TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2
BUI THE NAM
MOT SO UNG DUNG CUA LY THUYET DIEM BAT DONG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng
Hà Nội-2009
Trang 2Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành
Toán Giải tích; các thầy, cơ Phòng Sau Dại học Trường Dại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng đã trực
tiếp hướng dẫn tơi trong suốt q trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Trang 3Tôi xin cam đoan luận văn là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Văn Hùng
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả
khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Trang 4Chuong 1 MOT SO KIEN THUC BO TRO 8 1.1 Ly thuyét khong gian métric 2 ee 8 1.1.1 Các định nghĩa co 8
1.1.2 Các tính chất đơn giản 8
1.1.8 Vidu 2 ee 9
1.1.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric 11
1.15 Ánh xạ liên ĐỤC 2 ee ee 13
1.1.6 Không gian mêtricđầy ốc 14
1.1.7 Tap compact va khong gian compact 17 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach 17
1.2.1 Cae dinhnghia 2 ee 17
1.2.2 Vidu wo ee 19
1.2.3 Dinh nghĩa toán tử tuyến tính bichan 20
1.3 Khơng gian tƠĐƠ kia 21 1.4 Tập lồi, hàm lồ cv 22
1.441 Tổhợplồi Q TQ TQ ra 22
1.4.2 Dịnh nghĩa hàm lồi và các vídụ 24
1.5 Dịnh nghĩa nửa liên tục dưới co 25
Chương 2 LÝ THUYẾT ĐIỂM BAT DONG 26
2.1 Diém bat dong cia Anh xaco 2 26 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 26
2.1.2 Ánh xạ co đã ĐE Quy vo 27
Trang 52.1.4 Anhxacoyéu 2 Q Q Q Q Q Q Q Q v2 29
2.1.5 Dinh ly điểm bất động Caristi 30
2.1.6 Nguyên lý biến phân Pkeland 32
2.2 Diểm bất động của ánh xạ không giãn 33
2.2.1 Về cấu trúc hình học ctta khong gian Banach 33
2.2.2 Dịnh lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn 36 2.2.3 Ánh xạ khơng giãn đalrÌ 38
2.3 Diểm bất động của ánh xạ liên tục 40
2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 40
2.3.2 Các định lý điểm bất động 42
Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
LY THUYET DIEM BAT DONG 45
Trang 6Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của ngành giải tích Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong
đó phải kể đến Nguyên lý điểm bất động của Brouwer (1912) và Nguyên lý Anh xa co Banach (1922) Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm bất
động Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Kyfan, Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm Việc nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác Chẳng hạn, Lomonosov (1973) đã sử dụng nguyên lý Schauder để chứng minh sự tồn tại không gian con bất biến
không tầm thường của một toán tử tuyến tính liên tục trong một không gian Banach nếu nó giao hốn với một tốn tử hồn tồn liên tục trong khơng
gian đó Hơn nữa, tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động có thể giúp chúng ta chỉ ra ngoài sự tồn tại, nó cịn cho ta tính duy nhất phương pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp Bởi vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động” để thực
Trang 7Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của lý thuyết điểm bất động, sau đó nêu
ra các ứng dụng của nó trong một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ
nội dung của lý thuyết điểm bất động và ứng dụng cho một số bài toán sơ
cấp, một số bài toán cao cấp
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kết quả về lý thuyết điểm bất động, một số ứng dụng của nó cho một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp Cụ thể, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Lý thuyết điểm bất động
Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động
5ð Phương pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo
Trang 8Chương 1
MOT SO KIEN THUC BO TRG
1.1 Ly thuyét khong gian métric
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X # Ú cùng với
một anh xa d tu tich Descartes X x X bào tập hợp số thực l thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1)(Vz,uc X)d(z,u) >0,d(z,u)=0<z = ụ (tiến đè đồng nhất);
2) (2, y € X)d(x,y) =d(y,2x) (tien dé doi xitng);
3)(Vz,u€ X)d(œ,u) < d(œ,z) + d(z,0) (Hiên đề tam giác)
Anh xa d goi la métric trên X, số d (x,y) got la khoang cach gitta hai phan tia vay Céc phan tu ctia X goi là các điểm; các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tién dé métric
Không gian métric duoc ky hiéu la M = (X,d)
Dinh nghia 1.2 Cho khéng gian métric M = (X,d) Mot tap con bat ky Xụ # Ũ của tập X cting vdi métric d trên X lập thành một không gian métric Khong gian métric My = (Xo, d) got la khong gian métric con ctia không gian
métric da cho
1.1.2 Các tính chất đơn giản
Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây:
m„—]
1) (Vz; € X,7 = 1,2, ,n,n€ Ñ?)d(m,ø„) < YO d (aj, 2541); j=l
2) (Vr, y,u,v € X)|d(x,y) — d(u,v)| < d(x, u) +d(y,v) (Bat dang thite tứ giác);
Trang 9Vi du 1.1 Voi hai phan té bat ky x,y € R ta dat:
d (x,y) = |x — yl (1.1)
Dựa ào các tính chất của gid tri tuyét déi trong tap s6 thuc R dé dang kiém tra hệ thúc (1.1) xác định một métric trén R Khong gian tương ứng được bú
hiệu là IR! Ta sẽ gọi (1.1) là mêtric tự nhiên trên IÑ
Vi du 1.2 Véi hai vecta bat ky x = (21, 29,-.-74)3y = (Yi, Y2, Ye) thuộc không gian 0ectơ thực k chiều RẺ (k là số nguyên đương nào đó) ta đặt:
(1.2)
Dé dàng thấu hệ thúc (1.2) thoả mãn các tiên đề 1 à 2 uề mêtlric Để kiểm tra hệ thúc (1.3) thoả mãn tiên đề 3 uề mêlric, trước hết ta chứng mình bất
đẳng thúc Cauchụ-Bunhiacopshi, uới 2k số thực a,b, (j = 1,2, ,b) ta có:
(1.3) That vay:
- - ro kk k ok
0< » > (aid; why = » > aid; — 2`) > a;bj;ajbj + » So aid;
et hit i=1 j=l i=1 j=l i=1 j=l
Tu dé suy ra bat dang thitc (1.3) vdi 8 vecto bat ky:
© = (2,02, .0~), Y = (Yr, Yo, Ye) > #Z = (Z4, Z2, -.-Zk)
Trang 10
Do đó hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 uề mêlric Vì uậy hệ thúc (1.9) sác
định một mêtric trên không gian T*
Không gian métric tuong ting van ky hiéu la R* va thường gọi là không
gian Euclid, con métric (1.2) goi la métric Euclid
Ví dụ 1.3 Ta kí hiệu ly là tập tất cá các dãy số thực hoặc số phức
oo
© = (#„) n=1?
sao cho chuỗi số dương > |x,|" hi tu Voi hai dãy số bắt ky:
n=1
oo
c= (tn) 1, y= (Unde
thudc ly ta dat:
Hệ thức (1.4) xác định một ánh xa ti tich Descartes ly x ly vao tap 86 thie R Thật uậu Vn = 1,2, ta có,
th ~~ 1u” — |>z ~~ 201 Yn + 2| < lz„l” +2 |z›l Yn + Iu„Ï
<2 (lal + ll’)
Do đó Vp > 0 đều có:
P P P %6 oO
3) lu — 0Ï? <23 2l, +23 2 lu, P < 20 eal +20 yn?
Trang 11suy Ta
Yi =n) < 20 bel +? NO ly,
n=1
Nghĩa là chuối số trong uế phải của hệ thức (1.4) hội tụ Dé dang thay hệ
thức (1.4) thoả mãn các tiên dé 1 va 2 vé métric vdi ba day bat ky:
v= (tn) > 4 Y= (Yn)p-1 a= (Zn) pt ;
thudc ly va vdi s6 p nguyén duong tuy ¥ ta c6:
1 1
p 9 P z]2
> |» — Yat < S (Ir ~ z„” + |z» ~ vol) |
n=1 n=1
1 l1 1
= 2 2 = 2 2 - 2 2 - 2
< So len = Zul + À ` |z„ — 0| < So len = Zul + So en = yn|
n=1 n=1 n=1 n=1
Cho p > oota được:
2| — 1 2 a +Í` |z» — ¬ n=1 *<|y- |#„ — zal P =l> |#„ — 1a n= n=l = d(z,z) + d(z,0)
Do đó hệ thúc (1.4) thoả mãn tiên dé 3 của mêlric Vì tậu hệ thúc (1.4) xác định một mêtric trên lạ Không gian métric tuong ting van ky hiéu la ly
Không gian lạ đơi khi cịn gọi là không gian Euclid vé hạn chiều
1.1.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric
Định nghĩa 1.3 Cho không gian mêtric M = (X,d), day điểm (%„) € X, diém x € X Day điểm (%„) gọi là hội tụ tới điểm œạ trong không gian AI
khi n — oo, nếu
(Ve > 0) (Ano € N*) (Vn > nạ) đ(Z„,#o) < €
Ky hiéu:
lim v, = 2 hay 2, > % (n > oo)
n> oo
Điểm xq con goi là giới hạn của day (a,) trong khéng gian M
Trang 12Vi du 1.4 Sw hoi tu ctia mot day diém (x,) trong khong gian R! la su hoi
tụ của dấu số thực đã biết trong giải tích tốn học
Ví dụ 1.5 Sự hội tụ của một dãy điểm trong khơng gian Euclid R® tuong
đương uót sự hội tu theo toa dé
That vay, gid sé day diém «™ = (x{?, 28”, 2") (n = 1,2, ) hội
tu téi diém x = (11, 2, ,2%) trong R* Theo dinh nghia: (Ve > 0) (Ano € N*) (Vn >3 mạ)
Suy ra
| —#/| <£ Vn > ng Vj =1,2, ,k (1.5) Các bát đẳng thúc (1.5) chứng tó tới Vj = 1,2, ,k day 86 thuc (2) hội
tụ tới số thực x; khin > co sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ
Ngược lại, giả sử dãy điểm xz = (209229, -., 0") (n = 1,2, ) hội
tu theo toa do téi diém x = (1, %2, ,2,) theo dinh nghia (Ve > 0) (véi moi j =1,2, ,k ),
(dan; € N*) (Vn > n,;) |=" ne)
Đặt no =
Trang 13
1.1.5 Anh xa liên tục
Cho hai khong gian métric M; = (X,di), My = (Y,d)) ánh xạ ƒ từ
khong gian M, dén khong gian M,
Dinh nghia 1.4 Anh za f goi la lién tuc tại diém xy € Ä nếu: (Ve > 0) (36 > 0) (Va € X : d; (%, 20) < 6) do (f (x), f (%0)) < €
Hay noi cách khác : Anh xa f goi la lién tuc tai xy € X nếu vdi lan can cho
truéc tuy ¥ Uy, = S (yo,€) C Y ctia diém yo = f (xo) trong My at tim duoc
lên cận V„, = S(œg.ð) C X của điểm xp trong M, sao cho f (V,,) C Uy
Định nghĩa 1.4 tương đương với định nghĩa sau đây:
Dinh nghia 1.5 Ảnh zạ ƒ gọi là liên tục tại điểm ay € X, nếu uới mọi dãy
điểm (w„) CX hội tụ tới điểm aq trong M,, day diém (f (x,)) hoi tu téi
f (xo) trong My
Chứng minh sự tương đương của Dịnh nghĩa 1.4 và Dịnh nghĩa 1.5 như sau:
Hiển nhiên, nếu ánh xa f lién tuc tai vp) theo Dinh nghia 1.4 thi Anh xạ ƒ liên tục tại ø theo Dinh nghia 1.5
Giả sử ánh xạ ƒ liên tục tại điểm zạ theo Định nghĩa 1.5 nhưng ánh xạ ƒ
không liên tục tại zs theo Dịnh nghĩa 1.4 nghĩa là:
1
(deo > 0) (Vn € N*) (2: Ex: dy (Ln, Xo) < *) n dy (f (z„) ƒ (z,)) > €0
Ta nhận được dãy điểm (z„) C X hội tụ tới điểm xp trong M,, nhung day
điểm (ƒ (z„)) không hội tụ tới ƒ (zu) trong A7;, điều này mâu thuẫn với giả
thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ, nếu ánh xạ ƒ liên tục tại z¿ € X theo Định
nghĩa 1.5 thì ánh xạ ƒ liên tuc tai zp theo Dinh nghia 1.4
Định nghĩa 1.6 Ánh zạ ƒ gọi là liên tục trên lập A CX nếu ánh zạ ƒ
Trang 14Dinh nghĩa 1.7 Ánh «a f gọi là lién tuc déu trén tap AC X néu (Ve > 0)
(36 > 0) (Va,a € A: d,(x,2) < 6): dy (f (v7), f (@) <¢)
Dé dang thấu, nếu ánh 2a f liên tục đều trên tập AC X thà ánh zạ ƒƑ
liên tục trên tập A
1.1.6 Không gian mêtric đầy
1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.8 Cho khong gian métric M = (X,d) Day điểm („) C X gọi là day co ban trong M néu :
(Ve > 0) (Ano € N*) (Vm, n > n0),d (an, 2m) < €
hay lim d(a%,,%m) = 0
Dé thay moi day diém (x) C X hoi tu trong M déu la day co ban
Định nghĩa 1.9 Không gian métric M = (X,d) goi la khéng gian day, néu moi day co ban trong khéng gian nay hội tu
2 Cac vi du
Ví dụ 1.6 Khơng gian mêtric RÌ là khơng gian đầu, điều đó suy ra từ tiêu
chuẩn Cauchp uê sự hội tụ cúa dãy số thực đã biết trong giải tích tốn học
Ví dụ 1.7 Khơng gian IRP là không gian day
That vay, gid site) = (z”, oy) se x") (n = 1,2, ) la day co ban tuy
ú trong không gian Euclid R® Theo định nghĩa dãy cơ bản:
(ve > 0) (nạ € Ñ?)(Vm,n > nạ), d (2,2) <£ hay a” x" <£ Vm,m > nạ; VJ = 1,2, ,k (1.6) Các bát đẳng thúc (1.6) chứng tỏ, uới mỗi j = 1,2, ,k d 3 "Tự, (7= 1,2, ,k) j Qe < 8 ` — > a Qe < s6 thuc co ban, nén phai ton tai gidi han lim x
Trang 15Dat x = (41, %, ,2~) ta nhận được đấu (2) C R* da cho hội tụ theo
toa dé téi x Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid R® tuong duong vdi
sự hội tụ theo toạ độ, nếu dãy cơ bản (2) đã cho hội tụ tới ø trong không
gian R* Vay khong gian Euclid R* la khong gian day
Ví dụ 1.8 Khơng gian Cụ la khong gian day That vay, gid st (x, (t)) Ta day co ban tuy y trong khong gian Cụy„ị Theo định nghĩa day co ban
(Ve > 0) (Ano € N*) (Vm, n > no)
d (2,2) = max |x, (t) = tm ()| <¢ a<t<b
=> |x, (t) -— 2m (t)| <€ Vm,n > no; Vt € {a, bỊ (1.7) Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ, uới mỗi † có định tuỳ thuộc đoạn [a, ÙÌ day {x, (t)} la da@y số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn:
lim x, (t) = a(t), t € [a, 0]
Ta nhận được hàm 86 x(t) ác định trên [a,b] Vi cde bat dang thite (1.7)
khong phu thudc t, nén cho qua giới hạn trong các bat đẳng thức nàu khi
n— oo ta duoc:
|x, (t) —a(t)| <e, Wn > no, Vt € [a, 9] (1.8) Cac bat đẳng thúc (1.8) chúng tỏ day ham 86 {a, (t)} C Clay) hot tu déu toi ham s6 x(t) trén doan [a,b], nén x(t) € Cag) Nhung su hoi tụ trong không gian Cia», tuong tu vdi su hoi tu đều của dấu hàm liên tục trên đoạn {a, bl
nén day co ban {x, (E)} đã cho hội tụ tới + (E) trong không gian Cy» Vay Chas} 14 khong gian day
Vi du 1.9 Khéng gian ly la khong gian day
That vay, gid sia” = (x), af", 0") (n = 1,2, ) là day cơ ban
tuỳ Ú trong không gian lạ, theo định nghĩa dâu cơ ban:
Trang 16suy Ta
2
[et =z"| <e (n,m > no; Vp = 1,2, ) (1.9)
(n) (m)
|e a |<e (Vn,m>ny Vk =1,2, ) (1.10) Cac bat dang thite (1.10) chitng t6, vdi moi k cé dinh tuy y day (z;) là day cơ bản nên phải tồn tại giới hạn lim a”) =a, (k=1,2, )
Đặt x = (1, 22, , Lp, -) = (xp) Vi cde bat đẳng thức (1.9) không phụ
thuộc p nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi mm — oo
ta được: (1.11) (1.12) Mặt khác: 2 <2 |z:] +2 jee” — #y , Vk, n=1,2, (1.13)
Từ các bất đẳng thức (1.12) uà(1.13) suy ra:
3h <>>_|s"Ÿ yl (m1) — x, | <2 |a m k=1 han bến m) oy <2 fe" m > » |x|? < 2) je” ° k=1 k=1
Do do day x = (ap) € ly Cac bat đẳng thức (1.12) chứng tó dãy co ban (a)
(mị > mạ)
đã cho hội tụ tới ø € lạ trong khơng gian lạ Vì vay khong gian la là không gian day
Trang 171.1.7 Tap compact và không gian compact
1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.10 Cho khong gian métric M = (X,d) tap K C X gọi là tap compact trong khéng gian M néu moi déy v6 han các phần tử thuộc K
déu chita day con hội tụ tới phần tử thuộc tập K Tập K goi la tap compact tương doi trong khong gian M néu moi day uô hạn các phần tử đều chứa dấu
con hội tụ (tới phần tử thuộc X)
Định nghĩa 1.11 Cho không gian métric M = (X,d) Khong gian M goi
la không gian compact néu tap X la tap compact trong M
2 Vidu
Ví dụ 1.10 Trong không gian métric R! (tap sé thuc R vdi métric tu nhién) đoạn bắt kỳ là tap compact, khodng bat ky là tập compaet tương đối Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano - IWeierstrass Nhờ đó dễ dàng chứng mảnh
trong không gian Eucled ]R" một tập bất kỳ đóng va bi chan la tập compact
tương đối
Ví dụ 1.11 Khơng gian mmêtric Cụ không la khong gian compact vi day hàm số x, (t) =n trên đoạn [a,b] (n = 1,2, ) không chứa dấu con nào
hội tụ
1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach
1.2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.12 7u gọi là không gian định chuẩn(hay khơng gian tuyến
tính dinh chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc
P=C) cùng uới một ánh zạ từ X ào tập số thực I bú hiệu là || || va doc
là chuẩn, thoả mãn các điều biện sau đây:
1 (Vx € X) |zll>0; llzll=0©z=9 (kú hiệu phần tử không là 0);
2 (Vx € X)(Va € P) |laxl| = lal Ilsll:
Trang 18Số ||z|| goi la chuan ctia vecto x Ta cting ky hiéu khong gian dinh chuan là X
Các tiên đề 1, 2 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn
Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối vdi hai vecto bat ky x,y € X
ta đặt:
d(x,y) = |Ìz — yl (1.14)
Khi dé d là một mêtric trên X
Chứng minh của định lý trên đễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ
tiên đề tuyến tính
Nhờ định lý 1.1 mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian mêtric với mêtrie xác định bởi (1.14) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian mêtric đều đúng trong không gian định chuẩn Dưới đây ta chỉ nêu một vài trường hợp
Dinh nghia 1.13 Day điểm {z„} của không gian định chuẩn Ä gọi là hội tụ lới điểm œ € X nếu lim ||#„ — #ø|| = 0 lí hiệu lìm z„ = x hay
Ln 22 (n> oo) —_ "
Dựa ào định nghĩa dé dàng chứng mình một số tính chất đơn giản sau đâu :
1) Néu dãy {z„} hội tụ tới œ thà dãy chuẩn (||#a||) hội tụ tới ||+|| Hay nói cách khác, chuẩn |-|| là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x
2) Néu day điểm {>„} hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì đãy
chuẩn tương ứng bị chặn (||za ||):
3) Nếu dãu điểm {z„} hội tụ tới z, dấu điểm {u„} hội tụ tới trong không
gian định chuẩn X, dãy số {a,} hoi tu téi a, thi:
#ạ + U„ — ø + (n>), ant, > ax (n > oo)
Dinh nghia 1.14 Day diém {z„} trong không gian định chuan X gọi là day co ban néu:
lim |x, — #„||= 0
Trang 19Định nghĩa 1.15 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu
mọi đấu cơ bản trong X đều hội tụ
Nhờ nguyên lý lam day khong gian métric va métric (1.14) moi khéng
gian định chuẩn là không gian mêtric đều có thể làm đầu thành không gian
Banach
1.2.2 Vidu
Vi du 1.12 Déi vdi 56 thuc bat ky x € R ta dat:
Izl= li (1.15)
Nhờ các tính chất uê giá trị tuyệt đối của số thực, công thúc (1.15) cho chuẩn trên R Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R` là không gian
Banach
Ví dụ 1.13 Cho khơng gian vecto k chiéu E*, trong do:
EY = {a = (a1,2, 2,):2,;€R hay z;€ C} doi vdi bat ky x = (21, %2, ,2~) € E* ta dat:
(1.16)
Từ công thúc ||#|| = d(x, 6) vd hé tién dé métric suy ra cong thite (1.16) cho
một chuẩn trên E* Không gian định chuẩn tương ting ky hiéu E* Dé dàng thấu E* là không gian Banach
Ví dụ 1.14 Cho khơng gian 0uectơ lạ Dối uới 0ectơ bất kỳ z = (œ„) € lạ ta
đặt:
(1.17)
Từ công thúc ||#|| = d(œ,8) oà hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.17) cho
chuẩn trên lạ Không gian chuẩn tương ting ky hiéu la ly Dé dang thay ly là
Trang 20Vi du 1.15 Cho khong gian vecto Cy, 4) Đối uới ham số bất ky x (t) € Cu)
ta dat:
ll] = max |z (9) a<t<b (1.18)
Nhờ công thức ||z|| = d(œ,0) à hệ tiên đề mêtric suy ra công thúc (1.18) cho chuẩn trên Cụ Không gian định chuẩn tương ứng kụ hiệu là Czu¡ Dễ
thấu Cu „| là không gian Banach
Vi du 1.16 Cho không gian 0ecld Li„„j Đối uới hàm số bất kỳ ø (E) € Lia.)
ta dat:
Izl= f ecole (1.19)
Tw cong thitc ||x|| = d(x,0) oà hệ tiên đề mêlric su ra công thức (1.19) cho một chuẩn trên Tu„j Không gian định chuẩn tương ứng kú hiệu là Lia): Dé
dang thay Tụ) là không gian Banach
1.2.3 Dinh nghia toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.16 Cho hai không gian tuyến tinh X va Y Trén trường P (P là trường số thực IR hoặc số phức C) Ánh zạ A từ không gian X uà không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh 2a A thoả mãn các điều kiện:
1.(Va,~ EX) A(z+z)= Az+ Az; 2.(Vz€ceX)(VaeP) Aoœz = oAz
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là tốn tử tuyến tính Khi tốn tit A chi
thoả mãn điều biện 1 thi A gọi là tốn tứ cộng tính, cịn khi toán tứ A chỉ thoả mãn điều hiện 2 thà A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thà toán
tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.17 Cho không gian định chuẩn X tà Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X ào không gian Y' gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số c> 0 sao cho:
Trang 21chuẩn X vao không gian định chuẩn Y Hằng số e > 0 nhỏ nhất thoả mãn
hệ thúc (1.20) gọi là chuẩn của toán tử A va ky hiéu là ||A||:
Từ định nghĩa dễ dàng thấu chuẩn của tốn tử có các tính chất:
1.WzeX) J4zll< I4|: lzl:
2 (Ve > 0) (Ar € X) (I|Al] — €) lIz:|| < I4=ll:
1.3 Không gian tôpô
Định nghĩa 1.19 Cho X là một tập hợp khác rỗng Một ho T cdc tap con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
Pị.0,X €7;
Py Di, D2 €T > DLN D2 €T;
Py D,€ Tiel UD ET
Cap (X,T) khi đó được gọi là không gian tôpô Ta thường tiết X thay cho (X,T)
Giả sử TỊ oà T; là hai tôpô trên X Nếu TỊ C T; ta nói TỊ yếu hon Ty hay T› mạnh hơn Ty, va viet T, < To
Vi du 1.17 Cho X là không gian mêtric uới khoảng cách d Nhớ lại rằng
trong một không gian mmêkric ta đã định nghĩa tập “nở” A là tập mà mọi
điểm + thuộc A đều có một hành cầu chứa œ nằm trọn trong A Khi đó họ
tất cả các tập “mở” trong không gian mêtric X là một tôpô trên X Như vay
mot không gian mmêtric là không gian tôpô va tôpô sinh bởi khoảng cách của X
Vi du 1.18 Cho X la mét tập khác rỗng T = {Ú, X} là một tôpô trên X
Tôpô nờy gọi là tôpô tầm thường trên X
Ví dụ 1.19 Họ tất cả các tập con của Ä # Úl cũng là một tôpô trên X Tôpô nràu gọi là tôpô rời rac trên X
Vi dụ 1.20 Trên một tập X # Ú, xét họ T các tập con của X được định
nghia nhu sau:
Trang 22là một tập hitu han Khi dé T la mot topé trén D
That oậu, nếu Dị, Dạ € T\ {0} thi X\D,,X\ Dy là những tập hữu han
phan ti, do dé X\ (D, N Dy) = (X\D1) U(X \D2) citing la tap hitu han phan tử vay Di A Dy € T (con néu mot trong hai tập Dị, D; bằng thì hiển
nhiên Dị A D; = I € T) Vay T thoa man tính chất Py Bay gid gia sit
to*
X\ U Dy = 0 (X\D;) Cc X\D iel
iel
Ú,Vi € 7 thì UD; =CT ).Vậy T thoả mãn Dạ
Tinh chat P, là hiển nhiên 1.4 Tập lồi, hàm lồi
1.4.1 Tổ hợp lồi
Một đường thẳng nối hai điểm (hai vectơ) a,b trong IR" là tập hợp tất cả các vectơ ø € R" c6é dang {a € R"\r =aa+ Øb,a,9€lR,œ+ Ø= 1}
Doan thang nối hai điểm ø và b trong IR*" là tập hợp các vectơ x cé dang
{z€R"\z=eœa+Øb, œa>0,Ø8>0,a+Ø=1}
Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi Nó được định nghĩa
như sau:
Định nghia 1.20 Mot tap A C R" duoc gọi là một tập lồi, nếu A chứa
mỗi đoạn thẳng đi qua hai điểm bat kỳ của nó Túc là A lồi khi uà chỉ khi
Ve,y € A, VA € [0,1] = Az+(1—A)€ A Ta nói z là tổ hợp lồi của các
k k
điểm ectd `,ø2, ,ø° nếu œ = 3) A;zi ,A¡>0 ,Vj=1,2, k,S)AÀ; =1
j=l jak
k
Tương tự œ là tổ hợp aphin của các điểm (ueld) #`,+°, ,#* nếu:
k k
Trang 23Mệnh đề 1.1 Tập hop A la loi khi va chỉ khi nó chúa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là A lồi khá uà chỉ khi:
k
Vk EN, WA Age Ae > 0: S54, =1, Vala, eA
j=l
k
= ode € A
j=l
Chứng minh Diều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa
Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với & = 2 điều
kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với & — 1 điểm Ta cần chứng minh với & điểm Giả sử z là tổ hợp lồi của k điểm z!,z?, ,z" œ A Túc là:
k k
z=)Àj,Aj>0 Wj=1,2, ,E, À `Àj=l
jak jel
k-1 kal kat),
Dặt € = }) À¿ khi đó 0< €< 1 và z= DY Aye + Aw =ED cm + Ape”
j=l j=l j=l
kok) i; -
Do 3) 4=1Vva = > 0 với mọi j = 1,2, ,4 — 1 nén theo gid thiét quy
j=l
, k-1)\
nap diém y:= S> Sa! € A ja &
k
Ta có # = £/+A¿## do £ > 0À > 0,£+À¿ = 3} À¡ = 1 nếu z là tổ hợp lồi
j=l
và đóng với các phép giao phép cộng đại số và phép nhân tích Descartes O
Mệnh dé 1.2 Néu A,B la cdc tap loi trong R", C la loi trong R™ thà các
tap sau la loi:
AN B:= {a\x € A,x € B}
aA+ 3B := {a\cx = aa+ Bb,a€ A,bE Bia, BER}
Trang 241.4.2 Định nghĩa hàm lồi và các vi du
Giả sử X là không gian lồi địa phương DC X,ƒ: D ¬ RU{+œ}
Định nghĩa 1.21 Trên đồ thị (cpigraph) của hàm f kụ hiệu là epiƑ được định nghĩa:
cøƒ = {(œ,r)<DxR: ƒ(z) <r}
Định nghĩa 1.22 Miền hữu hiệu (c[fecliue domain) của hàm Ƒ, kí hiệu
domƑ được định nghĩa nhu sau: domf = {x € D: f (x) < +c0}
Dinh nghia 1.23 Ham f dugc goi la chinh thudng (proper), néu domf 4
0à ƒ (ø) > —oo (Vz € D)
Định nghĩa 1.24 Hàm ƒ được gọi là lồi trén D (convex on D) néu epif la tập lồi trong X xI§ Hàm Ƒ được gọi là lốm trên D (conuaue on D), nếu — Ƒ là ham lồi trên D, ƒ lồi = doơmƑ lồi
Thật vay, domf là hành chiếu trên X của cpiƒ:
domf {x : ƒ (#) < +00} = {z : 3n, (œ,r) € epif}
nhu vay, domf la ảnh của tập lồi cpiƑ qua một ánh +ạ tuyến tính Do đó
domƑ lơi
Ví dụ 1.21 Hừm eƑfine: ƒƑ(z)(+*,z)+a (œ°€ X*,œ €TR) là hàm lồi trên X, trong dé X* là không gian phiếm phầm tuyến tính liên tục trên X
Ví dụ 1.22 Giả sử ƒ là hàm giá trị thực khả ti liên tục hai lần trên tập lồi
mé A CR" Khi dé, f loi trên A khi va chỉ khi ma trận Q, = (4 ) la
bán „ác dinh duong (Va € A), tic la:
(z,Q,Z) > 0(Vz € R", Var € A)
1
Ví dụ 1.23 Chuẩn Euelid |#|| = (z.#)2 = (a? + +27)
lồi trén R" , trong dé x = (#\, ,„) C]ÑR",
Nle la mét ham
Vi du 1.24 Ham chi (Indication function) 6(.\A) ctia tap loi A C X là ham loi
Trang 25port.function) 5(.\A) cia tap loi A C X* là một ham loi: ð(\A) = Sup (x*,x)
axed
1.5 Định nghĩa nửa liên tục dưới
Định nghĩa 1.25 1, Hàm ƒ dược gọi là mửa liên tục dưới (Lotuersemicon-
tinuous) tại # € X (uới mọi ƒ (#) < œ) nếu uới mọi e > 0, tồn tại lan cận
U của & sao cho:
ƒ()—e<ƒ() (Wy eU) (1.21)
2, Néu f (Z) = +00 thì Ƒ được gọi là nửa liên tục dưới tại #, nếu tới
mọi N >0, tôn tai lan cận Ù của #, sao cho:
ƒ0ø)5N (VụcU) (1.22)
3, Ham Ƒ được gọi là nửa liên tục dưới, nếu ƒ mửa liên tục dưới tại mọi crEX.,
Chú y Néu thay (1.21) va (1.22) tương ứng (1.23) uà (1.24) ta được
định nghĩa hàm mửa liên tuc tai x :
ƒ(u)<ƒ()+e(VụcU) khi ƒ(#) < +00; (1.23)
Trang 26Chương 2
LY THUYET DIEM BAT DONG
2.1 Điểm bất động của ánh xạ co
2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 2.1 Ánh zạ 7 từ không gian mêlric (X,d) uào không gian
métric (Z,p) được gọi là ánh xa co nếu tồn tại số k € {0,1) sao cho:
0(Tz, Tụ) < kd(%, 0) vdi moi xy € X
Nhu vay, ánh xa co la trường hợp riêng của énh «a Lipschitz va hién nhién là liên tục
Nguyên lý ánh xạ co Banach: Cho (X,đ) là một không gian mêtric đầy đủ và 7' là một ánh xạ co trong X Khi đó, tồn tại duy nhất zø* € X mà
Ta” = #° Ngoài ra, với mọi øạ; € X ta có T”zạ — #* khi n — oo
Chứng mình LẤy x tuy ¥ trong X và đặt z„.¡ = T#„ với n = 0,1,2, Dễ dàng kiểm rằng d(a,, p11) < k"d(a,2,) Lay m > n, ta co:
A (In, 0m) <A (tn, Trpt)te +d (Gm—1,0m) < (kT ERM + +R”) d (x0, 21)
<k" (1 thee t ker ty ) d (29, 21)
kr
1-k
Do đó dãy {z„} là dãy Cauchy va x, > #ø” € X
đ (đo, #1) (2.1)
Với mỗi n ta có:
0<d(a*,Ta*) < d(x*,x,) +d(a,, Tx")
< đd(# ,#„) + kd(œ„_i,#”)
Cho n > oo ta due d(x*,Tx*) = 0, tite la Tx* = 2%
Nếu còn c6 y* € X ma Ty* = y* thì ta có:
Trang 27Vik <1 nén d(a*,y*)=O0var* =y"
Vậy điểm bất động của 7 là duy nhất và nguyên lý được chứng minh E]
2.1.2 Ánh xạ co đa trị
Định nghĩa 2.2 Cho (X,d) là một không gian mêkric Ta ký hiệu CB(X)
la ho moi tap con đóng, bị chăn, không rỗng trong X Khi đó, khoảng cách
Hausdorff gitta hai tap hop A,B € CB(X) duoc định nghĩa như sau:
D(A, B) = max {sup inf d(a#,y),sup inf aru)
red yeB yeB 2A
Dinh nghia 2.3 Anh za da tri T tu tap hop X vao tap hop Y la mét phép
gan cho moix € X mét tập hợp con Tx ctia Y
Định nghĩa 2.4 Cho (X,d) la mot khong gian métric Anh xa (da tri) T từ X vio CB(X) duoc goi la anh xa co nếu tồn tại một số k € |0,1) sao
cho véi moi x,y € X ta co:
D(Tx,Ty) < kd(x,y)
Dinh ly 2.1 Cho (X,d) la mét không gian métric day di,
T:X > CB(X)
là một ánh zạ co Khi đó ton tai a* € X ma a* € Ta*
Chitng minh Lay h € (k,1) va a € X mot cach tuy ¥, roi lay x, € Tx
Có thể giả thiét d(x,2,) > 0 Vid(a,,T21) < D(Tao,T2) < kd (ay, 21) <
hd (9,21) nén ton tai v7 € Tr; ma d(x, 72) < hd (ao, 71) Tiếp tục quá trình trên, ta được một dãy {z„} thoả man:
Troi € Tay, d (Œ„, #„ + 1) < hd (xo, #1) y Tỳ — 0,1,2
Khi đó {z„} là dãy Cauchy và hội tụ tới điểm zø' € X
Với mỗi n ta có d(#,41,Ta*) < D(Tx,,T2*) < kd (ay, 2°)
Cho n — o ta duoc d(a*,Tx*) = 0 vi Tx* là tập hợp đóng nên ta có
+” € 1+"
Trang 28Diểm z* € 7z' cũng được gọi là điểm bất động của ánh xạ (đa trị) 7 Chú ý rằng trong trường hợp này điểm bất động có thể không duy nhất Chẳng hạn, với 7 là ánh xạ hằng, tức là 7ø = A với mọi # thì mọi điểm của
A đều là điểm bất động của 7 và 7 là ánh xạ co với k = 0 2.1.3 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 2.5 Anh xa T' trong không gian mêlric (X,đ) được gọi là
(€,5) — co nếu uới mọi e > 0 đều tồn tại ð > 0 sao cho: Nếu e < d(z,1) < e + ð thì:
d(Tx,Ty) <e (2.2)
Có thé kiém tra rang lép énh xa (€,6) — co chita cé hai lép énh xa vita néu,
(1—k) EO Tuy nhiên mọi ánh xa (€,6) — co déu thoả mãn điều kiện:
va hiển nhiên chứa lớp énh xa co vi chi can chon 6 = €
nếu œ # thà
đd(T+z,Tuụ) < d(z,0) (2.3)
Thật uậu, nếu ø # ụ thà đặt e = d(œ,) > 0 tà ta sẽ có e = d(,) <e + ỗ,
nên theo (2.2) ta phải có d(Tz, Tụ) < e = d(œ,0)
Lớp ánh zạ thoả mãn điều kiện (2.3) thường được gọi là “co yếu” Hiển nhiên các ánh zạ thuộc lớp nàu, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất Định lý 2.2 Cho (X,d) la mét không gian mêlric đầy đủ oà T là một ánh zq@ (e,ð) -co trong X Khi đó, T có điểm bất động duy nhất +” uà uới mọi
tw C X, ta có T”#g — #* khi n —> ow
Chứng mình Lây + € X tuỳ ý, đặt z„.¡ = T3, và c„ = đ(Z„,#„.¡) với
n = 0,1,2 có thể giả thiết c„ > 0 Vì 7 là co yếu nên {e„} là dãy số
không âm và giảm, do đó c„ — £ > 0 Nếu e > 0 thì tồn tại ổ > 0 để có (2.2) Chọn k € Ñ (tập hợp số tự nhiên) sao cho nếu œ > k thì e„ < e + Ö
Theo (2.2) ta có e„¡¿¡ < £ là điều vô lý
Trang 29i>kthic¢< 1 với œ = min {2,5} Chon m > n > k để cho đ(œ„,#„) > 2e và xét các số đ (a,„ +1); đ(#a, a3) ;‹ ; (Œ„y#»„+mø)- Khoảng cách giữa hai
số liên tiếp là:
a
|d (an, %;) — d (Hy, %i41)| < A (4), 0:41) = < T
, mặt khác ta có đ(#„,#„) > 2z nên tồn tại
Ề 3œ
7 ={n,n + 1, ,rn} sao cho £+ 2 < đ(„, #;) cet Ty
` Qa Vi đ(Œn, „+ 1) = ứ, < 4 < | Vì e < đ(z„,#;) < e + ô nên theo (2.2) ta có: d(Tz„,T;) = d(2„.i.#j+1) <€ Từ đây ta có: đ(Œ„, 7) SA (p, 241) +A (ny 1, Tj 41) + (Tj 41,25) <o4epSae4S —+£+—=e£+~- 4 4 2
Điều này mâu thuẫn với đ(z„,#;) > e+ > Vậy {z„} là day Cauchy va
In au eX,
Dé
ứ rằng 7 là ánh xa co yếu, với mọi ø ta có:
Drs My
d (2%, Ta”) < d (x*, #„+1) +d (n41 T4”) =d (2°, Tn41) + d (Tr, T4”) < d (2%, Tn+1) + d (tn, +)
Cho n > oo ta duge d(a*,Tx*) = 0, tite la a* = Tx
Vì 7' là co yếu nên #* là duy nhất Định lý được chứng minh Oo 2.1.4 Anh xa co yéu
Trong mục trước chúng ta đã định nghĩa ánh xa co yếu như ánh xạ thoả
mãn điều kiện (2.3) Đối với lớp ánh xạ này nguyên lý ánh xạ co không còn đúng nữa
1 z
Mot phan ví dụ đơn giản là X = [l,oo), Tx = x + — ánh xạ này co yếu x
va không có điểm bất động
Trang 30Dinh ly 2.3 Cho (X,d) la mét không gian métric compact va T là ánh xa co yếu trong X Khi đó T có điểm bat động duy nhất trong X
Chứng mình Với mỗi z € X, đặt ƒ (+) = d(œ,T+) Vì T là ánh xạ co yếu nên cũng liên tục, do đó ƒ là hàm số liên tục trên không gian compaet X
Vậy tồn tại z € X sao cho f (ao) = min{f (x): 2 © X} Néu f (ap) > 0 thì
to # Tx nén f (Tx) =d (Tx, Tx) < d(xp,T x) = f (vo), ta gap mau thuan
Vay f (zo) = 0 va x 1a diém bat dong cia 7 Tính duy nhất của điểm
bất động là hiển nhiên vì 7 là co yếu Dịnh lý đã được chứng minh oO
2.1.5 Dinh ly diém bat dong Caristi
Dinh ly 2.4 Cho (X,d) la mét khong gian mêlric đầy đủ uà hàm số
@: X — (—oc,+oc] mửa liên tục dưới tà bị chặn dưới Cho ánh «ra T
trong X thoả mãn điều kiện:
d(œ,T+z) <Sw(z)— @(T+z),Vrz€ X (2.4)
Khi đó, T có điểm bất động trong X
Trước khi chứng minh định lý này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng ánh xạ co 7 thoả mãn điều kiện (2.4)
d(z,Tx) kd(œ,T»z)
Thật vậy, với mọi z ta có đ(œ, 7z) = Mặt khác,
1—k l-k
ta lại có:
d(Tx,T (Tx)) < kd(a#,Tx) nên đ(œ,T+) < p(x) — @(T*z) T
với @(%) = mm là hàm liên tục
Chứng minh Trước hết ta dựa vào quan hệ thứ tự trên X như sau: # < y khi và chỉ khi đ(z,) < @(z) — @(0)
Dễ kiểm tra đó chính là một quan hệ thứ tự và ¿ là một hàm không tăng
theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu # < ÿ thì @(ø) < @(z)
Trang 31tuỳ ý và đặt:
5(zi)={u€ X :z¡ < 1}
={U< X :d(m,) <S@(œi) — @)} ={U€X :dŒ,) + @(u) < @()}
Vì đ(z¡,.) liên tục và y nửa liên tục đưới nên Š (z¡) đóng
Đặt ø¡ = immf{¿(ø):€ S(zi)} Khi đó tồn tại z¿ € 5 (z¡) ma:
p(t) <a, +1
Lai dat S (a2) = {y € S (a): @2 < y} Khi dé S (a2) dong va:
S (x2) C S' (2)
Dat ay = inf {yp (y) : y € S (a2)} Khi do ton tai v3 € S (xy) ma: yp (x3) < ay + ¬
Tiếp tục q trình trên, chúng ta nhận được dãy {z„} với ba tính chất
sau:
TH+ € S (tn),
1
@(#„+i) Š đụ + — ?
VỚI d„ = inf{@(0):€ S(z,)}, S(z„) đóng và S(z„ii) C 5S(#,),n =
1,2,3
Ta sẽ chứng mình rằng đường kính đ„ của tập hợp S(z„) tiến tới 0 khi
n — œ Theo định nghĩa:
5(,) ={u€ 6(#u„-i): #„ < 9}
lấy z, tuỳ ý trong S(z„) Vì z„ < #,z„ < nên ta có:
d(Œ„,3) Š @ (đu) — @ (#), đ(#n, U) Š @ (đu) — Y(y)-
Vay d (x,y) < 29 (an) — lp (a) + e(y)]
Mặt khác, theo định nghĩa của cdc a, va ©, , ta c6:
1
Trang 32Do đó
1 1
a(oy) <2 (a+ )~ 2m = ` m=—]
với mọi #, € Š(z„) Vậy d„ — 0 khi œ — oo
Vì khơng gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor,
f1 5(z„) = {0}
n=1
Ta sẽ chứng mình rằng v lA mot phan ttt cuc dai trong (X,<), tttc lA nếu
v<w thiv=w
Thật vậy, vì < œ nên #¡ < ø, vậy œ € Š(z¡) Vì ø < ứ nên #¿ < ứ, mà
œ€ 8(z¡) nên œ@ € Š(z;) Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được:
we q 5(z„) = {v}, tite law =v va v lA mot phan tit cue dai n=1
Cuối cùng ta chỉ ra rằng ø là điểm bất động của 7 Theo giả thiết, ta c6 d(v,Tv) < y(v) — @(To) Khi đó, theo định nghĩa của thứ tự ta có
v < Tv Nhung vi v la cuc đại nên ta phải có ị = 7o Dịnh lý đã được chứng
minh L]
Dể ý rằng điểm bất động ở đây có thể không duy nhất
2.1.6 Nguyên lý biến phân Ekeland
Dinh ly 2.5 Cho (X,d) la mét không gian métric day di va
p:X = (=00, +00] 1a ham mrửa liên tục đưới 0à bị chặn dưới Khi đó uới mọi e > 0 tồn tại z„€ X sao cho tới mọi y € X va khác + †a có:
#(:) — ed(:,) < @(U):
Chứng minh Ta chứng mình bằng phản chứng Giả sử có e > 0 để với mọi
x € X déu ton tai # x sao cho @(#) — ed(z,) > @(0) Dat Tx = , ta nhận được một ánh xạ trong X thoả mãn:
T+z#ø và @(ø) — ed(z,Tø) > @(T+z) (Vz€ X)
Dat j = = ta nhận được một hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới trên X thoả mãn:
Trang 33Theo định lý điểm bất động Caristi, 7 phải có điểm bất động trong X, điều
này trái với cách xây dựng ánh xạ 7' Dịnh lý đã được chứng mình L] 2.2 Diểm bất động của ánh xạ không giãn
Ánh xạ từ không gian mêtric (X,đ) vào không gian (Z,ø) được gọi là không giãn nếu với moi x,y € X ta có:
p(Tz, Tụ) < d(, 0)
Như vậy, ánh xạ co là ánh xạ không giãn Phép tịnh tiến trên đường
thẳng, phép quay của đường tròn đơn vị trên mặt phẳng quanh gốc toạ độ là những ví dụ về ánh xạ không giãn mà khơng có điểm bất động Thậm chí
một ánh xạ không giãn trong tập hợp lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach cũng khơng nhất thiết phải có điểm bất động
Ví dụ 2.1 Ký hiệu B là hình cầu đơn tị đóng trong Œq (không gian của các dấu số hội tụ đến 0 uới chuẩn sup) mỗi œ = (a1,%2, ) € B ta dat Tx = (1,z\i,z¿, ) Khi đó T là ánh szạ không giãn trong Ð mà khơng có điểm bất động
Thật uậu, nếu có #ï = T3" thì ta có:
(aj, 05, 05, ) = (1,27, 05, )
Nhung khi do ta c6 x; = 1 vdi moti, nén x* khong thudc Cy
Diém bắt động của ánh xạ khơng giãn có thể khơng duy nhất (chẳng hạn, sét ánh xa đồng nhất)
2.2.1 Về cấu trúc hình học của không gian Banach
Định nghĩa 2.6 Không gian Banach (X, |.||) được gọi là lồi chặt nếu tới z+ụ
mợi # # mà ||#|[ < 1, |u|| < 1 ta có — <1 Diều kiện nàu tương đương tới:
Trang 34Dinh nghĩa 2.7 Không gian Banach (X, |.||) được gọi là lồi đều nếu tới mọi e > 0 déu ton tai 5 (€) > 0 sao cho 0ới mọi ø, € X mà:
lzl| < 1 llzll < 1, llz — 9| > s: ta luôn có:
x+y
<1-d(e)
Các tí dụ tiêu biểu của không gian lồi đều lal? la L? [a,b] oới 1 < p < oo
Mọi không gian Hilbert đều là lồi đều
That oậy, cho ||z|| < 1, ||u|| < 1, ||# — || > e Từ đẳng thức hành bình hành ta được: lz + ø|Ủ = 2lzl + 2llw|Ủ — llz 9|lỦ < 4- # + ? ° “H|<:- 2 "` 4 e2 (4) =1- 1T
Dể do tính lồi đều của không gian Banach người ta đưa ào hai khái niệm Từ đâu suy ra
sau day:
1 Môdun lồi của không gian Danach X là hàm số: dx : [0,2] — [0,1]
được xac định bởi công thúc:
+
5x (e) = inf {1 -
[tel <2, tu <1 eve}
2 Dặc trưng lồi của không gian Banach X duoc sác định bởi: €) (X) = sup {e € [0,2] : dy (e)} = 0
Hai dai lượng nàu cho ta nhiều thông tin vé tinh chất của không gian Chẳng hạn, X lỗi đều khi va chỉ khi eạ(X) = 0; X là lồi chặt khi uà chỉ khi
Trang 35chất giỗng không gian Hilbert: Néu C la mét tap hop loi, déng trong khong gian lồi đều X thi vdi moi x € ÄX tồn tại duy nhất một điểm ụ € C ma:
Iie — yll = inf { llz — z||:z CH
(Mọi tập hợp ta ngầm hiểu là không rỗng, nếu không nói rõ là tập hợp rong)
Định nghĩa 2.8 Tap hop K trong không gian định chuẩn X được gọi là
có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi, đóng, bị chặn H của nó tới didmnH > 0 đều chứa một điểm x € H sao cho:
sup {||#z — z||:z € H} < diamH
(6 day diam ky hiéu la đường bính của tập hợp)
Vi du 2.2 Moi tập hợp compact trong một không gian Danach đều có cấu
trúc chuẩn tắc
Ta sé chitng minh điều này bằng phản chứng Giả sử tồn tại một tập hợp lồi, đóng, bị chặn H € K với đianH > 0 mà khơng có tính chất trên
Lay x, tuy ¥ trong H va chọn x2 € HH sao cho ||#ì — z3 || = r = diamH
(ở dâu ta sử dung tinh compact ctia H suy tt tinh compact cia K) Vi
ị Ta T+ Ly
2
có đị,ø2, ạ € H tới | — 3/|| =, i 4 j, 1 < i,j <n Khi đó tồn tại
=r Gia su da
€ H nén ton tai x; € H sao cho
Ini, € K sao cho:
T+ Let + Ly — #„+1|| —=T n Từ đâu ta được: r= %1 — đn+1 + "_"— n n 1 n <- ` |Ìz¡ — z„.¡|| <r n+ i=1
Vay ||c; — tn41\| = 1, vdi moti = 1,2, ,n
Cú tiếp tục quá trình nàu †a được một dãy trong H mà hiển nhiên không
Trang 36Vi du 2.3 Mot vi du ề tập hợp có cấu trúc chuẩn tắc là tập hợp bat ky
trong không gian ĐPanach X tới eạ (X) < 1
That vay, cho K là một tập hợp bat ky trong X va H la mot tap hợp
lồi, đóng, bị chặn trong K vdi d = diamH > 0 Ta chọn e dương sao cho
r = dx (1l—e€) > 0 Khi d6 ton tai u,v € H sao cho |lu—v|| > d(1—e) Lay x € H bat hụ, ta có || — u|| < đ, ||# — 0||< d
u+v z—tu Øø—U
Đặt z = ( 2 „8l = d (y= y ta có:
T-u #Ø@—U 1
x'|| <1, |ly’|| < 1, Ja’ — y’|] = — =-l|lu—0||>1—e
le" <1 ly < ble’ — yl = [5-2] = Seo >
` ` , vty „|J#z+ư
Vìàr =ơx(1—£) >0 nên ta có 1— >r, túc là <1—r
a’ ty’ —
Mặt khác ta có — = — , do dé ||z—2|| <d(1—r) <d véi
mois € H Vay K có cấu trúc chuẩn tắc
Từ đâu suy ra một kết luận quan trọng là: không gian lồi đều có cấu trúc chuẩn tắc Diều này sẽ được dùng trong mục sau
2.2.2 Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn
Định lý 2.6 Cho C la mét tap hop ldi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuan X va T : C > C là một ánh xa không giãn
Khi đó T có điểm bất dong trong C
Chứng mình Dặt F = {DL CƠ : LL lồi, đóng, khơng rỗng,T(L) CL}
TP #0 vì C€F: Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, (FC) trở thành tập hợp được sắp thứ tự bộ phận
Đặt s = {L„} với các L„ € Ƒ và lồng nhau Khi đó (1 b„ # Ú vì Œ compact yéu va T (n 1.) CNL, vay 1) La 1a can dudi cia s Theo bổ đề Zorn, F
chứa một phần tử cực tiểu HH :
Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng:
Giả sử d = diamH > 0 Do Ở có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z € H sao cho:
Trang 37Vay tap hop D = {2 € H: HC B(z,r)} 4G, trong d6 B(z,r) la hình cầu đóng tâm z bán kính r Lấy z bat ky trong D, do 7' là khơng giãn, ta có T(H) C P(Tz,r), vì vậy èT(H) C B(Tz,r), trong đó 6ø ký hiệu là bao lồi, đóng của một tập hợp Vì eø7 (H) là một tập hợp lồi, đóng trong Œ nên cũng compact yếu và vì col (H) C coH = H
Nên 7 (eøT(H)) C T(H) C cốT(H), vậy cøT (H) € F VicoT (H) CH
và H là cực tiểu nên eøØf(H) = H Từ đây ta có H C B(Tz,r), chứng tỏ
Tz € D, vay T(D) CD vì z bất kỳ trong D
Ta sẽ kiểm tra D lồi và đóng Cho z,z¿ € D và z = œz¡ + (1— đ)z¿ với
œ € [0,1] Khi đó ||# — z;|| < r với mọi z € H nên z € D, vậy D lồi Nếu Zn € Dva z, — z thì do ||z — z„|| < r với mọi z € H, suy ra ||# — z||<r với mọi với mọi z € nên z€ Ù, vậy D đóng
Tóm lại D € Œ là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với 7, vậy D € F Vì
D€ TH và đ là cực tiểu nên D = ïï Khi đó, vai moi u,v € D = H ta c6 lu — v|| <r, tit day d = diamH = diamD <r < d, ta gặp mâu thuẫn Vay H chỉ gồm một điểm, tức là H = {z'}
Vì H bất biến đối với 7' nên ta có T+* = #ø* Dịnh lý đã được chứng
minh L]
Định lý 2.7 Cho Œ là một tập hợp lồi, đóng, b‡ chặn trong không gian lồi đều X viT : Œ — Œ là một ánh xạ không giãn Khi đó tập hợp các điểm bắt động của T' là lồi, đóng khơng rỗng
Chứng minh Vì X lồi đều nén phan xa, do dé C 1A compact yéu và có cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động của 7 khơng rỗng, ngồi ra nó đóng vì 7 liên tục Ta chỉ còn phải chứng mình tính lồi của tập hợp này
Cho u = Tu, v = Tv vam = Àu + (L— À)0 với một À € [0, 1] nào đó Khi đó ứ —?m = (1— À) (u — 0) và u—1mm = À(u T— 0) Vì T là ánh xạ không giãn nên ta có:
Trang 38Dou-—v=(u—Tm)+ (Im — v) niên:
Ju — oll < lu —Tml] + [Tm — of
Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được:
ju — || = |lu — Tm|[ + |Tm — v]] Đặt # = uT— Tm, = Tm — 0 ta có ||z|| + |ly|| = lÌz + ø||:
Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đăng thức trên chứng tỏ tồn tại a > 0 để cho ứ — 7m = œ(Tm — 0) Từ đây ta có:
1 a 1
ut v=Bu+(1—B)v véi B=
Tm =
m l+a l+a l+a
Ta sẽ chứng minh rằng Ø = À bằng phản chứng Giả sử Ø > À Khi đó ta có:
|Tv — Tml| = |v — Tm = B |lu— ol] > Allu— vl] = lv — ml,
mâu thuẫn với tính khơng giãn của 7
Hoàn toàn tương tự, nếu đ < À thì ta cũng gặp mâu thuẫn:
||Tu —Tm]| > |lu — ml]
Vay 3 = \ nén Tm = m Vi moi diém trén doan ndi hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định lý
đã được chứng minh L]
2.2.3 Ánh xạ không giãn đa trị
Bổ đề 2.1 Mọi dãy bị chặn {z„} đều chứa một dãy con chính qui đối uới
Œ
Chiing minh Ta sé dùng ký hiệu {u„} < {u„} để diễn tả {o„} là day con của {u„} Trước hết ta đặt:
rọ = inÝ {r„({o„},Œ): {o„} < {z.}}
Trang 39Sau khi da co {vi} x {uit} ta dat:
T¡ — inf {ru ({v,},C) : {vn} < {vi }} :
Va chon {up} < {vi} sao cho: n
+ 1
r„ ({t, }›C) <m+TT (2.5)
Để ý rằng r¡, < rạ < rạ < , vậy tồn tại:
limr,=r và limr,({ø,''},C) =r
is j—>oœ "
Bây giờ xét dãy đường chéo {op} va dat 7 =r, ({z‡} ,C)
Vi {ut} < {uj } nên hiển nhiên # > r; Mặt khác, vì {ø}} < {øj*!} nên từ (2.5) suy ra f < mt: Tw day * = r, và vì mọi dãy con {u„} của {ut }
đều thoả mãn {u,} < {vi } va {u,} < fuitt} nen ta c6 ry ({un},C) =r
Vay {ut} là một day con của {z„} chính qui đối với Ơ Bổ đề đã được
chứng minh L]
Định lý 2.8 Cho X là một không gian Danach lồi đều, C một tập lồi, đóng,
bi chan trong X, T là một ánh zạ không giãn đa trị xác định trén C va nhan
giá trị compact trong Ở Khi đó T có điểm bat dong trong C
Chứng minh Tương tự như trường hợp đơn trị, với mỗi øœ ta đặt:
1 1
T,2 = —x%y + (1 — *) Tx, «eC
n n
Các ánh xạ đa trị 7„ đều là ánh xạ co, nên theo định lý Nadler tồn tại
1
Ln € TyXy Khi d6 d(x,,Tx,) < —diamC nén ta cé:
n
lim đ(z„, 7z„) = 0
Theo Bổ đề 2.1 trên, có thể giả thiết {z„} là chính quy đối với Ơ Vì X lồi đều nên Œ„({z„},C) chỉ gồm một điểm Dặt Œ,„({z„},Œ) = {ø} và r„({z„},CŒ) =r
Với mỗi ø chọn y, € Tx, để cho lim |l„ — z„|| = 0 và với mỗi y, chon
z„ Sao cho: "
Trang 40Vi Tv compact nén ton tại một dãy con {z„„} của {z„} hội tụ đến œ € 70
Vì ||z„, — @|[ < [en — Youll + [Yow = Znell + len = ell
Va |lzn, — Yn, ll < ||#„„ — 0||, từ đây suy ra: Nr
lim sup ||w — #„„|| < r-
ko
Nhưng vì {z„} là chính quy đối với Œ, ta duge v = w € Tv Dinh ly đã
được chứng minh Oo
2.3 Diém bất động của ánh xạ liên tục
2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer
Định nghĩa 2.9 Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là một n— đơn hành nếu S = co {uạ,tị, „} ĐỚI tụ, tị, , Hạ G X
va các 0ectd tị — uạụ, u„ — tụ độc lập tuyến tính Các điểm tu¿ được got la
dinh, bao loi ctiak +1 dinh duge gọi là k— điện của S
Phép tam giác phân một đơn hành S là một phép phân chúa thành các
m— đơn hành con S”,i = 1,2, ,m, sao cho hợp của chúng bằng S tà hai đơn
hành con nếu giao nhau thà giao phải là một diện chung của hai đơn hành đó Đối uới một phép tam giác phân của S, Sperner (1928) đưa ra một phép
gan cho mỗi đỉnh của các đơn hành con một trong cdc sé 0,1, ,n theo quy
tắc sau đây:
Nếu co{u,,, u„} là điện nhỏ nhất của S chứa v thi 0 được gán một
trong các số iụ, i„ (Như vay đỉnh u, phải được gắn số ï) Ta gọi đó là phép gan Sperner
Bồ đề 2.2 (Spernor, 1928) Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hành bất kỳ luôn có một số lẻ các đơn hành tốt
Bổ đề 2.3 (Knafster - Kuralousbi - Mazurkieuicz, 1929) Cho đơn hành S9 = cofuu,tui, , tạ} trong R" va tập hợp đóng Fụ, Fì, , F„ trong S thoả
mãn điều kiện sau: uới mọi tập hop con I € {0,1, ,n} ta cé:
co{u,:¡€ TI} CUR (KKM)