Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyên đề 2 HỆ PHƯƠNGTRÌNHĐẠI SỐ
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
CÁC HỆPHƯƠNGTRÌNH CƠ BẢN
I. Hệphươngtrình bậc nhất nhiều ẩn
1. Hệ phươngtrình bậc nhất hai ẩn
a. Dạng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
(1)
Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng
b. Giải và biện luận phươngtrình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
•
1221
22
11
baba
ba
ba
D −==
(gọi là đònh thức của hệ)
•
1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(gọi là đònh thức của x)
•
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
(gọi là đònh thức của y)
Bước 2: Biện luận
• Nếu
0≠D
thì hệ có nghiệm duy nhất
=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
• Nếu D = 0 và
0≠
x
D
hoặc
0≠
y
D
thì hệ vô nghiệm
• Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm
Ví d ụ : Giải bằng máy tính hệ:
1 0
2 2 15 0
x y
x y
− + =
+ − =
Ví d ụ :
3. Hệphươngtrình bậc nhất ba ẩn
Dạng :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
14
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Cách giải: Sử dụng phép cộng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn.
Ví d ụ : Giải bằng máy tính hệ:
20 4 8 0
50 10 10 0
40 12 4 0
x y z
x y z
x y z
+ − + =
− − + =
− + + =
II. Hệ phươngtrình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phươngtrình bậc nhất và một phươngtrình bậc hai hai ẩn:
Cách giải: Giải bằng phép thế
Ví dụ: Giải hệphương trình:
( ) ( )
2 2
2 8 0
1 2 5
x y
x y
− − =
− + + =
2. Hệ phươngtrình đối xứng :
1. Hệphươngtrình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệphươngtrình không thay đổi.
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với
2
4S P≥
ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn
2
4S P≥
.
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phươngtrình :
2
0X SX P− + =
( đònh lý Viét đảo ).
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của hệ.
Ví dụ : Giải hệphương trình:
( )
3 3
2
4
xy x y
x y x y
+ =
+ + + =
2. Hệ phươngtrình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì phươngtrình nầy trở thành phươngtrình kia của hệ.
b. Cách giải:
• Trừ vế với vế hai phươngtrình và biến đổi về dạng phươngtrình tích số.
• Kết hợp một phươngtrình tích số với một phươngtrình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .
Ví dụ 1: Giải hệphương trình:
2 2
2 2
2 3
2 3
x xy
y yx
+ =
+ =
Ví d ụ 2 :
15
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
III. Hệphươngtrình đẳng cấp bậc hai:
a. Dạng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
+ + =
+ + =
b. Cách giải:
Đặt ẩn phụ
x
t
y
=
hoặc
y
t
x
=
. Giả sử ta chọn cách đặt
x
t
y
=
.
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y
≠
0 ta đặt
x
t x ty
y
= =Û
. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương
trình ta khử y để được 1 phươngtrình chứa t .
Bước 3: Giải phươngtrình tìm t rồi suy ra x,y.
Ví dụ : Giải hệphương trình:
2 2
2 2
1
3
x xy y
x xy y
− − = −
+ + =
CÁC HỆPHƯƠNGTRÌNH KHÁC
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau
1. S ử dụng phép thế
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
2. Sử dụng phép cộng
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
Giải hệphươngtrình
( )
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y
+ + =
+ =
16
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: (A-2012)
Giải hệphươngtrình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Ví dụ 2:
Giải hệphươngtrình
2 2
4 2 0
2 8 18
xy x y
x x y y
− − + =
− = − +
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
Ví dụ 5:
4. Biến đổi về dạng tích số
Ví dụ 1: (D-2012)
Ví dụ 2:
Giải hệphương trình:
( )
2 2
2 2
2 0
4 2 4 0
x y xy x y
x y x y
+ + + + =
+ + − + =
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
Giải hệphương trình:
2 2
2
1
3 3
x y xy
x y y
− + =
+ = +
17
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Ví dụ 5:
5. S ử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1 :
Giải hệphương trình:
3
3
x y 6
y x 6
= +
= +
Ví dụ 2:
Hết
18
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệphương trình:
( ) ( )
2 2
2
x y 1 x y 1 3x 4x 1
xy x 1 x
ì
ï
+ + + = - +
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î
Bài 2: Giải hệphương trình:
( )
( )
( )
2
2
x 1 y y x 4y (1)
x 1 y x 2 y (2)
ì
+ + + =
ï
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï
ï
î
Bài 3: Giải các hệphương trình:
1)
( )
( )
2 2
2
3
4xy 4 x y 7
x y
1
2x 3
x y
ì
ï
ï
+ + + =
ï
+
ï
ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
î
Kết quả:
x 1
y 0
ì
=
ï
ï
í
=ï
ï
î
2)
4 2 2
2 2
x 4x y 4y 2
x y 2x 6y 23
+ + − =
+ + =
Kết quả:
x 1 x 1
y 3 y 3
ì ì
ï ï
= = -
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
Hết
19
. (A -20 12)
Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình
2 2
4 2 0
2. đònh thức :
•
122 1
22
11
baba
ba
ba
D −==
(gọi là đònh thức của hệ)
•
122 1
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(gọi là đònh thức của x)
•
122 1
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==