Phương pháp hệ số bất định còn được sử dụng trong việc chứng minh một số bài toán bất đẳng thức hay và khó. Tài liệu này giúp giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi toán cũng như giúp học sinh có thêm nhiều kiến thức bổ ích để việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn.
Trang 1PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC TÓM TẮT BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
1 Phân tích ý tưởng của phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức
Trở lại hai bài toán đã khảo sát:
5
Giải
Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành
5
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây
2 2
1
Bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 2
2
0 3a
luôn đúng với mọi số dương a
2 2
2
2 2
3
c 3 3 3 Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:
2 2 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ra thì ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức
2
0
Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với số dương a
Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a + b + c =3
Trang 2Như vậy ta sẽ không đi theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số
2 2
ma n 4
Trong đó m; n là các hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với các biến b và c ta
Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có:
Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện
3
2 2
m a 1 7
Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức ( 7) là đúng Chú ý đẳng thức xảy ra tại a = b =c =1 nên ta cần xác định m sao cho
2
Khi cho a = 1 thì ta có 2
2
từ đó ta dự đoán rằng 2
m 3
tạo thành đại lượng bình phương a 1 2trong biểu thức Từ đó ta sẽ chứng minh
bất đẳng thức phụ
2 2
3
Giải
Ta đi chứng minh bất đẳng thức
2
2a b
ab 3a
Trang 3Thật vậy, dễ dàng chứng minh được a3 b3 ab a b , ta biến đổi tương
đương bất đẳng thức trên như sau:
a b ab a b 5a b 6a ab a b 5a b a 6a ab b
2
ab 3a
Chứng minh tương tự ta có:
2
2b c
bc 3b
2
2c a
ac 3c
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:
a b c 3
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên ta đi tìm hệ số m; n sao cho bất
đẳng thức
2
ma nb
ab 3a
đúng, với m + n = 1 khi và chỉ khi n = 1 – m
Ta viết lại bất đẳng thức trên thành
3
3 3
2
5a
với a t b
Để ý đến đẳng thức xảy ra tại a = b = c tức là xảy ra tại t = 1 khi đó ta cần xác
Cho t = 1 ta được
2 2
2
t 3t
nên ta chọn m = 2 và từ đó ta được n = – 1 Lúc này ta đi chứng minh bất đẳng thức
2
2a b
ab 3a
Chắc chắn khi đọc khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không biết tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách khó hiểu như vậy Phải chăng dự đoán một cách may mắn hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó Câu trả lời là hoàn toàn không phải
Trang 4Tất cả đều đi theo một quy luật của nó Để làm rõ hơn vấn đề này chúng ta cùng
đi vào tìm hiểu một số bài toán bất đẳng thức giải bằng phương pháp hệ số bất định trong phần tiếp theo
2 M t s b i toán áp d ng ph ột số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định ố bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định ài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định ụng phương pháp hệ số bất định ương pháp hệ số bất định ng pháp h s b t ệ số bất định ố bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định ất định định nh.
Bài toán 1: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 Chứng
1
a b c b c a c a b
Lời giải
Ta cần tìm m để bất đẳng thức 2 1 2 1 1 m a 1 1
đúng
2
a a 1
Dự đoán với 1
m
9
thì bất đẳng thức phụ đúng
Hoàn toàn tương tự ta có: 2 1 4 b 2 1 4 c
;
b b 3 9 9 c c 3 9 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
1
Bài toán 2: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a3b3 c3 3 Chứng
Lời giải
Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức
2
4
Ta dễ dàng nhận thấy rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
Trang 5Khi cho a = 1 thì ta có thể dự đoán m = 2 Ta sẽ chứng minh rằng khi m = 2thif bất đẳng thức phụ trên là đúng
4
Do a 3 3 2a2 a 4 0 Vậy bất đẳng thức đúng
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
2 2 2 3 3 3
1 1 1
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
= 1.
Bài toán 3: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 3
Chứng minh rằng : 1 1 1 4 a b c
7
Lời giải
Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : 1 4a 7 2 1
Vậy ta phải chứng minh các bất đẳng thức
2 2
Vì a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 3 nên 0 a; b; c 3
Do đó bất đẳng thức (*) đúng
Tương tự ta có: 1 4b 7 1 2 1 4c 7 1 2
Công theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 4 a b c
7
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 4: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3 và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định
Chứng minh rằng: a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 3
Lời giải
Trang 6Điều kiện xác định: 5 1 5 1 5 1
Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : a2 a 1 1 m a 1
m 2
Tức là ta phải chứng minh
2
Chứng minh tương tự ta có các bất đẳng thức:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
a a 1 b b 1 c c 1 3
ng th c x y ra khi a = b = c =1.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1 ức xảy ra khi a = b = c =1 ảy ra khi a = b = c =1.
Bài toán 5: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 1
Chứng minh rằng: 2 a 2 2 b 2 2 c 2 3 3
Lời giải
Từ giả thiết ta có bất đẳng thức đã cho trở thành: a 2 b 2 c 2 3 3
1 a 1 b 1 c 2
Ta chứng minh được các bất đẳng thức sau:
2 2
.a
2
.b
2
.c
1 c 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 2 a 2 2 b 2 2 c 2 3 3
b c c a a b 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 6: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3
Lời giải
Dự đoán dấu bằng xảy ra tại a = b = c = 1
Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a, b, c thuộc khoảng 1
0;
3
, chẳng hạn
Trang 70 a
3
Nên bài toán được chứng minh, Do vậy ta chỉ xét a; b; c thuộc đoạn 1 7
;
3 3
Khi đó ta đi tìm hệ số m để có bất đẳng thức 2
2
1
Để ý là khi a = 1 thì đẳng thức luôn xảy ra với mọi m, do đó để chọn được m thì
ta lấy giá trị của a càng gần 1 càng tốt và ta chọn m sao cho đẳng thức gần xảy ra bằng cách đó ta chọn được m = – 4 là giá trị tốt nhất
2
1
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có: 12 12 12 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
Bài toán 7: Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a4 b4 c4 3
1
4 ab 4 bc 4 ca
Lời giải
Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được vì cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độc lập với nhau
Áp dụng bất đẳng thức
ab
2
, khi đó hoàn toàn tương tự ta được
2 2 2 2 2 2
4 ab 4 bc 4 ca 8 a b 8 b c 8 c a
Đặt xa2 b22; yb2 c22; zc2a22thì ta được
4 4 4
x y z 4 a b c 12
Trang 8Bất đẳng thức đã cho trở thành: 1 1 1 1
2
8 x 8 y 8 z
Ta chứng minh bất đẳng thức: 1 1 x 4 1
Thậy vậy bất đẳng thức tương đương với
2 2
Vì x y z 12 nên x 0;12 do đó bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng
Cộng các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1
2
8 x 8 y 8 z
ng th c x y ra khi x = y = z =4 hay a = b = c = 1.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1 ức xảy ra khi a = b = c =1 ảy ra khi a = b = c =1.
Bài toán 9: Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn a b c d 4 Chứng minh rằng: 21 21 21 21
2
a 1 b 1 c 1 d 1
Lời giải
Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức: 21 1 m a 1
m
2
2
a a 1
Chứng minh tương tự ta có: 21 b 21 c 21 d
b 1 2 c 1 2 d 1 2 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có
D u b ng x y ra khi a = b = c = 1 ất định ằng xảy ra khi a = b = c = 1 ảy ra khi a = b = c =1.
Bài toán 10: Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 d2 4
Trang 9Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3
2
Lời giải
Từ
a b c d 4 a b c d 2 2 ab ac ad bc bd cd
a b c d 2 2 ab ac ad bc bd cd
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
3 3 3 3 3
2
Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức
2
Cho a = 1 tìm được 9
m 4
Ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:
3 3 3 3 3
2
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c = d = 1
Trang 10TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tác giả Năm Tên tài liệu Nhà xuất bản
1 Phạm Kim Hùng 2012 Sáng tạo bất đẳng thức NXB Hà Nội
2 Trần Phương 2011 Những con đường khám
phá bất đẳng thức
NXB Sư Phạm
3 Ban tổ chức kỳ thi
2013;
2014 Tuyển tập đề thi Olympic
30-4
NXB ĐHQG Hà Nội, NXB ĐH Sư phạm
Trang 114 Trần Phương 2009 Những viên kim cương
tring bất đẳng thức NXB Tri thức
5 Đặng Thành Nam 2014 Khám phá tư duy kỹ
thuật giải bất đẳng thức NXB ĐH Quốc Gia Hà
Nội
6
Võ Quốc Bá Cẩn 2010 Phân loại phương pháp
giải toán bất đẳng thức
NXB ĐHQG Hà Nội