Giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 kể cả học sinh có năng lực từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học vào việc giả[r]

Đề tài sáng kiến kinh nghệm Phòng GD – ĐT Huyện Thuận Bắc Trường THCS Hà Huy Tập CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC Tên: kysibongdem1089@yahoo.com Chức vụ: Giáo viên Dạy môn Toán I/- Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến kinh nghiệm: Toán học không là môn khoa học có mặt hầu hết lĩnh vực đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng phát triển chủ thuể xã hội đó là người Là giáo viên dạy toán tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp ( kể học sinh có lực ) từ việc tiếp thu kiến thức lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập học sinh còn lúng túng nhiều từ việc tìm hướng giải đến việc thực các bước giải kể bài tương đối đến khó.Hơn thân tôi nhận thấy kiến thức tỷ lệ thức khá quan trọng việc tìm đọ dài đoạn thẳng, cạnh tam giác trong, các tam giác đồng dạng… Chính vì sau học xong kiến thức tỷ lệ thức tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7/1 ( lớp tôi trực tiếp giảng dạy ) đề bài số dạng toán kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức và kết sau: Lớp Số HS Số HS giải Số HS biết Số HS không thể được hướng giải khảo sát không giải SL % SL % SL % 7/1 37 16 28 76 Để góp phần nâng cao chất lượng, giúp học sinh hình thành kỷ giải toán trường THCS Bản thân tôi đã nghiên cứu phần “ giải số bài toán dựa vào tính chất tỷ lệ thức” chương trình lớp nhằm hình thành lực giải toán cho học sinh THCS Vì điều kiện thời gian trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi vào số vấn đề sau; * Lý thuyết: - Định nghĩa tỷ lệ thức - Tính chất tỷ lệ thức * Bài tập: - Lập tỷ lệ thức - cho tỷ lệ thức suy các tỷ lệ thức khác - Các bài toán thực tế đời sống liên quan đến tỷ lệ thức GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm II/- Quá trình thực và các giải pháp: Thời gian từ thang năm 2010 đến hết tháng năm 2011 Để đề tài đạt hiệu ta cần chú trọng tới phương pháp dạy khái niệm, tính chất, kiến thức mới, phương pháp dạy tiết luyện tập Ta cần thức các bước sau; Bước 1: Nhắc lại cách hệ thống các nội dung ly thuyết đã học, sau đó mở rộng cho phép khắc sâu lý thuyết thông qua kiểm tra miệng bài tập tập trác nghiệm đúng sai với hệ thống từ đơn giản đến khó Bước 2: Cho học sinh trình bày bài tập nhà để kiểm tra học sinh kỹ vân dụng lý thuyết giải bài tập, kỹ tính toán, cách diễn đạt lời, cách trình bày lời giải bài toán Phải chót lại cá vấn đề có tính giáo dục( phân tích cách giải đúng sai bài đưa cách giải thong minh, hợp lý, ngắn gọn ) Bước 3: cho học sinh trình bày làm bài tập theo chủ định giáo viên nhằm kiểm tra hiểu biết học sinh, khắc phục sai xót học sinh mắc phải Rèn luyên ,ột kỹ thuật toán nào đó cho học sinh mà giáo viên cho là cần thiết thời điểm này NỘI DUNG KIẾN THỨC NGHIÊN CỨU *Lý thuyết: Định nghĩa: Tỷ lệ thức là dẳng thức hai tỷ số a c  a : b = c : d b d Trong đó các số a, b, c, d gọi là số hạng tỷ lệ thức Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ Tính chất: a Tính chất 1: Nếu a c  thì a.d = b.c b d b Tính chất 2: Nếu a,d = c.d ( a,b,c,d khác 0) thì: a c b d a b c d  ;  ;  ;  b d a c c d a b c Tính chất 3: a, b, a c ac ac  =  (b ≠  d ) b d bd bd a c m acm acm  =   (Các mẫu số khác 0) b d n bd n bd n * Bài tập: Dạng 1: Lập tỷ lệ thức Bài 1: Các tỷ số sau đây có lập thành tỷ lệ thức hay không: a,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 có lập thành tỷ lệ thức hay không : GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm b, 4,86: ( -11,34) và ( -9,3) : 21,6 Giải: a, có ( 0,3) : 2,7  3 1  27 (- 1,71 ) : 15,39  1, 71 1  ( - 0,3 ) : ( 2,7 ) = ( -1,71) : 15,39 1539 Suy các tỷ số ,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 lập thành tỷ lệ thức b, Tac có : 4,81 : ( 11,34 )  -9,3 : 21,6  486 3  1134 93 31  4,86 : ( 11,34 )  -9,3 : 21,6 216 72 Nên các tỷ số đã cho không lập thành mootjt ỷ lệ thức Bài 2: Lập tất các tỷ lệ thức có từ đảng thức sau: a, ( -28 ) = (-49 ) b, 0,36 4,25 = 0,9 17 Giải: a,Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: ( -28 ) = (-49 )  7 49 49 28 28  ;  ;  ;  49 28 28 7 49 b, Từ 0,36 4,25 = 0,9 17 áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: 0,36 1, 0, 26 0,9 0,9 4, 25 1, 4, 25  ;  ;  ;  0,9 4, 25 1, 4, 25 0.36 1, 0,36 0,9 Bài 3: Lập tất các tỷ lệ thức có thể có từ các số sau: 5; 25; 125; 625 Giải: Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125 Từ đó ta có tỷ lệ thức: 125 25 25 625 125 625  ;  ;  ;  25 625 1256 625 125 5 Bài tập vận dụng: 1/ Lập tất các dãy tỷ lệ thức có từ đảng thức sau: a, 6.6,3 = 9.42 b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46 2/ Lập tất các dãy tỷ lệt hức có thể tuef tỷ lệ sau: GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm 15 35  5,1 11, 3/ Từ các tỷ số sau đây có thể lập thành tỷ lệ thức không? a, 3,5 : 5, 25 và 2,1 : 3,5 b, 39 : 52 và 2,1 : 3,5 10 D¹ng 2: Cho tØ lÖ thøc, h·y suy tØ lÖ thøc kh¸c: a, VÝ dô: Cho tØ lÖ thøc: a c  ; b d h·y chøng minh ta cã tØ lÖ thøc sau: a c  ( gi¶ sö a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ ) a b c d b, C¸c c¸ch gi¶i: * C¸ch 1: §Ó chøng minh a c  ta xét tường tích a.(c-d) và c.(a-b) a b c d Ta cã: a.(c-d) = ac - ad (1) c.(a-b) = ac - cb (2) Ta l¹i cã: a c   a.d = b.c (3) b d Tõ (1), (2), (3)  a(c-d) = c(a-b) Do đó: a c  a b c d * Cách 2: Dùng phương pháp đặt a c  = K th× a = bK ; c = dK b d Ta tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c tû sè: a c  theo K ta cã: a b c d a bK bK K    a  b bK  b b( K  1) K  GV: kysibongdem1089@yahoo.com (1) Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm c dK dK K    c  d dK  d d ( K  1) K  Tõ (1) vµ (2)  (2) a c  a b c d * C¸ch 3: Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña tû lÖ thøc: a c a b  ta ®­îc  b d c d ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng ta ®­îc: a b a b   c d cd Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña a a b a c   ta ®­îc c cd a b c d * C¸ch 4: tõ a c b d b d a b c d a c        1  1  b d a c a c a c a b c d Từ cách trên ta đến nhận xét Để chứng minh tỷ lệ thức a c  thường ta dùng b d phương pháp chính : Phương pháp 1: chứng tỏ ad=bc Phương pháp 2: Chứng tỏ tỷ số a c vµ cã cïng mét gi¸ trÞ b d Nếu đề tài đã cho trước tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị mội tỷ số tỷ lệ thức đã cho K, tính giá trị tỷ số tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (c¸ch 2) Còng cã thÓ ta dïng c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc nh­ng ho¸n vÞ các số hạng tính chất dãy tỷ số Tính chất đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã tỷ lệ thức phải chứng minh (cách và 4) c, Bµi tËp vËn dông: Bµi 1: cho tû lÖ thøc sau a c  b d Hãy chứng minh các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức có nghĩa) GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm a, 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d b, ad a  b  cd c  d 2 ab a  b2 c,   2  c  d  c d Từ cách giải ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách và hưỡng dẫn học sinh cùng thực Gi¶i: §Æt a, a c  = K th× a = bK vµ c = dK b d 2a  3b 2bK  3b b(2 K  3) K     (1) 2a  3b 2bK  3b b(2 K  3) K  2c  3d 2dK  3d d (2 K  3) K     2c  3d 2dK  3d d (2 K  3) K  Tõ (1) vµ (2)  (2) 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d C©u: (b, c) häc sinh tù gi¶i d, bµi tËp tù gi¶i: * Bµi 1: cho a, b, c, d ≠ Tõ tû lÖ thøc a c ab cd  h·y suy tØ lÖ thøc  b d a c  a ac  b bd  ab a  b  cd c  d * bµi 2: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: a  b ab a c    2 c d cd b d GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm * Bµi 3: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: ab ca   HÖ thøc a2 = bc a b c a - D¹ng 3: T×m c¸c sè ch­a biÕt biÕt c¸c tû lÖ thøc a, C¸ch gi¶i: * ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng a c ac ac     b d bd bd * VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè a c am cK a : n     b d bm dK b : n * Đặt tỷ lệ thức đã cho K tìm mối quan hệ ẩn số qua K b, VÝ dô: + VÝ dô 1: T×m sè x, y biÕt: x y  vµ x + y = 21 BiÕt: 7x = 3y vµ x – y = 16 Gi¶i: Tõ x y  ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã: x y x  y 21     Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 5 Tõ 7x = 3y   x= 3  4 1     y x x  y 16 3.4 7.4  12 ; y =  28 1 1 VÝ dô 2: GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng x y y z  ;  vµ 2x + 3y – z = 186 Víi bµi nµy gi¸o viªn cho häc sinh nhËn thÊy y y vµ ph¶i ®­a vÒ c¸c ph©n sè ( hoÆc tØ sè) cã cïng chung mÉu sè lµ 20 VËy: x y x y  hay  3.5 4.5 15 20 (1) y z y z    20 28 (2) Tương tự: Gi¶i: Tõ gi¶i thiÕt: x y y z   ; 15 20 20 28 Theo tÝnh chÊt b»ng cña tØ lÖ thøc: x y z x y x  y  z 186         x  45; y  60; z  84 15 20 28 30 60 30  60  28 62 c, Bµi tËp vËn dông: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng: x  z  y  z 1 x  y     y x z x yz Gi¶i: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng ta cã: x  z  y  z 1 x  y  ( x  z  2)  ( y  z  1)  ( x  y  3)     = y x z x yz x yz = 2( x  y  z )  v× ( x + y + y ≠ ) x yz Do đó: x + y + z = 0,5  x + y = 0,5 – z Tương tự tìm x + z và y + z; thay kết này vào đề bài ta được: 0,5  x  0,5  y  0,5  z    2 x y z GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm Tøc lµ: 1,5 0,5  y 2,5  z   2 x y z VËy: x  ; y  ; z  5 d, Bµi tËp tù gi¶i: Bµi 1: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: a, a b c   vµ a + 2b - 3c = -20 b, a b b c  ;  vµ a – b + c = -49 c, a b c   vµ a  b  2c  108 Bµi 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng: a, x y z   vµ 5x + y - 2z = 28 10 21 b, 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 c, x y y z  ;  vµ 2x – 3y + z = d, 2x 3y 4z   vµ x + y +z = 49 e, x 1 y  z    vµ 2x + 3y – z = 50 g, x y z   vµ xyz = 810 D¹ng 4: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống người, vào hình học … a, VÝ dô 1: T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè ®o c¸c gãc nµy tû lÖ víi 2, 3, Gi¶i: GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net Đề tài sáng kiến kinh nghệm    Số đo các góc ABC là A ; B ; C Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2,    vµ nghÜa lµ A : B : C = : : hay       A B C A  B  C 1800      200 23    Do đó: A  400 ; B  600 ; C  800 b, VÝ dô 2: Một người A  B đã tính với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45’ Vì người đó quãng đường với vận tốc định trước và quãng đường còn lại với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h Hỏi người khởi hành lúc giê vµ qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu km ? Gi¶i: Gäi AC lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 6km/h CB lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 4,5km/h theo đề bài ta có: A B AB, Giải sử để quãng đường CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà t1 giời Cßn ®i víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian t2 giê Ta cã: CB = t1 - t2 = 12h – 11h45 = (h) vµ t1 = 4,5 t2 h t t t t      h Từ đó  t2 = 1h; t1 = h 4,5  4,5 1,5 Qu·ng ®­êng Ab lµ : 4,5 = 22,5km Qu·ng ®­êng Cb lµ : = 4,5km Thời gian để từ A  B là t1 + t2 = 3h + 1h = 4h Thời gian khởi hành để là 12 - = 8h GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net 10 Đề tài sáng kiến kinh nghệm c, Bµi tËp tù gi¶i: * Bµi 1: Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 000® ; 000® vµ 10 000® TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn Hỏi loại có tờ ? * Bài 2: Trên công trường xây dựng có đội coong nhân làm việc Biết công nhân đội I sè số công nhân đội II số công nhân đội III Biết 11 số công nhân đội I ít tổng số công nhân đội I và đội II là 18 người Tính số công nhân đôi * Các phương pháp sử dụng - Tham khảo các tài liệu: đổi phương pháp dạy và học trường THCS, các phương pháp dạy học, sgk và bài tập toán 7, ôn luyện toán 7, nâng cao và phát triển toán - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Học hỏi kinh nghiệm các đồng nghiệp * Các biện pháp xử lí - Ở đề tài nầy tôi hệ thống lại và bổ sung thêm số lượng kiến thức và bài tập cho đơn vị kiến thức Mỗi đơn vị kiến thức trình bày riêng biệt đẻ tiện cho việc dạy Khi dạy kiến thức tôi dạy lý thuyết trước sau đó có ví dụ minh họa và bài tập kèm theo Các bài tập dduocj phân chia thành dạng và cách giải cho dạng Tất các phần kiến thức này tôi dạy vào thời gian thêm lớp trường và dạy lồng ghép vào số tiết học có liên quan đến đề tài Sau phần tôi học sinh kiểm tra nắm bắt ưu, nhược điểm học sinh * Phạm vi thực đề tài: Áp dụng nhà trường cho học sinh lớp III/- Đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm: So sánh và đối chứng: * Khi chưa áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm : - Học sinh chưa hiểu và nắm bắt kỹ giải toán tỷ lệ thức - Ít quan tâm nghe giảng bài - Học sinh chưa thể ý tưởng làm bài - Chưa phát huy khả tự học, tự sáng tạo - Chưa phát huy tính tích cực học tập * Khi áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm : - Rất thích thú và phấn khởi giải bài tập tỷ lệ thức - Chủ động hỏi ý kiến giáo viên để lựa chọn bài tập phù hợp GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net 11 Đề tài sáng kiến kinh nghệm - Phát huy tính sáng tạo, hăng say học tập - Các em phấn khởi mình giải bài tập - Tiết học thoải mài và vui tươi Hiệu giáo dục: - Giúp các em hiểu và nắm vững kiến thức tỷ lệ thức - Giáo dục có hiệu giúp các em tự tin học toán - Loại bỏ nhút nhát rụt rè giải toán tỷ lệ thức - Học sinh hình thành ký giải toán tỷ lệt hức Các số liệu chứng minh: Lớp 7/1 Số HS Số HS giải được khảo sát SL % 37 28 76 Số HS biết hướng không giải SL % 19 Số HS không thể giải SL % Sáng kiến này đã dạy vào thời gian thêm lớp trường và dạy lồng ghép vào số tiết học có liên quan đến đề tài IV/- Kết luận: Tự đánh giá SKKN: - Với sụ nỗ lực không ngừng giáo viên và học sinh Cô trò tôi đã thu kết đáng mừng Trước tiên là tôi thấy học sinh hăng say học tập các lên lớp các ôn luyện học sinh khá, giỏi Với học sinh lớp 7/1 mà tôi giảng dạy , các dạng toán trên liên quan đén tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại Với đè tài này mặc dù quá trình làm bài tập số em còn vướng mắc với gợi ý tôi hầu hết các em có tiến rõ rệt Ngoài các bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đén tỷ lệ thức các sách nâng cao để làm Bài học kinh nghiệm: Qua nhiều lần áp dụng đề tài này cần chú ý các vấn đề sau : - Để đỡ thời gian thực ta nên cần giao nhiêm vụ giải bài tập cụ thể cho các em, giao cho các nhóm giải theo các dạng - Giáo viên nên tham khảo nhiều ý các sách phương pháp dạy học đổi GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net 12 Đề tài sáng kiến kinh nghệm * Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm than chưa nhiều nên đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi mong các đồng nghiệp và hội đòng thẩm định các cấp góp ý góp ý kiến chân thành để đè tài tôi hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhận xét HĐKH Bắc Sơn, ngày 25 tháng năm 2011 Người viết Nguyễn Xuân Dũng Chủ tịch HĐKH GV: kysibongdem1089@yahoo.com Lop7.net 13