π

2.2 Phương pháp tích phân trong bất đẳng thức đại số

Ta nhắc lại nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] thì

b

R

a

f (x)dx làdiện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục

Ox và hai đường thẳng x = a, x = b

Về sau, ta sử dụng các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân:

Giả sử các hàm số f (x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c ∈ X Khiđó

1) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b] thì

5) Với mọi f (x) xác định trên [a, b], ta đều có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = f (a)

Bài toán 2.18 Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm và đơn điệutăng trên [α, β), 0 6 α < β Chứng minh rằng khi đó ∀a ∈ [α, β) ; ∀b ∈[f (α), f (β)) ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b

Lời giải Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = α x = a y =

Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0 x = a y = 0 y = b thì

S = abGọi S0 là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0 x = α y = 0 y =

f (α) thì S0 = αf (α) Trong cả hai trường hợp f (a) 6 b hoặc f (a) > b tađều có S1 + S2 ≥ S − S0 Do đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b

Bài toán 2.19 Cho f (x) liên tục và nghịch biến trên [0, b],∀a ∈ [0, b] thì

Nếu a = 0 hoặc a = b thì bất đẳng thức (2.10) trở thành đẳng thức.Nếu 0 < a < b, thì do f (x) nghịch biến trên [0, b] nên với mọi xthoả mãnđiều kiện 0 < a 6 x 6 b, ta đều có f (x) 6 f (a) Suy ra

Ta chứng minh rằng, dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b hoặc a = 0.

Thật vậy nếu tồn tại c ∈ (0, b) sao cho

Mà δ > ξ, điều này trái với giả thiết rằng f (x) là hàm số nghịch biến trong

(a, b) Vậy, không xảy ra dấu đẳng thức

Hệ quả 2.1 - Nếu b = 1 và f (x) liên tục và đồng biến trên [0, 1] thì

- Nếu b = 1, f (x) liên tục và nghịch biến trên [0, 1] thì ∀a ∈ [0, 1], ta đềucó

1 0

= 3

2,

Kí hiệu S1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y = 0, x = a, y =

xp−1vàS2 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đườngx = 0, y = b, x = yq−1

Bài toán 2.22 Chứng minh rằng

arctan x −arctan y 6 x − y ... class="page_container" data-page="35">

CHƯƠNG 3

Một số ứng dụng tích phân lượng giác< /h3>

3.1 Tích phân hàm lượng giác hàm tuần hồn

Tính chất 3.1 Nếu f (x) hàm liên tục... < S nên từ (2.19) (2.20), ta thu được

2.3 Phương pháp tích phân tốn cực trị đại số

Bài tốn 2.25 Tìm giá trị lớn hàm số

2 ].

1 − t2 hàm nghịch... class="page_container" data-page="28">

Kí hiệu S1 diện tích tam giác cong tạo đường y = 0, x = a, y =

xp−1vàS2 diện tích tam giác cong tạo đườngx = 0, y = b, x = yq−1