Một số lưu ý khi giải quyết các bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân trong tính diện tích, thể tích

SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT THPT: Trung học phổ thông TĐ: tác động SGK: sách giáo khoa SKKN: sáng kiến kinh nghiệm SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hiện nay, đổi phương pháp dạy học để phù hợp với phương án thi trắc nghiệm việc mà giáo viên dạy toán phải thực hiện, đổi từ cách dạy lý thuyết, dạy tập đến đổi cách đề kiểm tra Trong đề thi THPT Quốc gia năm gần , tốn tích phân thiếu Tuy nhiên nhiều học sinh THPT, tốn tích phân tốn khó, có nhiều học sinh đưa lời giải sai dẫn đến sai lầm việc chọn phương án toán trắc nghiệm tích phân (Điều tơi phát qua chấm kiểm tra thường xuyên, định kì chấm thi thử THPT Quốc gia ) Là giáo viên trực tiếp ôn thi THPT Quốc gia cho em, mong muốn em đạt kết cao, có kĩ làm trắc nghiệm Chính vậy, q trình dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 nhận lời giải sai mà học sinh hay mắc phải Để giúp em tránh sai lầm đáng tiếc giải tốn trắc nghiệm tích phân Tơi áp dụng số kinh nghiệm sau “ Một số lưu ý giải tốn tích phân ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích ” Hi vọng với chia sẻ kinh nghiệm này, học sinh có kết cao kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tốn tích phân ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích - Nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân - Nghiên cứu kỹ thuật đề kiểm tra trắc nghiệm theo định hướng đổi - Nghiên cứu kỹ làm tập trắc nghiệm SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun - Rèn luyện kỹ làm tập trắc nghiệm tạo hứng thú học toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân - Q trình dạy học phần tích phân ứng dụng tích phân hình học giải tích lớp 12 THPT ban vào lớp 12A8 nhằm giúp học sinh có lời giải 1.4 Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung, phương pháp biện pháp • Phương pháp điều tra, khảo sát • Phương pháp quan sát sư phạm • Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ “ Cái sai đến gần đúng, đến khái niệm ”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức 2.2 Thực trạng vấn đề Trong thực tế đa số học sinh thường tính tích phân cách máy móc, là: + Tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần + Rất học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải ngun hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay khơng ? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng ? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng ? Vì qúa trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến giải sai 2.3 Giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp chung SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun + Lựa chọn phân tích tỉ mỉ tập minh họa cụ thể để thấy sai lầm học sinh Từ hướng dẫn học sinh tránh sai lầm giải + Vận dụng kết nghiên cứu vào giảng dạy nhằm giúp học sinh tìm lời giải, suy luận cuối định việc chọn đáp án tập trắc nghiệm tích phân + Kiểm nghiệm tính hiệu sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thực tiễn 2.3.2 Các tập minh họa Bài 1: Tính tích phân I = dx ∫ (2 x + 1) [1] A B * Sai lầm thường gặp: C - D - Đặt t = 2x +1 Khi x = ⇒ t =1 Khi x = ⇒ t =5 dt − = t t Ta có: I = ∫   = −  − 1 = 5  * Nguyên nhân sai lầm: Vì dt = 2dx * Lời giải đúng: Đặt t = 2x +1 ⇒ dt = 2dx Khi x = ⇒ t =1 Khi x =2 ⇒ t =5 Ta có: I = ∫ dt −1 = 2t 2t 1 1  = −  − 1 = 5  Vậy đáp án B * Chú ý học sinh: Khi đổi biến nhớ phải tính vi phân x2 −1 Bài 2: Tính tích phân: ∫ dx [1] −1 x + 1 SKKN Tốn học A 2ln C Ngơ Thị Dun 2+ 2− B ln 2− ln 2+ 2+ 2− D 2 ln 2− 2+   1 − ÷dx  x dx =  x  * Sai lầm thường gặp: I = ∫−1 ∫−1  2 + x x + ÷ −2 x2 x  1− Đặt t = x + 1   ⇒ dt = 1 − ÷dx x  x  Đổi cận : x = -1 t = -2 x = t = ( )  dt 1  I=∫ =∫  − ÷dt = ln t + − ln t − −2 t − −2 t+ t− 2 = 2ln t+ = ln −2 t− 2 −2 2+ 2− * Nguyên nhân sai lầm:   1− ÷  x −1 x  =  sai [ −1;1] chứa x = nên không chia tử x +1  1 x + ÷ −2 x  mẫu cho x x2 − x + ' x2 −1 ln * Lời giải đúng: Xét hàm số F ( x ) = ; F ( x) = x +1 2 x2 + x + 1 x2 −1 x2 − x + 1 2− ln = ln Do I = ∫ dx = −1 x + 2 x + x + −1 2+ SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun Vậy đáp án C * Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x , cần ý đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = 0 Bài 3: Tính tích phân: I = ∫ (x + 1) dx [3] −2 A -1 B C D * Sai lầm thường gặp: Đặt u = (x + )2 ⇒ du = (x + 1)dx ⇒ dx = du u x = -2 ⇒ u = Đổi cận : x = ⇒ u =1 Ta có: du I = ∫u = ∫ u du = 21 −2 u * Nguyên nhân sai lầm: Khi x∈[-2;0] u ∈[ 0;1] ⇒ Phải sai lầm đổi cận ? Giả sử học sinh khắc phục sai lầm đổi cận sau: Đặt u = ( x + )2, x ∈[-2;0] Ta có: u’ = (x +1) Bảng biến thiên: x u’ -∞ -2 - u -1 0 ∞ + Như với x∈[-2;0] u ∈[ 0;1] −1 −2 −2 −1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: I = ∫ (x + 1) dx = 2 ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun du du 10 11 11 + u = ∫u = ∫ u du + ∫ u du = ∫ u du = 21 20 21 u ∫0 u Tuy nhiên, cách giải sau khắc phục sai lầm đổi cận phép biến đổi mới, hàm số không xác định u = 0 * Lời giải : I = ∫ (x + 1) dx = −2 ∫ (x + 1) d(x + 1) = ( x + 1) −2 − ( − 1) = = 3 −2 Vậy đáp án D * Chú ý học sinh: Khi đổi biến số t = u (x) phải lưu ý u(x) phải xác định [a;b] Bài 4: Tính tích phân: I = A − C dx ∫ (x + 1)2 [5] −2 B D Tích phân khơng tồn 2 dx d(x + 1) = = − * Sai lầm thường gặp I = ∫ (x + 1) −∫2 (x + 1) x +1 −2 * Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y = =− π −2 không xác định x = −1∈ [ −2; 2] suy (x + 1) hàm số không liên tục [ −2; 2] nên không sử dụng công thức NewtonLeibnitz cách giải * Lời giải đúng: Hàm số y = không xác định x = −1∈ [ −2; 2] suy (x + 1) hàm số không liên tục [ −2; 2] tích phân không tồn Vậy đáp án D SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun * Chú ý học sinh: Khi tính ∫ b a f (x)dx cần ý xem hàm số y = f (x) có liên tục [ a;b ] khơng? Nếu có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho, khơng kết luận tích phân khơng tồn Bài 5: Tính tích phân A dx [1] + sinx ∫ π B -2 C D -1 x 2dt 1 + t2 ; = * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan ⇒ dx = + t + sinx (1 + t) π Đổi cận: Khi x = π t = tan khơng xác định Do tích phân khơng tồn π * Nguyên nhân sai lầm: Khi x = π t = tan khơng xác định * Lời giải đúng:  x π d − ÷ π dx dx 4 x π  I=∫ =∫ =∫ = tan  − ÷ = π x π + sinx     2 4 0 + cox x ÷ cos  − ÷  2 2 4 π π π Vậy đáp án A * Chú ý học sinh: Khi tính ∫ b a f (x)dx cần ý xem hàm số y = f (x) có liên tục [ a;b ] khơng? Nếu có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho, khơng tìm cách biến đổi khác Bài 6: Tính tích phân A -4 I=∫ B -2 x − 6x + 9dx [5] C -5 D *Sai lầm thường gặp: SKKN Tốn học I=∫ ( x − 3) Ngơ Thị Duyên = ∫ ( x − 3) d ( x − ) = ( x − 3) 2 = −4 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi ( x − 3) = x − với x ∈ [ 0;4] không tương đương 4 0 * Lời giải : I = ∫ x − 3dx = ∫ ( − x ) dx + ∫ ( x − 3) dx = − ∫ ( − x ) d ( − x ) + ∫ ( x − 3) d ( x − ) = Vậy đáp án D * Chú ý học sinh: I=∫ b 2n a ( f ( x) ) 2n 2n ( f ( x) ) 2n = f ( x ) với n ≥ 1; n ∈ N = ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f ( x ) [ a;b ] dùng b a tính chất tích phân tách I thành tổng tích phân khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối 2 Bài 7: Tính tích phân I = ∫ x − x + 1dx [3] A.-1 B C.0 D  x2 2 * Sai lầm thường gặp: I = ∫ ( x − 1)dx =  − x  =   * Nguyên nhân sai lầm: x − 2x + = x − * Lời giải đúng: I =∫   x2   x2 x − x + 1dx = ∫ x − 1dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x − 1)dx =  x −  +  − x  12 =     0 2 Vậy đáp án B SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun * Chú ý học sinh: Khi biến đổi hàm số ta phải để ý xem phép biến đổi có tương đương đoạn xét hay không π Bài 8: Tính tích phân: I = ∫ − sin x dx [5] A − C − B D − 2 * Sai lầm thường gặp: Đặt t = π - x ⇒ dt = - dx Ta có: sint = sin ( π - x) = sinx I= ∫ π π − sin t (− dt ) = − ∫ − sin t dt ⇒ I = 0 * Nguyên nhân sai lầm: Vì x∈[0;π] t ∈[ π;0] π   sin x − cos x  dx = sin x − cos x dx ∫0  2  π * Lời giải đúng: I = ∫ Vì ≤ x ≤ π nên ≤ x π ≤ 2 π x  Ta có: I = ∫  cos − sin  π x x x  dx + ∫  sin − cos dx 2 2 π  π π π π 2 x x x x x x x x I = ∫ cos d − ∫ sin d + ∫ sin d − ∫ cos d 2 2 π 2 2 π 0 x = sin π x + cos π − cos x π π − sin x π π =4 −4 Vậy đáp án A * Chú ý học sinh: Khi đổi biến phải đổi cận 10 SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun  y = − x2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn   y = 0; x = 1; x = Bài 9: * Sai lầm thường gặp: Diện tích hình phẳng là: 4  S = ∫ (9 − x )dx =  x − x ÷ = 1  * Ngun nhân sai lầm: Áp dụng sai cơng thức tính diện tích * Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: y S = ∫ − x dx = ∫ (9 − x ) dx + ∫ ( x − ) dx O x  1 38   65 =  x − x3 ÷ +  x3 − x ÷ = −9 = 1 3  3 Bài 10:  y = 0; y = Tính diện tích hình giới hạn bởi:   y = x − 1; x = * Sai lầm thường gặp: y = x − ⇒ y = ± x − y = ⇒ x =1 y =1⇒ x = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ x − 1dx = 2 ( x − 1) = 3 * Nguyên nhân sai lầm: Xác định sai hình cần tính diện tích không vẽ đường giới hạn * Lời giải đúng: Vẽ hình giới hạn: Vậy diện tích hình giới hạn là: S = S1 + S2 với : S1 = 12 =  2  S = ∫ − x − dx =  x − ( x − 1)  =  1 ⇒ S= ( ) Bài 11: Tìm diện tích hình giới hạn bởi: 11 SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun   y = x2 + 2x + ( C1 )  ( C2 ) [6]  y = x + 6x +  x = ; x =  2 * Sai lầm thường gặp: C1 I C2 = ( 2;1) Vậy diện tích hình giới hạn là: S= ∫ ( x − 1) dx + 2 ∫ ( x − 3) dx 2 1 3 ( x − 1) + ( x − 3) 2 1   1 =  − ÷+  − + ÷ =  24   24  12 = * Nguyên nhân sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)2 y=(x-3)2 * Lời giải đúng: C1 ∩ C2 = ( 2;1) Diện tích hình giới hạn là: S = S1 + S 2 S1 = ∫ ( x − 3) − ( x − 1) 2  dx  2 = ∫ ( −4 x + ) dx = ( −2 x + x ) = 2 2 S2 = ∫ ( x − 1) − ( x − 3) = Vậy S = 2  dx  2=1 x − dx = (2 x − x ) ( ) ∫2 2 1 + =1 2 Bài 12: Tính thể tích hình xuyến gây hình tròn x + ( y − b ) ≤ a quanh trục Ox ( < a < b ) quay 12 SKKN Tốn học Ngơ Thị Duyên * Sai lầm thường gặp: y Phương trình đường tròn (C): x + ( y − b ) = a viết ( y − b)  y = b + a2 − x2 =a −x ⇔  y = b − a2 − x2  ( C1 ) ( ( C2 ) • x ≤ a) b x O a (  2 Vậy thể tích hình xuyến là: Vox = π ∫  b + a − x −a  ) ( − b − a2 − x2 )  ÷dx = 2π a 2b  * Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù kết sai cơng thức thể tích: b b Vox ≠ π ∫ ( y12 − y22 ) dx mà Vox = π ∫ y12 − y22 dx a a a ) ( ( 2 2 * Lời giải đúng: Vox = π ∫ b + a − x − b − a − x −a ) dx = 2π a 2b Bài 13:  y = x2  Tính Voy hình  x = x =  * Sai lầm thường gặp: Voy = π ∫ x dx = π x 31π = 5 b * Nguyên nhân sai lầm: Đã sử dụng công thức Voy = π ∫ y dx cơng thức tính a diện tích Vox Vậy nên lời giải bị sai 2 * Lời giải đúng: Voy = 2π ∫ x.x dx = 15π 2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sáng kiến kinh nghiệm thực năm 2018 – 2019 lớp 12A5, 12A8 13 SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun Trước áp dụng SKKN cho học sinh lớp 12A5, 12A8 làm kiểm tra số Sau áp dụng SKKN cho học sinh lớp làm kiểm tra số ( kiểm tra tương đương kiến thức ) Kết thu sau: Kết học tập mơn Tốn đầu năm 2017-2018 Lớp Sĩ số 12A5 34 12A8 44 Khá - giỏi Số học Tỉ lệ % sinh 8,82 4,45 Trung bình Số học Tỉ lệ % sinh 26 76,47 24 53,33 Yếu - Số học Tỉ lệ % sinh 14,71 19 42,22 Sau tiến hành nghiên cứu lớp 12A5 lớp 12A8 để đối chứng, kiểm tra số thu kết sau: Kết làm kiểm tra đánh giá Khá - giỏi Trung bình Yếu - Lớp Sĩ số Số học Số học Số học Tỉ lệ % Tỉ lệ % Tỉ lệ % sinh sinh sinh 12A5 34 8,82 27 79,41 11,77 12A8 44 6,82 29 65,91 12 27,27 14 SKKN Toán học Ngô Thị Duyên III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Như vậy, việc phân tích tỉ mỉ số sai lầm học sinh vận dụng phương pháp tích phân để giải tốn tích phân, thu kết sau: + Nâng cao kỹ thuật giải tốn tích phân học sinh lớp thực nghiệm + Giúp học sinh có hiểu biết thấu đáo vấn đề Qua em tránh sai lầm đáng tiếc tính tích phân, đưa phương án cho tốn trắc nghiệm tích phân, góp phần nâng cao kết học tập 3.2 Kiến nghị + Trong q trình dạy học sinh phần tích phân, giáo viên nên lưu ý sai lầm mà học sinh hay mắc phải trình giải tốn trắc nghiệm tích phân Từ giúp học sinh tránh suy luận sai, lời giải sai làm tập loại XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Phó Hiệu trưởng Đỗ Duy Thành Thanh Hóa, ngày 17 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ngơ Thị Dun 15 SKKN Tốn học Ngô Thị Duyên TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp giải tốn tích phân (Trần Đức Hun - Trần Chí Trung- NXB Giáo Dục [2] Sách giáo khoa Giải tích 12 - Ngô Thúc Lanh chủ biên - NXB Giáo Dục- 2000 [3] Sai lầm thường gặp sáng tạo giải tốn - Trần Phương- Lê Bích Ngọc- NXB Hà Nội- 2005 [4] https://www.slideshare.net/megabookvn/11-sai-lm-thng-gp-khi-tnh-tchphn-megabookvn [5] https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/nhung-sailam-khi-giai-toan-tich-phan [6] http://giaoducthoidai.vn/trao-doi/khac-phuc-loi-sai-thuong-gap-khi-giaitoan-tich-phan-82386.html 16 SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Ngô Thị Duyên Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Thạch Thành Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Phát triển tư qua việc giải tập dựng hình phép đối xứng trục mặt phẳng Sở GD&ĐT C 2013 - 2014 Một vài kinh nghiệm đưa tốn có nội dung thực tiễn liên mơn vào dạy chương phương trình, hệ phương trình Đại số 10 – THPT Sở GD&ĐT C 2015 - 2016 17 SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun PHỤ LỤC Đề kiểm tra đánh giá số 1: ( Bài kiểm tra 15 phút ) dx (x − 1) Tính tích phân sau: I = ∫ A −3 B −1 C không tồn D C không tồn D C - D C -5 D π dx + cos x Tính tích phân sau: I = ∫ A B -2 π Tính tích phân sau: I = ∫ − sin x dx A 2 B - 2 4 Tính tích phân sau: I = ∫ x − x + 9dx A -2 B -4 Tính tích phân sau: I = ∫ A π B Tính tích phân sau: dx x + 2x + 2 π C - π D π D 65 64 dx ∫ (x − 4) A 65 192 B −65 192 C không tồn Tính tích phân sau: ∫ x − 2x + xdx A 18 − 4 − + B −8 C 18 + 4 + + D 18 SKKN Tốn học Ngơ Thị Duyên π Tính tích phân sau: ∫ − sin 2xdx A −2 B 2 C -2 D.2 C 23 D 32 C D Tích phân I = ∫0 ( + e x ) xdx có giá trị bằng: A B 10 Tích phân I = ∫0 A x ( x + 1) B dx có giá trị bằng: 19 SKKN Tốn học Ngơ Thị Dun Đề kiểm tra đánh giá số 2: ( Bài kiểm tra 15 phút ) dx (x − 1) 1 Tính tích phân sau: I = ∫ A B C không tồn D -1 C không tồn D C D.-2 π dx cos x Tính tích phân sau: I = ∫ A B −1 π Tính tích phân sau: I = ∫ cos x + sin x dx A B 0 Tính tích phân sau: I = ∫ x + x + 4dx −3 A −5 B Tính tích phân sau: I = −1 ∫x −2 A π B − x2 Tích phân I = ∫0 A x3 + C −3 D D π dx + 4x + π C dx có giá trị bằng: B C 43 D.34 π x − cos3 x dx có giá trị bằng: Tích phân I = ∫ cos x π 3 π 3 π 3 A + ln − B + ln + C − ln − 2 2 2 D ) ( π 3 + ln − 2 Tích phân I = ∫0 x + x − x dx có giá trị bằng: A 19 30 B C 15 D − 15 20 SKKN Tốn học Ngơ Thị Duyên x2 + 4x + dx có giá trị bằng: x2 + x 8 A + ln B + ln C ln e dx có giá trị bằng: 10 Tích phân I = ∫1 x 3ln x + 2 A B C 33 2 Tích phân I = ∫1 D − ln D 22 21 ... 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tốn tích phân ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích - Nghiên cứu sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân - Nghiên cứu kỹ thuật đề kiểm tra trắc... vấn đề Trong thực tế đa số học sinh thường tính tích phân cách máy móc, là: + Tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần... nghiệm tạo hứng thú học toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân - Q trình dạy học phần tích phân ứng dụng tích phân hình học giải tích lớp 12