Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình toán lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT HUYỆN QUAN SƠN PHÒNG GD&ĐT HUYỆN QUAN SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO PHƯƠNG CÁCH GIẢIHAI MỘT SỐ BÀICHƯƠNG TOÁN DỰA VÀOTỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC TRONG TRÌNH LỚP TRÌNH BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN LỚP Người thực hiện: Lê Thị Duyên Người thựcGiáo hiện:viên Lê Thị Duyên Chức vụ: Chức Giáo Đơn vịvụ: công tác:viên Trường PTDT BT THCS Trung Hạ Đơn vị công tác: Trường PTDT BT THCS Trung Hạ SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2017 THANH HOÁ NĂM 2017 Mục A Phần mở đầu I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B Giải vấn đề I Cơ sở lý luận II Thực trạng vấn đề nghiên cứu III Các giải pháp thực IV Ứng dụng vào công tác giảng dạy 1.Quá trình áp dụng thân Kết thu C Kết luận kiến nghị I Kết luận II Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN công nhận Trang 1 2 2 15 15 15 16 16 16 17 18 A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Tốn học mơn học chiếm vị trí quan trọng trường phổ thơng Dạy toán tức dạy phương pháp suy luận Học tốn tức rèn luyện khả tư lơgic Các toán phương tiện tốt việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ sảo Để chất lượng học sinh ngày nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp hệ thống tập đa dạng, phong phú đối tượng học sinh Theo hướng đó, sách giáo khoa Toán cung cấp cho học sinh kiến thức cần lĩnh hội theo yêu cầu chương trình, đồng thời giúp cho học sinh hiểu trình dẫn đến kiến thức, cách thức làm việc, hình thức hoạt động để tự khám phá, lĩnh hội kiến thức Và dạy để học sinh đại trà nắm kiến thức cách có hệ thống mà học sinh mũi nhọn phải nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập không bị nhàm chán câu hỏi mà thầy cô đặt cho Muốn giải nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo phải xây dựng cho phương pháp dạy thật tốt thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nội dung, điều kiện giảng dạy vào đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền việc tiếp nhận tri thức, nề nếp thái độ học tập em nhà trường Là giáo viên dạy Toán trường THCS nhận thấy phần đông em học sinh học yếu mơn tốn lí sau : - Các em chưa nắm kiến thức - Chưa phân dạng toán đưa cách giải cho dạng tốn cụ thể Trong q trình giảng dạy lớp thực công tác ôn luyện học sinh mũi nhọn năm liền nhận thấy em hiểu cơng thức phương trình bậc hai việc vận dụng cơng thức vào giải tập mang tính máy móc, thực toán đơn giản đơi chưa biết vận dụng linh hoạt phương trình bậc hai vào giải toán khác, chưa khai triển hết dạng tập dó e có học lực giỏi chưa sâu phát triển kiến thức nâng cao qua dạng toán phương trình bậc hai Và dạng tốn khơng thể thiếu chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Qua tìm tịi, nghiên cứu tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nhỏ để giảng dạy vấn đề giúp cho em nhận dạng vận dụng linh hoạt vào giải tốn từ nâng cao kiến thức nên mạnh dạn chọn đề tài " Cách giải số tốn dựa vào phương trình bậc hai chương trình tốn lớp " Vì thời gian giảng dạy chưa nhiều nên chắn nhiều thiếu sót mong đồng nghiệp góp ý để sau lần viết "Sáng kiến kinh nghiệm" hồn thiện giúp tơi học hỏi thêm nhiều vấn đề II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp giải số dạng tập dựa vào phương trình bậc hai Cụ thể : - Hệ thống phân loại số toán dựa vào phương trình bậc hai để giải - Rèn kỹ vận dụng kiến thức để giải số toán dựa vào phương trình bậc hai - Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Cách giải số toán dựa vào phương trình bậc hai chương trình tốn lớp IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu thực tiễn - Sưu tầm tài liệu nghiên cứu sở lý thuyết vấn đề tự học - Tiến hành điều tra thực tiễn kết học tập học sinh - Phương pháp trò chuyện vấn - Phương pháp truyền thụ kiến thức giáo viên - Kiểm nghiệm, đối chứng lý thuyết thực tiễn từ rút học công tác nghiên cứu - Học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN : Kiến thức phương trình bậc hai : [1] a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn ( nói gọn phương trình bậc hai ) phương trình có dạng : ax2 + bx + c = Trong x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a ≠ b) Công thức nghiệm : Đối với phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) biệt thức ∆ = b2 – 4ac • Nếu ∆ > phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = • −b ± ∆ 2a Nếu ∆ = phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = − b 2a • Nếu ∆ < phương trình bậc hai vơ nghiệm c) Công thức nghiệm thu gọn : Đối với phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) b = 2b’; ∆ ' = b'2 − ac • Nếu ∆ ' > ’ phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: Trong phần B nội dung : Mục tham khảo từ tài liệu tham khảo số x1,2 = • −b ' ± ∆ ' a Nếu ∆ ' = phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = − • Nếu ∆ ' < : phương trình bậc hai vô nghiệm d) Định lý VI-ÉT:2 b' a - Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) : b   x1 + x2 = − a  x x = c  a - Trường hợp đặc biệt : * Nếu a + b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm là: x1= 1, x2 = c a * Nếu a - b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm là: x1= -1, x2 = − c a Một số dạng Tốn dựa vào phương trình bậc hai để giải: 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng: 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà ta hay đổi vai trị x, y hệ phương trình khơng thay đổi 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ phương trình mà ta hay đổi vai trò x, y phương trình trở thành phương trình 2.2 Dạng 2: Biện luận số giao điểm hai đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ ) y = ax ( a ≠ ) : Để xác định số giao điểm hai đồ thị cần phải tìm số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị mà tìm số nghiệm phương trình bậc hai 2.3 Dạng 3: Tìm nghiệm ngun phương trình: Có nhiều dạng phương trình nghiệm ngun, nhiên khn khổ đề tài đề cập đến phương trình mà ẩn có số mũ cao mũ để áp dụng cách giải phương trình bậc hai vào giải phương trình 2.4 Dạng 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số: Đây dạng Toán hay gặp đề thi HSG đề thi vào lớp 10, để giải dạng tập cần xác định khoảng giá trị biểu thức đại số từ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 2.5 Dạng 5: Phương trình đối xứng bậc bốn : Đối với phương trình bậc bốn khơng có cơng thức nghiệm phương pháp giải cụ thể nhiên giải Trong trang : Mục “của” tác giả phương trình bậc bốn đối xứng cách biến đổi chúng dạng phương trình bậc hai để giải Qua nhận thấy để giải số dạng Toán địi hỏi thân học sinh cần nhận dạng đúng, phân tích đề đưa cách giải cho dạng Toán cụ thể mà sử dụng phương trình bậc hai để giải cách giải thường áp dụng, mang lại hiệu cao dễ dàng áp dụng Dó xây dựng cách giải cụ thể cho dạng Tốn giúp cho học sinh hình thành kĩ vận dụng linh hoạt phương trình bậc hai vào giải II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Thực trạng : Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn trường PTDT Bán trú THCS Trung Hạ nhận thấy: 1.1 Đối với giáo viên : Với kinh nghiệm thân qua nhiều năm liền giảng dạy lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi trực tiếp ôn thi vào lớp 10, dạng Tốn áp dụng phương trình bậc hai vào giải sử dụng chương trình Tốn đa dạng phức tạp, để xây dựng phương pháp giải chung cho dạng tốn điều khơng thể Song đưa số dạng cách giải cụ thể dựa kiến thức phương trình bậc hai mà em học chương trình SGK Tốn 9, qua giúp em hình thành định hướng cách thức cho việc giải dạng Toán 1.2 Đối với học sinh : Thực tế giảng dạy qua tìm hiểu đơn vị cơng tác thân tơi thấy chất lượng học tập mơn Tốn dạng Tốn mang tính chất cần phải suy luận để tìm cách giải chưa cao Cụ thể chương trình Tốn em cịn lung túng việc nhận dạng đưa cách giải số dạng Tốn địi hỏi tư vận dụng linh hoạt công thức giải phương trình bậc hai vào giải Chính dẫn đến thái độ học tập học sinh dạng Tốn chưa tích cực, ngại nghiên cứu ảnh hưởng sâu sắc đến hiệu chất lượng việc dạy học Kết thực trạng : 2.1 Bảng khảo sát học sinh trước nghiên cứu đề tài trường PTDT Bán Trú THCS Trung Hạ - Quan Sơn - Thanh Hoá Mức độ hiểu học sinh TT Lớp Sỉ số Khá - Giỏi TB Yếu - Kém Sl % Sl % Sl % 9A 25 16% 11 44% 10 40% 9B 22 36.4% 22.7% 40.9% 2.2 Nguyên nhân : - Học sinh chưa có định hướng phương pháp để giải tập mà khơng có dạng tổng quát giới thiệu SGK Toán - Chưa biết phân tích cách logic tốn học để đưa tập dạng Toán có cách giải cụ thể SGK Tốn - Đa số em chưa có định hướng hướng chung phương pháp học lý thuyết, vận dụng lý thuyết vào thực hành giải tập Toán - Ý thức tự học, tự nghiên cứu số học sinh cịn hạn chế, chưa tích cực chủ động tìm tịi dạng Tốn cần tư duy, logic, suy luận Toán học III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN : Dạng 1: Giải hệ phương trình đối xứng: 1.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1: Nếu ta hay đổi vai trò x, y hệ phương trình khơng thay đổi * Phương pháp giải : [4] S = x + y với điều kiện S ≥ P  P = xy - Đưa hệ phương trình theo hai biến :  - Khi x, y nghiệm phương trình : X − SX + P = (1) - Giải phương trình (1) kết luận nghiệm Chú ý : Hệ phương trình đối xứng có vai trị x, y nên (x,y) nghiệm hệ phương trình (y,x) nghiệm hệ phương trình x + y = Bài tập : Giải hệ phương trình : (I)  3 2 x + y − = x + y [4] * Phân tích : Nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại Theo phương pháp giải hệ phương trình thứ có dạng x+y, cần biến đổi phương trình thứ hai có dạng x+y xy để tìm x, y dựa vào giải phương trình bậc hai Giải  x + y = I ⇔ ( )  ( x + y ) − xy ( x + y ) − = ( x + y ) − xy x + y = x + y = ⇔ ⇔  xy = −2 1 − xy − = − xy ⇒ x, y nghiệm phương trình : X − X − = (1) Giải phương trình (1), hệ phương trình có nghiệm : (-1;2); (2;-1)  x + y − x − y = 12 Bài tập : Giải hệ phương trình : (I)  [6]  x + y + xy = ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm học 2011 – 2012 ) Giải: ( x + y ) − 9 − ( x + y )  − ( x + y ) = 12   ( x + y ) − xy − ( x + y ) = 12 ⇔  I ⇔ ( )   xy = − ( x + y ) ( x + y ) + xy = ( x + y ) + ( x + y ) − 30 = ( *) ⇔  xy = − ( x + y ) ( **) Trong trang : Mục Phương pháp giải Bài tập tham khảo từ tài liệu tham khảo số Bài tập tham khảo từ tài liệu tham khảo số Đặt ( x + y ) = X thay vào phương trình (*) ta : X + X − 30 = (1) Giải phương trình (1) ta có nghiệm : X = ; X = −6 x + y =  xy = +) Với X = x + y = thay vào (**) ta :  ⇒ x, y nghiệm phương trình : X − X + = (2) Giải phương trình bậc hai (2), hệ phương trình có nghiệm : (1;4) (4;1)  x + y = −6  xy = 15 +) Với X = x + y = - thay vào (**) ta :  ⇒ x, y nghiệm phương trình: X + X + 15 = (phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1;4) (4;1) * Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình  xy =  x + xy + y = a)  b)  2  x + y = −1  x + y = x y + xy [5]  x y + xy = Bài tập 3: Giải hệ phương trình : (I)   xy + x + y = * Phân tích : Đối với hệ phương trình cần biến đổi hai phương trình hệ để đưa hệ hai biến S = x+y P = xy Tìm S, P sau tìm nghiệm x, y hệ phương trình Giải :  xy ( x + y ) =  x y + xy = ⇔ (I)   xy + ( x + y ) =  xy + x + y = S = x + y  SP = Đặt :  ( S ≥ P ) , hệ trở thành  ( Đây hệ đối xứng loại với  P = xy S + P = ẩn S, P ) ⇒ S, P nghiệm Phương trình bậc hai sau : X − X + = (1) Giải phương trình (1) ta : S = ( t/m điều kiện) ;  P = S = ( không t/m điều kiện )  P = Khi x, y lại nghiệm phương trình bậc hai sau : X − X + = (2) Giải phương trình (2) suy hệ phương trình có nghiệm : (1;2) ; (2;1) [4] * Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình  x + xy + y =  x + y = a)  b)  2 [4]  x − x y + y = 13  x + xy + y = −1 1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Nếu ta hay đổi vai trò x, y phương trình trở thành phương trình * Phương pháp giải : Trừ hai phương trình với để nhận phương có dạng tích số.[4] Trong trang : Được tham khảo từ tài liệu tham khảo số số Chú ý : Hệ phương trình đối xứng loại sau biến đổi thường đưa dạng x = y x = -y Nếu hệ phương trình có nghiệm (x,y) hệ phương trình có nghiệm (y,x).[4]  x + y = ( 1) Bài tập 1: Giải hệ phương trình : (I)  [5]  y − x = ( ) * Phân tích : Đây hệ phương trình đối xứng loại 2, áp dụng phương pháp giải có giải hệ phương trình Giải : Trừ hai phương trình hệ với ta : (x + y ) − ( y2 − 2x) = ⇔ ( x + y ) ( x − y + 2) = x + y =  y = −x ⇔ ⇔ x − y + = y = x + +) Với y = - x thay vào phương trình (1) ta : x − x − = (*) Giải phương trình (*) ta có nghiệm : x1 = ; x2 = −2 Hệ phương trình có nghiệm : (4;-4); (-2;2) +) Với y = x + thay vào phương trình (1) ta : x + x − = (*) Giải phương trình (*) ta có nghiệm : x1 = −1 − ; x2 = −1 + Hệ phương trình có nghiệm : ( −1 − 5;1 − ) ; ( −1 + 5;1 + ) Vậy hệ phương trình có nghiệm : (4;-4); (-2;2); ( −1 + ) ( −1 − ) 5;1 − ; 5;1 +  2 + 3x = y  Bài tập 2: Giải hệ phương trình :   x3 − =  y [8] ( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013 ) * Phân tích : Nhận thấy hệ phương trình chưa phải hệ phương trình đối xứng loại ẩn x y Tuy nhiên biến đổi để hệ phương trình trở thành hệ phương trình đối xứng loại với hai ẩn x y Để giải hệ phương trình đặt z = y đưa hệ phương trình dạng đối xứng loại Giải : Điều kiện y ≠ Đặt z = y ta hệ :  2 + 3x = z ( 1)   2 + z = x ( ) Trừ vế với vế hai phương trình ta đươc : Trong trang này: Được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4; số số x − z = ( x − z )( x + xz + z + 3) = ⇔  2  x + xz + z + = z 3z + > với x, z ) ) + ( Mà x2 + xz + z2 +3 = (x + Xét x – z = ⇔ x = z thay vào phương trình (1) hệ ta : x3 – 3x – = ⇔ (x+1)2(x - 2) = ⇔ x = -1 x = Với x = z = −1 ⇒ y = −2 ⇒ nghiệm (x ; y ) hệ (-1,-2) Với x = z = ⇒ y = ⇒ nghiệm (x ; y ) hệ (2,1) Vậy nghiệm (x ; y ) hệ (−1; −2) (2,1) * Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình  y2 + y =  x2  a)  3 x = x +  y2   x + xy + x = 2007 b)  [5]  y + xy + = 2007 y  Dạng 2: Biện luận số giao điểm hai đồ thị hàm số (d) y = ax + b ( a ≠ ) (P) y = a ' x ( a ' ≠ ) * Phương pháp giải : Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (d) y = ax + b ( a ≠ ) (P) y = a ' x ( a ' ≠ ) : a ' x = ax + b ⇔ a ' x - ax - b = (1) Phương trình (1) phương trình bậc hai, số giao điểm hai đồ hàm số số nghiệm phương trình + Nếu phương trình ( 1) có hai nghiệm (d) (P) cắt hai điểm + Nếu phương trình ( 1) có nghiệm kép (d) (P) cắt điểm ( hay tiếp xúc ) + Nếu phương trình ( 1) vơ nghiệm (d) (P) khơng cắt Bài tập : 6Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = mx +1, m ∈ Z Chứng minh với m ∈ Z đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) hai điểm phân biệt [8] ( Đề thi HSG Tỉnh Gia Lai năm học 2009 – 2010 ) * Phân tích : để giải toán trước hết cần viết phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số ( phương trình bậc hai ), số giao điểm hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phương trình Để chứng tỏ đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt phải chứng tỏ phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với m ∈ Z Giải : Mục phương pháp giải lag “của” tác giả Bài tập vận dụng tham khảo từ tài liệu tham khảo số Bài tập tham khảo từ tài liệu tham khảo số 8 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) : x = mx + ⇔ x − 4mx − = (1) Xét : ∆ ' = b'2 − ac = 4m − (−4) = 4m2 + > ( với m ∈ Z ) ⇒ Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài tập :7 Trong hệ tọa độ, cho đường thẳng (d) : y = x – parabol (P) : y = - x Gọi A B giao điểm (d) (P) a) Tính độ dài AB b) Tìm m để đường thẳng (d’) : y = - x + m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB [6] ( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 – 2012 ) * Phân tích : Đối với câu a để tìm độ dài đoạn thẳng AB trước tiên cần tìm tọa độ A, B cách giải phương trình bậc hai phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) Giải : a) Hoành độ giao điểm A ; B (d) (P) nghiệm phương trình : - x2 = x – ⇔ x + x – = (*) Giải phương trình (*) ta có nghiệm : x = x = -2 thay vào phương trình đường thẳng (d) ta có : ( x; y ) = (1; − 1) ( x; y ) = (− 2; − 4) AB = + = b) Xét phương trình ( hồnh độ giao điểm ( P) d ' ): − x = − x + m ⇔ x − x + m = (1) Xét : ∆ = - 4m Tồn C D, phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 phân biệt: ∆ = - 4m > ⇔ m < (*)  x1 + x2 = Áp dụng định lý vi - ét ta có :  (**)  x1 x2 = m Khi đó, toạ độ C D là: C ( x1 ; y1 ) D( x2 ; y2 ) Với: y1 = − x1 + m y2 = − x2 + m CD = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 2( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  (2) Thay (**) vào (2) ta suy ra: CD = 2(1 − 4m) Mà : CD = AB ⇔ 2(1 − 4m) = 18 ⇔ m = − , thoả mãn (*) Vậy giá trị cần tìm m là: m = − * Bài tập vận dụng : Trong trang : Bài tập tham khảo từ tài lieu tham khảo số Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx – m + ( với m tham số ) a) Tìm m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ x = b) Chứng minh với giá trị m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt [8] ( Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2011 – 2012 ) Dạng 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình *Phương pháp giải : Để giải dạng tốn đưa biện luận biệt thức ∆ phương trình bậc hai Phương trình có nghiệm ngun ∆ số phương từ xét trường hợp xảy kết luận nghiệm phương trình Bài tập : 8Tìm số nguyên n để nghiệm phương trình sau số nguyên : x − ( n + ) x + 4n − 25 = [8] * Phân tích : Đây phương trình bậc hai ẩn x, xét biệt thức ∆ cho ∆ số phương khì phương trình có nghiệm ngun, từ nhận xét, đánh giá rút nghiệm phương trình Giải : Ta có : x − ( n + ) x + 4n − 25 = (1) Xét : ∆ = ( n + ) − ( 4n − 25 ) = n − 8n + 116 Để phương trình (1) có nghiệm ngun ∆ phải số phương Đặt : ∆ = k ( k ∈ N ) Hay n − 8n + 116 = k ⇔ n − 8n + 16 − k = −100 ⇔ ( n − − k ) ( n − + k ) = −100 Ta nhận thấy n − + k > n − − k nên ta có trường hợp sau :  n − + k = 50  n = 28 ⇔   n − − k = −2  k = 26 + Trường hợp :  Thay n = 28 vào phương trình (1) giải ta : x1 = 29; x2 = n − + k =  n = −20 ⇔   n − − k = −50  k = 26 + Trường hợp :  Thay n = -20 vào phương trình (1) giải ta : x1 = 5; x2 = −21  n − + k = 10 n = ⇔   n − − k = −10  k = 10 + Trường hợp :  Thay n = vào phương trình (1) giải ta : x1 = 9; x2 = −1 Vậy với n ∈ { 28; −20; 4} phương trình (1) có nghiệm ngun Bài tập : Tìm nghiệm nguyên phương trình : [7] x2 − 2x + = y2 Trong trang : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số số 10 * Phân tích : Để giải toán biến đổi dạng phương trình bậc hai có ẩn x Sau xét biệt thức ∆ phải số phương điều kiện cần để phương trình cho có nghiệm ngun Giải : Viết thành phương trình bậc hai x : 2 x − x + = y ⇔ x − x − ( 11 + y ) = (2) Ta có : ∆ ' = + 11 + y = 12 + y Xét : Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên : ∆ ' số phương 12 + y = k ( k ∈ N ) Đặt : ⇔ k − y = 12 ⇔ ( k + y ) ( k − y ) = 12 Giả sử y ≥ k + y ≥ k − y k + y ≥ Xét : ( k + y ) − ( k − y ) = y nên k + y k − y tính chẵn lẻ phải chẵn k + y = y = ⇔  Từ nhận xét ta có :  k − y = k = Thay y = vào phương trình (2) ta : x − x − 15 = (**) Giải phương trình bậc hai (**) ta có nghiệm : x1 = ; x2 = −3 Vậy phương trình có nghiệm : ( 5; ) ; ( 5; −2 ) ; ( −3; ) ; ( −3; −2 ) Bài tập : Tìm số nguyên tố p, biết x + px − 12 p = có hai nghiệm số nguyên [8] * Phân tích : Trước tiên xét biệt thức ∆ phương trình bậc hai với ẩn x, dựa vào tính chất số nguyên tố p để nhận xét đưa giá trị giới hạn p tìm giá trị p, thay p vào phương trình ban đầu để tìm nghiệm nguyên Giải : x + px − 12 p = (1) Ta có : ∆ = p + 48 p = p ( p + 48 ) Mp Xét : ⇒ p + 48 M p ⇒ 48Mp Mà : p số nguyên tố nên p ∈ { 2;3} + Trường hợp : Xét p = thay vào phương trình (1) ta : x + x − 24 = (*) Giải phương trình (*) ta có : x1 = 4; x2 = −6 + Trường hợp : Xét p = thay vào phương trình (1) ta : x + 3x − 36 = (**) Giải phương trình (**) ta có : x1 = −3 + 17 −3 − 17 ; x2 = ( không thỏa mãn) 2 Vậy với p = phương trình cho có hai nghiệm số nguyên * Bài tập vận dụng : Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức [7] a) x + xy + y − x y = b) x + y + 3xy − x − y + = Bài tâp tham khảo từ tài liệu tham khảo số Bài tập vận dụng tham khảo từ tài liệu tham khảo số 11 * Gợi ý cách giải : coi x ( y ) ẩn, biến đổi biểu thức dạng phương trình bậc hai ẩn x ( y ), sau nhận xét đánh giá biệt thức ∆ phương trình tìm nghiệm thỏa mãn (tương tự tập 2) Dạng 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số.10 * Phương pháp giải : Thường sử dụng phương pháp miến giá trị để giải cụ thể : Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y0 giá trị f(x) với x ∈ D Điều có nghĩa phương trình f(x) = y0 phải có nghiệm với x ∈ D Sau giải phương trình điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức: m ≤ y0 ≤ M Từ suy ra: Min f(x) = m Max f(x) = M [8] Bài tập : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = x +1 [5] x + x +1 * Phân tích : Để sử dụng phương pháp miền giá trị trước tiên biến đổi biểu thức dạng phương trình bậc hai, sau nhận xét dấu biệt thức ∆ Giải Ta có : 1  x + x + =  x + ÷ + > ⇒ TXĐ : R 2  Xét : A = x +1 ⇔ A x + x + = x + x + x +1 ( ) ⇔ Ax + ( A − 1) x + A − = (1) - Nếu A = x = -1 - Nếu A ≠ (1) phương trình bậc hai, có ∆ x = ( A − 1) − A( A − 1) = −3 A2 − A + ≥ ⇒ −1 ≤ A ≤ Từ suy : MaxA = x = Và MinA = -1 , x = -1 Bài tập : Trong cặp nghiệm phương trình sau tìm cặp nghiệm (x,y) cho y lớn : x2 – ( x2 + )y + 8x + = (1) [8] * Phân tích : Chúng ta biến đổi phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai ẩn x, sử dụng phương pháp miền giá trị để giải toán cách nhận xét dấu biệt thức ∆ Giải : ⇔ Trước hết: (1) (1 - y)x + 8x + – y = (2) + Nếu – y = ⇒ y = ⇒ x = - + Nếu – y ≠ ⇒ y ≠ ⇒ ∆’ = 16 - ( – y )( – y ) ⇒ ∆’ = - y2 + 8y + = ( + y )( – y ) 10 Trong Dạng : Bài tập tham khảo từ tài liệu tham khảo số Bài tập tham khảo từ tài liệu tham khảo số 12 Vì (x,y) nghiệm phương trình (1) phương trình (2) phải có nghiệm Do : ∆’ ≥ ⇔ ( + y )( – y ) ≥ ⇔ - ≤ y ≤ Suy ra: max y = ∆’ = 0; x = Vậy cặp nghiệm thoả mãn toán (1; 9) * Bài tập vận dụng :11 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : a) A = x2 − x + x2 + x + b) B = x2 + 2x + [5] x2 + Dạng : Giải Phương trình đối xứng bậc bốn * Phương pháp giải : Dạng tổng quát phương trình ax + bx + cx + bx + a = ( a ≠ ) (1) - Xét x = có phải nghiệm phương trình hay không - Xét x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x ta :   1 1  ax + bx + c + b + a = ⇔ a  x + ÷+ b  x + ÷+ c = (*) x   x  x x 1 1  Đặt : t = x + ⇒ t =  x + ÷ = x + + ⇒ x + = t − x x x x  ( t ≥ 2) Phương trình (*) trở thành: a ( t − ) + bt + c = ⇔ at + bt + c − 2a = ( a ≠ ) (**) Nhận thấy phương trình (**) phương trình bậc hai ẩn t Giải phương trình tìm ẩn t từ tìm ẩn x phương trình (1) [5] Chú ý : Nếu m nghiệm phương trình đối xứng nghiệm m phương trình Bài tập : Giải phương trình sau : x − x3 − x − x + = (1) [5] * Phân tích : Nhận thấy phương trình đối xứng bậc bốn, áp dụng phương pháp giải bình thường Chú ý điều kiện đặt ẩn kết luận nghiệm phương trình Giải : - Xét x = Không phải nghiệm phương trình - Xét x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x ta :   1  x − x − − + = ⇔  x + ÷−  x + ÷− = (*) x   x  x x Đặt : t = x + 1 1  2 (2) ⇒ t =  x + ÷ = x + + ⇒ x + = t − x x x x  ( t ≥ 2) Phương trình (*) trở thành : ( t − ) − 2t − = ⇔ t − 2t − = (**) Giải phương trình bậc hai (**) ta có nghiệm : t1 = −1 (loại ), t2 = ( thõa mãn đk) Thay t = vào (2) ta : = x + 11 ⇔ x − x + = (3) x Trong trang : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 13 3+ 3− ; x2 = 2 3+ 3− Vậy phương trình có nghiệm : x1 = ; x2 = 2 Giải phương trình (3) ta có nghiệm : x1 = * Bài tập vận dụng :12 Giải phương trình sau a) x − 10 x + 26 x − 10 x + = b) x + x3 − x + x + = c) x + x − 11x + x + = d) x − x + 14 x − x + = [5] * Chú ý : Phương trình đối xứng bậc năm có dạng : ax + bx + cx + cx + bx + a = ( a ≠ ) Bao nhận -1 nghiệm, ta phân tích đưa dạng đối xứng bậc bốn Bài tập : giải phương trình sau : x5 − 11x − 11x + = (1) * Phân tích : Chúng ta nhận thấy dạng phương trình đối xứng bậc năm, ln nhận -1 nghiệm, sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa dạng phương trình tích có phương trình đối xứng bậc bốn Giải : Ta có : x − 11x − 11x + = ⇔ x +1 = ( x + 1) ( x − 17 x3 + 17 x − 17 x + ) = ⇔  6 x − 17 x + 17 x − 17 x + = + Trường hợp : x + = ⇔ x = -1 + Trường hợp : x − 17 x3 + 17 x − 17 x + = (*) Phương trình (*) dạng phương trình đối xứng bậc bốn, giải giống tập Nghiệm phương trình (*) x1 = ; x2 = Vậy phương trình có nghiệm : -1 ; ; [5] * Nhận xét : Cách chia hai vế cho x sử dụng phương trình có dạng : ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = mx Trong ad = bc, ta nhóm ( x + a ) ( x + d )  ( x + b ) ( x + c )  = mx - Xét x = có phải nghiệm phương trình hay khơng - Xét x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x đặt ẩn phụ để đưa phương trình dạng phương trình bậc hai với ẩn vừa đặt giải [5] Bài tập : Giải phương trình : ( x + 5) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = 3x * Phân tích : Nhận thấy phương trình có 5.12 = 6.10 nên áp dụng nhận xét ta giải toán Giải : ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = x Ta có : ⇔ ( x + ) ( x + 12 )  ( x + ) ( x + 10 )  = x (2) 12 Trong trang : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 14 - Xét x = Không phải nghiệm phương trình - Xét x ≠ Chia hai vế phương trình (1) cho x ta : 60  60   (2) ⇔  x + 17 + ÷ x + 16 + ÷ = (*) x  x   60 = t (**) x Phương trình (*) trở thành : 4t ( t + 1) = ⇔ 4t + 4t − = Đặt: x + 16 + ; t2 = − 2 −15 −35 + 265 −35 − 265 Thay t1 t2 vào (**) ta tìm x : −8; ; ; 4 −15 −35 + 265 −35 − 265 Vậy phương trình có nghiệm : −8; ; ; [5] 4 Giải phương trình bậc hai ẩn t ta có nghiệm : t1 = 13 * Bài tập vận dụng : Giải phương trình sau 2 2 a) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) = x b) ( x + 11x + 30 ) ( x + 22 x + 120 ) = 3x * Gợi ý cách giải câu b : Chúng ta nhận thấy phương trình khơng có dạng giống phươg trình có cách giải cụ thể trên, nhiên qua vài bước biến đổi đưa dạng học sau : ( x + 11x + 30 ) ( x + 22 x + 120 ) = 3x Ta có : ⇔ ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = 3x [5] ( Đây tập 3, có cách giải cụ thể ) IV ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY: Quá trình áp dụng thân Sau nghiên cứu xong đề tài thân thấy hiểu sâu sắc cách giải số tốn dựa vào phương trình bậc hai Trong giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh Khá Giỏi, Trung bình, Yếu tuỳ đối tượng mà tơi chọn cho phù hợp thấy đa số em tiếp thu nội dung chun đề cách dễ dàng, khơng cịn lúng túng việc phân dạng toán dạng tốn thường hay gặp kì thi học sinh giỏi thi tuyển sinh vào lớp 10 Kết thu Bảng khảo sát học sinh sau nghiên cứu đề tài trường PTDT Bán Trú THCS Trung Hạ - Quan Sơn - Thanh Hoá Mức độ hiểu học sinh TT Khối Sỉ số Khá - Giỏi Trung Bình Yếu - Kém Sl % Sl % Sl % 9A 25 10 40% 48% 12% 9B 22 12 54.5% 36.4% 9.1% * Nhận xét : - Khá Giỏi : Tăng 21,3 % - Trung Bình : Giảm 2,1% 13 Trong trang : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 15 - Yếu Kém : Giảm 19.2 % Qua kết khảo sát tin kết năm học cao Nói để chứng tỏ áp dụng chuyên đề “Cách giải số toán dựa vào phương trình bậc hai chương trình tốn lớp 9” cơng tác ơn thi HSG Tốn ôn thi vào lớp 10 quan trọng, mang lại kết khả quan Những kinh nghiệm kiểm nghiệm trường PTDT Bán trú THCS Trung Hạ Bản thân thấy hiệu qua thời gian công tác, áp dụng sáng kiến vào năm học C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN : Qua việc phân loại số dạng toán áp dụng phương trình bậc hai việc phân tích để tìm hướng giải tốn tơi thấy : Nhìn chung em học sinh lớp tơi giảng dạy biết phân dạng cụ thể có hướng giải cho tốn đó, cịn học sinh giỏi em cịn biết vận dụng khai thác sâu tốn để tìm cách giải nhanh, biết tự đặt toán rút ý cho II KIẾN NGHỊ : Đối với Giáo viên cần tích cực nghiên cứu tìm tịi phương pháp hay có hiệu cho việc dạy học, cần nghiên cứu nhiều tài liệu tài liệu liên quan đến đổi phương pháp dạy học Đối với học sinh cần chủ động linh hoạt tích cực, say mê tìm tịi khám phá tri thức Đối với cấp quản lý giáo dục cần khuyến khích tạo điều kiện để giáo viên học sinh tiếp cận với phương pháp dạy học mới, tài liệu mới, có thời gian để nghiên cứu Trong khn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin nhận dạng nhanh tốn áp dụng phương trình bậc hai vào giải Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác ( Ký ghi rõ họ tên ) TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 Sách giáo khoa Toán – Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên Toán – Nhà xuất giáo dục Sách tập Toán – Nhà xuất giáo dục Sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán: Đại số - Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Sách Nâng cao phát triển Toán – Nhà xuất giáo dục Tuyển tập đề thi học sinh giỏi – Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Phương trình tốn với nghiệm ngun - Nhà xuất giáo dục Tài liệu mạng Internet - Nguồn : http://violet.vn - Nguồn : http://thuviengiaoan.vn DANH MỤC 17 CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Duyên Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên Trường PTDT BT THCS Trung Hạ TT Tên đề tài SKKN Cách giải số toán so sánh phân số Cách giải toán dựa vào tỉ lệ thức dãy tỉ số Cách giải số toán phép chia hết Cách giải số toán lũy thừa chương trình Tốn 6, Cách giải số tốn lũy thừa chương trình Tốn 6, Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Phòng GD & ĐT Quan C sơn Phòng GD & ĐT Quan C sơn Phòng GD & ĐT Quan B sơn Phòng GD & ĐT Quan A sơn Sở GD & ĐT Thanh C Hóa Năm học đánh giá xếp loại 2009-2010 2010 - 2011 2011 - 2012 2013 - 2014 2014 - 2015 * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 18 ... Cách giải số toán so sánh phân số Cách giải toán dựa vào tỉ lệ thức dãy tỉ số Cách giải số toán phép chia hết Cách giải số tốn lũy thừa chương trình Tốn 6, Cách giải số toán lũy thừa chương trình. .. thức để giải số tốn dựa vào phương trình bậc hai - Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Cách giải số tốn dựa vào phương trình bậc hai chương trình tốn lớp IV PHƯƠNG... a - b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm là: x1= -1, x2 = − c a Một số dạng Toán dựa vào phương trình bậc hai để giải: 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng: 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng