Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH CHÓP Người thực hiện: Trần Thị Vân Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH CHÓP

Người thực hiện: Trần Thị Vân

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2017

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Mục lục

Trang

I MỞ ĐẦU

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 4 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc 4 3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 5 2.3 Giải pháp

1 Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi

2 Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận 17

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song… là các bài toán chủ yếu trong chương III hình học lớp 11 Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Vì vậy học sinh cần thành thạo kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, với môn hình học không gian tôi thấy các thực trạng sau:

- Theo phân phối chương trình hình học lớp 11, bài “Khoảng cách” chỉ gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập, trong khi lượng bài tập liên quan đến các khái niệm

về khoảng cách tương đối nhiều và phong phú Hơn nữa cũng ở bài học này, việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tìm khoảng cách chỉ thông qua vài ví dụ chung chung Nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh sẽ không tự giải quyết được các bài tập liên quan đến khoảng cách nói chung và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nói riêng

- Nói đến bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em học sinh có lực học ở mức độ trung bình khá cũng rất muốn thử sức Tuy nhiên các

em còn e ngại vì khi tiến hành giải bị gặp khó khăn trong việc áp dụng định

nghĩa, định lí, phương pháp chung vào các tình huống cụ thể.

Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc nghiệm, việc hiểu và thuần thục các kỹ năng giải bài tập càng cần thiết hơn

Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm

đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp” 1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học

ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng áp dụng trong hình chóp Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm được bài toán này và các bài toán về tính khoảng cách nói chung trên các loại hình khác như: hình lăng trụ, hình hộp…

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm

đến mặt phẳng đi qua đỉnh và mặt đáy của hình chóp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.Nghiên cứu lý luận dạy học

2 Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp

3 Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận

1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng (P)là khoảng cách giữa điểm

M và hình chiếu vuông góc H của

M trên mặt phẳng (P)

Khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng (P) kí hiệu là: d(M; (P)).

2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Định lí:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc

với nhau thì bất cứ đường

thẳng nào nằm trong mặt

phẳng này mà vuông góc với

giao tuyến sẽ vuông góc với mặt

phẳng kia.

3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa

*Bước 1:Tìm một mp (Q)vuông góc với

)

(P và đi qua M .

*Bước 2: Xác định giao tuyến  của (Q)

và (P).

*Bước 3: Trong mp (Q), dựng đường

thẳng MH vuông góc với  tại H thì H

là hình chiếu vuông góc của M trên mp

)

(P , do đó d(M; (P)) MH .

Chú ý: Trong trường hợp việc tìm hình chiếu của M trên (P) gặp khó khăn thì

ta có thể tính d(M; (P))theo khoảng cách từ một điểm N phù hợp đến (P)

dựa vào nhận xét sau:

a



M

H P

M

H

Trong không gian, cho hai điểm phân biệt M , N không thuộc mp(P):

Nếu MN (P)  I thì:

( ;( ))

( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

Nếu MN // (P) thì:

d(M; (P)) d(N; (P))

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp chung nhưng lúng túng khi

áp dụng

2.3 Giải pháp

Trong bài viết này tôi đã cụ thể hóa bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thành 2 bài toán nhỏ trong hình chóp với 4 dạng thường gặp sau, giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng

Bài toán 1 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.

Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của

hình chóp

Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao

đến mặt đi qua đỉnh của hình chóp

Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng đi

qua đỉnh của hình chóp

Bài toán 2 Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.

Cụ thể:

1 BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

ĐI QUA ĐỈNH CỦA HÌNH CHÓP

(Trong bài này tôi chỉ xét mặt phẳng đi qua đỉnh và có giao tuyến với mặt đáy)

Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp

M N

a/ Bài toán: Cho hình chóp S ABCD có đường cao là SH Xác định khoảng

cách từ điểm H đến mặt phẳng đi qua đỉnh (SBC)

c/ Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước như sau:

* Bước 1:

- Xác định giao tuyến của mặt (SBC)và mặt đáy ( ABCD) là BC

- Trong mặt đáy ( ABCD), từ H dựng HI  BC tại I (tùy từng trường hợp có thể xác định vị trí của I ) nối SI , ta được (SHI)  (SBC)

- Trong mp (SHI), từ H dựng HK  SI tại K ta được

HK SBC

H

d( ; ( )) 

Thật vậy: Vì SH  BC và HI  BC suy ra mp(SHI) BC (SHI)  (SBC)

Mà HK (SHI), HK  SI và SI  (SHI) (  SBC) suy ra HK  (SBC) Do đó

HK SBC

H

d( ; ( )) 

* Bước 2: Tính HK :

Thường là dựa vào tam giác vuông SHI : 2 2 2

1 1 1

HI HS

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại C , cạnh AB 2a

và góc  60 0



ABC Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a Tính

theo a khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

Hướng dẫn: Xét thấy (SBC) là mặt đi qua đỉnh , (SBC) (ABC) BC Khi dựng AI  BC, lưu ý cho học sinh xác định điểm I trong bài toán tổng quát là điểm C của bài tập (thường học sinh nhầm là I khác C)

S

C

A

D

B

H

K

I

b/ Phân tích:

Xét thấy (SBC) và mặt đáy ( ABCD)có giao

tuyến là BC Áp dụng phương pháp chung

ta thấy ở bước 1, để xác định một mặt phẳng

(Q) qua H và vuông góc với (SBC) ta xác

định (Q) qua H và vuông góc với giao

tuyến BC Làm thế nào để xác định được (

Q) ?

* Đã có (SBC) (ABC) BC Trong mp(SAC), dựng AK  SC tại K , Ta được: d(A; (SBC)) AK

Thật vậy: Vì SABC AC, BC (SAC)  (SBC), mà AK  (SAC AK), SC và (SBC) (  SAC) SC nên AK  (SBC) suy ra d(A; (SBC)) AK

*Tính AK: Theo giả thiết ta có: ABC vuông tại C , cạnh AB 2avà góc

0

60





ABC nên suy ra: AC  a 3 Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường cao nên 2 2 2 2 2 3 2

4 3

1 1 1 1 1

a a a AC AS

2

3

a

AK 

Vậy : d(A; (SBC)) a23

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  120 0



Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp(SCD) và mp( ABCD) bằng 450

Tính theo a khoảng cách từ A đến mp(SBD)

Giải:

C

K

A

B

S

D C

K

M S

A

* Đã có (SBC) (  ABCD) BC, trong (ABCD) dựng AI  BD tại I (I là trung điểm của BD), nối SI.Trong (SAI) dựng AK  SI tại K ta được

AK SBD

A

d( ; ( )) 

* Tính AK:

- Xác định góc giữa mp(SCD) và mp( ABCD):

Vì ABCD là hình thoi cạnh a có  120 0



A nên  

C A



CAD , suy ra ABC

và

ACD

 là các tam giác đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của cạnh CD, ta có CD  AM nên CD  SM (theo định lý

ba đường vuông góc) suy ra góc giữa mp(SCD) và mp( ABCD) là góc giữa hai đường thẳng AM , SM và bằng SAM  45 0  SAAM a23

- Tam giác SAI vuông tại A có AK là đường cao nên

4

3 3

16 3

4 4 1 1 1

2 2 2 2 2 2

a AK a

a a AS AI

Vậy :

4

3 ))

(

;

Ví dụ 3: (Trích Đề thi TNTHPT năm 2015)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC

Giải:

Ta có  ( , ( ))  45 0



ABCD SC

SCA suy ra SAACa 2

* Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC Vì AC//mp(SB d, ) nên

d AC SB( ; ) d AC SB d( ;( , )) d A SB d( ;( , ))

* Xác định d A SB d( ;( , )):

- KẻAM d tại M , (AM BD// ), nối SM

- Kẻ AH vuông góc SM tại H , ta được d A SB d( ;( , )) AH

* Tính AH :

Tam giác SAM vuông tại A có đường cao AH nên:

d

C B

H

M

S

5

10 2

5 1 1

1

2 2 2 2

a AH a

AS AM

Vậy

5

10 )

;

Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I , F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính theo a

a/ khoảng cách từ I đến mp(SFC)

b/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD

Đáp số: a/

8

2 3 )) (

;

d  b/

5

15 )

;

Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB  a, AA'  2a, A'C  3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C',

I là giao điểm của AM và A'C Tính theo a khoảng cách từ A đến mp

)

(IBC

Đáp số:

5

5 2 )) (

;

Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.

a/ Bài toán: Cho hình chóp S ABCD có đường cao SH Lấy điểm M

thuộc mặt phẳng đáy sao cho M khác H Xác định khoảng cách từ M đến mặt

đi qua đỉnh (SBC)

(Hình a) (Hình b)

b/ Phân tích: Nối MH, xảy ra 2 trường hợp: nếu MH (SBC) H thì (SBC) SH (hình a); nếu MH//(SBC) hoặc MH (SBC) I I; H thì SH  (SBC)

(hình b)

D

B A

C H

M

I S

B

A

C

S

- Nếu (SBC) chứa đường cao SH thì qua M có sẵn mp(ABCD ) (SBC)dẫn đến việc xác định d M SBC( ;( ))gặp thuận lợi

- Nếu (SBC) không chứa SH thì việc tìm hình chiếu của M trên (SBC)

khó

khăn Trong trường hợp này để tìm d(M; (SBC)) ta quy về tìm khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (SBC)

c/ Phương pháp: Xác định đường cao SH , Nối MH để biết (SBC) chứa hay không chứa SH và vận dụng phương pháp phù hợp:

* Trường hợp 1: Nếu (SBC) chứa SH ( MH (SBC) H )

- Bước 1: Xác định (ABCD) (  SBC) BC

- Bước 2: Dựng MK  BC tại K được d(M; (SBC)) MK

Thật vậy: vì (ABCD ) (SBC),(ABCD) (  SBC) BCvà MK  BC nên MK  (SBC)

suy ra d(M; (SBC)) MK

* Trường hợp 2: Nếu (SBC)không chứa SH ( MH//(SBC)) hoặc (

- Bước 1: Quy việc tính d(M; (SBC)) về tính d(H; (SBC)).

+ Nếu MN //(SBC)thì : d(M; (SBC)) d(H; (SBC))

+ Nếu MH cắt (SBC) tại điểm I thì: d d M H SBC SBC MI HI

)) (

; (

)) (

; (

- Bước 2: Xác định và tính d(H; (SBC)) suy ra d(M; (SBC)).

Ví dụ 1: (Trích đề minh họa THPT Quốc gia năm 2015)

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AC  2a

0

30





ACB Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH  a 2 Tính theo a :

a/ Khoảng cách từ B đến mp(SAC)

b/ Khoảng cách từ C đến mp(SAB)

Giải: Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có: BC  AC.cos 

ACB  a 3

AB  AC.sin 

ACB a a/

* Vì (SAC ) SH nên (ABC)  (SAC) Kẻ BM  AC tại M suy ra BM  (SAC),

Do đó d(B; (SAC)) BM

B

S

* Trong ABC: 2 2 2 2 2 3 2

4 3

1 1 1 1 1

a a a BC BA

3

a

BM 

Vậy d(B; (SAC))

2

3

a

b/

* Ta có CH  (SAB) A và CA 2HA d(C; (SAB))  2d(H; (SAB))

* Xác định d(H; (SAB)): Trong ( ABC), kẻ HI  AB tại I (HI // BC) Nối SI Trong (SHI), kẻ HK  SI tại K Ta được d(H; (SAB)) HK

* Tính HK : Xét SHI vuông tại H , HK là đường cao

ta có: 2 2 2 6 2

11 1

1 1

a HS HI

66

a

HK  Vậy: d(C; (SAB))  2HK

11

66

2a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết AB 2a, AD CD a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABCD) bằng 45 0 Tính theo a khoảng cách từ điểm B

đến mặt phẳng (SCD)

Gợi ý:

* Từ giả thiết chứng minh được AC  CB,

CB

SC  suy ra góc giữa hai mặt phẳng(SBC)

và ( ABCD) bằng  45 0



SCA , tính được SA

* Vì AB //(SCD) nên d(B; (SCD)) d(A; (SCD))

* Gọi H là hình chiếu của A trên SD,

chứng minh được AH là khoảng cách từ A

đến (SCD)

* Trong tam giác vuông SAD tính được AH

Đáp số:

3

6 ))

(

;

Bài tập vận dụng

Bài 1 (Trích đề ĐH khối D-2011) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a,BC  4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng

B

K

I S

H A

B I

C D

S

( ABC Biết SB  2a 3 và  30 0



SBC Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Đáp số:

7

7 6 )) (

;

Bài 2 (Trích đề ĐH khối B-2014) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là

tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt đáy bằng 60 0.Tính

theo a khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC'A')

Đáp số:

13

13 3 )) (

;

A ACC B

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và B, BC 2AB 2AD 2a Gọi E là điểm đối xứng với A quaD, M là trung điểm của BC Biết rằng cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SCE) và (ABCD) bằng 45 0.Tính theo a khoảng cách

giữa hai đường thẳng AM , SD

Đáp số:

3

3 )

;

Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng

đi qua đỉnh của hình chóp.

a/ Bài toán: Cho hình chóp S ABCD, M là điểm thuộc mp(SAD)và M

khác S , M (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)

b/ Phân tích: Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) ta quy về tính cách từ một điểm thuộc mặt đáy ( ABCD) đến (SBC) Làm thế nào để tìm

ra điểm đó?

c/ Phương pháp: Có thể tiến hành theo các bước sau:

*Bước 1: Nối SM cắt ( ABCD) tại N , suy ra liên hệ: d d M N SBC SBC MS NS

)) (

; (

)) (

; (

.

*Bước 2: Tính khoảng cách từ N đến (SBC) suy ra tính được

))

(

;

(M SBC

Ví dụ : Cho hình chóp tam giác đều S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a 3 , độ dài cạnh bên bằng 2a Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình

A

C

B

D H

M

N

S

chiếu vuông góc của G trên SA Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn: Xét thấySH (ABC) A, để tính khoảng cách từ H đến mp(SBC)

ta dựa vào khoảng cách của điểm A đến (SBC) ?

Giải:

Vì S ABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao của hình chóp

* Xét SAG: 2 2

2

SA SH SG

SA SA

a

22 3

4

SH SG

4

3 )) (

; (H SBC d A SBC

* Xác định d A SBC( ;( ):

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có AG 2GM suy ra

)) (

; ( 2 ))

(

;

(A SBC d G SBC

d  , (2) Từ (1) và (2): d(H; (SBC))  ( ; ( ))

2

3

SBC G

* Tính d(G; (SBC))

Vì M là trung điểm của BC suy ra GM  BC , nối SM Trong (SGM) kẻ

SM

GP  tại P, ta được d(G; (SBC)) GP

Trong SGM :

13

39 13

3 3

13 4 3

1 1

1 1

2 2 2 2 2

2

a a

GP a

a a GM SG

Vậy

26

39 3 )) (

;

Bài tập vận dụng.

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

Cạnh bên SA  a 2, SA vuông góc với đáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB, G là trọng tâm tam giác SAB Tính theo a

a/ Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)

B

H

P S