MỘT số bài TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT đồ THỊ của đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TỐN KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ CỦA ĐẠO HÀM Người thực hiện: Nguyễn Thị Bé Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC Nội dung 1- PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2- PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1, Đối với giáo viên 2.2.2, Đối với học sinh 2.3 Một số tốn khai thác tính chất đồ thị đạo hàm 2.3.1,Đồ thị hàm số y = f’(x) tính đồng biến nghịch biến hàm số y = f(x) 2.3.2, Đồ thị hàm số y = f’(x) cực trị hàm số y = f(x) 2.3.3, Đồ thị hàm số y = f’(x) toán liên quan đến kiến thức tích phân 2.3.4, Một số tập khác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3- PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN xếp loại cấp tỉnh Trang 3 3 5 5 6 10 12 13 14 15 15 16 16 16 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong giải tích, đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều tốn Giữa hàm số f(x) đạo hàm f’(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm hàm số việc biểu diễn dạng cơng thức thể thơng qua đồ thị Việc dựa vào đồ thị f’(x) để tìm tính chất hàm số f(x) đưa đến cho điều thú vị toán hay Trong đề thi nay, xuất nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị hàm số f’(x) yêu cầu tính chất biến thiên cực trị số tính chất khác hàm số f(x) Một yêu cầu mẻ giống hầu hết tốn khác học sinh khơng nắm vững kiến thức liên quan rèn luyện thường xun trở thành u cầu khó Trong q trình tự học, tự tìm tòi nghiên cứu dạng tập để ôn tập cho học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia tới, tơi thích dạng tập đọc đồ thị hàm số Chính tơi chọn đề tài: “Một số tốn khai thác tính chất đồ thị đạo hàm” nhằm góp phần nho kinh nghiệm q trình nâng cao trình độ chun mơn bạn bè đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nhìn nhận rõ chất hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn - Làm sở lý luận, sở đánh giá cho đề ôn tập - Vận dụng vào thực tế nhà trường sở đối tượng học sinh, phương tiện dạy học có 1.3 Đối tượng nghiên cứu * Đề tài nghiên cứu tập khai thác tính chất đồ thị đạo hàm * Nghiên cứu sở thực nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục trường THPT, định hướng quan điểm đổi phương pháp dạy học, thầy cô giáo em học sinh trường THPT Yên Định II 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Nghiên cứu số tài liệu cách đề trắc nghiệm, đổi PPDH mơn tốn, tài liệu nghiên cứu cách kiểm tra đánh giá học sinh… để xây dựng lý luận cho đề tài - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Giảng dạy trực tiếp, đề kiểm tra từ đánh giá nhận xét cách làm, chất lượng đề Quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút học - Phương pháp thống kê, xử lý liệu Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh liệu đánh giá trước sau học theo hệ thống tập khai thác PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Khơng ngừng tìm tòi, phát vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ, nhiều khía cạnh để từ tăng khả tư nhạy bén điều mà môn học hướng tới Đặc biệt Tốn học vốn mang nhiều vẻ đẹp tiềm ẩn, công cụ sắc bén cho nhiều ứng dụng thực tiễn mơn học khác Để làm điều đó, để truyền lại cho học sinh nhìn tổng thể, sâu sắc chất vấn đề việc rèn luyện kĩ khai thác tốn vơ quan trọng Lý thuyết phải có thực hành để kiểm chứng vận dụng Trước đề thi tự luận ln ln có câu khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Đây toán tổng hợp bao gồm: xét tính đơn điệu, cự trị, tiệm cận… chuyển sang đề thi dạng trắc nghiệm toán phân chia thành nhiều câu nho, loại lại đề tài vô đa dạng phong phú, tốn đọc đồ thị hàm số toán hay thú vị 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1, Đối với giáo viên Như biết vấn đề đưa cần phải có thời gian để thích ứng kiểm nghiệm Chính Bộ Giáo dục Đào tạo có lộ trình rõ ràng việc chuyển từ hình thức thi tự luận mơn tốn sang hình thức thi trắc nghiệm, thể rõ nội dung đề thi: năm hoàn toàn nội dung chương trình lớp 12, năm thứ hai có lớp 11 cuối có tồn nội dung chương trình phổ thơng Điều có mục đích tạo điều kiện cho giáo viên học sinh có thời gian thích ứng Đối với giáo viên cần có thời gian để làm quen cập nhật theo hình thức thi Cách rèn luyện kĩ cho học sinh cần phải tư nhìn nhận lại Tuy vậy, khơng phải giáo viên có đủ điều kiện, đủ tư để nắm bắt kịp thời Chưa kể cách giảng dạy, cách rèn kĩ theo kiểu cũ số giáo viên lâu năm ăn sâu vào tiềm thức, khơng phải nói đổi đổi Để nắm bắt theo kịp đổi thân giáo viên phải khơng ngừng học hoi, có ý chí phấn đấu vươn lên, tự trau dồi kiến thức đặt địa vị vào học sinh 2.2.2, Đối với học sinh Tuy rằng qua năm thực em học sinh chưa tiếp cận hết với dạng tập toán đưa hình thức trắc nghiệm Tài liệu mạng nhiều em có điều kiện để nghiên cứu Cộng thêm với cách tư có nhiều thay đổi khiến em bước đầu thời chưa thích nghi tốt với đề thi trắc nghiệm tốn 2.3 Một số tốn khai thác tính chất đồ thị đạo hàm Hàm số phần đơn vị kiến thức xuất nhiều đề thi, chiếm nội dung tương đối lớn giải tích 12 Vì tập phong phú đa dạng Sau xin đưa số phân dạng tốn khai thác tính chất đồ thị đạo hàm 2.3.1, Đồ thị hàm số y = f’(x) tính đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) a, Trước hết ta nhắc lại số kiến thức sau [1] Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K * Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến (tăng) K * Nếu f’(x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến (giảm) K Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) ta nhận thấy: * f’(x) > x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trục hồnh * f’(x) < x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trục hồnh Từ ta có kết luận: * x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f(x) đồng biến (tăng) * x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f(x) nghịch biến (giảm) b, Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; e] Đồ thị hàm số y = f’(x) hình vẽ sau y a b Oc d e x Hãy khoảng đồng biến, nghịch biến lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) khoảng (a; e) Hướng dẫn Trên khoảng (a; b) (c; d) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trục hồnh, tức f’(x) < nên hai khoảng hàm số y = f(x) nghịch biến Trên khoảng (b; c) (d; e) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trục hồnh, tức f’(x) > nên hai khoảng hàm số y = f(x) đồng biến Nói cách ngắn gọn, dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta biết dấu f’(x) để từ kết luận biến thiên hàm số y = f(x) Trên đoạn [a; e], f’(x) = ⇔ x = a, x = b, x = c, x = d, x = e Ta lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) đoạn [a; e] sau: A b c d f ’(x) − + − x f (a) e + f (c) f (x) f (b) f (e) f (d) Nhận xét: Khi dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta biết dấu f’(x) điểm mà f’(x) = Điều giúp ta lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta nhìn trực quan hàm số y = f(x) Ví dụ (Đề thi tham khảo THPT Quốc gia 2018 – Bộ GD ĐT) [2] Cho hàm số y = f(x) Hàm số y = f’(x) có đồ thị hình sau y − 1 x Hàm số y = f(2 - x) đồng biến khoảng A (1; 3) B (2; + ∞ ) C (-2; 1) D (- ∞ ; -2) Hướng dẫn Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta suy f’(x) < ⇔ x < -1 < x < Đặt g(x) = f(2 - x), ta có: g’(x) = (2 - x)’f’(2 - x) = -f’(2 - x) Để hàm số g(x) = f(2 - x) đồng biến g’(x) > ⇔ f’(2- x) < ⇔ x > -2 < x < Vậy hàm số y = f(2 – x) đồng biến khoảng (-2; 1) (3; + ∞ ) Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm số y = f’(x) cho hình sau: y − 01 1− 2x − Xét hàm số g(x) = f(x2 - 2) Mệnh đề sai? A Hàm số g(x) đồng biến (2; + ∞ ) B Hàm số g(x) nghịch biến (-1; 0) C Hàm số g(x) nghịch biến (- ∞ ; -2) D Hàm số g(x) nghịch biến (0; 2) Hướng dẫn Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có: * f’(x) > ⇔ x > * f’(x) < ⇔ x < x ≠ * f’(x) = ⇔ x = x = -1 Ta có g’(x) = 2xf’(x2-2) x > x > x <  ⇔   −2 < x < Ta thấy g’(x) > ⇔   2  f '( x − 2) >  f '( x − 2) <   x ≠ −1  x < −2 x > x < y  ⇔  0 < x < g’(x) < ⇔   2  f '( x − 2) <  f '( x − 2) >   x ≠ Từ suy đáp án B x O Ví dụ 4: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm hàm số y = f’(x), đồ thị hàm số y = f’(x) cho hình vẽ f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3) Hoi giá trị f(0), f(1), f(4) giá trị giá trị nho hàm số y = f(x) đoạn [0; 4] Hướng dẫn Trước hết, dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có: * Trên khoảng (0; 2) hàm số y = f(x) đồng biến nên f(0) < f(2) f(2) > f(1) * Trên khoảng (2; 4) hàm số nghịc biến nên f(2) > f(4) f(2) > f(3) Từ suy giá trị nho hàm số y = f(x) f(0) f(4) Mặt khác, từ giả thiết: f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3) suy f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) = [f(2) – f(1)] + [f(2) – f(3)] > suy f(0) > f(4) Vậy đoạn [0; 4] f(4) giá trị nho hàm số y = f(x) Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f’(x) hình vẽ Đặt g(x) = f(x) + x + x + 2018 Mệnh đề đúng? y A Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số g(x) đồng biến khoảng (-3; 0) C Hàm số g(x) đồng biến khoảng (0; 3) D Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (0; 3) -3 O -2 x -4 Hướng dẫn Vẽ đường thẳng d: y = - x – qua điểm có tọa độ (-3; 2), (1; -2), (3; -3) y -3 O -2 -4 x (C) Ta có g’(x) = f’(x) + x + = f’(x) – (- x - 1) * Trên khoảng (-3; 1), đồ thị hàm số f’(x) nằm phía đường thẳng y = -x – nên f’(x) < - x – suy g’(x) < Vậy khoảng (-3; 1) hàm số g(x) nghịch biến * Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số f’(x) nằm phía đường thẳng y = - x – nên f’(x) > - x – suy g’(x) > Vậy khoảng (1; 3) hàm số g(x) đồng biến Chọn đáp án A 2.3.2 Đồ thị hàm số y = f’(x) cực trị hàm số y = f(x) a, Trước hết ta nhắc lại số kiến thức sau [1] * Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại cực tiểu x0 f’(x0) = Từ suy hàm số y = f(x) đạt cực tiểu điểm x đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục hồnh điểm có tọa độ (x 0; 0) Ngược lại, hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm x đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục hoành điểm (x0; 0) đồng thời f’(x) đổi dấu qua x x0 điểm cự trị hàm số y = f(x) Ngoài f’(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x x0 điểm cực đại f’(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 x0 điểm cực tiểu b, Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục R, đồ thị đạo hàm f’(x) hình vẽ Trong mệnh sau, mệnh đề sai? y y O -4 -3 -2 x -1 -1 A f đạt cực tiểu x = B f đạt cực tiểu x = -2 C f đạt cự đại x = -2 D Cực tiểu f nho cực đại Hướng dẫn Theo giả thiết f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua -2 nên x = -2 điểm cực đại hàm số f(x) f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x = nên x = điểm cực tiểu hàm số f(x) Bảng biến thiên hàm số f(x) −∞ +∞ −2 x f j(x) + f (x) − 0 + f (−2) f (0) Từ ta thấy cực tiểu f(x) nho cực đại Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định R có đồ thị hàm số y = f’(x) đường cong hình vẽ Hoi hàm số y = f(x) có cực trị? A B C D y O x 10 Hướng dẫn Ta thấy đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục hoành điểm có điểm mà qua f’(x) đổi dấu nên hàm số y = f(x) có ba cực trị Chọn đáp án A Ví dụ 3: Cho hàm sô f(x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f’(x) hình vẽ y Đặt g(x) = f(x) - −Oa 2x 1− x2 Hàm số g(x) đạt cực đại điểm sau đây? A x = B x = C x = -2 D x = Hướng dẫn Trước hết ta có g’(x) = f’(x) – x Vẽ đường thẳng y = x qua điểm (-1; 1), (1; 1), (2; 2) Quan sát đồ thị ta thấy: y −Oa 2x 1−   * Trên khoảng  − ;1÷ đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía đường thẳng y   = x nên g’(x) = f’(x) – x > * Trên khoảng (1; 2) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía đường thẳng y = x nên g’(x) = f’(x) – x < Như g’(x) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = nên hàm số g(x) đạt cực đại Chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục R, hàm số y = f’(x) có đồ thị hình vẽ sau: 11 2017 − 2018 x có số điểm cực 2017 Hàm số y = f(x) + trị là: y A B C O 1x D Hướng dẫn x2 x x3 2018 2018 2018 Ta có: y’ = f’(x) Khi y’ = ⇒ f’(x) = ⇒ f’(x) = 2017 2017 2017 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y’ = có nghiệm phân biệt Do hàm số cho có điểm cực trị Chọn đáp án A 2.3.3 Bài toán liên quan đến đồ thị đạo hàm có sử dụng đến kiến thức tích phân Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình bên Gọi M m giá  9 trị lớn nhất, giá trị nho hàm số y = f ( x ) 0;  Hoi  2 mệnh đề sau đúng? 9 A M = f  ÷, m = f ( ) B M = f ( ) , m = f ( ) 2 9 D M = f  ÷, m = f ( 1) C M = f ( ) , m = f ( 1) 2 Đáp án B   Bảng biến thiên hàm số 0;  có dạng hình vẽ  2 x y' - + 0 - + y   Do GTLN hàm số f ( ) ;f ( ) f  ÷; GTNN hàm số f ( 1) 2 f ( ) Mặt khác f ( 1) = f ( ) − ∫ f ' ( x ) dx;f ( ) = f ( ) − ∫ f ' ( x ) dx 12 Dựa vào hình vẽ ta có: ∫ 2 f ' ( x ) dx > ∫ f ' ( x ) dx ⇒ f ( ) < f ( 1) (loại C D) Mặt khác f  ÷ = f ( ) + ∫ f ' ( x ) dx;f ( ) = f ( 1) + ∫ f ' ( x ) dx dx 2 1  f ' x dx > ( ) ∫4 f ' ( x ) dx ⇒ f ( ) > f  ÷ Dựa vào hình vẽ ta có:  ∫0 2  f > f ( )  ( ) 2.3.4 Một số toán khác Bài 1: [3] Cho hàm số f(x), f’(x), f’’(x) có đồ thị hình vẽ sau y (C1) (C3) O (C2) x Khi (C1), (C2), (C3) thứ tự đồ thị hàm số A f’’(x), f(x), f’(x) B f(x), f’(x), f’’(x) C f’(x), f(x), f’’(x) D f’(x), f’’(x), f(x) Hướng dẫn: Ta nhận thấy vị trí (C 1) cắt trục hồnh (C2) (C3) đạt cực trị Tại khoảng mà đồ thị (C1) nằm Ox (C3) đồng biến ngược lại y ( Xét đường cong (C2) ta thấy: vị trí (C2) cắt Ox (C1) đạt cực trị Tại khoảng mà đồ thị (C2) nằm Ox (C1) đồng biến ngược lại C ( 1) C 2) x O ( C 3) Chọn đáp án D Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp f’(x) đạo hàm cấp hai f’’(x) R Biết đồ thị hàm số y = f(x), y = f’(x), y = f’’(x) đường cong (C1), (C2), (C3) hình vẽ sau Hoi đồ thị hàm số y = f(x), y = f’(x), y = f’’(x) theo thứ tự đây? A (C2), (C1), (C3) (C2), (C3) B C (C3), (C2), (C1) (C1), (C2) D (C3), Hướng dẫn y ( C 1) (C1), O x x ( C () Cx 3) 13 * Tại x1 ta thấy (C2) đạt cực tiểu (C1) có giá trị bằng Hơn nữa, qua x1, (C1) đổi dấu từ âm sang dương Nên (C3) đạo hàm (C2) * Tại x2 ta thấy (C3) đạt cực đại (C2) có giá trị bằng Hơn nữa, qua x2, (C2) đổi dấu từ dương sang âm Nên (C2) đạo hàm (C3) 2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp nhà trường Bằng việc khai thác tính chất đồ thị đạo hàm, phân loại thành số tốn có ví dụ minh chứng hệ thống tập áp dụng giúp cho học sinh có nhìn tốn khơng cũ Giúp em tiếp cận thêm cách đề dạng đề thi trắc nghiệm Từ giúp em khoi bỡ ngỡ với câu hoi dạng đọc đồ thị Đồng thời giúp bạn bè đồng nghiệp thêm đơn vị kiến thức bổ xung q trình giảng dạy, ơn tập cho học sinh ôn thi THPT Trong năm học 2017 – 2018 áp dụng sáng kiến đối tượng học sinh lớp 12A2 trường THPT Yên Định II Các em có chuyển biến khả quan Điều thể qua bảng khảo sát sau: Điểm khảo sát chất lượng phần đọc đồ thị đạo hàm năm học 2017 -2018 Lớp 12A2 Sĩ Điểm >=8 Trên TB Dưới TB Điểm