Lý thuyết và bài tập hệ phương trình

1.Hệ phương trình tuyến tính 2.Hệ Crame 3.Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss 4.Định lí KroneckerCapelli 5.Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 6.Một số đề thi cuối kì+bài tập mỗi dạng giúp các bạn có thể ôn tập và kiểm tra kiến thức bản thân.

BÀI  §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.1 Dạng tổng quát dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng: a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  a21x1  a22 x2   a2 n xn  b2 (*)   am1x1  am x2   amn xn  bm  aij hệ số pt thứ i ẩn xj , bi hệ số tự phương trình thứ i, xj ẩn số (i=1, ,m, j=1, ,n)  §5: Hệ phương trình tuyến tính - Nếu bi = với i=1,2,…,m hệ gọi hệ tuyến tính Ví dụ  x1  3x2  x3  x4    x  x  3x  x    3x1  x2  x3  3x4  2   x2  x3  x4   Hệ phương trình ẩn Là hệ khơng  §5: Hệ phương trình tuyến tính + Ma trận A  [a ] gọi ma trận hệ số hệ phương trình ij mn (*)  b1  b  + Ma trận b    gọi ma trận hệ số tự hệ phương trình   (*)    bm   x1  x  + Ma trận x    gọi ma trận ẩn số hệ phương trình (*)      xn    §5: Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Cho hệ phương trình  x1  x  x3  x4   x  x  3x  x     x1  x2  x3  x4     x  x3  x     1   1 2 4  ,b   A 5  3   4 7   2  0   ,x   2    9   x1  x   2  x3     x4   §5: Hệ phương trình tuyến tính Ma trận bổ sung hệ (*): A  bs  A  A |b Ví dụ: Cho hệ phương trình 2 2x1  3x2  5x3  x4   x  2x  3x  4x   bs 1  A  A  [A|b]   3 3x1  8x2  5x3  3x4  2    4x2  2x3  7x4  0   3 1   2  5  2  4 7   Nhận xét: Các hệ số phương trình thứ i phần tử hàng thứ i Abs ngược lại  §5: Hệ phương trình tuyến tính Với kí hiệu đó, hệ (*) đưa dạng Ax  b (**) gọi dạng ma trận hệ (*)  Ví dụ: 2 x  y  z  2  3x  y  z      5 x  y  z  5   1   x  9    y   0        z  5      §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.2 Hệ Cramer Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến gọi hệ Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  5.2 Hệ Crame Định lý: Mọi hệ Cramer n pt có nghiệm (x1, x2, …,xn) xác định công thức Dj xj  D  5.2 Hệ Crame 10 §5: Hệ PTTT  38 §5: Hệ PTTT  39  §5: Hệ PTTT Nhận xét: Trong hệ hạng ma trận hệ số hạng ma trận bổ sung  a11 a bs  21 A     am1  a12 a22 a2 n a1n am am n 0  0   0  Khi biện luận cho hệ ta quan tâm hạng ma trận hệ số 40   §5: Hệ PTTT Hệ có trường hợp:  Hệ có nghiệm Hạng ma trận hệ số số ẩn hệ phương trình  Hệ có vơ số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn hệ phương trình 41 §5: Hệ PTTT  Tóm lại: Hệ n ẩn - có nghiệm tầm thường r(A)=n - có nghiệm khơng tầm thường r(A)≠n VD1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm khơng tầm thường 42 §5: Hệ PTTT  Hệ có nghiệm khơng tầm thường r(A)