bài tập hệ phương trình

T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net -1- Ôn thi ðại học năm 2008 Chứng tỏ rằng hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2x y 1 y 1 2y x 2 x  = +     = +   có nghiệm duy nhất x y 1 = = Cách 1 : Lấy ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 : x y 2x 2y 1 0 * xy   − − + + − =     Vì : 1 y; y và 1 x; x cùng dấu nên x 0; y 0 > > Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có : 2 2 1 1 2x y 2 y. 2 x 1 y y 1 1 1 2x 2y 1 0 y 1 xy xy 1 1 2y x 2 x. 2 x x  = + ≥ ≥  ≥   ⇒ ⇒ ≤ ⇒ + + − >   ≥   = + ≥ ≥   . Khi ñó ( ) * x y ⇔ = , phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2x x x 1 2x x 1 0 * x ⇔ = + ⇔ − + + = Dễ thấy 2 2x x 1 0, x + + > ∀ ; phương trình ( ) * x 1 ⇔ = Vậy x y 1 = = là nghiệm duy nhất của hệ . Cách 2 : Vì : 1 y; y và 1 x; x cùng dấu nên x 0; y 0 > > Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có : 2 2 1 1 2x y 2 y. 2 x 1 y y y 1 1 1 2y x 2 x. 2 x x  = + ≥ ≥  ≥   ⇒   ≥   = + ≥ ≥   . Dấu ñẳng thức xảy ra khi x y 1 = = . T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net -2- Ôn thi ðại học năm 2008 Các bạn nghĩ gì cách giải trên ; ñã xong chưa nhỉ? . Nhiều bạn nhầm tưởng là ñã giải xong .Thực ra tôi mới chứng minh ñược dấu bằng xảy ra mà thôi , nghĩa là : 1 y 2 x 1 y y 1 1 x 2 x  + =   =   ⇒   =    + =   , còn nếu 1 y 2 y 1 x 2 x  + >     + >   thì hệ cho vẫn có thể có nghiệm x 1, y 1? > > Ta lại tiếp tục giải bài toán này : Xét hàm số ( ) 1 f t t , t 1 t = + ≥ có ñạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 1 f ' t 1 0 , t 1; f t t = − > ∈ +∞ ⇒ ñồng biến trên nửa khoảng [ ) 1; +∞ Nếu x y > thì ( ) ( ) 2 2 1 1 f x f y x y 2y 2x x y > ⇒ + > + ⇒ > , vì x 1, y 1 ≥ ≥ nên y x trái gt x y > ⇒ > Nếu x y < thì ( ) ( ) 2 2 1 1 f x f y x y 2y 2x x y < ⇒ + < + ⇒ < , vì x 1, y 1 ≥ ≥ nên y x trái gt x y < ⇒ < Vậy x y = . Khi ñó phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2x x x 1 2x x 1 0 * x ⇔ = + ⇔ − + + = Dễ thấy 2 2x x 1 0, x + + > ∀ ; phương trình ( ) * x 1 ⇔ = Vậy x y 1 = = là nghiệm duy nhất của hệ . Từ bài toán trên có thể mở rộng bài toán sau : Chứng tỏ rằng với a 0 ≠ ,hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 a 2x y 1 y a 2y x 2 x  = +     = +   có nghiệm duy nhất . Lấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 : x y x y 2xy 0 * − − + + = Vì : 2 a y; y và 2 a x; x cùng dấu nên x 0; y 0 x y 2xy 0 > > ⇒ + + > . Khi ñó ( ) * x y ⇔ = . Phương trình ( ) 3 2 2 1 2x x a ⇔ − = . ðặt ( ) 3 2 f x 2x x , x 0 = − > . Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ñường thẳng 2 y a = cắt ñồ thị ( ) 3 2 f x 2x x = − trên khoảng x 0 > chỉ tại một ñiểm . Phần còn lại dành cho ñộc giả . Giải hệ phương trình : 3 3 6 6 x 3x y 3y x y 1  − = −   + =   6 6 x y 1 x 1, y 1 + = ⇒ ≤ ≤ T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net -3- Ôn thi ðại học năm 2008 Phương trình 3 3 x 3x y 3y − = − dạng ( ) ( ) ( ) f x f y * = Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 f t t 3t, t 1 f ' t 3t 3 0, t 1 f t = − ≤ ⇒ = − < < ⇒ nghịch biến trên ñoạn [ ] 1;1 − .Khi ñó phương trình ( ) * x y ⇔ = Vậy hệ cho viết lại 6 6 6 x y 1 x y x y 1 2 =  ⇔ = = ±  + =  Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 y 1 x y 1 x 8y x y 9 2  − + = −   + = − −   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 y 1 x y 1 x y 3 y 1 0 0 x y 3 0 x y 9 * − + = − ⇔ − − = − + ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ Phương trình : ( ) x 8y x y 9 2 + = − − có nghĩa khi ( ) x y 9 0 x y 9 ** − − ≥ ⇔ − ≥ Từ ( ) * ( ) ** suy ra x y 9 − = Khi ñó phương trình ( ) x 8y x y 9 2 y 9 8y 0 y 1 x 8 + = − − ⇔ + + = ⇔ = − ⇒ = Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ) x; y 8; 1 = − Giải hệ phương trình : 2 2 x 1 y 1 y 1 x 3  + − =    + − =  Hệ xác ñịnh khi 2 2 y 1 1 y 0 x 1 1 x 0  ≤  − ≥   ⇔   ≤ − ≥     Với ñiều kiện trên ; gợi tưởng ta ñặt [ ] [ ] x cos , 0; y cos , 0;  = α α ∈ π   = β β∈ π   Khi ñó hệ [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) 2 2 2 2 cos 1 cos 1 cos sin 1 1 x 1 y 1 cos 1 cos 3 cos sin 3 2 * y 1 x 3 0; , 0; 0; , 0;  α + − β = α + β =     + − =    ⇔ β + − α = ⇒ β + α =       + − =  α∈ π β∈ π α∈ π β∈ π     Bình phương 2 vế phương trình ( ) 1 và ( ) 2 , rồi cộng vế theo vế , ta ñược ( ) ( ) 2 2sin 4 sin 1 k2 k2 sin cos 2 2 π π + α +β = ⇒ α + β = ⇒ α + β = + π ⇒ β = + π − α ⇒ β = α T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Administrator http://www.toanthpt.net -4- Ôn thi ðại học năm 2008 Khi ñó hệ ( ) [ ] [ ] 1 sin cos 2 1 x 3 2 * sin cos 2 3 y 0; , 0; 2  β = α =    =    ⇔ α = β = ⇒     =   α∈ π β∈ π    Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 3 3 2 6 x y x y 6 x y x y 8  + + − =   + − =   Hướng dẫn : ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 3 6 3 3 x y 0 x y 0 x y x y 6 x y x y 6 x y x y 6 và x y x y 6 x y. x y 8 x y x y 8 x y. x y 8 x y. x y 8   − ≥ − <   + + − = + + − =     ⇔ ⇔ + + − = + + − =     + − = + − =       + − = + − = −   Trường hợp 1 : 3 3 3 3 x y 0 x 34 x y 2 x y 0 y 30 x y 4 x y x y 6 x 12 x y. x y 8 x y 4 y 4 x y 2 − ≥    =    + =   − ≥       = −      − = + + − = ⇔ ⇔       =        + − = + =    =       − =       Trường hợp 2 : 3 3 x y 0 x 103 19 17 x y x y 6 y 77 25 17 x y. x y 8  − <   = −  + + − = ⇔   = − +    + − = −  Lời bình : ( ) 3 6 x y x y + = + không làm thay ñổi miền xác ñịnh ; tương tự thì dễ dẫn ñến một sai lầm ( ) 2 6 3 x y x y!!! − = − , ñiều này không ñúng với mọi x, y trong miền xác ñịnh , mà chỉ ñúng với x y ≥ . Do ñó ( ) ( ) 3 2 6 3 x y x y 8 x y. x y 8 + − = ⇔ + − = . nghịch biến trên ñoạn [ ] 1;1 − .Khi ñó phương trình ( ) * x y ⇔ = Vậy hệ cho viết lại 6 6 6 x y 1 x y x y 1 2 =  ⇔ = = ±  + =  Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 y 1 x y 1 x 8y. ñó phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2x x x 1 2x x 1 0 * x ⇔ = + ⇔ − + + = Dễ thấy 2 2x x 1 0, x + + > ∀ ; phương trình ( ) * x 1 ⇔ = Vậy x y 1 = = là nghiệm duy nhất của hệ. = Vậy x y 1 = = là nghiệm duy nhất của hệ . Từ bài toán trên có thể mở rộng bài toán sau : Chứng tỏ rằng với a 0 ≠ ,hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 a 2x y 1 y a 2y x 2 x  = +     =