Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Căn bậc hai số phức: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi bậc hai w • Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax + bx = + c ( a, b, c ∈ ; a ≠ ) Xét ∆= b − 4ac , ta có • ∆ =0 : phương trình có nghiệm thực x = − b 2a • ∆ > : phương trình có hai nghiệm thực xác định công thức: x1,2 = −b ± ∆ 2a • ∆ < : phương trình có hai nghiệm phức xác định công thức: x1,2 = −b ± i | ∆ | 2a  Chú ý  Mọi phương trình bậc n : Ao z n + A1 z n −1 + + An −1 z + An = ln có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt)  Hệ thức Vi–ét phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax + bx + = c ( a ≠ ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực phức) Ta có hệ thức Vi–ét b  − x1 + x2 =  S = a  c  P x= = x2  a B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: Tìm bậc hai số phức • Trường hợp w số thực: Nếu a số thực + a < 0, a có bậc hai ±i | a | + a = , a có bậc hai + a > , a có hai bậc hai ± a Ví dụ 1: Ta có hai bậc hai – i −i Hai bậc hai −a ( a số thực khác 0) −ai • Trường hợp w =+ a bi ( a, b ∈ , b ≠ ) Gọi z = x + yi ( x, y ∈  ) bậc hai w z = w , tức  x2 − y = a ( x + yi ) =a + bi ⇔ x − y + xyi =a + bi ⇔  2 xy = b Mỗi cặp số thực ( x; y ) nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai x + yi số 2 phức w= a + bi Ví dụ 2: Tìm bậc hai w =−5 + 12i Gọi z = x + yi ( x, y ∈  ) bậc hai số phức w =−5 + 12i  x = 2    = x  x2 − y = −5   y = Ta có z =w ⇔ ( x + yi ) =−5 + 12i ⇔  ⇔ ⇔  x = −2 2 xy = 12 y =  x    y = −3 Vậy w =−5 + 12i có hai bậc hai + 3i −2 − 3i Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực dạng tốn liên quan Trang 1/21 • Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z − z + = Ta có ∆ = b − 4ac = −3 < 1± i Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt x1,2 = • Giải phương trình quy phương trình bậc hai với hệ số thực Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: – Bước 1: Nhẩm nghiệm đặc biệt phương trình + Tổng hệ số phương trình phương trình có nghiệm x = + Tổng hệ số biến bậc chẵn tổng hệ số biến bậc lẻ phương trình có nghiệm x = −1 + Định lý Bơdu: Phần dư phép chia đa thức f ( x ) cho x − a giá trị đa thức f ( x ) x = a Tức f ( x ) = ( x − a) g ( x) − f (a) Hệ quả: Nếu f ( a ) = f ( x ) ( x − a ) Nếu f ( x ) ( x − a ) f ( a ) = hay f ( x ) = có nghiệm x = a – Bước 2: Đưa phương trình phương trình bậc bậc hai cách hân tích đa thức vế trái phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức sử dụng lược đồ Hoocne) sau: Với đa thức f ( x= ) an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 chia cho x − a có thương g= ( x ) bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + + b1 x + b0 dư r an a bn −1 = an an −1 an − a2 a1 a0 = bn − abn −1 + an − = bn −3 abn − + an −3 = b1 ab2 + a2 = b0 ab1 + a1 = r ab0 + b0 – Bước 3: Giải phương trình bậc bậc hai, kết luận nghiệm Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ: – Bước 1: Phân tích phương trình thành đại lượng có dạng giống – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện ẩn phụ (nếu có) – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm C KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH Chọn chế độ tính tốn với số phức: MODE hình CMPLX Nhập số ảo i : Phím ENG Tìm bậc hai số phức Ví dụ 5: Khai bậc hai số phức z =−3 − 4i có kết quả: Cách 1: – Mode (CMPLX) – Nhập hàm X – Sử dụng phím CALC, nhập giá trị vào, giá trị kết z ta nhận Cách 2: – Mode (COMP) – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol ( −3; ) – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Re c ( ) X 1;= Y X , Y : , ta thu kết = – Vậy số phức cần tìm + 2i −1 − 2i Trang 2/21 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM có nghiệm là: Câu Trong  , phương trình x + x + = 1 1 x1 =1 + 7i ; x2 =1 − 7i −1 − 7i ; x2 = −1 + 7i A x1= B 4 4 1 1 −1 + 7i ; x2 = − 7i C x1= D x1= + 7i ; x2 = −1 − 7i 4 4 Câu Khai bậc hai số phức z =−3 + 4i có kết quả: A z1 =1 + 2i; z2 =−1 − 2i B z1 = + 2i; z2 = − 2i C z1 =1 + 2i; z2 =−1 + 2i D z1 =−1 + 2i; z2 =−1 − 2i ( ( Câu ) ) ( ( ( ) ) ( B z1 =2; z2 =−1 + 3i; z3 =−1 − 3i C z1 =−2; z2 =−1 + 3i; z3 =−1 − 3i D z1 = −2; z2 = + 3i; z3 = − 3i Câu A z =−3 + 4i B z =−2 + 4i D z =−5 + 4i C z =−4 + 4i Hai giá trị x1 = a + bi ; x2 = a − bi hai nghiệm phương trình: Câu Câu ( A z1 == 2; z2 + 3i; z3 = − 3i Trong  , phương trình z + z = + 4i có nghiệm là: Câu ) ( ) là: Trong  , nghiệm phương trình z − = Câu Câu ) A x + 2ax + a + b = B x + 2ax + a − b = 0 2 2 2 C x − 2ax + a + b = D x − 2ax + a − b = 0 Trong  , phương trình z2 + 3iz + = có nghiệm là: z = i  z = 3i z = 1+ i B  C  D A   z = −4i  z = 4i  z = −3i Trong  , phương trình z − z + = có nghiệm là:  + 3i z=  z i = +  A  B  C  − 3i  z= − 5i z =  Tính bậc hai số phức z= + 6i kết quả:  z= + i  z= − i A  B  C  z =−3 − i  z= + i  z= − 3i z = 1+ i   + 5i z =   − 5i z =   + 3i z = D   − 3i z =   z =−3 + i  z= − i   z= − i D   z =−3 − i Trong  , nghiệm phương trình z + = là: z = A   z = −  z = 5i B   z = − 5i C D − 5i 5i Câu 10 Trong  , nghiệm phương trình z =−5 + 12i là:  z= + 3i A  B z= + 3i C z= − 3i  z =−2 − 3i Câu 11 Trong  , nghiệm phương trình z + z + = là:  z =−2 − i A z= − i B z =−2 − i C   z =−2 + i Câu 12 Trong  , nghiệm phương trình z − z + − 2i =0 z = i − z = − i z = A  B  C   z2 = −i  z2 = −i  z2= Câu 13 Cho z= + 4i Tìm bậc hai z A −2 + i − i B + i 2+i 2−i  z= − 3i D   z =−2 + 3i D z =−2 + i z = + i D   z2 = −i − i Trang 3/21 ) C + i −2 − i D + 2i − − 2i Câu 14 Cho z = − i Tìm bậc hai dạng lượng giác z : 7π 7π  −π −π    A  cos + i sin + i sin    cos 8  8    π π   cos + i sin  4  −π −π   C  cos + i sin  4   π π −π −π    D  cos + i sin   cos + i sin  8  8   Câu 15 Trong  , phương trình ( z + i )( z − 2iz − 1) = có nghiệm là: B 3 B − i ; −1 + i ; 2i (1 − 2i ) ; ( −2 + i ) ; 4i 2 (1 − i ) A , D − 2i ; −15i ; 3i ( −1 + i ) , i 2 Câu 16 Trong  , phương trình z − z + 25 = có nghiệm là: A ±8; ± 5i B ±3; ± 4i C ±5; ± 2i C Câu 17 Trong  , phương trình z + ( ) A ± i = 2i có nghiệm là: z ( ) B ± i ( ) C ± i D ± ( + i ) ; ± ( − i ) ( ) D ± i có nghiệm là: Câu 18 Trong  , phương trình z + = 5±i 2±i 1± i 1± i B −1 ; C −1 ; D −1 ; 2 4 Trong  , phương trình z − =0 có nghiệm là: A ±1; ± 2i B ±2; ± 2i C ±3; ± 4i D ±1; ± i Trong  , bậc hai −121 là: A −11i B 11i C −11 D 11i −11i Phương trình z − z + = có nghiệm là: 1 1 A z1 = B z1 = + i; z = − i + i; z = − i 4 4 4 4 1 1 1 C z1 = D z1 = + i; z = − i + i; z = − i 4 4 4 4 Biết z1 ; z2 hai nghiệm phương trình z + z + = Khi giá trị z12 + z22 là: A −1 ; Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 9 B C D − 4 Câu 23 Phương trình z + az + b = có nghiệm phức z = + 2i Tổng số a b bằng: A B −3 C D −4 Câu 24 Gọi z1 ; z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Khi phần thực z12 + z22 A là: A B C D Câu 25 Gọi z1 ; z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + = A | z1 |2 + | z2 |2 có giá Khi đó= trị A −7 B – C −4 Câu 26 Phương trình z = có nghiệm phức với phần ảo âm? D Trang 4/21 A B C D Câu 27 Biết z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = Khi giá trị z12 + z22 là: C Câu 28 Phương trình sau có nghiệm thực: z + z + = A B C Câu 29 Tìm bậc hai −9 A ±3i B C 3i có nghiệm là: Câu 30 Trong  , phương trình z + = A B D − D Vô số nghiệm D −3 A ± (1 − 4i ) ; ± (1 + 4i ) B ± (1 − 2i ) ; ± (1 + 2i ) C ± (1 − 3i ) ; ± (1 + 3i ) D ± (1− i ) ; ± (1 + i ) Câu 31 Giải phương trình z − z + = tập số phức ta nghiệm là: A z = ± 2i B z = ± 6i Câu 32 Căn bậc hai số phức + 5i là: ( A − + 5i ) ( B + 5i ) C z = ± 2i ( C ± + 5i ) Câu 33 Gọi z bậc hai có phần ảo âm 33 − 56i Phần thực z là: A B C Câu 34 Tập nghiệm  phương trình z + z + z + = là: A {−i;i;1; −1} B {−i; i;1} C {−i; −1} D z = ± 7i D D –4 D {−i; i; −1} Câu 35 Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm α =4 + 3i; β =−2 + i là: A z + ( + 4i ) z − (11 + 2i ) = B z − ( + 4i ) z − (11 + 2i ) = 0 C z − ( + 4i ) z + (11 + 2i ) = D z + ( + 4i ) z + (11 + 2i ) = z | z |2 + z ? Câu 36 Có số phức thỏa mãn điều kiện = A B C D 2 Câu 37 Phương trình ( + i ) z + az += b ( a, b ∈  ) có hai nghiệm + i − 2i Khi a = ? A −9 − 2i B 15 + 5i C + 2i Câu 38 Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z +i D 15 − 5i A 17 B 17 C 17 D 17 2 Câu 39 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + (1 − 3i ) z − (1 + i ) = Khi w = z12 + z22 − z1 z2 số phức có mơđun là: A B 13 C 13 Câu 40 Số nghiệm phương trình với ẩn số phức z: z + | z |2 −3 =0 là: D A B z2 Câu 41 Tìm số phức z để z − z = A z = 0; z = − i 0; z =+ i; z =− i C z = D C 20 B z = 0; z = + i i; z =− i D z =+ Câu 42 Với số ảo z, số z + | z |2 là: A Số thực âm B Số C Số thực dương D Số ảo khác Câu 43 Trong trường số phức phương trình z + = có nghiệm? A B C D Câu 44 Giá trị số thực b, c để phương trình z + bz + c = nhận số phức z = + i làm nghiệm là: Trang 5/21 b = A  c = −2 b = −2 B  c = −2 b = −2 C  c = b = D  c = Câu 45 Trên tập hợp số phức, phương trình z + z + 15 = có hai nghiệm z1 , z2 Giá trị biểu thức z1 + z2 + z1 z2 là: A –7 B C 15 D 22 Câu 46 Tìm số nguyên x, y cho số phức z= x + yi thỏa mãn z= 18 + 26i x =  x = −3 x = x = A  B  C  D   y = −1  y = ±1 y =1  y = ±1 Câu 47 Trên tập số phức, cho phương trình sau: ( z + i ) + z = Có nhận xét số nhận xét sau? Phương trình vơ nghiệm trường số thực  Phương trình vơ nghiệm trường số phức  Phương trình khơng có nghiệm thuộc tập số thực Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức Phương trình có hai nghiệm số phức Phương trình có hai nghiệm số thực A B C D Câu 48 Phương trình z − z + = có nghiệm tập số phức? A B C D Câu 49 Giả sử z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = A, B điểm biểu diễn z1 , z2 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: A I (1;1) B I ( −1;0 ) C I ( 0;1) D I (1;0 ) Câu 50 Cho phương trình z + mz − 6i = Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm ± ( a + bi )( a, b ∈  ) Giá trị a + 2b là: m có dạng m = A B C −2 D −1 Câu 51 Gọi  z −1  z1 , z2 , z2 , z4 nghiệm phức phương trình   = Giá trị  2z − i  P= ( z12 + 1)( z22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) là: 17i 17 17 B C D 9 17 Câu 52 Trong tập số phức, giá trị m để phương trình bậc hai z + mz + i =0 có tổng bình phương hai nghiệm −4i là: A A ± (1 − i ) B (1 − i ) C ± (1 + i ) D −1 − i Câu 53 Cho phương trình z − mz + 2m − =0 m tham số phức Giá trị m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12 + z22 = −10 là: A m= ± 2i B m= + 2i C m= − 2i D m =−2 − 2i Câu 54 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = , z1 có phần ảo dương Giá trị số phức= w ( z1 + z2 ) z1 là: A 12 + 6i B 10 C D 12 − 6i Câu 55 Tổng bình phương nghiệm phương trình z − =0 tập số phức bao nhiêu? A B C D Câu 56 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = Trong z1 có phần ảo âm Giá trị biểu thức M =| z1 | + | z1 − z2 | là: Trang 6/21 A − 21 B + 21 C + 21 D Câu 57 Phương trình x + x − 24 x + 72 = tập số phức có nghiệm là: − 21 A ± i −2 ± 2i B ± i ± 2i C ± 2i −2 ± 2i D −1 ± 2i −2 ± 2i Câu 58 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + z + = = z14 + z24 có giá trị Khi A là: A 23 B 23 C 13 D 13 Trang 7/21 E ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1.2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 C B B C B C D D D D B A A C D B A A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Trong  , phương trình x + x + = có nghiệm là: 1 1 −1 − 7i ; x2 = −1 + 7i x1 =1 + 7i ; x2 =1 − 7i A x1= B 4 4 1 1 −1 + 7i ; x2 = − 7i C x1= D x1= + 7i ; x2 = −1 − 7i 4 4 Hướng dẫn giải: Ta có: ∆ = b − 4ac = 12 − 4.2.1 = −7 = 7i < nên phương trình có hai nghiệm phức là: −1 ± i x1,2 == Vậy ta chọn đáp án A Câu Khai bậc hai số phức z =−3 + 4i có kết quả: A z1 =1 + 2i; z2 =−1 − 2i B z1 = + 2i; z2 = − 2i C z1 =1 + 2i; z2 =−1 + 2i D z1 =−1 + 2i; z2 =−1 − 2i Hướng dẫn giải: Giả sử w = x + yi ( x, y ∈  ) bậc hai số phức z =−3 + 4i ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) Ta có:  x =    x =1  x2 − y = −3   y = w2 =z ⇔ ( x + yi ) =−3 + 4i ⇔  ⇔ 2⇔  x = −1 2 xy = y = x     y = −2 Do z có hai bậc hai là: z1 = + 2i z2 =−1 − 2i Câu Ta chọn đáp án A Trong  , nghiệm phương trình z − = là: A z1 == 2; z2 + 3i; z3 = − 3i B z1 =2; z2 =−1 + 3i; z3 =−1 − 3i C z1 =−2; z2 =−1 + 3i; z3 =−1 − 3i D z1 = −2; z2 = + 3i; z3 = − 3i Hướng dẫn giải: Sử dụng đẳng thức số 7, ta có: z = z = z3 − = ⇔ ( z − 2) ( z + 2z + 4) = ⇔  ⇔ −3  z + 2z + = ( z + 1) = =  z 2= z   ⇔  z + = 3i ⇔  z =−1 + 3i  z + =− 3i  z =−1 − 3i   Trang 8/21 ) Câu Ta chọn đáp án A Trong  , phương trình z + z = + 4i có nghiệm là: A z =−3 + 4i C z =−4 + 4i Hướng dẫn giải: B z =−2 + 4i D z =−5 + 4i Đặt z =a + bi ( a, b ∈  ) ⇒ z = a + b Thay vào phương trình: a + b + a + bi = + 4i a = −3  a + b + a = Suy  ⇔ b = b = Câu Ta chọn đáp án A Hai giá trị x1 = a + bi ; x2 = a − bi hai nghiệm phương trình: A x + 2ax + a + b = 2 C x − 2ax + a + b = Hướng dẫn giải: B x + 2ax + a − b = 2 D x − 2ax + a − b =  S = x1 + x2 = 2a Áp dụng định lý đảo Viet :  = x1.x= a + b2 P Do x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x − Sx + P = ⇔ x − 2ax + a + b = Câu Ta chọn đáp án A Trong  , phương trình z2 + 3iz + = có nghiệm là: z = i  z = 3i z = 1+ i B  C  A   z = −4i  z = 4i  z = −3i Hướng dẫn giải: ∆ = b − 4ac = ( 3i ) − 4.1.4 = −25 <  z= − 3i D  z = 1+ i Nên phương trình có hai nghiệm phức là: −3i + 5i = z1 = i −3i − 5i z2 = = −4i Câu Ta chọn đáp án A Trong  , phương trình z − z + = có nghiệm là:  z= + 5i A   z= − 5i  + 3i z = B   − 3i z =   + 5i z = C   − 5i z =   + 3i z = D   − 3i z =  Hướng dẫn giải: ∆ = b − 4ac = ( −1) − 4.1.1 = −3 < Nên phương trình có hai nghiệm phức là: + 3i x1 = − 3i x2 = Câu Ta chọn đáp án A Tính bậc hai số phức z= + 6i kết quả: Trang 9/21  z= + i  z =−3 + i  z= − i  z= − i A  B  C  D   z =−3 − i  z= − i  z =−3 − i  z= + i Hướng dẫn giải: Giả sử w = x + yi ( x, y ∈  ) bậc hai số phức z= + 6i  x =  x2 =  x − y =  2  y = ⇔ ⇔ Ta có: w =z ⇔ ( x + yi ) =8 + 6i ⇔   x = −3 2 xy = y =  x    y = −1  z1= + i Do z có hai bậc hai   z2 =−3 − i Câu Ta chọn đáp án A Trong  , nghiệm phương trình z + = là:  z = 5i z = A  B   z = − 5i  z = − Hướng dẫn giải: z2 + = ⇔ z =− ⇔ z =±i C 5i Ta chọn đáp án A Câu 10 Trong  , nghiệm phương trình z =−5 + 12i là:  z= + 3i A  B z= + 3i C z= − 3i  z =−2 − 3i D − 5i  z= − 3i D   z =−2 + 3i Hướng dẫn giải: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈  ) nghiệm phương trình z =−5 + 12i ⇔ ( x + yi ) =−5 + 12i ⇔ x − y + xy =−5 + 12i 2  x =    x =  x2 − y = −5   y = ⇔ ⇔ ⇔ 2 xy = 12 y =   x = −2 x     y = −3  z= + 3i Do phương trình có hai nghiệm   z =−2 − 3i Ta chọn đáp án A Câu 11 Trong  , nghiệm phương trình z + z + = là:  z =−2 − i A z= − i B z =−2 − i C   z =−2 + i Hướng dẫn giải: z + z + =0 ⇔ ( z + ) =−1 ⇔ z + =±i ⇔ z =−2 ± i Ta chọn đáp án A Câu 12 Trong  , nghiệm phương trình z − z + − 2i =0 z = i − z = − i z = + i A  B  C   z2 = −i  z2= − i  z2 = −i D z =−2 + i z = + i D   z2 = −i Hướng dẫn giải: Trang 10/21 z = 1+1+ i = + i z − z + − 2i =0 ⇔ ( z − 1) =2i ⇔ z − =± (1 + i ) ⇔   z =1 − − i =−i Ta chọn đáp án A Câu 13 Cho z= + 4i Tìm bậc hai z A −2 + i − i B + i − i C + i −2 − i D + 2i − − 2i Hướng dẫn giải: Giả sử w = x + yi ( x, y ∈  ) bậc hai số phức z= + 4i Ta có:  x =    x =4  x2 − y =   y = w2 =z ⇔ ( x + yi ) =3 + 4i ⇔  ⇔ ⇔  x = −2 2 xy = y =  x    y = −1  z= + i Do z có hai bậc hai   z =−2 − i Ta chọn đáp án A Câu 14 Cho z = − i Tìm bậc hai dạng lượng giác z : −π −π  7π 7π    + i sin + i sin A  cos   cos  8  8    π π   cos + i sin  4  −π −π   + i sin C  cos  4   −π −π  π π   + i sin D  cos + i sin   cos  8  8   Hướng dẫn giải:   π  π  Ta có z = − i = cos  −  + i sin  −   có bậc hai là:     4 −π −π  7π 7π    + i sin + i sin w1 =4  cos  ; w2 =  cos  8  8    B Ta chọn đáp án A Câu 15 Trong  , phương trình ( z + i )( z − 2iz − 1) = có nghiệm là: 3 (1 − 2i ) ; ( −2 + i ) ; 4i 2 (1 − i ) A , ( −1 + i ) , i 2 Hướng dẫn giải: C B − i ; −1 + i ; 2i D − 2i ; −15i ; 3i ± (1 − i )   z = −i z=  ⇔ ( z + i )( z − 2iz − 1) = ⇔  z − i = )  z = i (  2 Ta chọn đáp án A Câu 16 Trong  , phương trình z − z + 25 = có nghiệm là: A ±8; ± 5i B ±3; ± 4i C ±5; ± 2i D ± ( + i ) ; ± ( − i ) Hướng dẫn giải: Trang 11/21 ± (2 + i) z = z − z + 25 = ⇔ ( z − 3) + 16 = ⇔ z − = ±4i ⇔ z = ± 4i ⇔  ± (2 − i)  z = Ta chọn đáp án A Câu 17 Trong  , phương trình z + ( ) = 2i có nghiệm là: z ( A ± i ) B ± i ( ) C ± i ( ) D ± i Hướng dẫn giải: z+  z ≠  z ≠ z ≠  z ≠ = 2i ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ z = 1± i   z i = ± + z 0  z − i =± 2i ( z − i ) + =  z − 2iz + =  ( ( ) Ta chọn đáp án A có nghiệm là: Câu 18 Trong  , phương trình z + = 2±i Hướng dẫn giải: A −1 ; B −1 ; 1± i C −1 ; 1± i D −1 ; 5±i  z = −1  z = −1 z + = ⇔ ( z + 1) ( z − z + 1) = ⇔  ⇔  1± z = z − z +1 =  Ta chọn đáp án A Câu 19 Trong  , phương trình z − =0 có nghiệm là: A ±1; ± 2i B ±2; ± 2i C ±3; ± 4i Hướng dẫn giải:  z 1= = z  −1 ⇔  z = −1 z −1 = ⇔ ( z − 1)( z + 1) ( z + 1) = ⇔ z =  z + =  z = ±i D ±1; ± i Ta chọn đáp án A Câu 20 Trong  , bậc hai −121 là: A −11i B 11i C −11 D 11i −11i Hướng dẫn giải: Ta có: z =−121 ⇔ z = (11i ) Do z có hai bậc hai z = 11i; z = −11i Ta chọn đáp án A Câu 21 Phương trình z − z + = có nghiệm là: 1 1 1 A z1 = B z1 = + i; z = − i + i; z = − i 4 4 4 4 1 1 1 C z1 = D z1 = + i; z = − i + i; z = − i 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: ± 2i i ∆ ' =b '2 − ac =4 − =−4 < ⇒ z1,2 = = ± 4 Ta chọn đáp án A Câu 22 Biết z1 ; z2 hai nghiệm phương trình z + z + = Khi giá trị z12 + z22 là: Hướng dẫn giải: A B C D − Trang 12/21 )  b − = − z1 + z2 =  S = a Theo Viet, ta có:   P= z z = c=  a z12 + z22 =S − P = − =− 4 Ta chọn đáp án A Câu 23 Phương trình z + az + b = có nghiệm phức z = + 2i Tổng số a b bằng: A B −3 C D −4 Hướng dẫn giải: Vì z = + 2i nghiệm phương trình z + az + b = nên ta có: (1 + 2i ) + a (1 + 2i ) + b = ⇔ a + b + 2ai = − 4i ⇔ a + b = Ta chọn đáp án A Câu 24 Gọi z1 ; z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Khi phần thực z12 + z22 là: A Hướng dẫn giải: B C D b  = + = − = S z z  a Theo Viet, ta có:   P= z z = c=  a 2 z1 + z2 = S − P = 16 − 2.5 = Ta chọn đáp án A Câu 25 Gọi z1 ; z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + = A | z1 |2 + | z2 |2 có giá Khi đó= trị A −7 B – C −4 Hướng dẫn giải: z + z + = ⇔ ( z + 1) + = ⇔ z = −1 ± 3i D ⇒ A= | z1 |2 + | z2 |2= Ta chọn đáp án A Câu 26 Phương trình z = có nghiệm phức với phần ảo âm? A B C Hướng dẫn giải: z =8 ⇔ ( z − ) ( z + z + ) =0 ⇔ ( z − ) ( z + 1) + 3 =0    z = ⇔  z =−1 ± 3i Do phương trình có nghiệm phức có phần ảo âm D Ta chọn đáp án A Câu 27 Biết z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = Khi giá trị z12 + z22 là: A Hướng dẫn giải: B C D − Trang 13/21  b − = − z1 + z2 =  S = a Áp dụng định lý Viet, ta có:   P= z z = c=  a z12 + z22 =S − P = − =− 4 Ta chọn đáp án A Câu 28 Phương trình sau có nghiệm thực: z + z + = A B C D Vô số nghiệm Hướng dẫn giải: ∆ ' =b'2 − ac =1 − =−1 < nên phương trình vơ nghiệm tập số thực Ta chọn đáp án A Câu 29 Tìm bậc hai −9 B C 3i D −3 A ±3i Hướng dẫn giải: Ta có −9 = 9.i nên −9 có bậc hai 3i −3i Ta chọn đáp án A Câu 30 Trong  , phương trình z + = có nghiệm là: A ± (1 − 4i ) ; ± (1 + 4i ) B ± (1 − 2i ) ; ± (1 + 2i ) C ± (1 − 3i ) ; ± (1 + 3i ) D ± (1− i ) ; ± (1 + i ) Hướng dẫn giải: ± (1 + i ) z =  z = 2i ⇔ z +4= 0⇔  ± (1 − i )  z = −2i  z = Ta chọn đáp án A Câu 31 Giải phương trình z − z + = tập số phức ta nghiệm là: A z = ± 2i B z = ± 6i C z = ± 2i Hướng dẫn giải: z − z + = ⇔ ( z − 1) + = ⇔ z = ± 6i Ta chọn đáp án A Câu 32 Căn bậc hai số phức + 5i là: ( A − + 5i ) ( B + 5i ) ( C ± + 5i ) D z = ± 7i D Hướng dẫn giải: Giả sử w bậc hai + 5i Ta có: ( w2 =+ 5i ⇔ w2 =3 + 5i ) ( ) ⇔ w= ± 3+ i Ta chọn đáp án A Câu 33 Gọi z bậc hai có phần ảo âm 33 − 56i Phần thực z là: A B C Hướng dẫn giải: Ta có: 33 − 56i =( − 4i ) ⇒ z = − 4i Do phần thực z Ta chọn đáp án A Câu 34 Tập nghiệm  phương trình z + z + z + = là: A {−i;i;1; −1} B {−i; i;1} C {−i; −1} D –4 D {−i; i; −1} Hướng dẫn giải: Trang 14/21  z = −1 z + z + z + = ⇔ ( z + 1) ( z + 1) = ⇔   z = ±i Ta chọn đáp án A Câu 35 Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm α =4 + 3i; β =−2 + i là: A z + ( + 4i ) z − (11 + 2i ) = B z − ( + 4i ) z − (11 + 2i ) = C z − ( + 4i ) z + (11 + 2i ) = D z + ( + 4i ) z + (11 + 2i ) = Hướng dẫn giải:  S =α + β =2 + 4i Áp dụng định lý Viet, ta có:  −11 − 2i α β = P = Do α , β hai nghiệm phương trình: z − Sz + P = ⇔ z − ( + 4i ) z − (11 + 2i ) = Ta chọn đáp án A Câu 36 Có số phức thỏa mãn điều kiện = z | z |2 + z ? A B C Hướng dẫn giải: Gọi z = a + bi ( a, b ∈  ) số phức thỏa mãn điều kiện Ta có: D z = | z |2 + z ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ a + 2b − bi − 2abi = ⇔ ( a + 2b ) + ( −b − 2ab ) i =  a= b= a + 2b =    a = − a + 2b =  b = ⇔ ⇔ ⇔    b + 2ab = a = −     b = ± 2   Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Ta chọn đáp án A Câu 37 Phương trình ( + i ) z + az += b ( a, b ∈  ) có hai nghiệm + i − 2i Khi a = ? A −9 − 2i B 15 + 5i C + 2i Hướng dẫn giải: Theo Viet, ta có: a S =z1 + z2 = − = 4−i ⇔ a = ( i − )( i + ) ⇔ a =−9 − 2i 2+i Ta chọn đáp án A Câu 38 Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z +i A 17 B 17 C 17 Hướng dẫn giải: z − z + 13 = ⇔ ( z − 3) + = ⇔ z = ± 2i D 15 − 5i D 17 +) Nếu z= + 2i : 6 + 15i −18 + 72i z+ =3 + 2i + = = =−1 + 4i z +i + 3i + 3i 18 ⇒ z+ = −1 + 4i = 17 z +i +) Nếu z= − 2i : 6 13 − 9i 30 − 40i z+ =3 − 2i + = = =3 − 4i z +i 3−i 3−i 10 ⇒ z+ = − 4i = z +i Trang 15/21 Ta chọn đáp án A Câu 39 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + (1 − 3i ) z − (1 + i ) = Khi w = z12 + z22 − z1 z2 số phức có mơđun là: A Hướng dẫn giải: B 13 C 13 D 20 b  = + =− =−1 + 3i S z z  a Theo Viet, ta có:  c P = −2 (1 + i ) z1.z2 ==  a w = z12 + z22 − z1 z2 = S − P = ( −1 + 3i ) + 10 (1 + i ) = + 4i ⇒| w |= + 16 = 20 Ta chọn đáp án A Câu 40 Số nghiệm phương trình với ẩn số phức z: z + | z |2 −3 =0 là: A B C Hướng dẫn giải: Gọi z = a + bi ( a, b ∈  ) nghiệm phương trình Ta có: D ( a + bi ) + ( a + b ) − = ⇔ ( a − b + 2abi ) + ( a + b ) − = ⇔ 12a + 4b + 8abi − = 2 12a = + 4b 4a= + b2 ⇒ ⇔ = ab 0= ab ( 2a + b ) 4a + 4ab + b =  ⇒ ⇔ a = ab =   b = Vậy phương trình có nghiệm phức Ta chọn đáp án A a =   =  b = ±1  ⇔  a = ±   b = Câu 41 Tìm số phức z để z − z = z2 A z = 0; z = − i B z = 0; z = + i i; z =− i 0; z =+ i; z =− i C z = D z =+ Hướng dẫn giải: Gọi z = a + bi ( a, b ∈  ) số phức thỏa mãn đẳng thức Ta có:  a = a − b =  a − b =  b = ±1 z−z = z ⇔ a + bi − a + bi = ⇔ a = ⇔ ( a + bi ) ⇔   a = 2ab = 2b  b =    b = z = ⇒  z =+ i  z = − i 2 Ta chọn đáp án A Câu 42 Với số ảo z, số z + | z |2 là: A Số thực âm Hướng dẫn giải: B Số C Số thực dương D Số ảo khác Trang 16/21 Do z số ảo nên z có dạng:= z bi ( b ∈  ) Ta có: z + | z |2 = −b + b = ( bi ) + b2 = Ta chọn đáp án A Câu 43 Trong trường số phức phương trình z + = có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải: z = z + = ⇔ ( z + 1) ( z − z + 1) = ⇔  ± 3i z =  Vậy phương trình có ba nghiệm trường số phức Ta chọn đáp án A Câu 44 Giá trị số thực b, c để phương trình z + bz + c = nhận số phức z = + i làm nghiệm là: b = −2 b = −2 b = b = A  B  C  D  c = −2 c = c = −2 c = Hướng dẫn giải: Do z = + i nghiệm z + bz + c = nên ta có: b + c =0 b =−2 ⇔ (1 + i ) + b (1 + i ) + c = ⇔ b + c + bi + 2i = ⇒  −2 b = c = Ta chọn đáp án A Câu 45 Trên tập hợp số phức, phương trình z + z + 15 = có hai nghiệm z1 , z2 Giá trị biểu thức z1 + z2 + z1 z2 là: A –7 B C 15 D 22 Hướng dẫn giải: b  z1 + z2 = − = −7  S = a Theo Viet, ta có:  ⇒ z1 + z2 + z1 z2 =S + P =−7 + 15 =8 c  P= z z = = 15  a Ta chọn đáp án A Câu 46 Tìm số nguyên x, y cho số phức z= x + yi thỏa mãn z= 18 + 26i x =  x = −3 x = x = A  B  C  D   y = ±1  y = ±1  y = −1 y =1 Hướng dẫn giải: z =18 + 26i ⇔ ( x + yi ) =18 + 26i ⇔ x + x yi − xy − y 3i =18 + 26i ⇔ ( x − xy ) + ( x y − y ) i =18 + 26i  x ( x2 − y ) = 18 18  x − xy =  ⇒ ⇔  2 26 26 3 x y − y =  y ( x − y ) = Do x, y nguyên nên  x = 3  x =    x − y =   y = ±1 18 ⇔  x ( x2 − y ) = ⇔ x = x=6     ( loai )   x − y =   y = ± 11 Mà y ( x − y ) = 26 ⇒ x = 3; y = Trang 17/21 Ta chọn đáp án A Câu 47 Trên tập số phức, cho phương trình sau: ( z + i ) + z = Có nhận xét số nhận xét sau? Phương trình vơ nghiệm trường số thực  Phương trình vơ nghiệm trường số phức  Phương trình khơng có nghiệm thuộc tập số thực Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức Phương trình có hai nghiệm số phức Phương trình có hai nghiệm số thực A B C Hướng dẫn giải: 4 −4 z ( z + i) = ( z + i ) + z =⇔ D ( z + i ) =  z = ±1  z = ±1 2iz  z − =0  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   2 ( z + i )2 =  z = −2 ± i ( z + 2i ) + = −2iz  z + 4iz − =0 Do phương trình có nghiệm thực nghiệm phức Vậy nhận xét 4, Ta chọn đáp án A Câu 48 Phương trình z − z + = có nghiệm tập số phức? A B C D Hướng dẫn giải: Ta có: z − z + = ⇔ ( z − 1)( z − ) ( z + z + 1)( z + z + ) = ( ) z = z =  ⇔  z =± −1 −1 ± i  Ta chọn đáp án A Câu 49 Giả sử z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = A, B điểm biểu diễn z1 , z2 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: A I (1;1) B I ( −1;0 ) C I ( 0;1) D I (1;0 ) Hướng dẫn giải: z − z + = ⇔ ( z − 1) + = ⇔ z = ± 2i ⇒ A (1; ) ; B (1; −2 ) Do tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB I (1;0 ) Ta chọn đáp án A Câu 50 Cho phương trình z + mz − 6i = Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm ± ( a + bi )( a, b ∈  ) Giá trị a + 2b là: m có dạng m = A B C −2 Hướng dẫn giải: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình cho D −1 b  − = −m z1 + z2 =  S = a Theo Viet, ta có:   P = z z = c = −6i  a Theo cho, tổng bình phương hai nghiệm Ta có: Trang 18/21 ⇔ m2 = − 12i ⇔ m = z12 + z22 =S − P = m + 12i = ( − 2i ) ⇒m= ± ( − 2i ) ⇒ a =3; b =−2 ⇒ a + 2b =3 − =−1 Ta chọn đáp án A Câu 51 Gọi  z −1  nghiệm phức phương trình   = Giá trị  2z − i  z1 , z2 , z2 , z4 P= ( z12 + 1)( z22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) là: 17 Hướng dẫn giải: i Với z ≠ , ta có: A  z −1  2z − i  z −1  1⇔    =  2z − i   z −1  z − i B 17 C 17 D 17i  z =−1 + i  1+ i = ±1  z = ⇔  + 4i = ±i z =   z =  (1 + i )2   ( + 4i )2  ( −1 + i ) + 1  ⇒P= + 1  + 1 ( z + 1)( z + 1)( z + 1)( z + 1) =   25      + 2i 13 + 16i 425 17 = = = (1 − 2i ) 25 9.25 Ta chọn đáp án A Câu 52 Trong tập số phức, giá trị m để phương trình bậc hai z + mz + i =0 có tổng bình phương hai nghiệm −4i là: 2 A ± (1 − i ) 2 B (1 − i ) C ± (1 + i ) D −1 − i Hướng dẫn giải: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình  z1 + z2  S = Theo Viet, ta có:   P= z z =  = − b = −m a c = i a ⇒ z12 + z22 = S − P = m − 2i Ta có: m − 2i = −4i ⇔ m = −2i ⇔ m = (1 − i ) ⇔ m =± (1 − i ) Ta chọn đáp án A Câu 53 Cho phương trình z − mz + 2m − =0 m tham số phức Giá trị m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12 + z22 = −10 là: A m= ± 2i Hướng dẫn giải: B m= + 2i C m= − 2i D m =−2 − 2i b  − = z1 + z2 = m  S = a Theo Viet, ta có:   P= z z = c= 2m − 1  a 2 z1 + z2 = −10 ⇔ S − P = −10 ⇔ m − ( 2m − 1) = −10 ⇔ m − 4m + 12 = ⇔ ( m − ) + = ⇔ m = ± 2i Trang 19/21 Ta chọn đáp án A Câu 54 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = , z1 có phần ảo dương Giá trị số phức= w ( z1 + z2 ) z1 A 12 + 6i Hướng dẫn giải: là: B 10 C D 12 − 6i  z =−1 + 7i z + z + = ⇔ ( z + 1) + = ⇔ z = −1 ± 7i ⇒   z2 = − 7i w = ( z1 + z2 ) z1 =  −1 + 7i + − 7i  −1 − 7i = −1 + 7i −1 − 7i = + =   ( ( ) ) ( )( ) Câu 55 Tổng bình phương nghiệm phương trình z − =0 tập số phức bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn giải:  z = ±1 z4 −1 = ⇔   z = ±i Do tổng bình phương nghiệm phương trình − =0 Ta chọn đáp án A Câu 56 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = Trong z1 có phần ảo âm Giá trị biểu thức M =| z1 | + | z1 − z2 | là: A − 21 B + 21 C Hướng dẫn giải: z − z + = ⇔ ( z − 1) + = ⇔ z = ± 5i + 21 D − 21 ⇒ z1 =1 − 5i; z2 =1 + 5i ⇒ M = | z1 | + | z1 − z2 |= − 5i + − 5i = + 84 = + 21 Ta chọn đáp án A Câu 57 Phương trình x + x − 24 x + 72 = tập số phức có nghiệm là: A ± i −2 ± 2i B ± i ± 2i C ± 2i −2 ± 2i D −1 ± 2i −2 ± 2i Hướng dẫn giải: x + x − 24 x + 72 =0 ⇔ ( x − x + )( x + x + 12 ) =0 ( x − ) + =  x = ± 2i  x2 − x + = ⇔ ⇔ ⇔  ( x + )2 + = 0  x =−2 ± 2i  x + x + 12 = Ta chọn đáp án A Câu 58 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + z + = = z14 + z24 có giá trị Khi A là: A 23 Hướng dẫn giải: B  z1 + z2  S = Theo Viet, ta có:   P= z z =  C 13 23 = − D 13 b = − a c = a A = z14 + z24 = ( S − P ) − P = ( − 2.7 ) − 2.49 = 23 2 Ta chọn đáp án A Trang 20/21 ... thuộc tập số thực Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức Phương trình có hai nghiệm số phức Phương trình có hai nghiệm số thực A B C D Câu 48 Phương trình z − z + = có nghiệm tập số phức? ... Phương trình khơng có nghiệm thuộc tập số thực Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức Phương trình có hai nghiệm số phức Phương trình có hai nghiệm số thực A B C Hướng dẫn giải: 4 −4 z (... Trên tập số phức, cho phương trình sau: ( z + i ) + z = Có nhận xét số nhận xét sau? Phương trình vơ nghiệm trường số thực  Phương trình vô nghiệm trường số phức  Phương trình khơng có nghiệm