Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HỐ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC TÍNH CHẤT NGHIỆM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH 12 Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA, NĂM 2020 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức 2.3.2 Một số ví dụ việc biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức cách khai thác tính chất nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 14 2.4.1 Trước thực sáng kiến kinh ghiệm…… …………………… …14 2.4.2 Sau thực sáng kiến kinh nghiệm…………… ………………….14 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO .16 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn địi hỏi tư sáng tạo việc linh hoạt việc vận dụng kiến thức bản, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu chất vấn đề, biết cách khai thác vận dụng tính chất để vận dụng giải tập Mặt khác tập toán đa dạng phong phú, phân phối chương trình số tiết ơn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập dạng tập cho học sinh Chính thế, giáo viên giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác tính chất cách tốt nhất, hiệu nhằm giúp em có định hướng việc giải tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác tính chất tạo cho học sinh có cảm giác giải tốn, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú yêu thích môn học Trong đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi năm gần đây, câu hỏi có liên quan tới việc biện luận phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức đa dạng phong phú, đồng thời nhóm câu hỏi thường nằm câu hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao Gặp câu hỏi liên quan đến chủ đề học sinh thường lúng túng việc hiểu rõ yêu cầu toán điều kiện nghiệm, chưa phân biệt khái niệm môđun khái niệm giá trị tuyệt đối Giúp học sinh cách vận dụng tính chất vào việc giải toán phương pháp giảng dạy giúp học sinh tự tìm tòi sáng tạo việc lĩnh hội tri thức nhanh hiệu Qua thực tế năm giảng dạy trường trung học phổ thông tìm tịi nghiên cứu việc khai thác tính chất nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức nhằm giúp học sinh giải dạng tập khó chủ đề Vì tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là: “Khai thác tính chất nghiệm để giải số tốn biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài giúp em học sinh hiểu tính chất nghiệm, giải số tốn có liên quan tới việc biện luận phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai với hệ số thực thông qua việc khai thác cơng thức nghiệm tính chất nghiệm Từ em phân loại đưa phương pháp giải tập liên qua tới phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức cách nhanh nhất, xác đạt hiệu cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải số tốn biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” tập trung nghiên cứu hệ thống kiến thức trọng tâm công thức nghiệm tính chất nghiệm phương trình bậc hai tập hợp số phức nhằm tìm định hướng giải số toán biện luận phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai với hệ số phức chương trình giải tích lớp 12 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu sở lí luận để làm sáng tỏ tính chất nghiệm để nhằm tìm định hướng giải tốn, áp dụng để giải dạng tập liên quan tới phương trình tập số phức nói riêng tập tốn nói chung 1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn - Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa tìm hiểu chương trình giả tích lớp 12 THPT, nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan để xác định dạng tập có liên quan tới phương trình bậc hai quy bậc hai tập hợp số phức Từ xác định kiến thức tính chất nghiệm phương trình bậc hai, kiến thức liên quan để vận dụng giải tập nhanh xác 1.4.3 Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá Trên sở phân tích định tính định lượng kết thu trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi tính hiệu biện pháp đề tài sáng kiến đưa - Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 08 năm 2019 đến tháng 06 năm 2020 - Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải số toán biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” đưa định hướng giải tốn biện luận phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức thông qua việc khai thác tính chất nghiệm - Từ cách khai thác giúp em học sinh phân loại đưa phương pháp giải phù hợp để giải số dạng tập thường gặp biện luận phương trình tập số phức đề thi Tốt nghiệp THPT quốc gia NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Việc dạy học toán học nhà trường phổ thông không giúp học sinh hiểu sâu sắc đầy đủ kiến thức toán học phổ thơng mà cịn giúp em vận dụng kiến thức giải nhiệm vụ tập tốn Để đạt điều đó, học sinh phải có định hướng đắn việc giải toán Kỹ khai thác tính chất để tìm định hướng giải toán thước đo độ sâu sắc vững vàng kiến thức toán mà học sinh học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế khảo sát học sinh lớp trực tiếp giảng dạy học sinh khối lớp trường nhận thấy việc định hướng tìm lời giải học sinh tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải tốn khó hạn chế Khi gặp dạng tập tốn học sinh thường lúng túng q trình phân tích, phân loại dạng tập sử dụng kiến thức liên quan để giải tốn Các tài liệu tham khảo có thường giải số tập cụ thể, học sinh không áp dụng cho dạng tập dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh đề thi thường xuyên xuất số câu hỏi khó biện luận phương trình tập số phức Khi gặp dạng tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức toán học kết hợp với chất nghiệm phương trình bậc hai tập số phức đưa cách giải nhanh xác Xuất phát từ thực trạng tơi viết đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải số tốn biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng toán này, phân loại đưa phương pháp giải phù hợp với dạng tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức vận dụng để giải câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi THPT quốc gia 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức a.[1] Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực az ι� bz c  a, b, c �; a 0; z � Cho phương trình bậc hai Xét   b  4ac , ta có x b 2a +)TH1   : phương trình có nghiệm thực +)TH2   : phương trình có hai nghiệm thực xác định công thức b �  2a +)TH3   : phương trình có hai nghiệm phức xác định công thức z1,2  z1,2  b �i |  | 2a b [1].Hệ thức Vi–ét phương trình bậc hai với hệ số thực az ι� bz c  a, b, c �; a 0; z � có hai nghiệm z1 , z2 Phương trình bậc hai (nghiệm thực nghiệm phức) b � S  z  z   � � a � �P  z z  c a Ta có hệ thức Vi–ét � c.[3] Một số tính chất nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực Tính chất �; a Nếu phương trình bậc hai az  bz  c   a, b, c ι� 0; z � có hai nghiệm z1 , z2 khơng phải số thực hai nghiệm hai số phức liên hợp với Tính chất Nếu phương trình bậc hai az ι� bz c  a, b, c �; a 0; z � có nghiệm z0 z0 nghiệm Lưu ý: +) Nếu z số phức z gọi mơdun số phức z +) Nếu z số thực z gọi giá trị tuyệt đối số thực z 2.3.2 Một số ví dụ việc biện luận phương trình bậc hai quy bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức cách khai thác tính chất nghiệm z  b z  c  0, (z ��) Tìm số thực b, c để Ví dụ 1.[9]: Cho phương trình phương trình nhận z   i nghiệm Phân tích tốn: +) Bài tốn làm cách thay nghiệm vào phương trình để tìm b, c +) Tuy nhiên ta sử dụng tích chất định lý vi-et cho kết nhanh hơn, phù hợp cho việc thi trắc nghiệm Bài giải: Do phương trình z  b z  c  0, (z ��) có hệ số số thực có nghiệm số phức khơng phải số thực, nên z   i nghiệm z0  z   i nghiệm phương trình Áp dụng định lý vi-et ta có (1  i )  (1  i )  b b  2 �z  z0  b � � �� �� � (1  i ).(1  i )  c c2 � � �z.z0  c Vậy b  2; c  2 Ví dụ 2.[9]: Cho phương trình z  4(m  1)z  m  3m  0, (z ��) Tìm số thực m để phương trình có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  Phân tích tốn: +) Cái khó tốn học sinh chưa hiểu rõ điều kiện z1  z2  , thường xét thiếu trường hợp +) Đối với toán cần phân biệt cho học sinh ký hiệu z gọi môdun; gọi giá trị tuyệt đối Bài giải: 2 Phương trình z  4(m 1) z  m  3m  (1), (z ��) có  '  4m  +)TH1:  '  � m  1 Khi phương trình (1) có hai nghiệm z1 , z2 khơng số thực Do z1  z2 � z1  z2 Khi z1  z2  � z2  � z2  � z1 z2  m  3m z1 z2  Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có m  1 � m  3m � 1� � m4 � (không thỏa mãn điều kiện m  1 ) +)TH2:  '  � m  1 Khi phương trình (1) có hai nghiệm thực z1  z2  , suy z1  z2  Vậy m  1 thỏa mãn điều kiện +)TH3:  '  � m  1 Khi phương trình (1) có hai nghiệm thực z1 , z2 �z1  z2   m � � m  3m �z1 z2  Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có � 2 Khi ta có z1  z2  � ( z1  z2 )  � z1  z1 z2  z2  m  3m m  3m � (z1  z )  2z1z  z1z  � (m  1)   4 2 2 � (m  1)  4, m  3m �0 �� � m3 m  3, m  m  � (Thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị m cần tìm m  3; m  1 Ví dụ 3.[9]: Giả sử số thực m  a  b 20 ( a, b số nguyên khác 0) số thực cho phương trình z  2(m  1)z  2m  0, (z ��) có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  10 Tìm số ngun a Phân tích tốn: +) Đây tập tương tự Ví dụ 2; thơng qua ví dụ để củng cố khắc sau cho học sinh dạng toán trên, rèn luyện kỹ hiểu đề toán trắc nghiệm +) Lưu ý yêu cầu hai nghiệm phức phân biệt Bài giải: 2 Phương trình z  2(m  1)z  2m   0, (z ��) có  '  m  6m  +)TH1:  '  �  10  m   10 Khi phương trình (1) có hai nghiệm z1 , z2 khơng số thực Do z1  z2 � z1  z2 Suy z1  z2  10 � z2  Áp � dụng định lý 10 5 � z2  � z1 z2  2 vi-et cho phương trình (1) ta có z1 z2  2m  2m   �m2 2 (thỏa mãn điều kiện ) � m   10 '  � � m   10 � +)TH2: Khi phương trình (1) có hai nghiệm thực �z1  z2   m � � 2m  z1 z2  � z1 , z2 Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có � 2 2 Khi ta có z1  z2  10 � ( z1  z2 )  10 � z1  z1 z2  z2  10 � (z1  z )2  z1z  z1z  10 � (1  m)  (2 m  1)  2m   10 � � (1  m)  10, 2m  �0 m   10 � �2 �� m  6m  11  0, 2m   m   20 � � Đối chiếu với điều kiện suy m   20 Vậy có hai giá trị m cần tìm m  2; m   20 Theo yêu cầu tốn m  a  b 20 , giá trị a cần tìm a  2 Ví dụ 4.[9]: Cho phương trình z  z  m  2m  0, (z ��) Tìm số thực m để phương trình có nghiệm phức z0 thỏa mãn z0  Phân tích tốn: +) Đây thuộc dạng toán phải chia trường hợp  để xét chất nghiệm (nghiệm thực hay không nghiệm thực) +) Để giải tập học sinh phải vận dụng linh hoạt tính chất nghiệm phương trình Bài giải: 2 z  z  m  2m  0, (z ��) (1) có  '  4m  8m  Phương trình +)TH1: � �� ' 4m�� 8m trình (1) có nghiệm thực z0 Khi 2 m 2 Khi phương � z0  z0  � � z0   � � +) Với z0  , thay vào phương trình (1) ta m  2m   (vô nghiệm) m0 � m  2m  � � m2 � +) Với z0   , thay vào phương trình (1) ta � 2 m � 2  '  � 4m  8m   � � � 2 m � � +)TH2: Khi phương trình (1) có nghiệm phức khơng phải số thực z0 Khi z0 nghiệm phương trình (1) Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có m  1 � 2 � z  m  m � m  m   � � m3 z0 z0  m2  2m � (thỏa mãn) Vậy giá trị m cần tìm m � 1;0;2;3 Ví dụ 5.[9]: Cho phương trình z  6z   m  0, (z ��) Gọi S tổng giá trị thực m để phương trình có nghiệm phức z0 thỏa mãn z0  Tính tổng S ? Phân tích tốn: +) Đây tập tương tự Ví dụ 4; thơng qua ví dụ để củng cố khắc sau cho học sinh dạng toán trên, rèn luyện kỹ hiểu đề tốn trắc nghiệm Bài giải: Phương trình z  z  m  0, (z ��) (1) có  '  9m ' +)TH1: �۳۳ 9m m Khi phương trình (1) có nghiệm thực z0 z0  � z0  � � z0  1 � Khi +) Với z0  , thay vào phương trình (1) ta m  16 (thỏa mãn) +) Với z0  1, thay vào phương trình (1) ta m  (thỏa mãn) +)TH2:  '  � m  10 Khi phương trình (1) có nghiệm phức khơng phải số thực z0 Khi z0 nghiệm phương trình (1) Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có z0 z0  1 m 1 m 1 m � z0  �  � m  8 9 (thỏa mãn) Vậy giá trị m cần tìm m � 8;4;16 , suy tống giá trị m S  12 Ví dụ 6.[9]: Tìm số thực m để phương trình z  mz  2m  , (z ��) khơng có nghiệm thực Phân tích tốn: +) Đây dạng phương trình bậc trùng phương nhiên xét tập hợp số phức (z ��) số học sinh lúng túng cách xử lý toán +) Bản chất vấn đề tương tự việc biện luận phương trình bậc trùng phương tập hợp số thực Bài giải Đặt z2  t , phương trình z  mz  2m  (1) trở thành t  mt  2m  (2) Phương trình (1) khơng có nghiệm thực khi: +)TH1: Phương trình (2) khơng có nghiệm thực, tương đương với   m  8m  �  m  +)TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm thực âm, tương đương với �   m  8m �0 � �۳ m � � 2m  � �� m �� m0 �� � m0 � m Vậy giá trị m cần tìm m  11 Ví dụ 7.[9]: Cho phương trình z  (m  4) z  4m  , (z ��) Tìm tất số thực m để phương trình có nghiệm phức z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z3  z4  Phân tích toán: +) Đây toán mà học sinh phải xét chất nghiệm (nghiệm thực hay nghiệm thực) để xử lý điều kiện z1  z2  z3  z4  Bài giải: Ta có phương trình z  (m  4) z  4m  �  z    z  m   (1) z  �2i � z2   � � �2 � �2 z  m z m0 � � m +) TH1: Nếu � m , phương trình (1) có nghiệm z1  2i � � z2  2i � � z1  z2  z3  z4   m � z3  m � � z4    m � �  m  � m  1 (thỏa mãn) +) TH2: Nếu m  � m  , phương trình (1) có nghiệm z1  2i � � z2  2i � � z1  z2  z3  z4   m � z3  m i � � z4   m i � �  m  � m  (thỏa mãn) Vậy giá trị m cần tìm m  �1 12 Ví dụ 8.[9]: Cho phương trình z  az  b z  c  0, (z ��) Tìm số thực a, b, c để phương trình nhận z1   i, z2  làm nghiệm Phân tích tốn: +) Đối với tốn học sinh nắm định lý vi-et phương trình bậc việc giải tốn nhanh gọn +) Đây toán thường gặp thi dạng trắc nghiệm mức độ VD-VDC +) Học sinh làm cách thay nghiệm vào phương trình để tìm số thực a, b, c , nhiên lâu Bài giải: Do phương trình z  az  b z  c  (1), (z ��) nhận z1   i, z2  làm nghiệm suy z3   i nghiệm phương trình Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta a  4 �z1  z2  z3  a � � � b6 �z1.z2  z2 z3  z3 z1  b � � �z z z  c � c  4 � �1 Vậy giá trị a, b, c cần tìm a  4, b  6, c  4 Ví dụ 9.[9]: Cho phương trình z  az  bz  cz  d  0, z �� (với a, b, c, d số thực) Biết phương trình nhận z1  1  i, z2   2i làm nghiệm Tính tổng S  a  b  c  d Phân tích tốn: +) Để giải tốn học sinh làm cách thay nghiệm vào phương trình để tìm số thực a, b, c , nhiên lâu 13 +) Đối với toán trắc nghiệm dạng ta nên sử dụng cách giải sau tiết kiệm thời gian tránh việc tính tốn phức tạp Tuy nhiên học sinh cần có kiến thức sâu phương trình đa thức Bài giải: Do phương trình z  az  bz  cz  d  0, z ��(1) với a, b, c, d số thực, có nghiệm z1  1  i, z2   2i số phức không số thực đồng thời không hai số phức liên hợp Do phương trình (1) nhận z3  z1  1  i, z4  z2   2i làm nghiệm �z1  z3  2 �z2  z4  , � � z z  �z2 z4  Mặt khác ta có �1 2 Do z  az  bz  cz  d  � (z  z  2)(z  z  3)  4 Hay z  az  bz  cz  d  � z  z  z   Suy a  0, b  1, c  2, d  � S  a  b  c  d  Vậy S  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi áp dụng đề tài q trình giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thơng Hoằng Hố 4, tơi thấy học sinh nắm bắt vận dụng nhanh tính chất nghiệm vào việc giải dạng tập vận dụng cao biện luận phương trình tập số phức Kết năm trực tiếp giảng dạy chương trình hình học 12 cụ thể sau: 2.4.1.Trước thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2018 - 2019 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn 14 Giỏi 12A5 41 10 Khá 24% 21 52% Trung bình Yếu 10 24% 0% 2.4.2.Sau thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2019-2020 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn Giỏi 12A1 43 32 Khá 76% 11 24% Trung bình Yếu 0 0% 0% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong đề tài với khả hạn chế thời gian khơng cho phép, tơi đưa số ví dụ điển hình dạng tập, số lượng tập chưa nhiều phong phú Qua thực tế giảng dạy, thấy giới thiệu đề tài cho học sinh em tự tin việc tìm tịi định hướng giải tốn biện luận phương trình tập số phức nhanh cho kết xác, em biết cách phân biệt hiểu rõ chất nhiệm nghiệm thực nghiệm phức, nắm tính chất nghiệm để vận dụng giả tập khó biện luận dạng phương trình tập hợp số phức 3.2 Kiến nghị Đề tài phát triển bổ sung thêm tính chất nghiệm phương trình bậc hai với hệ số phức dạng phương trình phức tạp tập hợp số phức, mở rộng phương pháp nghiên cho dạng tập khác chương trình tốn học phổ thơng năm Tuy có nhiều cố gắng kinh nghiệm giảng dạy cịn hạn chế nên tơi tin đề tài cịn có thiếu sót Tơi mong 15 nhận xét góp ý chân thành hội đồng khoa học ngành, đồng chí đồng nghiệp em học sinh để đề tài hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 21 tháng 06 năm 2020 HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Hữu Các TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa giải tích 12 (Đồn Quỳnh) [2] Sách tập giải tích 12 (Nguyễn Huy Đoan) [3] Tài liệu chun tốn giải tích 12 (Đồn Quỳnh) [4] Tài liệu chun tốn tập giải tích 12 (Đoàn Quỳnh) [5] Rèn luyện luyện tư qua việc giải tập tốn (Nguyễn Thái Hịe) [6] Sáng tạo toán học (G.POLYA) [7] Toán học suy luận có lý (G.POLYA) [8] Giải tốn (G.POLYA) [9] Các đề thi thi thử THPT Quốc gia trường THPT Sở GD&ĐT [10] Đề thi THPT Quốc gia năm 2019, đề minh họa thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2020 16 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG CẤP SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ ST T TÊN ĐỀ TÀI SKKN Các biện pháp phát triển khả định hướng giải toán cho học sinh THPT SỞ GD&ĐT C 2015 Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10 giải toán phương pháp tọa độ mặt phẳng SỞ GD&ĐT C 2016 SỞ GD&ĐT C 2018 Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải số toán phương pháp tọa độ HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LOẠ I NĂM 17 không gian – Hình học lớp 12 18 ... nghiệm để giải số tốn biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức – Giải tích lớp 12? ?? đưa định hướng giải toán biện luận phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai với hệ số thực. .. pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức 2.3.2 Một số ví dụ việc biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức. .. tốn biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực tập hợp số phức – Giải tích lớp 12? ?? tập trung nghiên cứu hệ thống kiến thức trọng tâm cơng thức nghiệm tính chất nghiệm phương trình bậc hai tập