một số ứng dụng của định lí vi-ét trong toán lớp 9

ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thông việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán có một vị trí quan trọng trong dạy học toán, qua việc giải các bài tập giúp học sinh củng cố

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG TOÁN 9

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong trường phổ thông việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán có một vị trí quan trọng trong dạy học toán, qua việc giải các bài tập giúp học sinh củng cố, mở rộng các kiến thức đã được học và mở rộng tầm hiểu biết của mình Với tình hình thực tế hiện nay nhiều học sinh chưa thích học bộ môn toán, các kĩ năng cơ bản còn yếu, nhất là kĩ năng giải bài tập, nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó là:

 Đối với học sinh:

+ Chưa nắm vững lý thuyết

+ Chưa nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập

+ Chưa linh hoạt sáng tạo khi giải bài tập

+ Thụ động, chưa tích cực trong học tập

+ Chưa biết khai thác bài toán

+ Chưa biết vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế

 Đối với giáo viên:

+ Trong quá trình giảng dạy chưa chú ý rèn các kĩ năng cho học sinh nhất là kĩ năng giải toán

+ Còn áp đặt kiến thức, áp đặt cách giải các bài tập cho học sinh, chưa gợi mở phát huy trí lực học sinh, nêu vấn đề cho học sinh suy nghĩ, chủ động tiếp thu các kiến thức

+ Khi hướng dẫn học sinh giải các bài tập giáo viên chưa chú ý xây dựng phương pháp giải toán

+ Các bài tập giáo viên cho học sinh giải chủ yếu là các bài tập đơn giản,

ít được mở rộng nâng cao dẫn đến học sinh dễ bị nhàm chán

Nhằm giúp học sinh học toán tốt hơn, yêu thích môn toán hơn cũng như ngày càng nâng cao chất lượng giảng dạy của mình, mỗi giáo viên cần :

+ Nắm vững kiến thức

+ Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học

+ Đổi mới phương pháp dạy học, vận dụng nêu vấn đề, sử dụng nhiều những câu hỏi gợi mở dẫn dắt học sinh chủ động, tích cực tiếp thu kiến thức + Chú ý rèn các kĩ năng cho học sinh nhất là kĩ năng giải bài tập, chú ý xây dựng các phương pháp giải toán cho học sinh

+ Tìm tòi mở rộng các kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập từ dễ đến khó giúp học sinh được củng cố và nâng cao các kiến thức, giúp học sinh hứng thú trong học tập và học môn toán tốt hơn

Với các mục tiêu trên trong đề tài này tôi trình bày một số phương pháp giải các dạng bài tập mà có sử dụng định lý định lý Vi – ét trong chương trình đại số lớp 9 đó là: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai, so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số Giúp học sinh nắm vững các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai và các ứng dụng của định lý

Vi –ét, rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán, khả năng suy luận, khả năng sáng tạo trong học toán và giải toán

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong chương trình đại số lớp 9 đôi khi học sinh gặp khó khăn trong việc giải một số phương trình bậc hai hay tìm hai số thỏa mãn hệ thức cho trước, so sánh nghiệm của phương trình bậc hai Có những bài toán tưởng chừng rất khó nhưng nó lại có những lời giải thật đơn giản, độc đáo khi áp dụng định lý

Vi – ét và chỉ có áp dụng hệ thức Vi – ét mới có thể giải được

Để học sinh giải được các bài tập có sử dụng các ứng dụng của định lý

Vi – ét, trước hết học sinh cần phải nắm vững nội dung của định lý Vi – ét

Định lý Vi – ét:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2

thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S2  4P

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT

1)Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp: Vận dụng một trong ba điều sau

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1) Nếu: a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 ; x2 = c

a2) Nếu: a – b – c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 =  1; x2 =  c

a3) Nếu: x1 + x2 = m + n và x1.x2 = m.n và a.c < 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = m ; x2 = n ( hoặc x1 = n; x2 = m)

Bài 1: Dùng điều kiện a + b +c = 0 hoặc a – b + c = 0 để giải các phương

Phương trình trên có a + b + c = 35 – 37 + 2 = 0

Do đó phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = 2

35b) 7x2 + 500x – 570 = 0

Phương trình trên có a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0,

Do đó phương trình có hai nghiệm x1 = 1 ; x2 =

7

507

 =  723

7c) x2 – 49x – 50 = 0

Phương trình trên có a – b + c = 1 + 49 – 50 = 0

Do đó phương trình có hai nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 50

d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0

Phương trình trên có a – b + c = 4321 – 21 + 4300 = 0,

Do đó phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = 4300

Phương trình có: ∆ = b2 – 4ac = 49 – 48 = 1 > 0 nên phương trình có hai

nghiệm x1; x2 và ta có: 1 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 3 ; x2 = 4 (hoặc x1 = 4 ; x2 = 3)

b) x2 + 7x + 12 = 0

Phương trình có: ∆ = b2 – 4ac = 49 – 48 = 1 > 0 nên phương trình có hai

nghiệm x1; x2 và ta có: 1 2

Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 2 7 ; x2 =  3

Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm nhanh nhất:

a) x2 + (3m – 5 )x – 3m + 4 = 0 b) 3x2 – (m – 2)x – m – 1 = 0 c) (m – 2)x2 + (m – 3)x – 2m + 5 = 0 d) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 =

Với m – 2 = 0 hay m = 2 thì (*) trở thành x + 1 = 0 x = 1

Với m – 2 ≠ 0 hay m ≠ 2 thì (*) có a + b + c = m – 2 + m – 3 – 2m + 5 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = 2m 5

Với m – 3 ≠ 0 hay m ≠ 0 thì (**) có a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0

nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2m + 2

m 3

2) Biết một nghiệm của phương trình bậc hai tìm nghiệm còn lại của phương trình đó

Phương pháp giải :

+ Tính tổng S hoặc tích P hai nghiệm của phương trình

+ Thế nghiệm đã biết vào S hoặc P tìm nghiệm còn lai

Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1x2 = c

a) Phương trình x2 + mx – 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7

b) Phương trình x2 – 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,6

c) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = 2

c) Vì x1 = 2 là một nghiệm của phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, nên theo hệ thức Vi – ét ta có: 2 + x2 =  3

4 Suy ra x2 = 5

4Lại theo hệ thức Vi – ét ta có 2 5

4 =

2

m + 3m4



hay m2 – 3m – 10 = 0 Giải phương trình m2 – 3m – 10 = 0 ta được m1 = 2 ; m2 = 5

3) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ; x 2 , tìm hai số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

+ Lập tổng S = x1 + x2 và tích P = x1 + x2

+ Lập phương trình có dạng X2 – SX + P = 0 hay (X – x1)(X – x2) = 0

Bài 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm là:

Vậy hai số 2 và 1 – 2 là nghiệm của phương trình: X2 – X + 2 – 2 = 0

Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x sau: x2 – 5x + 4 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2

b) Không giải phương trình (1) Hãy lập một phương trình có hai nghiệm là

a)Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2

b)Không giải phương trình (1) Hãy lập một phương trình có hai nghiệm là

Bài 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 7x + 3 = 0

a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1

b) Hãy tính giá trị của biểu thức: A = 2x x + 2x x1  2 2  1

Vậy hai số cần tìm là : u = 3 và v =8 ( hoặc u = 8 và v = 3)

b) Đặt t = v ta có u + t = 10 và ut = 24 Do đó hai số u và t là nghiệm của phương trình: X2 – 10 X  24 = 0 (2)

Ta có : ∆’ = 25 + 24 = 49, nên phương trình (2) có hai nghiệm là :

X1 = 12 ; X2 = 2

Suy ra: u = 12 và t = 2 hoặc u = 2 và t = 12

Nếu u = 12 và t = 2 thì u = 12 và v = 2

Nếu u = 2 và t = 12 thì u = 2 và v = 12

c) Ta có (u + v)2 = u2 + v2 + 2uv Mà u + v = 5 và u2 + v2 = 13

Suy ra: 52 = 13 + 2uv  25 – 13 = 2uv  uv = 6

Vì u + v = 5 và uv = 6 nên hai số u và v là nghiệm của phương trình:

4) Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp giải:

+ Kiểm tra sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai tính biệt số ∆ (hoặc ∆’, tích a.c)

+ Áp dụng định lý Vi – ét tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình

+ Sử dụng các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai sau đây để biến đổi biểu thức:

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10 x1x2 + 3(x12 + x22)

= 10P + 3(S2 – 2P) = 3S2 + 4P = 1

Bài 2: Nếu phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 (x1 < x2)

Hãy tính giá trị các đại lượng sau mà không được giải phương trình:

Vì phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có a.c =  1 < 0, nên phương trình có

hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (x1 < x2) Áp dụng định lý Vi – ét ta có:

S = x1 + x2 = 2 và P = x1 x2 = 1, suy ra:



=

2

2 + 2 + 21

S 2PP



= 6 5) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3SP = 14



=  14

Bài 3: Giả sử x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 + ax + 1 = 0 và x3; x4

là nghiệm của phương trình x2 + bx + 1 = 0.Tính giá trị của biểu thức:

Phương pháp giải:

+ Lập biệt số ∆ (hoặc ∆’) tìm điều kiện của tham số để ∆  0 (hoặc ∆’  0) cho phương trình có nghiệm

+ Tìm giá trị của tham số trong hệ thức cho biết sau đó chọn giá trị của tham số thích hợp với điều kiện và trả lời

Mặt khác x1x2 = m suy ra m =5 ( thỏa mãn điều kiện m  9)

Vậy với m = 5 thì phương trình x2 – 6x + m = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

2 = 1,5 Với x2 =  2 thì x1 = 3

Với x2 = 1,5 thì x1 =  4

Mặt khác ta có x1 + x2 = – m – 3

+ Với x1 = 3 và x2 =  2 thì m = 4

+ Với x1 =  4 và x2 = 1,5 thì m = 0,5

Vậy với m = 4 hoặc m = 0,5 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2thỏa mãn : x1 + 2x2 = 1

Bài 2: Tìm giá trị của k để

a) Phương trình: kx2 – 5k + 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 = 4x2

b) Phương trình: kx2 – 6(k – 1)x + 9(m – 3) = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

kMặt khác x1x2 = 1

kNên 42

k = 1

k  k = 4 (thỏa mãn điều kiện k ≠ 0 và k  25

4 ) Vậy với k = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 = 4x2

b) Phương trình; kx2 – 6(k – 1)x + 9(m – 3) = 0 có hai nghiệm khi và chỉ khi:

k 0

2' 9(k 1) 9k(k 3) = 9(k + 1) 0

Ta có x1 + x2 = 6(k 1)

k

 và x1x2 = 9(k 3)

k

 hay 6(k – 1) = 9(k – 3)  k = 7 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với k = 7 thì phương trình kx2 – 6(k – 1)x + 9(m – 3) = 0 có hai nghiệm

x1; x2 thỏa mãn: x1 + x2 = x1x2

Bài 3: Tìm giá trị của m để:

a) Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn

b) Phương trình: x2 – 2x + 2m – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn

x12 + x22 + x1 + x2  12

Giải:

a) Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 có biệt số:

∆’ = (m + 1)2 – 4m = m2 + 2m + 1 – 4m = m2 – 2m + 1 = (m – 1)2  0 với mọi

m R.Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 ≠ 0 là 4m ≠ 0 hay

Giải phương trình (*) ta được m1 = 2 ; m2 = 1

2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = 2 hoặc m = 1

2 thì phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 1

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 1  m  1 thì phương trình:

x2 – 2x + 2m – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 + x1 + x2  12

6) Xác định dấu của các nghiệm, xác định các hệ số của phương trình bậc hai theo điều kiện về dấu của nghiệm

Phương pháp:

Dựa vào trong một trong các điều sau:

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình ta có:

* P < 0  x1 < 0 < x1 (phương trình có hai nghiệm trái dấu)

(phương trình có hai nghiệm bằng trong đó có một nghiệm bằng 0)

Bài 1: Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (1)

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có:

a) Có nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

c) Có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Cho phương trình: mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (x là ẩn số) (2)

a)Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải:

a) Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

Suy ra: 0 < m < 3 ( vì m – 3 < m nên không xảy ra trường hợp m < 0)

b) Giả sử x1 = 3 là một nghiệm của phương trình (2), thì:

m.32 – 2(m – 2).3 + m – 3 = 0  9m – 6m + 12 + m – 3 = 0  4m = 9 Suy ra m =  9

4 Theo hệ thức Vi – ét có: x1x2 = m 3

m

 (m ∆ 0), thay x1 = 3 và m =  9

4 ta được: 3x2 = ( 9

4 – 3) : (9

4)  3x2 = 7

3  x2 = 7

9

Bài 3: Cho phương trình : x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0 (3)

a)Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm

Vậy với m <  3 thì phương trình (3) có hai nghiệm đều âm

7 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai độc lập với tham số

Phương pháp giải:

+ Lập biệt số ∆ ( hoặc ∆’)tìm điều kiện của tham số để ∆  0 (hoặc ∆’  0) cho phương trình có nghiệm

+ Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình: 1 2

1 2

b

x + x = (1)

ac

Cách 2: Nhân của hai vế của (1) hoặc (2) với một số thích hợp sau đó cộng hai trừ từng vế của (1) và (2) để khử tham số

Bài 1: Cho phương trình x2 – (2k – 2)x – 2k = 0 (ẩn x)

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k

b)Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình độc lập với k

Giải:

a) Phương trình x2 – (k – 2)x – 2k = 0 có:

∆ = (k -2)2 + 8k = k2 – 4k + 4 + 8k = k2 + 4k + 4 = (k + 2)2  0 với mọi k R, nên phương trình đã cho luôn có hai ghiệm x1 ; x2 với mọi k

Từ (1) ta có k = x1 + x2 + 2 ta thay vào (2) được x1x2 = 2(x1 + x2)  4 hay

x1x2 + 2(x1 + x2) =  4 độc lập với k

Biểu thức x1x2 + 2(x1 + x2) = 4 độc lập với k

Bài 2: Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + m – 3 = 0 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phươngtrình không phụ thuộc vào m

Giải:

Phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + m – 3 = 0 có biệt số:

∆’ = (m + 2)2 – (m + 1)(m – 3) = m2 + 4m + 4 – m2 + 3m – m + 3 = 6m + 7 Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi và chỉ khi:

m + 1

 = x1x1 – 1

4



 2(x1 + x2) – 4 = 1 – x1x2 hay 2(x1 + x2) + x1x2 = 5, biểu thức này không phụ thuộc vào m

8 Ứng định lý Vi – ét trong các bài toán về hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) và

y = ax + b

Phương pháp giải:

+ Lập phương trình bậc hai

+ Áp dụng định lý Vi – ét để tìm nghiệm của phương trình bậc hai đó,

hoặc tìm các hệ số a, b, c của phương trình

Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có

hoành độ lần luợt là 1; 2 Viết phương trình của đường thẳng (D) đi qua hai

điểm A, B

Giải:

Phương trình của đường thẳng (D) đi qua hai điểm A và B có dạng y = ax + b

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (D) và (P) là:

Vậy phương trình của đường thẳng (D) cần tìm là y = x + 2

Bài 2: Cho Parabol (P): y =

2

x

4 và điểm A thuộc (P) có hoành độ là 2

Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) tại A

Giải:

Phương trình của đường thẳng (D) có dạng: y = ax + b

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng AB và (P) là:

2

x

4 = ax + b  x2 – 4ax – 4b = 0 (*)

Ta có x1 = 2 là nghiệm của phương trình (*), vì đường thẳng tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép Do đó (*) có nghiệm

Vậy phương trình của đường thẳng (D) cần tìm là y = x – 1

9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải:

+Lập phương trình bậc hai

+Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm (∆  0; ∆’  0)

Bài 1: Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2 Hãy tìm giá

trị nhỏ nhất của A = x3 + y3

6

 = 0 (*)

x, y tồn tại khi và chỉ khi (*) có nghiệm, tức là:

Ta có A = 2  x = y = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2

Bài 2: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 6, tìm hình chữ nhật có

diện tích lớn nhất