Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 abc Lời giải... Chứng minh rằng: Lời giải.
Trang 1ỨNG DỤNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Xét phương trình bậc ba: x3mx2nx p 0 (*)
Đặt: x y m
3
3
y y 0 (**)
Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị (C) : f (y)y3 y với trục hoành
Ta có: f '(y)3y2
Nếu 0 thì f '(y)0, y nên phương trình (**) có đúng 1 nghiệm
Nếu 0 thì phương trình (**) có nghiệm bội ba
Nếu 0 thì f '(y)0 có hai nghiệm y1 ; y2
f y f y
27 27
Do đó, ta có:
Phương trình (**) có ba nghiệm khi và chỉ khi:
f y f y 0 4 27 0
27p 2m 9mn 2 m 3n (1)
Từ nhận xét trên ta thấy:
Với ba số thực a, b, c Đặt m (a b c), n(ab bc ca), p abc Khi đó a, b, c là
ba nghiệm của phương trình : x3mx2nx p 0
Và m, n, p thoả bất đẳng thức (1)
Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau:
1) Cho m0 khi đó (1) trở thành: 4n3 27p2 0 p2 4 n3
27
Ví dụ 1 Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng 0 thỏa a b c 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 13a b c2 2 22 2 2abc 22 3
Lời giải Đặt nab bc ca, p abc
Suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3mx n 0 (4)
Ta có: p2 4 n3 n3 27p2
Do đó: 13p2 2p 2 2n3 13p2 2p 2 27p2 1p 12 0
13p 2p 2 2n 13a b c 2ab 2 2 ab bc ca
Mà: (a b c)2 0 ab bc ca 1a2 b2 c2
2
Dẫn tới: 13a b c2 2 2 2abc 2 1a2 b2 c23 P 1
Trang 2Đẳng thức xảy ra n 2 a, b, c
là ba nghiệm của phương trình
x 3x 2 0 (x 1) (x 2) 0 x 1, x 2
Vậy max P 1
4
đạt được khi (a, b, c)(1,1, 2) và các hoán vị
Ví dụ 2 Cho các số thực a, b, c có tổng bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a b c 32 ab bc ca a b c 8 abc
Lời giải
Đặt nab bc ca, p abc
Suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3nx p 0 (4)
Ta có: p2 4 n3 n3 27p2 n3 27p2
Vì a b c 0 a2b2c2 2(ab bc ca) 2n n 0
Do đó: P 32n532np28 p 32 ( n) 5 ( n)p28 p
64 n p3 8 p 8 54 p 3 p
Xét hàm số f (t)54t3t, t0 ta có:
f '(t) 162t 1, f '(t) 0 t
18
Lập bảng biến thiên ta có
t 0
min f (t) f
Suy ra P 8 2
27
Đẳng thức xảy ra khi
3
2 p 18 1 n
24
hay a, b, c là nghiệm của phương trình
2 3
Vậy min P 8 2
27
3
9
6 3
2) Cho nkm2, khi đó (1) trở thành:
27p (2 9k)m 2 m 1 3k
Ví dụ 3 Cho các số thực a, b, c thoả a2 b2c2 2(ab bc ca) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
1
(abc)
Lời giải
Đặt m (a b c), nab bc ca, p abc, suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình
t mt nt p 0
Trang 3Từ giả thiết ta suy ra: a b c2 4 ab bc ca n m2
4
Suy ra
3 3
m m
Đẳng thức xảy ra
2
2 4 3
m n 4 1 27p
p
, chẳng hạn ta chọn 3
3
1 p 3
972 n
4
hay a, b, c là nghiệm của
phương trình:
2
3 3
Vậy min P27 đạt được khi a b 318 3, c 34
Ví dụ 4 Cho các số thực a, b, c thoả 2 a 2b2c25 ab bc ca Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt m a b c , n ab bc ca, p abc ta suy ra a, b, c là ba nghiệm của phương trình : x3mx2nx p 0
Từ giả thiết ta suy ra: 2 m 2 2n 5n n 2m2
9
27p 2m 9mn 2 m 3n nên suy ra
Do đó: 1 a b c2 3p2
Ta chứng minh: 3p2 3p 1 p 12 0
(luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi 2
, hay a, b, c là ba nghiệm của phương trình
t 3 3t 6t 2 0 3) Xét m23nc, c là hằng số cho trước
Trang 4Ví dụ 5 Cho các số thực a, b, c thoả a2 b2c2 ab bc ca 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P18 ab bc ca ab bc ca a b c 48 9abc
Lời giải
Đặt m (a b c), nab bc ca, p abc
a b c 3 ab bc ca 4 m 3n 4
27p 2m 9mn 2 m 3n
Suy ra 27p 2m 3n 4 9mn 18 27p 3mn 8m 16
8m 16
mn 9p
3
P18 ab bc ca 48 ab bc ca ab bc ca a b c 9abc
2 3 ab bc ca 4 ab bc ca a b c 9abc 16
Xét hàm số f (m)6m4 8m 64 , ta có: 3
3
1
f '(m) 24m 8 f '(m) 0 m
3
Nên 3
1 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 3 3
1 m
3
1 1
p
, suy ra a, b, c là nghiệm của phương
trình : t3 31 t2 1 13 4 t 1 43 47 0
Vậy min P 1 23 64
Ví dụ 6 Cho các số thực a, b, c thoả a2 b2c2 ab bc ca 1 Chứng minh rằng:
2
(a b c) 4 3 ab bc ca 18abc
Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
P (a b c) 3 ab bc ca 18abc4 (*) Đặt m (a b c), nab bc ca, p abc
a b c 3 ab bc ca 1 m 3n 1
Trang 5Mặt khác : 3 2 3
27p 2m 9mn 2 m 3n
Suy ra 27p 2m 33m(m2 1) 2 27p m 33m 2
3
Do đó: 3P3m29n254p3m2(m21)22 m 33m 2
m42m35m26m 3 (m2 m 3)212 12
Đẳng thức xảy ra khi
2 2 3
n
3 1
27
, ta chọn
m
2
n
6
p
54
Hay a, b, c là ba nghiệm của phương trình
Vậy max P12
Ví dụ 7 Cho các số thực dương a, b, c thoả 3
a b c 32abc Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
P
a b c
Lời giải
Chuẩn hoá abc 2 a b c 4 Đặt nab bc ca , suy ra
18n 91 16 3n 3n312n2108n 465 0
2
Mặt khác:
a b c a b c 2 a b b c c a
Nên P 1 a4 b4 c4 1 n2 32n 144
Vì hàm f (n)n232n 144 nghịch biến trên 5;5 5 1
2
nên ta suy ra
max P f (5)