PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG BĐT

PH PH PH PHÖÔ ÖÔ ÖÔ ÖÔNG NG NG NGPHA PHA PHA PHAÙ Ù Ù ÙP P P PHE HE HE HEÄ Ä Ä ÄSO SO SO SOÁ Á Á ÁBA BA BA BAÁ Á Á ÁT T T TÑÒ ÑÒ ÑÒ ÑÒNH NH NH NH Trongthờicấphaikhiđọclờigiảicủakhánhiềubàitoánđặcbiệtlàbấtđẳng thứctôikhôngthểhiểunổitạisaolạicóthểnghĩranónênhaychorằngđấylà nhữnglờigiảikhôngđẹpthiếutựnhiên.Đếncấpbakhiđượchọcnhữngkiến thứcmớitôimớibắtđầucótưtưởngđisâuvàobảnchấtmỗibàitoánvàlờigiải củachúng.NhưanhHatucdao Hatucdao Hatucdao Hatucdaođãnói:khigặpmộtbàitoánthìđiềuquantrọng là"nhậnrađâulàkĩthuậtchính,quađógiảithíchđượcvisaolạigiảinhưvậyvà caohơncảlàvìsaolạinghĩrabàitoán"Trongquátrìnhhọctoánvớilốisuy nghĩđótôiđãrútravàhiểuđượckhánhiềucáihaytrongmỗibàitoánvàlời giảicủachúng.Vàcũngtừđócộngthêmmộtsựtổnghợpnhấtđịnhtôiđãrútra đượcmộtphươngphápchứngminhbấtđẳngthức:"Ph "Ph "Ph "Phươ ươ ươ ương ng ng ngph ph ph phá á á áp p p ph h h hệ ệ ệ ệs s s số ố ố ốb b b bấ ấ ấ ất t t t đị đị đị định" nh" nh" nh".Đâylàmộtphươngphápkháhayvàmạnhđikèmvớinhữnglờigiải đẹp,ngắnvàấntượng. Bâygiờtađixétmộtvàivídụ Vídụ1 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Nháp Nhậnthấydấubằngxảyra Giảsửthìbấtđẳngthứccầnchứngminhtrởthành: Nhiệmvụcủachúngtabâygiờlàphảitìmcácsốthựcsaochobấtđẳngthức: Đúngvớimọi Giảsửtồntạiđểđúngvớimọi.Tacó: Đăt VìvớimọivànênttheođịnhlíFermat Fermat Fermat Fermattacó Vớicácbạn THCS chưađượchọcđạohàmthìphảiphátbiểunhiệmvụtrênnhư sau: Tìmcácsốthựcsaochophươngtrình: Cónghiệmkép.(Tươngtựvớinhữngphầnởbêndưới.) Bâygiờtachỉcònphảichứngminh: Thậtvậy Vậylàsốduynhấtsaochođúngvớimọi Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: Quátrìnhtrênđãgiúptabiếtrằngchỉtồntạiduynhấtmộtsốsaochođúng vớimọivàđiềuđóvượtquacảđiềutamongmuốnlàchỉcầntìmmột giátrịcủasaođúngvớimọi.Riêngtrongbàinàycòncómộtcách xácđịnhcựcnhanhlà: Nhưngđườnglốinàykhôngthểtổngquátđược.Đểkhẳngđịnhđiềuđóhãythử chứngminhbấtđẳngthức: Vớicácsốdươngthỏamãn Ởphíatrêntađãchứngminhbấtđẳngthứcnàysaukhiđãchuẩnhóavàtừta thấyngayrằngbấtđẳngthức: Đúngvớimọisốdương.Tathấyrằnglàbấtđẳngthứcthuầnnhấtcòn thìkhông,nêncũngcócáchkháctìmramàkhôngcầnchuyểnvề(qua chuẩnhóa).Bâygiờchúngtaphảitìmsaochobấtđẳngthức: Đúngvớimọisốdương TabiếtrằngbấtđẳngthứcC C C Cô ô ô ôsi si si silàmộtbấtđẳngthứcthuầnnhấtvớiđiềukiện xảyradấubằngnghiêmngặt.DođókhiápdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sicótrọngsốtasẽtìmra nhữnghệsôthíchhợpvớimộtbấtđẳngthứcmớixácđịnhđượcmộtvế. ÁpdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sitacó: Đồngnhấthệsốtacó:.ChúýrằngviệcápdụngC C C Cô ô ô ôsi si si siởtrêndẫn đếnviệctìmcáchệsốthànhcôngcóđượclàtừnhậnxétvềdấubằng,quađóta ápdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sicótrọngsốnhưởtrên. Bâygiờtachỉcầnchứngminh: Thậtvậytacó: Mà: Vậyđúnghaylàmộtbộsốsaochođúngvớimọisố dương.Theokiểunàythìkhôngthểkhẳngđịnhđâylàbộsốduynhấtđược. Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: Vídụ2 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Nháp Đâylàmộtbàitoánhayvàkhákhóvớikhôngdướibacáchgiải.Ởđâychỉxin trìnhbàycáchlàmphùhợpvớibàiviết. Nhậnthấydấubằngxảyra Nhiệmvụbâygiờlàphảiđitìmsốthựcsaochobấtđẳngthức: Đúngvớimọisốthựcdương Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốthựcdương Chothìvớimọidươngtacó: Đặt Vìvớimọivànên Việccònlạilàphảichứngminh: Thậtvậy: Mà: Vậyđúngtứclàgiátrịduynhấtsaochođúngvớimọisốdương Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: Cũnggiốngnhưbài1quátrìnhtìmnàycũngđãgiúptakhẳngđịnhchỉcóduy nhấtmộtsốthựcthỏamãn.Bâygiờtasẽđitheomộtconđườngkháccótính chấtdựđoán. ÁpdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sitacó: Đồngnhấthệsốtacó Nhậnxét: Cáchgiảiởhaibàitrênđãsửdụngđẳngthức: Vàlúcnàophảiđitìmvàlúcnàophảiđitìmthìcóthểnóilànhìnthìbiết ngay.Vídụnhưxétbấtđẳngthức: Thìkhicốđịnhchothìnênbấtđẳngthức khôngthểđúngvớimọisốdương.Biểudiễnsốdướihaidạngtrêngiúpta giảiquyếtđượcrấtnhiềubàitoándạngnày,nhưngliệucòncáchbiểudiễnnào nữakhông? Vídụ3 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Vídụ4 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Nháp Nhậnthấyởcảbaphầndấubằngxảyra a,ÁpdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sitacó: Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: b,ỞphầnnàythìkhôngthểcóđoạndùngC C C Cô ô ô ôsi si si sinhưphầnanhưngtacũngsẽ thiếtlậpmộtbấtđẳngthứctươngtựnhưởphầnabằngcáchtìmsốthựcsao chobấtđẳngthức: Đúngvớimọisốdương Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốdương Chothìvớimọidươngtacó: Đặt Vìvớimọiadươngvànên Tachỉcònphảichứngminh: Thậtvậy: Vậyđúnghaylàsốduynhấtthỏamãnđúngvớimọisốdương CũngnhưcácbàitrướccũngcócáchdùngC C C Cô ô ô ôsi si si siđểdựđoánnhưsau.Dễthấy vìnếungượclạitứcthìkhicốđịnhdươngvàchothì nênkhôngthểđúngvớimọisốdươngđược.Với thìviếtlạidướidạng: RồiápdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sitacó: Đồngnhấthệsốtacóngay ThựcrathìviệclýluậnlàđểápdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sivớicácsốdương.Nhưngcái nàycũngkhôngcầnthiếtmàcóthểápdụngluônnhưsau: Đồngnhấthệsốtacũngcó RõràngvớivừatìmđượcthìtađãsửdụngC C C Cô ô ô ôsi si si sivớisốâmnhưngđiều nàycũngkhôngsaovìđâychỉlànháp Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: c,Tươngtựnhưphầnbtadựđoánđượcbấtđẳngthức: đúngvớimọisốdương. Nhưngđiềunàylàkhôngđúngvìkhichothì. Nhưvậyphươngphápnàykhônghiệuquảvớiphầnnày. Tuyrằngkhôngđúngnhưngnóvẫncómộttácdụngkhônghềnhỏđóvìta có: Cùngcácđẳngthứctươngtựtacó: TứclàđãquybấtđẳngthứcvềdạngSOS SOS SOS SOS Cáchgiảicủadạngnàykháhaynhưngkhôngthuộcphạmvicủabàiviếtnày. Cũngtừviệckhôngđúngvớimọisốdươngthìtanghĩngayđếnbàitoán: Tìmtấtcảcácsốthựcsaochotồntạisốthựcthỏamãnbấtđẳngthức: Đúngvớimọisốthựcdương Đâylàmộtbàitoánkhôngkhónhưngnóthểhiệnmộtýtưởng.Vàvớimỗitìm đượctasẽcóđượcmộtbàitoánmới. Phíatrêntađãđixétcácvídụlàcácbấtđẳngthứcthuầnnhất.Vàcâuhỏiđặtra làkhinàothìsửdụngđượcphươngphápnàytrongcácbấtđẳngthứcthuầnnhất? Bằngkinhnghiệmcủabảnthânthìtôichorằngđiềukiệncầnđểcóthểsửdụng phươngphápnàyvớicácbấtđẳngthứcthuầnnhấtlà: 1,Dấu"="củabấtđẳngthứcxảyra<=>cácbiếnsốbằngcácgiátrịtrongmột tậphữuhạnnàođó(thườngthìtậpđóchỉcómộtsốcùnglắmlàhai) 2,Bấtđẳngthứclàtổngcủamộtdãycácbiểuthứcđốixứngnhauvàtồntạimột cáchchuẩnhóađểmỗibiểuthứcchỉcònphụthuộcvàomộtbiếnsốhoặccác biểuthứclàhoánvịliêntiếpcủanhau. Đâychỉlàđiềukiệncầncònchứcònđiềukiệnđủthìtôichỉbiếtthửchotừng bàitoán. Bâygiờtađixétvídụvềbấtđẳngthứccóđiềukiện. Vídụ5 Chocácsốdươngthỏamãn Chứngminhrằng: Nháp Nhậnthấydấubằngxảyra Tacó: Rõràngkhinhìnbàinàytacóngaytưtưởngbanđầulàphảitìmsốthựcsao chobấtđẳngthức: Đúngvớimọisốthực Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốdương. Tacó: Đặt Vìvớimọivànên Bâygiờtachỉcònphảichứngminh: Thậtvậy: Vậyđúnghaylàgiátrịcầntìm. Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: Từbàitoántrêntađiđếncáchgiảichomộtlớpcácbàitoánbấtđẳngthứccó điềukiệndạngsau: Chocácsốthựcthỏamãn: Chứngminhrằng: Vìbấtđẳngthứccầnchứngminhvàcảbiểuthứcởđiềukiệncủabàitoánđều mangtínhđốixứngvớicácbiếnnêndấubằngthườngđạtđượckhicácbiến bằngnhau.Việctaphảilàmlàtìmsốthựcsaochobâtđẳngthức: Đúngvớimọisốthựcthỏamãnđềbài.Đâylàmộtđườnglốicơbảnđểgiải quyếtdạngtoánnày.Đồngthờivớicácbấtđẳngthứcthuầnnhấtthìsaukhi chuẩnhóatasẽchuyểnngaybàitoánvềdạngnày. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ6 6 6 6 Chocácsốthựckhôngâmthỏamãn: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: Nháp Khácvớinhữngbàitoántrướclàcácbấtđẳngthứcxácđịnhđượcngaydấu bằng,đâylàmộtbàitoáncựctrịcóđiềukiệnchưaxácđịnhđượcđiểmcựctrị. Tacó: BâygiờtheođườnglốichungtatìmsốthựcsaochoBĐT: Đúngvớimọisốthực Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốthực Tacó: Đặt Tacó:vớimọi.VìnêntheođịnhlíRolle Rolle Rolle Rolletồn tạicho.Xéthệphươngtrình: Bâygiờtaphảichứngminh: Thậtvậy: Màtacó: Vậyđúnghaylàgiátrịduynhấtcầntìm. Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó: Dấubằngxảyra làmộthoánvịcủa Vậygiátrịlớnnhấtcủabiểuthứclà ỞbàibàycũngcóthểdùngC C C Cô ô ô ôsi si si sinhưsau: Vàđâycũngchínhlàcáchtrìnhbàylờigiảinàycủachúngta.Tôiđưavídụnày lênđểthểhiệnrằngkhôngphảilúcnàokhisửdụngphươngphápnàytacũng cầnphảicódấubằngcủabấtđẳngthứcxảyrakhitấtcảcácbiếnsốbằngnhau Cómộtđiềuchúýrằnghầuhếtcácbàitoánkhisửdụngphươngphápnàyđều cóthểmởrộngchobiếnsố.Tuyvậyởtrêntôichỉlấycácvídụcácbấtđẳng thứccóbabiếnsốvìtôinghĩnóhaynhấtkhichỉcóbabiến. Hyvọngquabàiviếtnàycácbạnđãhiểuđượcphầnnàonộidungcủaphương phápnày.Sauđâylàmộtsốbàitậpápdụng(córấtnhiềutrêndiễnđàn) Bài1 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Bài2 Chocácsốthựcdương.Chứngminhrằng: Bài3 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Bài4 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Bài5 Chocácsốdươngthỏamãn.Chứngminhrằng: Bài6 Cholàđộdàibacạnhcủamộttamgiác.Chứngminhrằng: Bài7 Chocácsốdương.Chứngminhrằng: Bài8 Chocácsốdươngthỏamãn.Chứngminhrằng: Bài9 Chocácsốdươngthỏamãn.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểu thức: Bài10 Chocácsốthựcdương.Chứngminhrằng: Phụlục 1,BấtđẳngthứcC C C Cô ô ô ôsi si si simởrộng Chocácbiếnsốdươngvàcácsốthựcdươngchotrước .Khiđóđặttacó: Dấubằngxảyra 2,ĐịnhlíFermat Fermat Fermat Fermat Chohàmsốliêntụctrên.Khiđónếuhàmsốđạtcựctrịtại thì 3,ĐịnhlýRolle Rolle Rolle Rolle Chohàmsốliêntụctrênkhoảngthỏamãnthìtồntại saocho