Nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử và trong lý thuyết chất rắn

Tên tôi là: Phạm Thị Thanh Huyền học viên lớp cao học K18-chuyênngành Vật lí lý thuyết và vật lí toán, khoa Vật lí Trường Đại Học SưPhạm Hà Nội 2.Tôi xin cam đoan đề tài: “ Lý thuyết nhi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và lòng biết ơn sâu sắc của mìnhtới TS - Trần Thái Hoa – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn,giúp đỡ tôi, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng và là người trựctiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo ở phòng sau đạihọc, các thầy cô giáo trong khoa Vật lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

2, các giáo sư tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi nhữngkiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứukhoa học trong hai năm học tạo tiền đề cho tôi hoàn thành bản luậnvăn này

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã độngviên và giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng để hoàn thành, nhưng thời giannghiên cứu có hạn nên luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy

cô giáo, các bạn học viên và những người quan tâm đến đề tài này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Học viên

Phạm Thị Thanh Huyền

Tên tôi là: Phạm Thị Thanh Huyền học viên lớp cao học K18-chuyênngành Vật lí lý thuyết và vật lí toán, khoa Vật lí Trường Đại Học SưPhạm Hà Nội 2.

Tôi xin cam đoan đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứngdụng” , là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đề tài không trùng với kếtquả của các tác giả khác Nếu có gì không trung thực tôi xin hoàn toànchịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Học viên

Phạm Thị Thanh Huyền

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

1.1 Mở đầu 3

1.2 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến 4

1.2.1 Khi λ = 0 5

1.2.2 Khi λ nhỏ 6

1.3 Nhiễu loạn khi có suy biến 7

1.3.1 Sự giảm suy biến khi có nhiễu loạn 7

1.3.2 Việc khử suy biến 9

1.4 Các bổ chính cho năng lượng và hàm sóng 9

1.4.1 Bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng 9

1.4.2 Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng 11

1.4.3 Bổ chính bậc 3 cho năng lượng 14

2.1 Hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao

động tử điều hòa 15

2.2 Năng lượng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng bậc nhất của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm 22

2.3 Năng lượng được hiệu chỉnh đến bậc 2 của hạt có khối lượng ở trong giếng thế vuông góc một chiều 24

Chương 3 Một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong lý thuyết chất rắn 28 3.1 Gần đúng liên kết yếu 28

3.1.1 Mở đầu 28

3.1.2 Trường hợp không suy biến 30

3.1.3 Trường hợp có suy biến 35

3.2 Lý thuyết BCS 38

3.2.1 Mở đầu 38

3.2.2 Khe năng lượng ở T = 00K 45

3.3.3 Tính năng lượng bậc 2 47

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong cơ học lượng việc giải phương trình Schodinger để tìm nănglượng và hàm sóng về nguyên tắc thì ta hoàn toàn tìm được Tuy nhiêntrong thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rấtnhiều khó khăn và giải nó rất phức tạp Vì vậy người ta đi tìm nghiệmcủa phương trình Schodinger bằng các phương pháp gần đúng

Ta đã biết trạng thái dừng của một hệ được mô tả bằng nghiệm củaphương trình Schodinger dừng:

∧

Đối với một số trường hợp đơn giản ( trường colomb, trường đàn hồi,trường điện từ đều, .) tương ứng với các hệ lý tưởng hóa phương trình(1) có thể cho nghiệm chính xác Nhưng khi nghiên cứu các hệ thực nóichung thì phương trình (1) không cho nghiệm chính xác Bởi vậy phảiđưa vào các phương pháp tính gần đúng các hàm riêng và các trị riêngcủa toán tử H trong phương trình (1).∧

Một trong các phương pháp tính gần đúng là dựa vào các nghiệmchính xác của hệ đã lý tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để đượcnghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi

là không khác nhiều so với hệ lý tưởng

Phương pháp tính các hiệu chỉnh như thế, dưới các điều kiện đặt

ra được gọi là lý thuyết nhiễu loạn Lý thuyết nhiễu loạn có rất nhiềuứng dụng trong việc giải một số các bài toán trong cơ học lượng tử, bêncạnh đó thì lý thuyết nhiễu loạn cũng được sử dụng trong một số vấn

đề của chất rắn và siêu dẫn Vậy cụ thể lý thuyết nhiễu loạn là gì? Vànhững ứng dụng cụ thể của nó trong các vấn đề đã nêu ra như thế nào?

Từ những câu hỏi trên mà tôi chọn đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn vàmột số ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng lại lý thuyết nhiễu loạn

- Tìm hiểu một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ họclượng tử và trong lý thuyết chất rắn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn và một số ứngdụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử và trong lý thuyếtchất rắn

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu liên quan

- Sử dụng phương pháp toán lý trong vật lý lý thuyết

- Sử dụng giải tích toán học

5 Kết cấu đề tài

- Đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng” có kết cấugồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận

- Phần nội dung được chia làm 3 chương:

+ Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng

+ Chương 2: Một số bài toán ứng dụng về lý thuyết nhiễu loạn.+ Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong lýthuyết chất rắn

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

- Xây dựng được bổ chính cấp 3 một cách ngắn gọn và dễ dàng

- Ứng dụng được vào thực tiễn trong việc giải các bài toán trong cơhọc lượng tử

Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn

Trong đó cH0 là toán tử Hamilton của bài toán đã lý tưởng hóa

Và bV được gọi là toán tử nhiễu loạn

Gọi bV là nhỏ, để biểu diễn điều đó ta đặt:

b

Với λ là một thông số nhỏ, không thứ nguyên Mặt khác, giả sử biếtcác nghiệm El0 và ϕl (l=1,2,3 ) của phương trình cho hàm riêng và trịriêng của toán tử cH0

c

với l = 1, 2, 3,

Và giả thuyết các ϕl này đã được trực chuẩn:

Z

ϕl∗ϕldq = δll0(1.5)với l, l0 = 1, 2, 3

Với các điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình: bHϕ = Eϕ sẽquy về việc giải phương trình sau để tìm El và Ψl

c

+ Trường hợp bài toán lí tưởng có suy biến

Để hiểu rõ hơn ta đi vào từng trường hợp cụ thể:

1.2 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến

Trường hợp mức năng lượng lí tưởng của hệ không bị suy biến.Chúng ta nghiên cứu trường hợp mức năng lượng E0l (l=1,2,3, )của hệ lý tưởng không bị suy biến, nghĩa là với một giá trị năng lượng

E0l (l=1,2,3, ) chỉ có một hàm riêng ϕl và sẽ xem xét mức E0l sẽ thayđổi như thế nào khi có nhiễu loạn Giả sử sau khi hiệu chỉnh cho E0l và

ϕl ta được năng lượng El và hàm sóng Ψl nghiệm đúng (1.6)

Lấy hệ hàm riêng {ϕ1, ϕ2, } của

⇔ X

n

Cn

c

Cm = δml suy ra từ (2.4) trong 2 trường hợp:

Bây giờ ta so sánh các hệ số của lũy thừa λ với 2 vế của (1.13).Trước hết với hệ số của λ0:

sẽ cho ta các bổ chính ở các bậc khác nhau của năng lượng và hàm sóng.1.3 Nhiễu loạn khi có suy biến.

1.3.1 Sự giảm độ suy biến khi có nhiễu loạn

Ta đi xét trường hợp có suy biến tức là với một giá trị của nănglượng thì có nhiều hàm riêng khác nhau Ta giả sử mức năng lượng E0l

bị suy biến S lần ( tức là có S hàm sóng (ϕ11, ϕ12, ϕ13, ϕ1S)) Khi đó

để làm gần đúng cấp không của hàm sóng ta lấy tổ hợp tuyến tính củacác hàm ϕlk (k=1,2,3 .S) tương ứng với các mức năng lượng E0l

(l=1,2, ,k=1,2,3 S)

Thay (1.18) vào phương trình bHϕl = Eϕl ta được:

c

Thay Eli (i=1,2,3, ,p) vào (1.19) ta được:

Như vậy trong phép gần đúng cấp không ta tìm được: Eli, Ψl

(i=1,2,3, ,p,p«s )

1.3.2 Việc khử suy biến

Chúng ta biết rằng với bài toán không nhiễu, mức năng lượng E0lsuy biến tách ra thành p ≤ s mức E11, E12, E13, E1p với p là hằng số,

ϕ11, ϕ12, ϕ1p độc lập tuyến tính với nhau

Thành thử nhiễu loạn khi đã khử bớt độ suy biến, từ độ suy biếnbội s bây giờ chỉ còn bội suy biến (s-p) Độ suy biến này ta phải hiểu làtrong p mức năng lượng E11, E12, E13, E1p sẽ có một vài mức suy biếnvới bội nhỏ hơn hoặc bằng (s - p) sao cho tổng số bội của các mức bị suybiến bội (s - p) đến các mức còn lại Điều này cho phép chúng ta lặp lạiphương pháp cho các mức suy biến để tiếp tục khử suy biến

Quá trình đó có thể tiến hành đến khi khử hết suy biến thì dừnglại, lúc này bài toán trở về bài toán không suy biến

1.4 Các bổ chính của năng lượng và hàm sóng

1.4.1 Bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng

Từ (1.16) theo phương trình (a)

loại bỏ vì có bậc 2

R ϕ∗

lϕmdq = 0 và R ϕ∗

mϕldq = 0Vậy ta có:

|ϕl|2dq ≈

1 + λCl(1)

2



~mω

4

X

n=1

2

~ω

+

~mω

3/2



~mω

3/2

Và vì vậy:

E02 = −



~mω

2

~ω

+



= −118

~2α2

m3ω4

Sau đây chúng ta đi tính hiệu chỉnh bậc 2 cho năng lượng đối với

E0 − EnBiến đổi các tích phân sau ( với n ≥ 1 ):

5/2

E002 = X

n=1