Phương pháp hệ số bất định còn được sử dụng trong việc chứng minh một số bài toán bất đẳng thức hay và khó. Tài liệu này giúp giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi toán cũng như giúp học sinh có thêm nhiều kiến thức bổ ích để việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn.
PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Phân tích ý tưởng phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức Trở lại hai toán khảo sát: Bài : Cho a; b; c số dương thỏa mãn a b c 2 1 2 a b c Chứng minh rằng: �5 a b c Giải 1 2a 2b 2c �5 Bất đẳng thức cho viết lại thành a b c 3 2a 2a � Ta chứng minh bất đẳng thức sau 1 a 3 a 1 2a Bất đẳng thức tương đương với 6a 3a �0 với số dương a 2b 2b 2c 2c � Tương tự ta có: ; � 3 b 3 c 3 Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có: 2 2 a b c 1 2 a b c � 5 a b2 c2 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức 2a �۳ a2 a 1 a 1 2a 3 3a Tuy nhiên đánh giá khơng hồn tồn với số dương a Để ý với cách làm ta chưa sử dụng điều kiện a + b + c =3 Như ta không theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu mà tìm hệ số 2a �ma n để bất đẳng thức sau a Trong m; n hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với biến b c ta 2b 2c � mb n ; �mc n b2 c Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có: 2 1 2 a b c �m a b c 3n m n a b c2 Như hệ số m n phải thỏa mãn điều kiện 3 m n � n m 2a � m a 1 Thế vào (4) dẫn đến a 3 Đến ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức ( 7) Chú ý đẳng thức xảy a = b =c =1 nên ta cần xác định m cho � � a 1 2a 3 2a � m a � a m �0 � � a2 3 3a � � Khi cho a = ta có a 1 2a 3a 3 2 2 từ ta dự đoán m đề 3 tạo thành đại lượng bình phương a 1 biểu thức Từ ta chứng minh 2a 2a � bất đẳng thức phụ a 3 Bài : Cho a; b; c số dương thỏa mãn a b c 5a b3 5b3 c3 5c3 a �3 ab 3a bc 3b ac 3c Giải 5a b3 �2a b Ta chứng minh bất đẳng thức ab 3a 2 3 Thật vậy, dễ dàng chứng minh a b �ab a b , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức sau: a b3 �ab a b � 5a b3 �6a ab a b � 5a b3 �a 6a ab b + �5a �+ b a 2a b 3a b 3 5a b3 ab 3a 2a b 5b3 c3 5c3 a �2b c ; �2c a Chứng minh tương tự ta có: bc 3b ac 3c2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có: 5a b3 5b3 c3 5c3 a �a b c ab 3a bc 3b ac 3c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: Hoàn toàn tương tự tốn ta tìm hệ số m; n cho bất đẳng thức 5a b �ma nb đúng, với m + n = n = – m ab 3a Ta viết lại bất đẳng thức thành 5a 1 ma b3 �- 1 m a 3a b b b2 5t a m t 1 với t t 3t b Để ý đến đẳng thức xảy a = b = c tức xảy t = ta cần xác 5t �5t 2t � �m t 1 � t 1 � m ��0 định m cho 2 t 3t � t 3t � 5t 2t nên ta chọn m = từ ta n = – Cho t = ta t 3t 5a b �2a b Lúc ta chứng minh bất đẳng thức ab 3a Chắc chắn đọc đọc lời giải cho toán bạn có phần lúng túng khơng biết lại tìm bất đẳng thức phụ cách khó hiểu Phải dự đốn cách may mắn có người nghĩ tốn tạo từ bất đẳng thức phụ Câu trả lời hồn tồn khơng phải Tất theo quy luật Để làm rõ vấn đề vào tìm hiểu số tốn bất đẳng thức giải phương pháp hệ số bất định phần Một số toán áp dụng phương pháp hệ số bất định Bài toán 1: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh 1 �1 a b c b2 c a c2 a b Lời giải Ta cần tìm m để bất đẳng thức 1 � m a 1 1 a bc a a 3 Ta có 1 � a a 1 �m a 1 a a 3 Dự đốn với m bất đẳng thức phụ a 1 a a �۳۳ Thật vậy: a a3 9 Hoàn toàn tương tự ta có: 3 a a 3 a 1 b c a a 3 b c � ; � b b3 9 c c3 9 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 a bc � a bc b ca c ab Bài toán 2: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c3 Chứng �1 �a minh � 1� � a b c �27 b c� Lời giải Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức � 5a ۳9m a 1 a a 1 5a 5a a m a 1 a Ta dễ dàng nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c =1 a 1 Khi cho a = ta dự đốn m = Ta chứng minh m = 2thif bất đẳng thức phụ Thật vậy: � 5a2 ۳ 2a a a 1 2a 2 a 4 a Do a �3 � 2a a �0 Vậy bất đẳng thức Chứng minh tương tự ta 4 5b �7 2b ; 5c �7 2c b b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: �1 1 � � � a b c �21 a b3 c3 27 �a b c � Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 3: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh : 1 4 a b c �7 a b c Lời giải Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : 4a � m a 1 � m a 3 Vậy ta phải chứng minh bất đẳng thức 4a 2 � a 1 � a 1 a �0 * a 3 Vì a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c nên a; b; c Do bất đẳng thức (*) Tương tự ta có: 4b 4c � b 1 ; � c 1 b 3 c 3 Công theo vế bất đẳng thức ta có: 1 4 a b c �7 a b c Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 4: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c làm cho biểu thức bất đẳng thức xác định Chứng minh rằng: a a b b c c �3 Lời giải Điều kiện xác định: a � 1 1 1 ;b� ;c� 2 a a �1 m a 1 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : Tìm m Tức ta phải chứng minh 3a a2 a 1 � � a 1 �0 Chứng minh tương tự ta có bất đẳng thức: 3b 3c b2 b � ; c2 c � 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có: a a b b c c �3 Đẳng thức xảy a = b = c =1 Bài toán 5: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a b c 3 � b2 c c2 a a b 2 Lời giải Từ giả thiết ta có bất đẳng thức cho trở thành: a b c 3 � 2 1 a 1 b 1 c Ta chứng minh bất đẳng thức sau: c 3 a 3 b 3 � a ; � b ; � c 2 1 a 1 b 1 c Cộng theo vế bất đẳng thức ta có: a b c 3 � b2 c c2 a a b 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 6: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 �a b2 c2 a b c Lời giải Dự đoán dấu xảy a = b = c = � � 1� 3� 0; �, chẳng hạn Ta có nhận xét, có ba số a, b, c thuộc khoảng � 0a 1 1 2 2 ta có a b c a b c a b c 7� � Nên toán chứng minh, Do ta xét a; b; c thuộc đoạn � ; � 3� � Khi ta tìm hệ số m để có bất đẳng thức a �m a 1 a Để ý a = đẳng thức ln xảy với m, để chọn m ta lấy giá trị a gần tốt ta chọn m cho đẳng thức gần xảy cách ta chọn m = – giá trị tốt Ta chứng � a ۳4 a 1 a a 1 minh bất đẳng thức � � a � � a 1 b � b ; c �4 c 1 2 b c Tương tự ta có bất đẳng thức: Cộng bất đẳng thức theo vế ta có: 1 �a b c2 2 a b c Đẳng thức xảy a = b = c =1 Bài toán 7: Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 �1 ab bc ca Lời giải Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho toán cần phải biến đổi để đưa tốn cho dạng biến độc lập với a b2 Áp dụng bất đẳng thức ab � , hồn toàn tương tự ta 1 2 � ab bc ca a b b c c a Đặt x a b ; y b c ; z c a ta 2 x y z �4 a b c 12 Bất đẳng thức cho trở thành: Ta chứng minh bất đẳng thức: 1 1 � 8 x 8 y 8 z 1 � x 4 x 144 Thậy bất đẳng thức tương đương với 1 + �+ x x 144 x 4 144 x 2 x 4 8 x Vì x y z �12 nên x � 0;12 bất đẳng thức hồn tồn Chứng minh tương tự ta 1 1 1 � y 4 ; � z 4 z 144 y 144 Cộng bất đẳng thức ta có: 1 1 � 8 x 8 y 8 z Đẳng thức xảy x = y = z =4 hay a = b = c = Bài toán 9: Cho a; b; c; d số thực dương thỏa mãn a b c d Chứng minh rằng: 1 1 �2 a 1 b 1 c 1 d 1 Lời giải Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức: Tìm m 1 � m a 1 a 1 2 1 a �1۳ Ta có: a 1 a a 1 a 1 Chứng minh tương tự ta có: b c d �1 ; �1 ; �1 b 1 c 1 d 1 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có 1 1 a bcd �4 2 a 1 b 1 c 1 d 1 2 Dấu xảy a = b = c = có: Bài toán 10: Cho a; b; c; d số thực dương thỏa mãn a b c d Chứng minh rằng: a b3 c3 d3 �2 ab ac ad bc bd dc Lời giải Từ a b c d � a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d ab ac ad bc bd cd Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b3 c3 d �2 a b c d Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức � � 2a 1 3a 2 2a � m a 1 � a 1 � m ��0 �2 a 1 � Cho a = tìm m Ta có: 2a � a a 1 � a 1 8a a �0 � a 1 8a �0 2 Tương tự ta có: 9 2b3 � b b 1 ; 2c3 � c c 1 2 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có: a b3 c3 d �2 a b c d Dấu ‘=’ xảy a = b = c = d = TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tác giả Năm Tên tài liệu Nhà xuất Phạm Kim Hùng 2012 Sáng tạo bất đẳng thức NXB Hà Nội Trần Phương 2011 Những đường khám NXB Sư Phạm phá bất đẳng thức 2013; Ban tổ chức kỳ thi 2014 Tuyển tập đề thi Olympic NXB ĐHQG Hà Nội, 10 30-4 Trần Phương Đặng Thành Nam NXB ĐH Sư phạm 2009 Những viên kim cương tring bất đẳng thức NXB Tri thức 2014 Khám phá tư kỹ thuật giải bất đẳng thức NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội Võ Quốc Bá Cẩn 2010 Phân loại phương pháp giải toán bất đẳng thức 11 NXB ĐHQG Hà Nội