PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG BĐT

Bây giờ ta đi xét một vài ví dụ Ví dụ 1 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Nháp Nhận thấy dấu bằng xảy ra Giả sử thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ

PHƯƠ ƯƠ ƯƠNG NG NG PHA PHA PHÁÙÙÙP P P HE HE HỆÄÄÄ SO SO SỐÁÁÁ BA BA BẤÁÁÁT T TĐỊ ĐỊ ĐỊNH NH

Trong thời cấp hai khi đọc lời giải của khá nhiều bài tốn đặc biệt là bất đẳng thức tơi khơng thể hiểu nổi tại sao lại cĩ thể nghĩ ra nĩ nên hay cho rằng đấy là những lời giải khơng đẹp thiếu tự nhiên.Đến cấp ba khi được học những kiến thức mới tơi mới bắt đầu cĩ tư tưởng đi sâu vào bản chất mỗi bài tốn và lời giải

của chúng.Như anh Hatucdao Hatucdao Hatucdao đã nĩi :khi gặp một bài tốn thì điều quan trọng

là "nhận ra đâu là kĩ thuật chính,qua đĩ giải thích được vi sao lại giải như vậy và cao hơn cả là vì sao lại nghĩ ra bài tốn"Trong quá trình học tốn với lối suy nghĩ đĩ tơi đã rút ra và hiểu được khá nhiều cái hay trong mỗi bài tốn và lời giải của chúng.Và cũng từ đĩ cộng thêm một sự tổng hợp nhất định tơi đã rút ra

được một phương pháp chứng minh bất đẳng thức:"Ph "Ph "Phươ ươ ương ng ng ph ph phá á áp p p h h hệệệệ ssssố ố ố b b bấ ấ ấtttt đị

định" nh" nh" Đây là một phương pháp khá hay và mạnh đi kèm với những lời giải

đẹp,ngắn và ấn tượng

Bây giờ ta đi xét một vài ví dụ

Ví dụ 1

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Nháp

Nhận thấy dấu bằng xảy ra

Giả sử thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là phải tìm các số thực sao cho bất đẳng thức :

Đúng với mọi

Giả sử tồn tại để đúng với mọi Ta cĩ:

Đăt

Vì với mọi và nên ttheo định lí Fermat Fermat Fermat ta cĩ

Với các bạnTHCS chưa được học đạo hàm thì phải phát biểu nhiệm vụ trên như

sau:

Tìm các số thực sao cho phương trình:

Cĩ nghiệm kép (Tương tự với những phần ở bên dưới.)

Bây giờ ta chỉ cịn phải chứng minh :

Thật vậy

Vậy là số duy nhất sao cho đúng với mọi

Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

Quá trình trên đã giúp ta biết rằng chỉ tồn tại duy nhất một số sao cho đúng với mọi và điều đó vượt qua cả điều ta mong muốn là chỉ cần tìm một giá trị của sao đúng với mọi Riêng trong bài này còn có một cách xác định cực nhanh là :

Nhưng đường lối này không thể tổng quát được.Để khẳng định điều đó hãy thử chứng minh bất đẳng thức:

Với các số dương thỏa mãn

Ở phía trên ta đã chứng minh bất đẳng thức này sau khi đã chuẩn hóa và từ ta thấy ngay rằng bất đẳng thức :

Đúng với mọi số dương Ta thấy rằng là bất đẳng thức thuần nhất còn thì không, nên cũng có cách khác tìm ra mà không cần chuyển về (qua chuẩn hóa) Bây giờ chúng ta phải tìm sao cho bất đẳng thức :

Đúng với mọi số dương

Ta biết rằng bất đẳng thức C C Cô ô ôsi si si là một bất đẳng thức thuần nhất với điều kiện xảy ra dấu bằng nghiêm ngặt.Do đó khi áp dụng C C Cô ô ôsi si si có trọng số ta sẽ tìm ra

những hệ sô thích hợp với một bất đẳng thức mới xác định được một vế

Áp dụng C C Cô ô ôsi si si ta có:

Đồng nhất hệ số ta có: .Chú ý rằng việc áp dụng C C Cô ô ôsi si si ở trên dẫn

đến việc tìm các hệ số thành công có được là từ nhận xét về dấu bằng,qua đó ta

áp dụng C C Cô ô ôsi si si có trọng số như ở trên.

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh :

Thật vậy ta có:

Mà:

Vậy đúng hay là một bộ số sao cho đúng với mọi số

dương Theo kiểu này thì không thể khẳng định đây là bộ số duy nhất được Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

Ví dụ 2

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Nháp

Đây là một bài toán hay và khá khó với không dưới ba cách giải.Ở đây chỉ xin trình bày cách làm phù hợp với bài viết

Nhận thấy dấu bằng xảy ra

Nhiệm vụ bây giờ là phải đi tìm số thực sao cho bất đẳng thức :

Đúng với mọi số thực dương

Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số thực dương

Cho thì với mọi dương ta có:

Đặt

Việc còn lại là phải chứng minh :

Thật vậy:

Mà :

Vậy đúng tức là giá trị duy nhất sao cho đúng với mọi số dương

Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

Cũng giống như bài 1 quá trình tìm này cũng đã giúp ta khẳng định chỉ có duy nhất một số thực thỏa mãn.Bây giờ ta sẽ đi theo một con đường khác có tính chất dự đoán

Áp dụng C C Cô ô ôsi si si ta có:

Đồng nhất hệ số ta có

Nhận xét:

Cách giải ở hai bài trên đã sử dụng đẳng thức:

Và lúc nào phải đi tìm và lúc nào phải đi tìm thì có thể nói là nhìn thì biết ngay.Ví dụ như xét bất đẳng thức:

không thể đúng với mọi số dương Biểu diễn số dưới hai dạng trên giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán dạng này,nhưng liệu còn cách biểu diễn nào nữa không?

Ví dụ 3

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Ví dụ 4

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Nháp

Nhận thấy ở cả ba phần dấu bằng xảy ra

a, Áp dụng C C Cô ô ôsi si si ta có:

Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

b,Ở phần này thì không thể có đoạn dùng C C Cô ô ôsi si si như phần a nhưng ta cũng sẽ

thiết lập một bất đẳng thức tương tự như ở phần a bằng cách tìm số thực sao cho bất đẳng thức :

Đúng với mọi số dương

Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số dương

Cho thì với mọi dương ta có:

Đặt

Ta chỉ còn phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy đúng hay là số duy nhất thỏa mãn đúng với mọi số dương

Cũng như các bài trước cũng có cách dùng C C Cô ô ôsi si si để dự đoán như sau.Dễ thấy

vì nếu ngược lại tức thì khi cố định dương và cho thì

nên không thể đúng với mọi số dương được.Với thì viết lại dưới dạng:

Rồi áp dụng C C Cô ô ôsi si si ta có:

Đồng nhất hệ số ta có ngay

Thực ra thì việc lý luận là để áp dụng C C Cô ô ôsi si si với các số dương.Nhưng cái

này cũng không cần thiết mà có thể áp dụng luôn như sau:

Đồng nhất hệ số ta cũng có

Rõ ràng với vừa tìm được thì ta đã sử dụng C C Cô ô ôsi si si với số âm nhưng điều

này cũng không sao vì đây chỉ là nháp

Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

c,Tương tự như phần b ta dự đoán được bất đẳng thức :

đúng với mọi số dương

Như vậy phương pháp này không hiệu quả với phần này

Tuy rằng không đúng nhưng nó vẫn có một tác dụng không hề nhỏ đó vì ta có:

Cùng các đẳng thức tương tự ta có:

Tức là đã quy bất đẳng thức về dạng SOS SOS

Cách giải của dạng này khá hay nhưng không thuộc phạm vi của bài viết này Cũng từ việc không đúng với mọi số dương thì ta nghĩ ngay đến bài toán: Tìm tất cả các số thực sao cho tồn tại số thực thỏa mãn bất đẳng thức:

Đúng với mọi số thực dương

Đây là một bài toán không khó nhưng nó thể hiện một ý tưởng.Và với mỗi tìm được ta sẽ có được một bài toán mới

Phía trên ta đã đi xét các ví dụ là các bất đẳng thức thuần nhất Và câu hỏi đặt ra

là khi nào thì sử dụng được phương pháp này trong các bất đẳng thức thuần nhất? Bằng kinh nghiệm của bản thân thì tôi cho rằng điều kiện cần để có thể sử dụng phương pháp này với các bất đẳng thức thuần nhất là:

1,Dấu "=" của bất đẳng thức xảy ra <=> các biến số bằng các giá trị trong một tập hữu hạn nào đó (thường thì tập đó chỉ có một số cùng lắm là hai)

2,Bất đẳng thức là tổng của một dãy các biểu thức đối xứng nhau và tồn tại một cách chuẩn hóa để mỗi biểu thức chỉ còn phụ thuộc vào một biến số hoặc các biểu thức là hoán vị liên tiếp của nhau

Đây chỉ là điều kiện cần còn chứ còn điều kiện đủ thì tôi chỉ biết thử cho từng bài toán

Bây giờ ta đi xét ví dụ về bất đẳng thức có điều kiện

Ví dụ 5

Cho các số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Nháp

Nhận thấy dấu bằng xảy ra

Ta có:

Rõ ràng khi nhìn bài này ta có ngay tư tưởng ban đầu là phải tìm số thực sao cho bất đẳng thức:

Đúng với mọi số thực

Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số dương

Ta có:

Đặt

Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy đúng hay là giá trị cần tìm

Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

Từ bài toán trên ta đi đến cách giải cho một lớp các bài toán bất đẳng thức có điều kiện dạng sau:

Chứng minh rằng:

Vì bất đẳng thức cần chứng minh và cả biểu thức ở điều kiện của bài toán đều mang tính đối xứng với các biến nên dấu bằng thường đạt được khi các biến bằng nhau.Việc ta phải làm là tìm số thực sao cho bât đẳng thức :

Đúng với mọi số thực thỏa mãn đề bài Đây là một đường lối cơ bản để giải quyết dạng toán này.Đồng thời với các bất đẳng thức thuần nhất thì sau khi chuẩn hóa ta sẽ chuyển ngay bài toán về dạng này

V

Víííí d d dụ ụ ụ 6 6

Cho các số thực không âm thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Khác với những bài toán trước là các bất đẳng thức xác định được ngay dấu bằng ,đây là một bài toán cực trị có điều kiện chưa xác định được điểm cực trị

Ta có:

Bây giờ theo đường lối chung ta tìm số thực sao cho BĐT:

Đúng với mọi số thực

Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số thực

Ta có:

Đặt

Ta có: với mọi Vì nên theo định lí Rolle Rolle Rolle tồn

Bây giờ ta phải chứng minh:

Thật vậy :

Mà ta có:

Vậy đúng hay là giá trị duy nhất cần tìm

Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:

Dấu bằng xảy ra

là một hoán vị của Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là

Ở bài bày cũng có thể dùng C C Cô ô ôsi si si như sau:

Và đây cũng chính là cách trình bày lời giải này của chúng ta.Tôi đưa ví dụ này lên để thể hiện rằng không phải lúc nào khi sử dụng phương pháp này ta cũng cần phải có dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến số bằng nhau

Có một điều chú ý rằng hầu hết các bài toán khi sử dụng phương pháp này đều

có thể mở rộng cho biến số.Tuy vậy ở trên tôi chỉ lấy các ví dụ các bất đẳng thức có ba biến số vì tôi nghĩ nó hay nhất khi chỉ có ba biến

Hy vọng qua bài viết này các bạn đã hiểu được phần nào nội dung của phương pháp này.Sau đây là một số bài tập áp dụng (có rất nhiều trên diễn đàn)

Bài 1

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Bài 2

Cho các số thực dương Chứng minh rằng:

Bài 3

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Bài 4

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Bài 5

Bài 6

Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 7

Cho các số dương Chứng minh rằng:

Bài 8

Cho các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 9

Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Bài 10

Cho các số thực dương Chứng minh rằng:

Phụ lục

1, Bất đẳng thức C C Cô ô ôsi si si mở rộng

Cho các biến số dương và các số thực dương cho trước

Dấu bằng xảy ra

2, Định lí Fermat Fermat

Cho hàm số liên tục trên Khi đó nếu hàm số đạt cực trị tại

thì

3,Định lý Rolle Rolle

Cho hàm số liên tục trên khoảng thỏa mãn thì tồn tại

sao cho