Một số ứng dụng của định lí viét hay làm tài liệu giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, Một số ứng dụng của định lí viét hay làm tài liệu giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, Một số ứng dụng của định lí viét hay làm tài liệu giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET Phương trình bậc hai nội dung quan trọng chương trình đại số lớp 9, tốn liên quan đến phương trình bậc hai vơ phong phú, đặc biệt toán liên quan đến định lý Viet Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet (1 tiết lý thuyết, tiết tập), đại đa số học sinh thường lúng túng đứng trước toán có liên quan đến định lý Viet ứng dụng định lí Chuyên đề “Một số ứng dụng định lý Viet” giúp em học sinh nắm cách có hệ thống có khả giải tập cách thành thạo I – Cơ sở lý thuyết Điều kiện nghiệm phương bậc hai ẩn Phương trình: ax2 + bx + c = (*) b 4ac a) Nếu < (*) vơ nghiệm b) Nếu = (*) có nghiệm kép: x1 x b 2a c) Nếu > (*) có nghiệm phân biệt x1 b b ; x2 2a 2a b S x1 x a * Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm x1, x2 thì: (Viet) P x x c a II Một số ứng dụng định lí viét Dạng 1: Ứng dụng định lí Viét vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a 0 I Phương pháp giải Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) (*) Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 1; x c a Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 1; x c a Nếu x1 x m n ; x1 x m.n 0 phương trình có nghiệm: x1 m; x n x m; x1 n II Một số ví dụ VD1: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a x ( 5)x (1) 15 0 b 1 2m x2 x 0 (Với m 2; m 3, x ẩn) m n (2 m)(m 3) (2) c (m -3)x2 - (m +1)x - 2m + = Hướng dẫn: ( m tham số, x ẩn) (3) a phần HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, có a.c = 15 < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x áp dụng hệ thức Viét x1 x có: x1 x 15 Vậy phương trình có nghiệm là: b Đây phương trình bậc hai có: a + b + c 1 2m 0 m m (2 m)(m 3) (Với m 2; m 3) Nên phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 1; x 2m 3 m c phương trình khơng HS sai lầm vội vàng kết luận ngay: a - b + c = m - + m + - 2m + = Nên x1 ; x 2m mà khơng thấy phương trình cho chưa phải phương trình bậc hai Vì ta cần xét m - = 0; m - 0, nhẩm nghiệm Giải: + Nếu m -3 = m = phương trình (3) trở thành -4x - = x = -1 + Nếu m -3 0 m 3 phương trình (3) có a - b + c = 0, nên có nghiệm x1 1; x 2m m Kết luận: Như vậy, ta phải nhẩm nghiệm PT dạng: ax2 + bx + c = ( a 0) (*) ta cần + Xét a = sau nhẩm nghiệm + Xét a 0 kiểm tra sau nhẩm nghiệm Trong thực tế HS phải nhẩm nghiệm PT bậc ba bậc (dạng đặc biệt) Để giải tốt định lí, phải đưa PT dạng PT bậc nhẩm nghiệm VD2: Nhẩm nghiệm phương trình x x x 0 (4) Hướng dẫn PT (4) có tổng hệ số là: + - - = 0, nên PT (4) có nghiệm x = Khi ta đưa PT (4) dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x2 + 6x + = Kết phương trình (4) có nghiệm: x1 = 1; x = -1; x3 = 1 VD3: Giải phương trình : x (x +1)(5x2 - 6x - ) = Hướng dẫn: Phương trình có dạng x 5x2 (x +1) - ( x+ 1)2 = (5) Nhận thấy x = -1 nghiệm phương trình (5) nên ta chia vế cho ( x +1)2 ta được: x2 x2 + -6=0 x 1 x 1 Đặt x2 ta X + X - = x 1 Dễ dàng nhận X = ; X = -6 Sau giải tiếp tìm x Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình bậc hai I Phương pháp giải Đối với bất phương trình nghiệm phương trình dạng biểu thức ta gặp biểu thức đối xứng không đối xứng nghiệm Với biểu thức đối xứng ta biểu thị biểu thức theo S = x1 + x2 P = x1 x2 nhờ tính giá trị biểu thức mà giải phương trình II Một số ví dụ VD1: Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = Tính theo c giá trị biểu thức A = 1 + x1 x x x Giải: Theo định lý viét ta có: x x 2c 1 x 23 x13 x1 x x1 x x1 x S= + = 3 = x1 x x1 x x13 x 23 3 2c c c 3 c c 18c 3 S= = 2c 1 2c Với biểu thức không đối xứng nghiệm trước hết ta phải tính S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Sau cần kéo biến đổi biểu thức nhiều xuất S P từ ta tính giá trị biểu thức VD2: Khơng giải phương trình , tính hiệu lập phương nghiệm lớn nhỏ phương trình bậc hai : x2 - 85 x 0 (*) 16 85 21 Phương trình (*) có 16 16 16 Hướng dẫn: Phương trình (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Khơng tính tổng quát Giả sử x1 x2 21 85 P = x1 x2 = 16 áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 = ta có x13 x 23 = (x1 - x2 ) x12 x 22 x1 x = (x1 - x2 ) x1 x x1 x Do x1 x2 nên x1 - x2 = x1 Vậy x13 x 23 = x2 = x12 x 22 x1 x = s p s p = x1 x x1 x 85 84 85 21 64 = =1 16 16 16 16 16 VD3: a Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình x ax = Tính S = x17 x 27 theo a b Tìm đa thức bậc có hệ số nguyên nhận a 7 làm nghiệm Hướng dẫn: a x17 x 27 không biẻu diễn trực tiếp dạng x1 + x2 x1 x2 Tuy nhiên ta biểu diễn S = x17 x 27 = x14 x 24 x13 x 23 x13 x 23 x1 x Như ta phải tính x14 x 24 ; x13 x 23 theo a x1 x a x1 x 1 n n Thật kí hiệu S n x1 x Theo Viét ta có: Do S x12 x 22 x1 x x1 x a S x14 x 24 x12 x 22 x12 x 22 a = a 4a S x13 x 23 x1 x x1 x x1 x a 3a Vậy S a 4a a 3a a a a 14a 7a b Để tìm đa thức bậc nhận làm nghiệm nghĩa ta phải tìm đa thức bậc mà thay vào giá trị đa thức 0: Theo phần a có: x17 x 27 = a 7a 14a a a 7a 14a a - x17 x 27 0 (1) Như trước hết ta phải lập phương trình bậc có hệ số: Đặt x1 ; x 7 ta có: x1 + x2 = a ; x x2 = 7 1 Do x1, x2 nghiệm phương trình x x 0 3 5 5 3 Theo (1) 7 14 7 0 15 105 210 105 34 0 Vậy đa thức cần tìm 15 x 105 x 210 x 105 x 34 Với biểu thức cần tính biểu thức mà không đối xứng nghiệm trước hết ta tách S =x1 + x2 ; P= x1 x2 sau cần có nhìn nhận cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức cho nhằm x hiệu S; P từ tính giá trị biểu thức VD4: Cho phương trình x x 0 Gọi nghiệm phương trình x1, x2 Tính giá trị biểu thức A = x1 x2 Hướng dẫn : biểu thức A biểu thức đối xứng vế nghiệm x1 , x2 Như để ý kỹ ta thấy x1 x1 (Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi năm học 2005-2006) Có x1 + x2 = 5; x1 x2 = x1 0 , x2 0 Vì x1 nghiệm phương trình x x 0 nên x12 x1 0 x12 x1 x1 x1 2 x1 x1 2 = x1 = x1 x1 x1 Khi A = x2 A x1 x x1 x x1 x A = 5+2 - 1 A = ( A 0 * VD7 sau khơng có mặt S P3 vội vằng bình phương vế gặp bế tắc Thế học sinh khéo thay x1 x1 với bình phương vế giá trị biểu thức A tính đước cách dễ dàng Với biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao nghiệm qua luỹ thừa thấp nghiệm phương án đơi giúp cho việc tính tốn thuận lợi nhiều Với phương trình a x bx c 0 có nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi : x12 x1 x x1 x1 x Sx1 P x13 = x1 x12 x1 Sx1 P Sx12 Px1 = S Sx1 P Px1 S x1 SP Px1 = S P x1 SP x14 x1 x13 S SP x1 P S P VD 5: Cho phương trình x x 0 , có nghiệm x1 , x2 ( x 0 giá trị biểu thức : A= x14 x 23 3x12 x B= x15 3x12 x1 x 24 x 2 Hướng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - áp dụng hệ thức ta có: x12 2 x1 ; x 22 2 x x 23 1 x 2.1 5 x x14 2.2.1.x1 1. 1 12 x1 x 24 12 x x15 x1 x14 x1 12 x1 5 12 x12 x1 = 12 x1 1 x1 29 x1 12 Ta có : A= x14 x 23 3x12 x 12 x1 2(5 x 2) 3(2 x1 1) x 12 x1 10 x x1 x 18 x1 18 x 18( x1 x ) 40 B = x15 3x12 x1 x 24 x 2 2 = 12 x1 x1 3x1 x1 = x12 x1 = 3x1 x 1 8x2 x 22 x x2 Vì phương trình có ac = -1 nên x1 , x trái dấu mà x 0 x1 0 Khi B = x1 x 1 B = x1 x 3. x1 x 2 = 3.2 - 11 * Đối với biểu thức nghiệm hai phương trình Trong thực tế nhiều ta phải tính biểu thức nghiệm hai phương trình Để làm tập kiểu ta phải tìm S,P phương trình xem xét, thay cách hợp lý ( thường phải thay nhiều lần ) ta tách giá trị biểu thức VD2: Giả sử x1 , x hai nghiệm phương trình x ax 0 x3 , x nghiệm phương trình x bx 0 Tính giá trị biểu thức: M = x1 x3 . x x3 . x1 x . x x theo a b Hướng dẫn: Theo hệ thức Viét ta có: x x b x1 x a x1 x 1 x x 1 Do x1 x3 . x x x1 x x1 x x x3 x x = + x1 x x x3 = x1 x x x3 x x3 . x1 x x1 x x x x1 x3 x x = + x x x1 x3 = x x x1 x3 M = x1 x x x3 . x x x1 x M = x1 x x 42 x12 x3 x x 22 x3 x x1 x x32 2 2 M = x x1 x x3 M= x32 x 42 x12 x 22 2 M= x3 x x x x1 x x1 x M= b 2 a 2 b a VD 6: Gọi a,b hai nghiệm phương trình : x px 0 b,c hai nghiệm phương trình : x qx 0 Chứng minh hệ thức b a . b c pq Hướng dẫn: Vì a,b hai nghiệm phương trình : x px 0 b,c hai nghiệm phương trình : x qx 0 nên theo định lý Viét ta có : a b p b c q ; ab 1 bc 2 Ta có b a . b c = b ab bc ac = b ab bc ac 2 ab bc = b a b c a b 2 ab bc = a b b c 2 ab bc = p q 21 2 pq ( Điều phải chứng minh) Bài tập áp dụng : BT1 Cho phương trình : x x 0 Khơng tính nghiệm phương trình tính: a x13 x 23 d x1 x x x1 b x1 x e x1 x x12 x 22 c x x1 BT2 Cho phương trình : x 3x 0 Khơng tính nghiệm phương trình , tìm giá trị biểu thức: A= x13 3x12 x x 23 3x1 x 22 B= x1 x x x x x x1 x1 1 x1 x C x1 x x x1 BT3 Cho phương trình x mx m 0 Khơng tính nghiệm x1 x theo m, tính A = x12 x 22 x12 x 22 B= x x1 C= x12 x1 x x 22 x12 x x1 x 22 Cho phương trình ax bx c 0 a 0 có nghiệm x1 ; x Tính theo a,b,c biểu thức A= x1 3x x 3x1 B= x1 x2 x 3x1 x1 x cho phương trình x x 0 gọi x1 ; x nghiệm phương trình Tính : A= x12 x1 1 x 22 x 1 B = x13 x12 2 x 23 x 22 2 Cho phương trình x a x a 3a 0 gọi x1 ; x nghiệm phương trình Tìm giá trị a để ax12 ax 22 ( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003) x1 x Cho phương trình x x 0 có nghiệm x1 ; x tính giá trị biểu thức A = x1 3x B= x18 x 26 13x Cho phương trình x x 0 gọi x1 nghiệm âm phương trình Tính giá trị biểu thức C = x18 10 x1 13 x1 Cho phương trình ax bx c 0 a 0 có nghiệm x1 ; x thoả mãn x1 x 22 CMR : b a c ac 3abc 10 Giả sử phương trình x ax b 0 có nghiệm x1 ; x phương trình x cx d 0 có nghiệm x , x CMR x1 x3 x1 x x x3 x x 2 b d a c b d a c b d Dạng 3: Ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm số biết tổng tích chúng Nếu hai số v V có tổng v + V = S tích u.v =p v V nghiệm phương trình x Sx P 0 (*) Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm S P 0 hay S 4 P Đó điều kiện tồn hai số v V mà tổng v + V = S v V =P Như biết tổng hai số ta tìm hai số thơng qua tích giải phương trình bậc hai VD1: Tính hai cạnh hình chữ nhật cho biết chu vi 4a diện tích b2 ( a,b cho trước) Hướng dẫn: Gọi x,y độ dài cạnh hình chữ nhật ( 0 x; y 2a ) Theo giả thiết ta có x+y= 2a x.y= b Do x,y nghiệm phương trình X 2aX b 0 (1) Có a b a b . a b Vì a,b 0 a+b 0 * Nếu a b 0 Phương trình (1) có nghiệm : X a a b X a Vì P 0 S 0 x a a b y a a b a2 b2 X X Vậy hai cạnh hình chữ nhật là: x a a b y a a b Nếu a=b =0 (1) có nghiệm kép x1 x a Khi hình chữ nhật vng cạnh a Nếu a b (1) vơ nghiệm khơng có hình chữ nhật thoả mãn đầu VD2: Tìm số a,b biết a a+b = 10 ab = 32 b a+b = a2 +b2 = 13 c a -b = ab = 80 d a2 +b2 = 29 ab = 10 Các số a,b cần tìm ( có) nghiệm phương trình x2-10x+ 32 = có S2 P ( hay 0 ) Hướng dẫn: VD dễ dàng phát để tìm a b trước hết ta phải xác định a.b ( phần a) ; a+b ( phần b;c) 10 a Có a b a b 2ab 13 2ab 2ab = 12 ab =6 Nên a,b nghiệm phương trình : x x 0 Giải phương trình ta x1 3; x 2 Vậy a= b = a= b= b có a- b = a+ (-b) = a.b =80 a.(-b) = -80 a -b nghiệm phương trình x x 80 0 Giải phương trình x1 10; x a= 10 b= a = -8 b = -10 a b 29 c Có ab 10 ( a b) 49 ab 10 ( a b) 2ab 10 ab 10 a+b = ab = 10 a+b =-7 ab = 10 * Nếu a+b = ab = 10 a,b nghiệm phương trình x x 10 0 giải phương trình x1 2; x 5 a= -2 b = -5 a= -5 b = -2 VD3: Giải hệ phương trình sau: x y z 6 b xy yz zx 7 Nhận xét : Để x y z 14 x y xy 5 a 2 x y xy 7 giải hệ phương trình ( phần a) ta biến đổi để tìm x+y xy sau đưa phương trình bậc biết cách giải x y xy 5 a x y xy 7 x y xy 5 x y xy 7 x y xy 5 x y ( x y ) 12 0 (I) Đặt (I) S P 5 S S 12 0 S P 5 S 3; S S 3 (1) P S ( 2) P 9 S S S S 3 P 5 P 5 11 S x y p xy Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y nghiệm phương trình t 3t 0 t1 2; t 1 Vậy (1) có nghiệm (1;2) ; (2;1) Giải (2): Theo định lý Viét, x,y nghiệm phương trình t 4t 0 phương trình t 4t 0 có 0 nên trường hợp vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x;y) = ( 2;1) (1;2) x y z 6 xy yz zx 7 x y z 14 b Có : x y z 6 xy yz zx 7 x y z 2( xy yz xz) 14 x y z 6(1) xy yz zx 7(2) y ( x z ) 9(3) ( x z ) y 6(1) xy yz zx 7(2) y ( x z ) 9(3) Từ (1) (3) theo định lí Viét y x+z nghiệm phương trình t 6t 0 từ (1) (2) (3) t 3 0 t=3 y 3(4) x z (5) x.z 2(6) Từ (5) (6) Theo định lí Viet x z nghiệm phương trình t 3t 0 t1 1; t 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1) Nhận xét : Vậy từ tốn giải hệ phương trình ba ẩn cách biến dổi thích hợp ta đưa tốn dạng tìm số biết tổng tích chúng ( với số thứ x+z) , số thứ y ta giải hệ nhờ định lí Viet Bài tập áp dụng: 1.Tìm số biết : a Tổng 18 tích 45 b Tổng tích -12 c Tổng -10 tích 16 d.Tổng 2+ tích 12 e.Tổng tích -17 Tìm số x,y biết: a x – y = x.y = 90 b x y 625 x+y = 35 c x y 164 x-y = d x y 208 x.y = 96 e x y xy 52 x+y = Tìm số x,y biết: a x y 34 x.y = 15 b x y 10 x+y –xy = c x y 2 xy = - d x-y = xy = 66 e x y 177 xy = -10 Dạng 4: Ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai (a 0) Xét phương trình bậc hai: ax bx c 0 Có b 4ac P= x1 x c a b a S = x1 x Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước xét dấu nghiệm phương trình bậc hai mà khơng cần giải phương trình đó, ta ứng dụng định lí Viét 0 1.phương trình có nghiệm dương P0 S 0 2.Phương trình có nghiệm âm 0 P 0 S 0 Phương trình có nghiệm trái dấu: P 0 13 Nhiều tốn đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm khơng âm Thường có cách giải: Cách 1: Có P ( Trường hợp có nghiệm dương nghiệm không âm) Hoặc P = Trường hợp tồn nghiệm Hoặc: P 0 0 S 0 Thì hai nghiệm dương Cách 2: Trước hết phải có 0 phương trình có nghiệm không âm : S 0 ( Trường hợp tồn nghiệm dương) Hoặc S=0 ( Trường hợp tồn nghiệm không âm) Hoặc S 0, P 0 ( Trường hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S VD1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm dấu Khi nghiệm mang dấu ? a x 2mx 5m 0 (1) b mx mx 0 (2) Hướng dẫn: a Phương trình (1) có nghiệm x1 , x dấu �� m � �� � 5 �� 2 m � m � m 5m 0 0 2 � � 2 � �� m � � �� 2 P 0 5m 40 m � � m� � � � m� � � �4 � m �1 � �5 � m �4 � Mặt khác: S = x1 + x2 = 2m > (Do m nhận giá trị dương) nên PT có nghiệm dương b PT (2) có hai nghiệm x1 ; x2 dấu � � m �0 a m � � �2 � ��۳ ��� �m 12m �P �3 � � 0 �m �m(m 12) � �m 14 m 12 Mặt khác: S = x1 + x2 = b m 1 nên PT có hai nghiệm âm a m VD2: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = Tìm m để phương trình có: a Một nghiệm b Hai nghiệm dấu phên biệt c Hai nghiệm âm phân biệt Hướng dẫn: a PT cho có nghiệm a0 m 1 m 1 � � � m 1 � � � � � a �0 � � m �0 �� � � � �m �1 5 � � m � � � ' 2 � � � 3(2m 5) 0 ( m 4) (m 1) � � � � � � � b PT cho có nghiệm phân biệt dấu � � �a �0 m �1 m �1 � � �' � 3(2m 5) � � 5 � � � m �P �m � � � � 1 �m c Để PT có hai nghiệm âm phân biệt �m �1 � � 5 � �a �0 �m �m �1 �' � � 5 � � � �m � �m � m 1 � �P �m � � � �� m4 �S �2(m 4) �� m 1 �� � � m 1 Qua ví dụ này, nhấn mạnh cho HS hiểu dạng ax2 + bx + c = có nghiệm nghĩa nào? VD3: Cho phương trình (m -4)x2 -2(m - 2)x + m -1 = Tìm m để phương trình a Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn b Có nghiệm trái dấu GTTĐ Hướng dẫn: HS biết điều kiện để phơng trình dạng ax2 + bx + c = (a �0) có hai nghiệm trái dấu 15 S < Tuy nhiên liên quan đến GTTĐ nghiệm, ta phải có thêm ĐK tích nghiệm nũa a PT cho có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn � � m �4 �a �0 � 1 m � � �m 0 �� � 2m4 �P � � 2m4 � �S �m � �2(m 2) 0 � �m4 b PT cho có hai nghiệm trái dấu GTTĐ � � m �4 �a �0 �m �4 � � �2(m 2) � � �2 m � m �S � � �P �m4 �m � � �m � �m c Ta xét khả sau: TH1: Nếu m - = � m = phương cho trở thành -4x + = � x 0 Vậy m = giá trị thoả mãn TH2: Nếu m - �0 � m �4 phương trình cho phương trình bậc hai có khả xảy để phương trình có nghiệm dương i) PT có nghiệm trái dấu Điều xảy P = ac < � m 1 � 1 m m4 ii) PT có nghiệm kép dương Điều xảy � ' �m � ' � � �m �m0 �b 0 � 0 � �m �a iii) PT có nghiệm nghiệm dương Điều xảy 16 � � � ' m0 � � � m 1 �P � �m �S �2(m 2) � � 0 �m4 Kết hợp lại ta có: Với �m �4 m = phương trình có nghiệm dương VD4: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm không âm (m + 1)x2 - 2x + m -1 = Hướng dẫn: Ta xét khả xảy ra: i) Khi m + = � m = -1, PT cho có dạng -2x - = � x = -1 < Vậy m = -1 khơng phải giá trị cần tìm ii) Khi m �-1 PT cho phương trình bậc hai Cách 1: PT cho có nghiệm không âm + Hoặc PT có nghiệm dương, tức là: (m 1)(m 1) �0 � �m � � � ' �0 m �0 � � ��2 �� �� � 1 m � � 0 m 1 m 1 �S � � � �m + Hoặc PT có nghiệm âm nghiệm khơng âm, tức là: �m � � ' �0 � � �m 0�� �P � m �S � � m 1 � � � �m � � Khơng có giá trị m thoả mãn �1 m � m 1 � Vậy giá trị cần tìm m -1 < m � Cách 2: PT cho có nghiệm khơng âm + Hoặc PT có nghiệm trái dấu, tức là: P = hay – < m < + Hoặc PT có nghiệm 0, tức là: P = hay m = + Hoặc PT có nghiệm dương, tức là: � �m � � ' �0 � m 1 � �� � m � Vậy giá trị cần tìm m � �P � �� m 1 �S �� � � m 1 � 17 Cách 3: PT cho có nghiệm âm � �m � � ' �0 � m 1 � �� � �m 1 �P � �� m � �S � � � m 1 � Vậy phương trình cho có nghiệm không âm -1 < m � Bài tập áp dụng BT1: Cho phương trình x2 -2(m + 1)x + m2 - 4m + = a Tìm m để phương trình có nghiệm b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương BT2: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 3)x + m - = Tìm m để phương có hai nghiệm a Trái dấu b Hai nghiệm dương c Hai nghiệm âm BT3: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m + = Tìm m để phương trình a Có nghiệm dương b Có nghiệm khơng dương Dạng 5: Ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước I Phương pháp giải dạng tốn thường gặp là: Tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm với số cho trước Để giải tập kiểu ta thường thực bước sau: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm B2: Từ điều kiện đầu tìm biểu thức mối liên hệ nghiệm phương trình B3: Thay tổng, tích nghiệm vào biểu thức B4: Tìm giá trị tham số, kết luận 18 II Một số ví dụ Vd1: Tìm m để phương trình x2 - mx + m = có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 �2 x2 Hướng dẫn: Phương trình cho có nghiệm x1 ; x2 m �0 � �0 � m(m 4) �0 � � m �4 � x 2 x (1) � Ta có: x1 �2 x2 � � x x �1 (2) TH1: x = -2 gnhiệm PT ta có: (-2)2 – m(-2) + m = � + 3m = � m 4 Ta tính nghiệm lại nhờ vào định lí Viét sau: x1.x2 c 4 m � (2) x2 � x2 2 x1 a 3 Vậy m 4 giá trị cần tìm TH2: x1 2 x2 � ( x1 2)( x2 2) � x1 x2 2( x1 x2 ) � m 2m � m 4 4 Kết hợp hai trường hợp đối chiếu với điều kiện có nghiệm m � giá trị cần tìm VD2: Với giá trị m phương trình x2 + x + m = có hai nghiệm lớn m Hướng dẫn : Cách 1: PT cho có nghiệm thoả mãn m x1 �x2 19 �0 �0 � � 4m �0 � � � ( x1 m)( x2 m) � � �x1 m � � �x1 x2 m( x1 x2 ) �x m � ( x1 m) ( x2 m) �2 � � m� � � �m �4 � �2 m 2 � �� � m 2 �m 2m � �� m � �1 2m � � � 1 m � � � Cách 2: Từ việc tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn m ta đưa tìm m để PT có nghiệm dương Bằng cách: Đặt t = x – m � x = t + m PT cho viết dạng (t + m)2 + t + 2m = � t + (2m+1)t + m2 + 2m = (*) VD3:Cho phương trình m .x 2 m 2 x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x thoả mãn : x1 0 x x1 x Hướng dẫn: Vì x1 0 nên x1 x1 x1 x x1 x hay S x1 x 0 Do phương trình cho có hai nghiệm x1 ; x thoả mãn điều kiện toán x1 0 x x1 x m 0 a 0 m m m 10 0 m 0 m p0 s0 2 m 0 m m 4 m 0 m 1 m 2 m Vậy giá trị cần tìm m là: m VD4: Cho hai phương trình bậc hai: x mx n 0 (1) x px q 0 (2) tham số m,n,p,q phải thoả mãn điều kiện để nghiệm x1 ; x (1) x3 , x (2) thoả mãn điều kiện Mỗi phương trình có nghiệm bị kẹp nghiệm phương trình ( Đề thi chọn HS thuộc Ba Lan 1950) 20 Hướng dẫn : Khơng tính tổng qt, giả sử x1 x x3 x Theo yêu cầu đề ta phải có : x1 x x x x3 x1 x x Dễ dàng trường hợp ta có x3 x1 x x x x1 x x (3) Do phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x nên theo định lí Viét ta có: x1 x m x1 x n Và phương trình (2) có hai nghiệm x3 , x nên theo định lí Viét ta có: x x p Ta có (3) x x q x1 x x x1 x x 42 x1 x x x1 x x q mpq np 2nq mnp m q n x mx n x 42 mx n Vậy điều kiện cần tìm (q n ) m p . mq np Bài tập áp dụng: Tìm m để phương trình 2mx x m 0 có nghiệm thoả mãn x1 x 2 Theo phương trình : x 2 m 1 x m 1 0 a Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Tìm m để phương trình mx 2 m x 0 Có hai nghiệm phân biệt nghịch đảo hai nghiệm nhỏ Cho hai phương trình : x px n 0 x 2mx n 0 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nằm xen hai nghiệm phương trình Dạng 6: Ứng dụng định lí Viét vào lập phương trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm 21 ta cần lập phương trình bậc hai nhận số x1 ; x nghiệm Điều dựa định lý “ Nếu x1 x S x1 x P x1 , x nghiệm phương trình x Sx P 0 ” VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : 10 72 10 Giải: Theo định lí Viét ta có: S x1 x = P x1 x 10 72 10 + 10 72 72 10 72 phương trình x = 10 72 10 10 72 72 = 20 28 = S 4 P nên x1 , x nghiệm 28 20 x 0 28 x 20 x 0 28 28 Như với tốn lập phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm ta cần áp dụng định lí Viét đảo song cần lưu ý điều kiện để có hai nghiệm S 4 P VD2: Cho phương trình x px q 0 (1) có hai nghiệm x1 x khơng phải phương trình lập phương trình bậc hai theo y mà nghiệm số : y1 x1 ; x1 y2 x2 x2 Theo Viét ta có x1 x p x1 x q S y1 y = p y1 y = 2q x1 x2 x1 x + = = x1 x x1 x x1 x p q x1 x x1 x q p = x1 x x1 x q p Với S 4 P y1 , y hai nghiệm phương trình y2 2q q p 1 y 0 p q 1 q p 1 p q 1 y 2 q 1 y q p 0 Vì p 4q ( phương trình (1) có hai nghiệm nên 22 2q q p 1 4 0 p q 1 q p 1 hay S 4 p VD3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x 4 x1 x1 x2 a2 x2 a Để lập phương trình bậc hai trước hết ta cần tìm x1 x Thật ta có x1 x 4 x1 x2 x x x1 x1 x x 2 x1 x x1 x 2.4 x1 x = = = x1 x x1 1. x 1 x1 x x1 x x1 x x1 x a x1 x a x1 x a x1 x a x1 x = a Với điều kiện S 4 P ( a 1) 4.4 (a 4) a 0 a 0 a 3 a a Khi x1 , x nghiệm phương trình : X a 1 X 0 VD4: Biết x1 ; nghiệm phương trình x px q 0 Còn x ; nghiệm phương trình x p1 x q1 0 biết x1 x Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x giải: Theo ta có p q p1 q1 p q1 . q1 q Vì x1 x nên p p1 0 q1 q p p1 ta có : x1 p ; x p1 (1) x1 x = p p1 2 * Nếu 0 x1 q ; x q1 x1 x = Do S x1 x p p1 q p1 p p1 23 q.q1 2 P= x1 x = qq1 p p1 q q1 2 nghiệm phương trình Với giá trị p , q S 4 P x1 , x q1 q qp1 p p1 x p p1 .x 0 p p1 ( q q1 ) * Với 0 từ (1) x1 p ; x p1 Ta có phương trình : x p p1 x p p1 0 Như để lập phương trình bậc biết nghiệm thoả mãn điều kiện ( số cho trước liên quan tới nghiệm phương trình phương trình đó) Ta cần: B1: Tính tổng S tích P chúng B2: Lập phương trình dạng : X SX P 0 ( Điều kiện để có nghiệm S P 0 ) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm : a 1 d a b e a+b m a- b m b 1+ 1- c a b f m- m m+ m2 1 3 x , x Gọi nghiệm phương trình 3x x 0 Khơng tính x1 , x lập phương trình bậc hai ẩn y mà nghiệm y1 x1 1 ; y x x2 x1 3.Cho phương trình x 2mx 0 , có nghiệm x1 , x tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm là: X x1 3 ; X x x1 x2 Gọi x1 , x nghiệm phương trình x x 0 Khơng tính x1 , x lập phương trình bậc hai ẩn số y mà nghiệm y1 x1 x2 ; y2 x1 x2 Gọi p, q hai nghiệm phương trình bậc hai 3x x 0 Không giải phương trình lập phương trình bậc hai mà nghiệm là: a p q b (p + q)2 (p – q)2 q p BT6 Giả sử PT ax2 + bx + c = (a khác 0) có nghiệm x1, x2 khác Tìm PT bậc hai mà nghiệm trường hợp sau: 24 a x1 x d x1 x x1 x b 1 x1 x2 c 2x1 2x2 e x12 x 22 g Lớn nghiệm PT cho lượng n h Gấp n lần nghiệm PT cho BT7 Gọi x1, x2 nghiệm PT x2 - 7x + = a Lập PT bậc hai có nghiệm 2x1- x2 2x2 - x1 b Tính giá trị A = x1 x x x1 (Đề thi tuyển sinh vào trường THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 – 2001) BT8 Lập PT bậc hai có hai nghiệm x1, x2 cho: x1 x 5( x1 x ) 0 ( x1 1)( x 1) m (m 1) III Tài liệu tham khảo: [1] Toán tập [2] Bài tập Toán tập [3] Vũ Việt Yên – Triệu Khuê : Hướng dẫn ôn luyện thi mơn Tốn tập II – Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Trần Thị Vân Anh: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [5] Trần Mạnh Sang: Định lý Viét ứng dụng [6] Một số tài liệu tham khảo từ internet: dienantoanhoc.net, mathscope.org 25 ... cách biến dổi thích hợp ta đưa tốn dạng tìm số biết tổng tích chúng ( với số thứ x+z) , số thứ y ta giải hệ nhờ định lí Viet Bài tập áp dụng: 1.Tìm số biết : a Tổng 18 tích 45 b Tổng tích -12... dương Dạng 5: Ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước I Phương pháp giải dạng tốn thường gặp là: Tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm với số cho trước... nghiệm phương trình Dạng 6: Ứng dụng định lí Viét vào lập phương trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm 21 ta cần lập phương trình bậc hai nhận số x1 ; x nghiệm Điều dựa định lý “ Nếu x1 x S x1