skkn_giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

Đề tài sáng kiến kinh nghệm Phòng GD – ĐT Huyện Thuận Bắc CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THCS Hà Huy Tập Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC Tên: kysibongdem1089@yahoo.com Chức vụ: Giáo viên. Dạy môn Toán 7 I/- Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến kinh nghiệm: Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thuể xã hội đó là con người. Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 ( kể cả học sinh có năng lực ) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập học sinh còn lúng túng nhiều từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải kể cả những bài tương đối đến khó.Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức khá quan trọng trong việc tìm đọ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác trong, trong các tam giác đồng dạng… Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức tỷ lệ thức tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7/1 ( lớp tôi trực tiếp giảng dạy ) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức và kết quả như sau: Lớp Số HS được khảo sát Số HS giải được Số HS biết hướng nhưng không giải được Số HS không thể giải được SL % SL % SL % 7/1 37 3 8 6 16 28 76 Để góp phần nâng cao chất lượng, giúp học sinh hình thành kỷ năng giải toán trong trường THCS. Bản thân tôi đã nghiên cứu phần “ giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức” chương trình lớp 7 nhằm hình thành năng lực giải toán cho học sinh THCS Vì điều kiện thời gian cũng như trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau; * Lý thuyết: - Định nghĩa tỷ lệ thức - Tính chất của tỷ lệ thức * Bài tập: - Lập tỷ lệ thức - cho một tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức khác. - Các bài toán thực tế trong đời sống liên quan đến tỷ lệ thức. GV: kysibongdem1089@yahoo.com 1 Đề tài sáng kiến kinh nghệm II/- Quá trình thực hiện và các giải pháp: Thời gian từ thang 8 năm 2010 đến hết tháng 2 năm 2011 Để đề tài đạt hiệu quả ta cần chú trọng tới phương pháp dạy khái niệm, tính chất, kiến thức mới, phương pháp dạy tiết luyện tập. Ta cần thức hiện các bước sau; Bước 1: Nhắc lại một cách hệ thống các nội dung ly thuyết đã học, sau đó mới mở rộng cho phép khắc sâu lý thuyết thông qua kiểm tra miệng hoặc bài tập tập trác nghiệm đúng sai với hệ thống từ đơn giản đến khó. Bước 2: Cho học sinh trình bày bài tập ở nhà để kiểm tra học sinh về kỹ năng vân dụng lý thuyết giải bài tập, kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời, cách trình bày lời giải bài toán. Phải chót lại cá vấn đề có tính giáo dục( phân tích cách giải đúng sai ở từng bài rồi đưa ra cách giải thong minh, hợp lý, ngắn gọn hơn ) Bước 3: cho học sinh trình bày làm một bài tập mới theo chủ định của giáo viên nhằm kiểm tra ngay sự hiểu biết của học sinh, khắc phục những sai xót học sinh mắc phải. Rèn luyên ,ột kỹ năng hoặc một thuật toán nào đó cơ bản cho học sinh mà giáo viên cho là cần thiết trong thời điểm này. NỘI DUNG KIẾN THỨC NGHIÊN CỨU *Lý thuyết: 1. Định nghĩa: Tỷ lệ thức là một dẳng thức của hai tỷ số a c b d = hoặc a : b = c : d. Trong đó các số a, b, c, d được gọi là số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ. 2. Tính chất: a. Tính chất 1: Nếu a c b d = thì a.d = b.c b. Tính chất 2: Nếu a,d = c.d ( a,b,c,d khác 0) thì: a c b d = ; b d a c = ; a b c d = ; c d a b = c. Tính chất 3: a, a c b d = = a c a c b d b d + − = + − (b ≠ d ± ) b, a c b d = = m a c m a c m n b d n b d n + − − + = = + − − + (Các mẫu số khác 0). * Bài tập: Dạng 1: Lập tỷ lệ thức Bài 1: Các tỷ số sau đây có lập thành tỷ lệ thức hay không: a,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 có lập thành tỷ lệ thức hay không : GV: kysibongdem1089@yahoo.com 2 Đề tài sáng kiến kinh nghệm b, 4,86: ( -11,34) và ( -9,3) : 21,6 Giải: a, có ( 0,3) : 2,7 3 1 27 7 − − = = (- 1,71 ) : 15,39 1,71 1 1539 9 − − = = vậy ( - 0,3 ) : ( 2,7 ) = ( -1,71) : 15,39 Suy ra các tỷ số ,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 lập thành tỷ lệ thức b, Tac có : 4,81 : ( 11,34 ) 486 3 1134 7 − − = = -9,3 : 21,6 93 31 216 72 − − = = vậy 4,86 : ( 11,34 ) ≠ -9,3 : 21,6 Nên các tỷ số đã cho không lập thành mootjt ỷ lệ thức. Bài 2: Lập tất cả các tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau: a, 7 . ( -28 ) = (-49 ). 4 b, 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17 Giải: a,Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có: 7 . ( -28 ) = (-49 ). ⇒ 7 4 7 49 49 28 4 28 ; ; ; 49 28 4 28 7 4 7 49 − − − − = = = = − − − b, Từ 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17 áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có: 0,36 1,7 0,26 0,9 0,9 4,25 1,7 4,25 ; ; ; 0,9 4,25 1,7 4,25 0.36 1,7 0,36 0,9 = = = = Bài 3: Lập tất cả các tỷ lệ thức có thể có được từ các số sau: 5; 25; 125; 625 Giải: Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125 Từ đó ta có 5 tỷ lệ thức: 5 125 5 25 25 625 125 625 ; ; ; 25 625 1256 625 5 125 5 5 = = = = Bài tập vận dụng: 1/ Lập tất cả các dãy tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau: .a, 6.6,3 = 9.42 .b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46 2/ Lập tất cả các dãy tỷ lệt hức có thể được tuef tỷ lệ sau: GV: kysibongdem1089@yahoo.com 3 ti sỏng kin kinh nghm 15 35 5,1 11, 4 = 3/ T cỏc t s sau õy cú th lp thnh t l thc khụng? .a, 3,5 : 5, 25 v 2,1 : 3,5 .b, 3 2 39 :52 10 5 v 2,1 : 3,5 Dạng 2: Cho tỉ lệ thức, hãy suy ra tỉ lệ thức khác: a, Ví dụ: Cho tỉ lệ thức: a c b d = ; hãy chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: a c a b c d = ( giả sử a b; c d; a,b,c,d 0 ) b, Các cách giải: * Cách 1: Để chứng minh a c a b c d = ta xét tờng tích a.(c-d) và c.(a-b). Ta có: a.(c-d) = ac - ad (1) c.(a-b) = ac - cb (2) Ta lại có: a c b d = a.d = b.c (3) Từ (1), (2), (3) a(c-d) = c(a-b) Do đó: a c a b c d = * Cách 2: Dùng phơng pháp đặt a c b d = = K thì a = bK ; c = dK Ta tính giá trị của các tỷ số: a c a b c d = theo K ta có: ( 1) 1 a bK bK K a b bK b b K K = = = (1) GV: kysibongdem1089@yahoo.com 4 ti sỏng kin kinh nghm ( 1) 1 c dK dK K c d dK d d K K = = = (2) Từ (1) và (2) a c a b c d = . * Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức: a c b d = ta đợc a b c d = áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta đợc: a b a b c d c d = = Hoán vị các trung tỷ của a a b c c d = ta đợc a c a b c d = . * Cách 4: từ a c b d = b d a c = 1 1 b d a b c d a c a c a c a b c d = = = . Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức a c b d = thờng ta dùng 2 ph- ơng pháp chính : Phơng pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc. Phơng pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số a b và c d có cùng một giá trị. Nếu trong đề tài đã cho trớc một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức nhng hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4). c, Bài tập vận dụng: Bài 1: cho tỷ lệ thức sau a c b d = Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa). a, 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d a b c d + + = GV: kysibongdem1089@yahoo.com 5 ti sỏng kin kinh nghm b, 2 2 2 2 ad a b cd c d + = c, 2 2 2 2 2 a b a b c d c d + + = + + . Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hỡng dẫn học sinh cùng thực hiện. Giải: Đặt a c b d = = K thì a = bK và c = dK a, 2 3 2 3 (2 3) 2 3 2 3 2 3 (2 3) 2 3 a b bK b b K K a b bK b b K K + + + + = = = (1). 2 3 2 3 (2 3) 2 3 2 3 2 3 (2 3) 2 3 c d dK d d K K c d dK d d K K + + + + = = = (2). Từ (1) và (2) 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d a b c d + + = Câu: (b, c) học sinh tự giải. d, bài tập tự giải: * Bài 1: cho a, b, c, d 0 Từ tỷ lệ thức a c b d = hãy suy ra tỉ lệ thức a b c d a c + + = a a c b b d + = + 2 2 2 2 ab a b cd c d + = + * bài 2: Chứng minh rằng tỷ lệ thức: 2 2 2 2 a b ab a c c d cd b d + = = + . * Bài 3: Chứng minh rằng tỷ lệ thức: a b c a a b c a + + = Hệ thức a 2 = bc. GV: kysibongdem1089@yahoo.com 6 ti sỏng kin kinh nghm - Dạng 3: Tìm các số cha biết khi biết các tỷ lệ thức a, Cách giải: * áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. a c a c a c b d b d b d + = = = = + * Vận dụng tính chất cơ bản của phân số. : : a c am cK a n b d bm dK b n = = = = * Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K. b, Ví dụ: + Ví dụ 1: Tìm 2 số x, y biết: 5 2 x y = và x + y = 21 Biết: 7x = 3y và x y = 16 Giải: Từ 5 2 x y = áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: 21 3 5 2 5 2 7 x y x y+ = = = = + Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6. Từ 7x = 3y 7 3 3 7 4 1 16 4y x x y = = = = x = 3.4 12 1 = ; y = 7.4 28 1 = . Ví dụ 2: Tìm các số x, y, z biết rằng ; 3 4 5 7 x y y z = = và 2x + 3y z = 186 Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy 4 y và 5 y phải đa về các phân số ( hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu số là 20. GV: kysibongdem1089@yahoo.com 7 ti sỏng kin kinh nghm Vậy: 3.5 4.5 x y = hay 15 20 x y = (1) Tơng tự: 5 7 20 28 y z y z = = (2) Giải: Từ giải thiết: 15 20 x y = ; 20 28 y z = Theo tính chất bằng nhau của tỉ lệ thức: 2 3 2 3 186 3 45; 60; 84 15 20 28 30 60 30 60 28 62 x y z x y x y z x y z + = = = = = = = = = = + c, Bài tập vận dụng: Tìm các số x, y, z biết rằng: 2 1 3 1x z y z x y y x z x y z + + + + + = = = + + Giải: áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: 2 1 3 1 ( 2) ( 1) ( 3)x z y z x y x z y z x y y x z x y z x y z + + + + + + + + + + + + = = = = + + + + = = 2( ) 2 x y z x y z + + = + + vì ( x + y + y 0 ). Do đó: x + y + z = 0,5 x + y = 0,5 z. Tơng tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta đợc: 0,5 1 0,5 2 0,5 3 2 x y z x y z + + = = = . Tức là: 1,5 0,5 2,5 2 y z x y z = = = Vậy: 1 5 5 ; ; 2 6 6 x y z = = = . d, Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm các số a, b, c biết rằng: GV: kysibongdem1089@yahoo.com 8 ti sỏng kin kinh nghm a, 2 3 4 a b c = = và a + 2b - 3c = -20. b, ; 2 3 5 4 a b b c = = và a b + c = -49. c, 2 3 4 a b c = = và 2 2 2 2 108a b c + = . Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a, 10 6 21 x y z = = và 5x + y - 2z = 28. b, 3x = 2y ; 7y = 5z và x y + z = 32. c, ; 3 4 3 5 x y y z = = và 2x 3y + z = 6. d, 2 3 4 3 4 5 x y z = = và x + y +z = 49. e, 1 2 3 2 3 4 x y z = = và 2x + 3y z = 50. g, 2 3 5 x y z = = và xyz = 810. Dạng 4: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con ngời, vào hình học . a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với 2, 3, 4. Giải: Số đo các góc của ABC là A ) ; B ) ; C ) . Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, 3 và 4 nghĩa là A ) : B ) : C ) = 2 : 3 : 4 hay 0 0 180 20 2 3 4 2 3 4 9 A B C A B C+ + = = = = = + + ) ) ) ) ) ) Do đó: 0 40A = ) ; 0 60B = ) ; 0 80C = ) b, Ví dụ 2: GV: kysibongdem1089@yahoo.com 9 ti sỏng kin kinh nghm Một ngời đi A B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45. Vì rằng ngời đó chỉ đi đợc 4 5 quãng đờng với vận tốc định trớc và quãng đờng còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h. Hỏi ngời đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đờng AB dài bao nhiêu km ? Giải: Gọi AC là quãng đờng đi với vận tốc 6km/h. CB là quãng đờng đi với vận tốc 4,5km/h. theo đề bài ta có: A B CB = 1 5 AB, Giải sử để đi quãng đờng CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà 1 t giời. Còn đi với vận tốc 4,5km/h với thời gian 2 t giờ. Ta có: 1 t - 2 t = 12h 11h45 = 1 4 (h) và 6 1 t = 4,5 2 t 2 1 2 1 1 1 4 6 4,5 6 4,5 1,5 6 h t t t t h = = = = Từ đó 2 t = 1h; 1 t = 3 4 h Quãng đờng Ab là : 4,5 . 5 = 22,5km Quãng đờng Cb là : 3 .6 4 = 4,5km Thời gian để đi bộ từ A B là 4 1 t + 2 t = 3h + 1h = 4h Thời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h. c, Bài tập tự giải: * Bài 1: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000 đ ; 5 000 đ và 10 000 đ . Trị giá mỗi loại tiền trên đều nh nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ? * Bài 2: Trên một công trờng xây dựng có 3 đội coong nhân làm việc. Biết rằng 2 3 số công nhân đội I bằng 8 11 số công nhân đội II bằng 4 5 số công nhân đội III. Biết rằng số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 18 ngời. Tính số công nhân của mỗi đôi. * Cỏc phng phỏp c s dng GV: kysibongdem1089@yahoo.com 10 [...]... được bài tập - Tiết học thoải mài và vui tươi hơn 2 Hiệu quả giáo dục: - Giúp các em hiểu và nắm vững kiến thức tỷ lệ thức - Giáo dục có hiệu quả giúp các em tự tin trong học toán - Loại bỏ được sự nhút nhát rụt rè khi giải toán tỷ lệ thức - Học sinh hình thành được ký năng giải toán tỷ lệt hức GV: kysibongdem1089@yahoo.com 11 Đề tài sáng kiến kinh nghệm 3 Các số liệu chứng minh: Lớp 7/1 Số HS Số HS... sinh lớp 7/1 mà tôi giảng dạy , các dạng toán trên liên quan đén tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa Với đè tài này mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc nhưng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em có tiến bộ rõ rệt Ngoài các bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đén tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm 2 Bài học kinh nghiệm: Qua nhiều lần áp dụng... năng giải toán tỷ lệ thức - Ít quan tâm khi nghe giảng bài - Học sinh chưa thể hiện được ý tưởng làm bài - Chưa phát huy được khả năng tự học, tự sáng tạo - Chưa phát huy tính tích cực trong học tập * Khi được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm : - Rất thích thú và phấn khởi khi được giải bài tập tỷ lệ thức - Chủ động hỏi ý kiến giáo viên để lựa chọn bài tập phù hợp - Phát huy được tính sáng... pháp dạy học, sgk và bài tập toán 7, ôn luyện toán 7, nâng cao và phát triển toán - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp * Các biện pháp xử lí - Ở đề tài nầy tôi hệ thống lại và bổ sung thêm một số lượng kiến thức và bài tập cho mỗi đơn vị kiến thức Mỗi đơn vị kiến thức được trình bày riêng biệt đẻ tiện cho việc dạy Khi dạy đối với mỗi kiến thức tôi dạy lý thuyết... thức tôi dạy lý thuyết trước sau đó có ví dụ minh họa và bài tập kèm theo Các bài tập dduocj phân chia thành từng dạng và cách giải cho từng dạng Tất cả các phần kiến thức này tôi dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép vào một số tiết học có liên quan đến đề tài Sau mỗi phần tôi để cho học sinh kiểm tra nắm bắt ưu, nhược điểm của học sinh * Phạm vi được thực hiện trong đề tài: Áp... minh: Lớp 7/1 Số HS Số HS giải được được khảo sát SL % 37 28 76 Số HS biết hướng nhưng không giải được SL % 7 19 Số HS không thể giải được SL 2 % 5 4 Sáng kiến này đã được dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép vào một số tiết học có liên quan đến đề tài IV/- Kết luận: 1 Tự đánh giá SKKN: - Với sụ nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh Cô trò tôi đã thu được nhưng kết quả... nên cần giao nhiêm vụ giải bài tập cụ thể cho các em, giao cho các nhóm giải theo các dạng - Giáo viên nên tham khảo nhiều hơn ý về các sách phương pháp dạy học đổi mới * Do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm bản than chưa nhiều nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đòng thẩm định các cấp góp ý góp ý kiến chân thành để đè tài của tôi được hoàn thiện Tôi... đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đòng thẩm định các cấp góp ý góp ý kiến chân thành để đè tài của tôi được hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhận xét của HĐKH Bắc Sơn, ngày 25 tháng 3 năm 2011 Người viết GV: kysibongdem1089@yahoo.com 12 Đề tài sáng kiến kinh nghệm Nguyễn Xuân Dũng Chủ tịch HĐKH GV: kysibongdem1089@yahoo.com 13 . các tính chất của tỷ lệ thức nhng hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4). c, Bài tập. trớc một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính. thức - Tính chất của tỷ lệ thức * Bài tập: - Lập tỷ lệ thức - cho một tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức khác. - Các bài toán thực tế trong đời sống liên quan đến tỷ lệ thức. GV: kysibongdem1089@yahoo.com