50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Phương trình (1) x 2 + x – 12 = y 2 – 7y x 2 + x – (y 2 – 7y + 12) = 0. = 4y 2 – 28y + 49 = (2y – 7) 2 . Do đó x = y – 4 hoặc x = 3 – y. Bài 2: (Chú ý là x 2 + 1 1, nên ta chọn f(t) trong miền t ). Thay vào Pt2 x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x – 2 = 0. (x 2 + x – 1)(x 2 + x + 2) = 0. Bài 3: Pt1 x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – 4y 3 = x 2 y + 2xy 2 x = y. Thay vào Pt2 ta có x 2 + 2x + = 3. Ta thấy vế trái là hàm đơn điệu (f’(x) > 0). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Bài 4: Pt1 4x 4 + 4x 2 y 2 + y 4 – 4x 2 y 2 = 2x 2 + 2xy + y 2 (2x 2 + 2xy + y 2 )(2x 2 – 2xy + y 2 ) = 2x 2 + 2xy + y 2 . Chú ý rằng x và y không đồng thời bằng 0 nên 2x 2 + 2xy + y 2 > 0. Do đó 2x 2 – 2xy + y 2 = 1. Vậy 2x 2 + y 2 = 2xy + 1 4x 4 + 4x 2 y 2 + y 4 = 4x 2 y 2 + 4xy + 1. Vậy = 4xy + 1. Thay vào pt2 (xy) 7 + 4xy = 5. Chú ý phương trình bậc lẻ, hệ số dương luôn là hàm đồng biến. Vậy xy = 1. Do đó ta có hệ: Bài 5: Phương trình 1 y = x 2 . Thay vào pt2 x 2 + 6x – 3 = 4x . Đặt t = ta có x 2 + 3(2x – 1) = 4x nên x 2 + 3t 2 = 4xt. Bài 6: Đặt y + 2 = t + 1 hay y = t – 1. Ta có Hàm đặc trưng f(t) = là hàm đồng biến nên x = t hay y = x – 1. Thay vào pt2 ta có: 3x 2 + 4x – 3 = 4x . Đặt = t. Ta có: 3x 2 + t 2 = 4xt. 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Bài 7: Pt1 x 6 + = (–y) 3 + . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + là hàm đồng biên nên ta có y = –x 2 . Thay vào pt2 ta có: 3x 2 + 2x + 7 = 3(x + 1) 2(x 2 + 3) + (x + 1) 2 = 3(x + 1) . Đặt a = x + 1, b = , ta có 2a 2 + b 2 = 3ab. Bài 8: Chia 2vế phương trình 1 cho x 5 . Ta có: x 10 + 2x 2 = + 2. . Do đó = x 2 hay y = x 3 . Thay vào pt2 ta có: x 2 + 5x + 7 = 7. . Đặt = a, = b, ta có 6a 2 + b 2 = 7ab. Bài 9: Ta có 6(x 3 – y 3 ) = (8x + 2y)(x 2 – 3y 2 ) (Phương trình đồng bậc) Bài 10: Pt1 xy(x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 ) – 2xy – 2 = 0 xy = –1 hoặc x 2 + y 2 = 2. Ta chú ý rằng điều kiện x 1, 1 nên: x 2 + y 2 = 2 khi và chỉ khi x = 1, y = . xy = –1, thay y = vào pt 2 ta có: Kết luận: x = 1, y = Bài 11: Pt1 (y – 1)(y – 3) = x 2 (y – 1). Do đó y = 1 hoặc y = x 2 + 3. Với trường hợp y = x 2 + 3, ta có x 4 + 3x 2 + 14x = 4x 3 + 12x + 1 x 4 – 4x 3 + 3x 2 + 2x – 1 = 0. Xét f’(x) = 4x 3 – 12x 2 + 6x + 2, f”(x) = 12x 2 – 24x, f (3) (x) = 24x – 24. Vậy f’(x) và f (3) (x) có nghiệm chung x = 1. Ta đặt x = X + 1. Vậy (X + 1) 4 – 4(X + 1) 3 + 3(X + 1) 2 + 2(X + 1) – 1 = 0 X 4 – 3X 2 + 1 = 0. Tìm ra X rồi tìm ra x. Bài 12: Từ pt1 ta chia 2 vế cho y 3 , ta chứng minh được x = y 2 . Thay vào phương trình 2 x 2 – x + 1 = 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Kỹ thuật này ta gọi là kỹ thuật trục căn thức 2 lần. Bài 13: > |x| + x Do đó: Phương trình 1 = y = .Thay vào pt2 ta có: x 2 + 5 = 4 . Làm tương tự bài 12, ta có: (x + 1)(x – 2)(1 + + ) = 0 Bài 14: 3x 2 5. (x + 1) 3 + 5(x + 1) = (x 3 + 1) + 5. 3 . Bài 15: Đặt a = , b = . Ta có a + 2b = Bài 16: Ta có hàm đặc trưng f(t) = . Do đó f(x) = f( ) khi x = vô nghiệm. Bài 17: x 3 + = (x + 1) Ta có hàm đặc trưng f(x) = x 3 + nên f(x) = f( ) khi x = . Bài 18: + (x + 2 + Với x + 2 + = ta có f(t) = t + và f(x + 2) = f( ) Bài 19: Phương trình (1) làm giống bài 13 x = 2y. Do đó 3x 2 + 5x + 2 = (x + 1) 3 + 2(x + 1) = (x 3 + 1) + . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + 2t. Trong đó f(x + 1) = f( ). Bài 20: 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Pt1 . Đặt a = , b = ta có a 2 + 2ab – 3b 2 = 0 nên a = b (Do a, b là các số không âm). Vậy y = x 2 + 2. Thay vào pt2 ta có: Bài 21: Phương trình 1 Bài 22: Pt1 (x + y) 2 – 2xy + (x + y) 2 – 1 – (x + y) + Đặt x + y = t, ta có t 2 – 2t + . Xét f(t) = t 2 – 2t + ta có: Bài 23: Chia 2 vế pt1 cho và đặt t = ta có x 3 + 3x 2 + 3x – 5 = (x + 1) 3 + (x + 1) = (x + 7) + . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + t là hàm đồng biến. Do đó f(x + 1) = f( ) khi x + 1 = . Tổng quát: f(x) = α với α > 0 và n lẻ thì ta tách phương trình đó dưới dạng β.[h(x)] n + α[h(x)] = β.g(x) + α với hàm đặc trưng là f(t) = t n + αt. và P k (x) = a k x k + a k-1 x k-1 + … + a 1 x + a o . Bài 24: Pt1 x 7 + x 5 y 2 + xy 6 = y 14 + y 12 + y 8 . Chia 2 vế cho y 7 ta có: Thay vào pt 2 ta có: x 3 + 9x 2 + 27x + 27 = 2 do đó (x + 3) 3 + 2(x + 3) = (2x + 6) + 2 . Hàm đặc trưng f(t) = t 3 + t là hàm đồng biến nên f(x + 3) = f( ) hay x + 3 = . 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Bài 25: t t = c: Bài 26: > |x| + x Do đó: Phương trình 1 = y = . Thày vào pt 2 2x 2 – 11x + 21 = . Đặt t = . Ta có (t – 2) 2 (t 4 + 4t 3 + 12t 2 + 18t + 24) = 0. Mặt khác t 4 + 4t 3 + 12t 2 + 18t + 24 = (t 2 + 2t) 2 + (8t 2 + 18t + 24) > 0 với mọi t. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất là t = 2 x = 3 và y = . Bài 27: Chia 2 vế phương trình số 2 cho x 3 ta được: Thay vào phương trình số 1 ta được: Chuyển (t + 1) sang 1 vế rồi bình phươg (t 2)(8t 3 + 312t 2 + 468t + 52) = 0 có nghiệm duy nhất t= 2 vì t > 0 Bài 28: x 2 + = 2. x 3 + + = x + . Đặt = t, ta có hệ: 2(x 3 + xt 2 + t 3 ) = (x 2 + t 2 )(x + 2t) x = 0 hoặc x = t. Bài 29: Phương trình (1) (x + y – 4)(x 2 + y 2 + 4x + 4y) = 0 x + y = 4 vì (x + y) > 0. Bài 30: Pt1 8(x + y) = (x + y)(x + 2y) x = -y hoặc x + 2y = 8. 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Với x +2y = 8 2(8-2y) 2 – y 2 + 5. Ta có 2y 6 và y 3 nên y = 3. Thay vào phương trình ta thấy không đúng. Với x = -y y 2 + 5 – 4 = 0 (y + 1)(y – 2)(1 + + ) = 0. Do đó y = hoặc y = 2. Bài 31: Đặt = a, = b, = c. Ta có hệ: Bài 32: Pt2 = + = 0 (x + 1) 2 (2 + x) 2 + 3(x 1)(5 7x)(2 + x) + (5 7x) 2 = 0 (x 2 8x 1)(x 2 7x + 1) = 0 Bài 33: Pt1 2x 3 – 2x = (y 2 + 1) 3 + 4(y 2 + 1). Đặt y 2 + 1= t. Ta có hệ: 6(2x 3 + t 3 ) = (2x + 4t)(2x 2 + t 2 ) 6x 3 +3t 3 = 2x 3 + 4x 2 t + xt 2 + 2t 3 x = t, t = 2x, t = 2x. Bài 34: Phương trình (1) x 3 + 3x = (y + 2) 3 + 3.(y + 2) y = x – 2. Thay vào phương trình 2 x 3 + x 2 – 4x – 1 = Bài 35: Phương trình (1) 4(2x – 1) = 4(y + 1) 3 + (y + 1). Do đó y + 1 = (y x = Thay vào phương trình (2) y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = 0. Bài 36: = t. Phương trình (1) trở thành x 3 – 3xt 2 + 2t 3 = 0. Do đó x = t = hoặc x = 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Với x ta có x và phương trình (2) trở thành: x 2 + 16x + 8 = 60. Ta dễ dàng thấy f’(x) > 0. Do đó f(x) f(0) = 8 < 60. Với x = ta có x 2 + 4x + 2 = 16. Ta dễ dàng thấy f’(x) > 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Bài 37: Phương trình (1) x = y. Do đó ta có = 4x 2 – 3x – 4.Chia 2 vế cho x, ta có: Bài 38: Hệ tương đương với: Bài 39: Bài 40: x[3x + 7 – 2 ] = 4 – 4 Đặt t = . Ta được phương trình t 2 – 2(x + 2)t + 6x + 3 = 0 (t – 3)(t – 2x – 1) = 0. Bài 41: Pt (1) x 6 + 2x 2 = (y + 3) 3 + 2(y + 3). Do đó y + 3 = x 2 . Thay vào (2) ta có x 2 – x – 3 = Bài 42: Đặt = t. Ta có Pt1 (2x 2 + t 2 ) 2 = 3xt 2 (x + t). Do đó 2x = t hay y = 4x 2 (x > 0). Thay vào pt2 ta có: . Bài 43: 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Phương trình 1 (x 2 + 1)(x 2 – y) = 0. Do đó y = x 2 . Thay vào pt2 x (4 – x) = 2x. Giải điều kiện ta có được . Ta bình phương 2 vế được: (2x 2 – 4)(x 2 – 8x + 16) = 4x 2 (x – 2) 2 (x 2 – 4x – 8) = 0. Do đó x = 2. Bài 44: Đặt y = . Ta có x 3 – 3xy 2 + 2y 3 (x – y) 2 (x + 2y) Bài 45: Pt 2 x 2 + (3y + 3)x + 2y 2 + 2y – 4 = 0. Dùng biệt thức x + y = 1 hoặc x + 2y + 4 = 0 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện) Thay vào pt1 . Sử dụng trục căn thức 2 lần giống như Bài 34 với x = và x = Bài 46: Pt1 (x – y)(x + 2) = 0. Tuy nhiên vì điều kiện cho ta x > 0 nên x = y. Thay vào phương trình (2) ta có: 4x 2 + 3x + 3 = 4x Bài 47: Phương trình 2 (x 2 y + 2x) 2 – 2(x 2 y + 2x) + 1 = 0 x 2 y + 2x = 1. Do đó y = . Thay vào pt1 ta có: Bài 48: 4x 2 + 11x +8 = (x + 2) 8x 2 + 22x + 16 – 2(x + 2) = 0 (x 2 + 4x + 4) – 2(x + 2) + (2x 2 + 8x + 7) + (5x 2 + 10x + 5) = 0 [x + 2 + ] 2 + 5(x + 1) 2 = 0 khi và chỉ khi x = –1. Bài 49: Phương trình (1) x 3 – 3x 2 +3x – 1 = y 3 + 3y 2 + 3y + 1 (x – 1) 3 = (y + 1) 3 y = x – 2, thay vào pt2 ta có: . Sử dụng trục căn thức 2 lần với các nghiệm x = –1, x = 2 giống Bài 34. Bài 50: 2(x 2 – 2x – 8) + 3(x + 5) = 5 . Đặt Ta có 2a 2 + 3b 2 = 5ab. . 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: . 2y = 8. 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389 Với x +2y = 8 2(8-2y) 2 – y 2 + 5. Ta có 2y 6 và y 3 nên y = 3. Thay vào phương trình ta. = t. Phương trình (1) trở thành x 3 – 3xt 2 + 2t 3 = 0. Do đó x = t = hoặc x = 50 BÀI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH – THÀY DŨNG – 0902920389