Phương pháp giải tổng quát phương trình bậc 3 có đúng 1 nghiệm và phương pháp giải tổng quát phương trình bậc 4

Phương pháp giải phương trình bậc (có nghiệm) Cadarno • Tiểu sử: Phương trình bậc ba đề cập lần nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng năm 400 TCN 200 CN Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) công bố việc giải phương trình bậc ba nhờ giao thiết diện conic với đường tròn Ông công bố lời y dùng lời giải số nhờ bảng lượng giác Sau vào kỷ 16, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465-1526) tìm cách giải lớp phương trình bậc ba dạng x3 + mx = n với m n lớn 0.[1]Thực ra, phương trình bậc ba đưa dạng Tuy nhiên dẫn đến bậc hai số âm, điều lúc chưa giải Del Ferro giữ kín điều trước ông chết nói cho học trò ông sinh viên Antonio Fiore Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai toán phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi công bố ông giải chúng Ông nhận lời thách thức Fiore, từ dấy lên cãi vã hai người Mỗi người hàng ngày đặt số tiền đưa số toán cho đối thủ giải Ai giải nhiều toán 30 ngày nhận tất số tiền Tartaglia giải vấn đề dạng x3 + mx = n, đề xuất phương pháp tổng quát Fiore giải vấn đề dạng x3 + mx2 = n, khó Tartaglia thắng Sau này, Tartaglia Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật cách giải phương trình bậc ba Tartaglia đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ Ít năm sau, Cardano hiểu công trình Ferro vi phạm lời hứa công bố phương pháp Tartaglia sách ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca ngợi dành cho Tartaglia Qua đoạn tiểu sử hẳn bạn phần hiểu nguồn gốc đời phương trình bậc Sau nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc **Dạng tổng quát phương trình bậc 3: x3  ax  bx  c  (1) Các bạn theo dõi qua bước phương pháp phần cuối phương pháp giải thích người ta làm Cách giải tổng quát: Đặt x t  a (&) a a a )  a(t  )  b(t  )  c  3 (1) a 2a  9ab  t  (b  )t  c  0 27 (t  Bạn có thấy điều đặc biệt không? Vì người ta lại đặt ? Dễ dàng nhận phương trình bị t Vậy mục đích a xt để làm t ? Chắc hẳn bạn học Toán dùng đẳng thức lớp t  y  z  3tyz  (t  y  z)(t  y  z  ty  yz  zt ) Sau nhớ bước phương pháp 3 2 Ta có vài biến đổi : t a2 2a  9ab  (b  )t  c  0 27 (2) a a )  3 yz  3tyz  t (b  ) 3 Đặt 2a  9ab c  y3  z3 27 (b  (2)  t  y3  z  3tyz  Như ta biến đổi dạng chuẩn bất đẳng thức Vì: t  y3  z3  3tyz  (t  y  z)(t  y  z  ty  yz  zt ) (t  y  z )(t  y  z  ty  yz  zt )  Nên  t   y  z Mình không giải phương trình q  y  z  qy  yz  zq  tiêu đề ( phương trình bậc có nghiệm nên phương trình chắn vô nghiệm, bạn giải sau tìm y,z) 2 Như ta có mối liên hệ t=-y-z Vậy để tìm t ta phải tìm y z Chúng ta nhìn lại cách đặt có tổng a a  ( b  ) ( b  ) 3 3 a  ab y + z = c  y z   có tích yz  , 27 27 tổng tích làm X  SX  P  0(S  y  z ; P  y z ) 3 3 chứng nhớ đến định lý vi-et từ phương trình dễ dàng tìm y z , từ => y z Để bạn nắm vững phương pháp sang ví dụ! Giải phương trình: a) x3  3x  x   b)2 x3  3x  x   c) x  x  x   d ) x3  x  x  10  e) x3  3x  x  12  Giải a ) x  x  x    ( x  ax  bx  c  0) a  3; b  9; c  a Dat : x  t   t  1(1)  (t  1)3  3(t  1)  9(t  1)    t  3t  3t   3t  6t   9t  11   t  6t   0(*) Ta làm t phương pháp bước đặt ẩn ta có cách làm sau: Dat : b3  c3  (*)  t  b3  c3  3bct   (t  b  c)(t  b  c  bt  ct  bc)  0(2) 3bc   b3c3  8 b3 ; c3 : la  nghiem  cua  pt x2  x   x   113  b   113 ;c   113 (**)  113  113  2 2 t  b  c  bt  ct  bc  0(vn) Theo(1) x  t  Thay(**) vao(2)  t    x    113  113  1 2 b)2 x3  3x  x   Dat : x  t  1  2(t  )3  3(t  )  4(t  )   2  2t  t   2  t  t   4 5 Dat : a  b3  ; 3ab   a 3b3  ( )3 4 12 3 a ; b la  nghiem  cua  pt : X  x  ( )3  12 181  54 x  b    t    x   181 54 ; c   181 54   181 54  3 181  54  181 54  181 54  2 Còn ví dụ lại tập tự luyện dành cho bạn! Cách giải tổng quát phương trình bậc Sau kết thúc cách giải tổng quát cho phương trình bậc ta đến cách giải tổng quát cho phương trình bậc Các bạn nhớ học cách giải phương trình bậc ta biết giải tổng quát phương trình bậc Mục đích bước đâu nhằm để tạo ( A( x ) )2  ( B( x) )2 ax  bx3  cx  dx  e   (a  0) b2 b2 )  cx  x  dx  e a a b b b2 b  x ( ax  )  x( ax  ) y y2  cx  x  dx  e  x( ax  ) y y a a a a b b b  ( x a  x  y)2  x (c   a y)  x(d  y)  y  e a a a  x (ax  bx  Để tìm y với y số cho ta đưa phương ta cần lập delta 2 trình dạng ( A( x ) )  ( B( x ) ) x2 (c  b2 b  a y)  x(d  y)  y  e a a sau giải theo phương trình bậc có cách giải B) Ví dụ minh họạ a) x  x3  x  x    x2 ( x2  x)  2 x2  x   x2 ( x2  x  4)  x2  x   x2 ( x  2)2  x2  x   x2 ( x  2)2  x( x  2) y y2  x2  x   x( x  2) y y  ( x2  x  y)2  x2 ( y  1)  x(4 y  9)  y  Lap  delta : x2 ( y  1)  x(4 y  9)  y   (4 y 9)2  8( y  7)( y  1)   8y3  y  16 y  25  Các bạn tự giải tiếp nhé, phương trình bậc rồi, delta xấp xỉ bạn dùng công thức delta cho vào Ví dụ 2: x  x3  x  x    x ( x  x  4)  3x  x   x ( x  2)2  x( x  2) y  y  3x  x   x( x  2) y  y  ( x  x  y)2  (2 y  3) x  x(3  y)  y  3(1) delta  of _(2 y  3) x  x(3  y )  y   (2 y  3)2  ( y  3)(2 y  3)  (2 y  3)(2 y   y  3)   y  ; y  0; y  2 Chon : y  2;(1)  ( x  x  2)  x  x   ( x  x  2)2  ( x  1)  (( A( x ) )  ( B( x ) ) )  ( x  3x  3)( x  x  1)  0(VN ) Mục đích giới thiệu ví dụ số bạn cách chứng minh phương trình bậc vô nghiệm đạo hàm hay phương pháp khác bạn sử dụng cách mình, từ phương trình bậc ta quy tích phương bậc 2, dễ dàng chứng minh vô nghiệm Ví dụ 3: ( Ở tập cách bạn phải nhóm cho dạng) (a1x2  b1x  c1 )2  (a2 x2  b2 x  c2 )2 16 x  36 x3  22 x 4 x  39  Ví dụ 4: 3x  x   x x  (4) Ta nhận phương trình bày việc đặt ẩn, hàm số, liên hợp ,… không khả thi Sau nháp nhận thấy phương trình có nghiệm, nghiệm bị loại điều kiện x(3x  8x  3)  Vậy bạn dùng bình phương giải nhanh gọn thông qua phương pháp giới thiệu (4)  x  64 x3  30 x  48x   1024 754  x (9 x  64 x  ) x  48x  9 32 32 754 32  x (3x  )2  x(3x  ) y  y  x  48x   x(3x  ) y  y 3 32 754 32  (3x  x  y)2  (  y) x  x(24  y)  y  9(5) 754 32 delta  of _(  y) x  x(24  y)  y  9 32 754  (24  y)2  ( y  9)(  y)   y  5 32 754 160 (5)  (3x  x  5)2  (  30) x  x(24  )  25  9 32 22  (3x  x  5)2  ( x  4)2 3 2  ( x  x  3)(9 x  10 x  3)   x   2 x  2 13 Vì giải theo phương trình hệ nên ta phải lại nghiệm có nghiệm thỏa mãn: x  3 x  13 Bài tập tự luyện: a) x4  x3  3x2  x  16  b)36 x  25x3  15x2  20 x  13  Tài liệu tham khảo từ wiki Made by Bùi Minh Nguyên -*** - ... 4 5 Dat : a  b3  ; 3ab   a 3b3  ( )3 4 12 3 a ; b la  nghiem  cua  pt : X  x  ( )3  12 18 1  54 x  b    t    x   18 1 54 ; c   18 1 54   18 1 54  3 18 1  54  18 1... đời phương trình bậc Sau nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc **Dạng tổng quát phương trình bậc 3: x3  ax  bx  c  (1) Các bạn theo dõi qua bước phương pháp phần cuối phương pháp giải. .. 18 1 54  18 1 54  2 Còn ví dụ lại tập tự luyện dành cho bạn! Cách giải tổng quát phương trình bậc Sau kết thúc cách giải tổng quát cho phương trình bậc ta đến cách giải tổng quát cho phương trình