skkn giúp học sinh giải tốt một số bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMTÊN ĐỀ TÀI GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn: To

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN

QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM

Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài trang1

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm trang1

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu trang 1

4 Phương pháp nghiên cứu trang 1 II.NỘI DUNG trang 1

1 Cơ sở lý luận trang 1

2 Thực trạng của vấn đề trang 2

3 Các phương pháp đã tiến hành trang 2

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trang 12 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ trang 13 1.Kết luận trang 13 2.Kiến nghị trang 13

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO trang 15

I.MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f’(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình là sự đồng biến nghịch biến cực trị Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị Việc dựa vào đồ thị của f’(x) để tìm ra được các tính chất của hàm số f(x) đưa đến cho chúng ta những điều thú vị cũng như bài toán hay

Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số f’(x) và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị

và một số tính chất khác của hàm số f(x).Một yêu cầu mặc dù không phải mới

mẻ nhưng giống như hầu hết các bài toán nếu học sinh không nắm vững các kiến thức liên quan và rèn luyện thường xuyên thì nó trở thành khó Đây là lí do

tôi chọn đề tài:”Giúp học sinh giải tốt một số bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm”.

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các

em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán sử dụng đồ thị hàm

số f’(x)”

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán sử dụng đồ thị hàm số f’(x)

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là chương trình giải tích lớp 12 thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: ứng dụng của đạo hàm, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Tìm hiểu, quan sát

- Thực nghiệm sư phạm

II.NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

Một số kiến thức cấn nhớ

Định lí

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f’(x) đồng biến trên K

a) Nếu f’(x) <0 với mọi x thuộc K thì hàm số f’(x) nghịch biến trên K

Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) ta nhận thấy:

a) Nếu f’(x)>0 tương ứng phần đồ thị nằm phía trên trục hoành

b) Nếu f’(x) < 0 tương ứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành

Từ đó ta có kết luận:

a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng)

b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng)

Ta nhắc lại kết quả:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì f’( x)=0

Từ đó ta suy ra, nếu hàm số y = f(x ) đạt cực trị tại điểm x thì đồ thị của hàm số y= f’(x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (x;0)

Ngược lại,nếu hàm số y = f(x ) liên tục và có đạo hàm tại x và đồ thị của hàm số y= f’(x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (x;0) đồng thời f’(x) đổi dấu khi đi qua

x thì x là điểm cực trị của hàm số y = f(x)

Ngoài ra nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x thì x là điểm cực đại của hàm số y = f(x) và nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x thì x là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)

2 Thực trạng của vấn đề

Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong đầu năm 2017 cho các em học sinh lớp lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần ứng dụng của đạo hàm tôi cho học sinh lớp 12c4 và 12c5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau:

Điểm

Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10

Lớp 12c4

Lớp 12c5

3 Các phương pháp đã tiến hành

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài

và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao, tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến đồ thị cảu hàm số f’(x) Nhưng vì thời gian không

có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành hai phần sau:

Phần I: Các ví dụ đồ thị hàm số y = f ’(x) và tính đồng biến nghịch biến của hàm

số y = f(x)

Phần II: Các ví dụ đồ thị hàm số y = f’(x) và cực trị của hàm số y = f(x)

PHẦN I: CÁC VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f’(x) VÀ TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y =f(x)

Ví dụ 1 Cho hàm số y f x    Hàm số y f ' x    có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số y f 2 x     đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. 1;3 B. 2;  C.  2;1 D.

   ; 2

Giải Ta có f 2 x ' f ' 2 x 2 x '           f ' 2 x   0  f ' 2 x   0

Dựa vào đồ thị ta có: f ' 2 x  0 2 x 1 x 3

1 2 x 4 2 x 1

   

     

Vậy hàm số đồng biến trên  2;1  Chọn đáp án C

Ví dụ 2 :Cho hàm số y f x    xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f ' x  Biết rằng hàm số f ' x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Mệnh đề nào sau đây đúng

A Hàm số y f x    đồng biến trên khoảng (  2;0 )

B Hàm số y f x    nghịch biến trên khoảng 0; 

C Hàm số y f x    đồng biến trên khoảng    ; 3

D Hàm số y f x    nghịch biến trên khoảng  3; 2  

Giải Dựa vào đồ thị hàm số f ' x  ta thấy

)f ' x 0, x 3; 2 f x

       đồng biến trên khoảng  3; 2   nên D sai

+ f’(x) < 0 mọi x thuộc khoảng (- ; -3) và (-2; 0) và (0 ;+ ) hàm số nghịch biến trên các khoảng đó.Chọn đáp án B

Ví dụ 3:Cho hàm số f x có đạo hàm trên và có đồ thị hàm y f ' x    như hình

vẽ Xét hàm số    2 

g x  f x  2 Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x nghịch biến trên  1;0

B Hàm số g x nghịch biến trên    ; 2

C Hàm số g x nghịch biến trên 0; 2

D Hàm số g x nghịch biến trên 2; 

Giải: Đáp án A

 

2

2 2

f ' x 2 0 x 2 2 0 x 2

g ' x f ' x 2 2x 0

x 2

x 2 2

f ' x 2 0

   

 

      

 

   

  



 



Do đó hàm số nghịch biến trên    ; 2và 0; 2.Mệnh đề A sai

Ví dụ 4: Cho hàm số y f x    Đồ thị của hàm số y f x  '  như

hình bên Đặt    

2

x

h x f x

2

  Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số y h x    đồng biến trên khoảng  2;3 

B. Hàm số y h x    đồng biến trên khoảng 0; 4

C. Hàm số y h x    nghịch biến trên khoảng 0;1 

D. Hàm số y h x    nghịch biến trên khoảng 2;4 

Giải Đáp án D.Ta có: h ' x  f ' x  x 0   f ' x   x tức là đồ thị f ' x  nằm trên đường thẳng y x 

Dựa vào đồ thị suy ra f ' x  x 2 x 2

x 4

  



   



Do đó hàm số đồng biến trên khoảng  2; 2 ; 4;   và nghịch biến trên

2; 4 ;   ;0 

Ví dụ 5: Cho hàm số yf x có đạo hàm liên tục trên R hàm số yf x'  đồ thị như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số yf x có 3 điểm cực trị

B. Hàm số yf x  nghịch biến trên 2; 4  6; 

C. Hàm số yf x  đồng biến trên   ; 2và 4;6

D. Hàm số yf x  đồng biến trên  2;8

Giải: Đáp án D

'  0,    2;8  

f x x y f x đồng biến trên khoảng  2;8

Ví dụ 6: Cho hàm số y f x và y g x       là hai hàm liên tục

trên R có đồ thị hàm số y f ' x   là đường cong nét đậm và

 

y g ' x  là đường cong nét mảnh như hình vẽ Gọi 3 giao

điểm A, B, C của đồ thị

y f ' x và y g ' x   trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a,

b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số h x   f x  g x  trên

đoạn a;c ?

A. Min h xa;c   h 0  B. Min h xa;c   h a  C. Min h xa;c    h b  D. Min h xa;c    h c 

Giải:Đáp án C

Ta có:      

x a

h ' x f ' x g ' x 0 x b

x c









 



Với x a; b thì đồ thị g ' x  nằm trên f ' x  nên g ' x   f ' x  h ' x  0 hàm số nghịch biến trên đoạn a; b

Tương tự với x b;c thì h x  đồng biến

Do đó Min h xa;c   h b  

Ví dụ 7: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x' 

Đồ thị của hàm số yf x' được cho như hình vẽ

bên Biết rằng f  0  f  3 f  2  f  5 Giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x  trên đoạn

0;5 lần lượt là

A. f  0 ,f  5 B. f  2 , f  0 C. f  1 , f  5 D. f  2 , f  5

Giải: Đáp án D

Từ đồ thị yf x' trên đoạn 0;5, ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

như hình vẽ bên

Suy ra min0;5 f x  f  2 Từ giả thiết, ta có x 0 2 3

 

'

f x - 0 +

 

f x

CT

 0   3   2   5   5   3   0   2

2;5

 f  f  f  f  f  f

f  f  f  f

Suy ra max0;5 f x   f  0 , f  5  f  5

Ví dụ 8: Cho hàm số yf x xác định và liên tục trên đoạn  1; 2, có đồ thị của hàm số yf x'  như hình sau

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên đoạn  1; 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2

 

  

 

C. M f  0 D. 3

2

 

  

 

Giải :Đáp án B : f x  đạt giá trị lớn nhất tại f  1 ; f  2 hoặc f x i mà

Ví dụ 9: Hàm số y f x    có đồ thị y f ' x   như hình vẽ

Xét hàm số     1 3 3 2 3

g x f x x x x 2017

Trong các mệnh đề dưới đây:

   I g 0  g 1 

 

x 3;1

II min g x g 1

III Hàm số g x  nghịch biến trên  3; 1  

x 3;1

IV max g x max g 3 ,g 1

Số mệnh đề đúng là:

Giải: Đáp án D

Ta có     2 3 3   2 3 3

g ' x f ' x x x f ' x x x

         

  Căn cứ vào đồ thị ta có:

 

 

f ' 1 2 g ' 1 ' 0

f ' 1 1 g ' 1 0

f ' 3 3 g ' 3 0

Vẽ Parabol   2 3 3

P :y x x

2 2

   trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số y f ' x   

Ta có: Trên  3; 1   thì   2 3 3

f ' x x x

2 2

   nên g ' x     0 x  3; 1  

Trên  1;1 thì   2 3 3

f ' x x x

2 2

   nên g ' x     0 x  1;1

Khi đó BBT của hàm số g x  trên đoạn  3;1 :

Vậy xmin g x  3;1   g 1 ,g 0   g 1 ,  hàm số g x  nghịch biến trên  3; 1   và

x m ax g x 3;1 max g 3 , g 1

 

 

g x

g 1 

Ví dụ 10: Cho hàm số y f x    có đạo hàm và liên tục trên R Biết rằng đồ thị hàm số f’(x) như hình 2 dưới đây

Lập hàm số g x  f x  x 2  x. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A g 1   g 1   B g 1   g 1   C g 1   g 2   D g 1   g 2  

Giải : Đáp án D.

Ta có g ' x  f ' x  2x 1  Phương trình g ' x  f ' x  2x 1  (*)

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng (*) có 3 nghiệm phân biệt là x  1; x 1; x 2  

Dựa vào vào bảng biến thiên của hàm số g x  suy ra hàm số nghịch biến trên

1;2  g 1   g 2  

PHẦN II: CÁC VÍ DỤ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f’(x) VÀ CỰC TRỊ CỦA

HÀM SỐ f(x)

Ví dụ 1: Hàm số yf x  có đồ thị yf x'  như hình vẽ Khi đó số điểm cực trị của hàm số

Giải: Ta thấy f x'  đổi dấu qua 1 điểm x0  hàm số có 1 cực trị chọn đáp án A

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x  xác định trên R và có đồ thị của hàm số yf x' 

là đường cong ở hình bên Hỏi hàm số yf x  có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Giải : Đáp án D

Do f x'  đổi dấu qua 3 điểm nên hàm số yf x  có 3

điểm cực trị

Ví dụ 3: Đồ thị sau đây là của hàm số yf' x Khi đó hàm số y  f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A 0 B.1 C.2 D.3

Giải: Chọn D

Từ đồ thị của hàm số yf x'( ), ta có bảng biến thiên

x y

’ y



-Từ bảng biến thiên của đồ thị hàm số, ta chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho hàm số yf x( ). Hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số yf x( ) 2 có bao nhiêu điểm cực đại ?

Ta có:

2 2

2

0

0

2 4

x

x

x x

















 



Lập bảng xét dấu của y′ suy ra hàm số đạt cực đại tại các điểm x 1;x 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x 2;x 0;x 2.

Ví dụ 5: Biết rằng hàm số có đồ thị được cho như hình vẽ bên Tìm số điểm cực

trị của hàm số y f f x ?    

Giải: Đáp án C

 

x 0; x 2

f ' x 0

y f f x y ' f ' x f ' f x 0 f x 0

f ' f x 0

f x 2

  



            



 

   



Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng:

Phương trình f x   0 có 1 nghiệm képx 0  , 1 nghiệm đơn x 2 

Phương trình f x   2 có 1 nghiệm đơn x x  0  2

Khi đó, có thể coi 3   

0

y ' x x 2 x x     hàm số y f f x     có 4 điểm cực trị

Ví dụ 6: Cho hàm số y f x    có đạo hàm f ' x  trên khoảng    ; . Đồ thị của hàm số y f x   như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y f x  2 có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại

Giải : Đáp án B

 

y f x y ' 2f x f ' x y ' 0

f ' x 0









f x   0 x 0; x 1; x 3; f ' x      0 x x , x 1; x x    trong đó 0 x  1   1 x 2  3

Dấu của f x và f ' x 

1

 

 

Từ bảng xét dấu y’ ta có hàm số đạt cực tiểu tại x 0; x 1; x 3    , đạt cực đại tại 1

x x  và x x  2 Hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu

Ví dụ 7: Cho hàm sốyf x  có đạo hàm liên tục trên R Đồ thị

hàm số yf x'  như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số yf x  2017 2018x 2019 là:

Giải: Đáp án B

Ta có: yf x  2017 2018x 2019  y x'  2017 x 2017 ' 2018 

' 2017 2018

f x 

Dựa vào đồ thị hàm số yf x' suy ra PT f x'  2017 f t   2018 có 1 nghiệm bội lẻ duy nhất

Suy ra hàm số yf x  2017 2018x 2019 có 1 điểm cực trị

Ví dụ 8: Cho đồ thị của hàm số yf x như hình vẽ dưới đây

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

2018

3

y f x m có 5 điểm cực trị Tổng tất cả các giá trị của các phần tử

của tập S bằng

Giải : Đáp án A

Đồ thị hàm số yf x có 3 điểm cực trị  Đồ thị hàm số yf x  2018có 3 điểm cực trị

Dựa vào ĐTHS yf x  y f x  2018 có 7 điểm cực trị

Do đó, để hàm số  2018 1 2

3

y f x m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 2

1

3

 m 

Kết hợp với điều kiện m R suy ra m3;4

Chú ý: Đồ thị hàm số yf x C được cho bởi cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo trục OyC đơn vị

Ví dụ 9 : Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ Tìm

tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

 

A. m 2. B. m 2. C. m  2. D. m  2.

Giải : Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy hàm số f x x3  3x2  1

Xét hàm số f x m    x m 3 3 x m  1với x R

Chú ý : Cực trị là điểm làm y' đổi dấu và   2  

2

2 '

2

x x

Do đó f x m  3 x m  x m 2 x

x

       Khi đó yf x m    có 5 điểm cực

2 0

x m

x m

  



  

 có 4 nghiệm phân biệt

2

 



 

0

2

m

m m

 



  



  



Cách 2: Đồ thị hàm số yf x m   được suy ra từ

khi ở bước thứ 1ta dịch chuyển đồ thị sang phải nhiều hơn 2 đơn vị m  2

Ví dụ 10: Hình vẽ bên là đồ thị (C) của hàm số y f x ( ) Giả sử m là tham số thực nhận giá trị thuộc nửa khoảng 0;3 Hỏi hàm số y f x(  1) m có thể có bao nhiêu điểm cực trị

A. 5 hoặc 7 điểm B. 3 điểm C. 6 hoặc 8 điểm D. 4 điểm

Giải : Chọn đáp án A

Nhận xét: Số giao điểm của ( ) :C y f x ( ) với Ox bằng số giao điểm của

( ') :C y f x (  1) với Ox

Vì m 0 nên ( '') :C y f x (  1) m có được bằng cách tịnh tiến ( '') :C y f x (  1) lên trên m đơn vị

TH1: 0 m 3 Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị

TH2: m 3 Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị

Đáp án A

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một

số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên cuối học kỳ I năm học 2017 – 2018