Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên hình chóp cho học sinh khối 11 trường THPT hậu lộc 4

Vì vậy việc trang bị tốt kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng cho học sinh là hết sức cần thiết và có vai trò quan trọng..

MỤC LỤC

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải

quyết vấn đề

3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học không gian là một phần quan trong trong chương trình Toán THPT Đặc biệt trong đề thi ĐH, CĐ, thi tốt nghiệp THPT (nay là kì thi THPTQG) luôn xuất hiện nhiều các bài toán về hình học không gian như: bài toán tính khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, Việc giải các bài toán này phần lớn chúng ta phải làm tốt bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vì vậy việc trang bị tốt kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng cho học sinh là hết sức cần thiết và có vai trò quan trọng

Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy môn toán, với bộ môn hình học không gian tôi thấy một số thực trang như sau:

Thứ nhất: Phân phối chương trình hình học lớp 11 chỉ dành 2 tiết lí thuyết và

1 tiết bài tập cho bài “khoảng cách” mà lượng kiến thức liên quan đến các bài toán

về khoảng cách tương đối nhiều, thời gian để giải quyết một bài toán về khoảng cách là dài Nên nếu học sinh không được bổ sung kiến thức phần này thì đa số các

em sẽ không tự giải quyết được các bài tập liên quan đến khoảng cách nói chung và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nói riêng

Thứ hai: Các bài toán tính khoảng cách thường đòi hỏi học sinh vận dụng

nhiều kiến thức, huy động nhiều kỹ năng, đòi hỏi tính cẩn thận và độ chính xác cao

Vì thế đối tượng học sinh có lực học trung bình khá trở xuống thường lúng túng trong việc xác định và gặp nhiều khó khăn trong việc tính toán

Hơn thế nữa từ năm 2017 đến nay, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc nghiệm, việc hiểu và thành thạo các kỹ năng giải bài tập càng cần thiết hơn Vì

vậy, tôi đã chọn đề tài “rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên hình chóp cho học sinh khối 11 trường THPT Hậu Lộc 4”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 11 có lực học ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm các bài toán về tính khoảng cách nói chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kỹ năng tính khoảng cách từ đến mặt bên của hình chóp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Phương pháp thực hành qua các tiết tự chọn và bồi dưỡng

- Phương pháp tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiêm qua việc giảng dạy ở các năm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm S và mặt phẳng (P), gọi H là

hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng (P) Độ dài đoạn thẳng SH gọi là

khảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P).

Kí hiệu d S P ;  .

 

2.1.2 Các tính chất

Tính chất 1: Nếu AB/ / P thì

 

Tính chất 2: Nếu AB P  thìI

 

 

;

;

P

S

H

P

A

B

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 11A6 và 11A7 trường THPT Hậu Lộc 4 với

đề thi tự luận như sau:

KIỂM TRA 45 PHÚT

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh AB a, 2

BC  a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBC 

b) Gọi M là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ A đến mp SCM .

KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU

11A

11A

Tôi nhận thấy đa phần học sinh làm được câu a, một số học sinh làm được câu b Tuy nhiên việc trình bày bài còn chưa khoa học và chặt chẽ, kỹ năng vẽ hình còn kém, tính toán còn nhiều chỗ sai

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1: Tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên chứa đường cao của hình chóp.

* Mục đích: - Giúp học sinh biết cách xác định khoảng cách từ một điểm bất kỳ

đến mặt bên của hình chóp

- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác khi làm bài cho học sinh

* Yêu cầu: - Học sinh thành thạo cách xác định và tính khoảng cách từ một điểm

bất kỳ đến mặt bên của hình chóp

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy Xác định khoảng cách a) Từ điểm B đến mặt phẳng SAC

b) Từ điểm C đến mặt phẳngSAB.

Bài giải

a) Vẻ BH  AC BH d B SAC ,  

Chứng minh Ta có

 

, ,

B

S

H

b) Vẻ CK  AB CK d C SAB ,  

Chứng minh Ta có

 

, ,

S

B

C A

K

Kết luận: Qua ví dụ 1 cần nhấn mạnh cho học sinh cách xác định khoảng cách từ

điểm trên mặt đáy đến mặt bên chứa chân đường cao của hình chóp Bằng cách vẽ đường vuông góc từ điểm đó đến giao tuyến của mặt bên với mặt đáy

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật tâmO , cạnh

4

AB  a, BC 3 a , SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác ABC

a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SAB

c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SAD

Bài giải

a) ta có

, ,

b) Vẽ OH AB OH d O SAB ;  

Chứng minh Ta có

SA ABCD  SA OH OH  AB

   ,   3

2

a

OH SAB OH d O SAB

K

H

O

S

c) Vẽ OK AD OK d O SAD ;  

Chúng minh Ta có

Kết luận: Ví dụ 2 rèn luyện kỹ năng xác định và tính khoảng cách từ điểm trên mặt

đáy đến mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp

Ví dụ 3 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a ,

3,

BC a SA vuông góc với đáy.

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính khoảng cách từ D đến mpSAM

Bài giải

a) Vẽ BH AC BH d B SAC ;  

Chứng minh Ta có

, ,

SA ABCD SA BH BH AC

BH SAC BH d B SAC

ABC

3

BH BA  BC  a

2

M B

S

D A

C

H

K

b) Vẽ DK AM  DK d D SAM  ;  

Chứng minh Ta có

ABC

;

3 DK d D SAM 13 a

BK DA  DM  a   

Kết luận: Ví dụ 3 rèn luyện kỹ năng xác định và tính khoảng cách từ điểm trên mặt

phẳng đi qua đỉnh của hình chóp

2.3.2 Giải pháp 2: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.

* Mục đích: - Giúp học sinh biết cách xác khoảng cách từ chân đường cao đến mặt

bên của hình chóp

- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác khi làm bài cho học sinh

* Yêu cầu: - Học sinh thành thạo cách xác định và tính khoảng cách từ chân đường

cao đến mặt bên của hình chóp

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC , có SA vuông góc với đáy Xác định khoảng cách

từ điểm A đến mặt phẳngSBC Biết rằng

a) Tam giác ABC vuông tại B

b) Tam giác ABC vuông tại C

c) Tam giác ABC không vuông tại B và C

Bài giải

a) Vẽ AH SB AH d A SBC ;  

Chứng minh:

 

 

, , ,

SA ABC SA BC BC AB

BC SAB BC AH AH SB

AH SBC AH d A SBC

B

S

H

b) Vẽ AK SC AK d A SBC ;  

Chứng minh:

 

 

, , ,

SA ABC SA BC BC AB

BC SAB BC AK AK SC

AK SBC AK d A SBC

B

S

K

c) Vẻ

 









Chứng minh:

B

S

C A

I J

 

 

, , ,

SA ABC SA BC BC AI

BC SAI BC AJ AJ SI

AJ SBC AJ d A SBC

Kết luận: Có thể nói ví dụ 1 là chìa khóa cho việc tính khoảng cách từ chân đường

cao đến mặt bên của hình chóp Vì vậy cần giúp học sinh nắm chắc ví dụ này

Ví dụ 2 (Đề THPTQG năm 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng SBC bằng

A.

5 3

a

B.

3 2

a

C.

6 6

a

D.

3 3

a

Bài giải

Vì ABC vuông tại B , nên vẽ AH SB AH d A SBC ,  

Chứng minh

 

, , ,

SA ABCD SA BC BC AB

BC SAB BC AH AH SB

AH SBC AH d A SBC

SAB

 vuông tại A , đường cao AH nên

3

AH AS  AB  a

2

a

Chọn B

B

S

D A

C H

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB a,

3

BC a , SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc bằng 45 Tính theo0

a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD 

Bài giải

a Vì ABD không vuông tại B và D

nên kẻ AK BD AI d A SBD ,  









 

, , ,

SA ABCD SA BD BD AK

BD SAK BD AI AI SK

AI SBD AI d A SBD

S

C

D A

K I

ta có

2 2 2

AC BD  AB AD  a

SAK

 vuông tại A, có đường cao AI nên

 

,

a

AI d A SBD

AI AS  AK  a   

Kết luận: Ví dụ 2, 3 rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

2

AB BC  a,AD 4 ,  a SA 2 a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ABCD là điểm H trùng với trung điểm của AC 

a) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SCD 

b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB 

Bài giải

a) Gọi M là trung điểm của AD  ABCM là hình vuông, suy ra

1 2

CM  AD

ACD

  vuông tại C

Chứng minh

 

, , ,

SH ABCD SH CD CD AC

CD SAC CD HK HK SC

HK SCD HK d H SCD

Ta có

1

2;

2

AH HC  AC a

2 2 2 2 ;2

SH SA  AH  a

M

E

H C B

S

K I

 

;

Kết luận: Ví dụ này yêu cầu cao hơn ví dụ 2,3 đó là trước khi vẽ các đường vuông

góc học sinh cần nhận dạng được các tam giác HCD và tam giác HAB có vuông

hay không và vuông tại đâu, từ đó mới đưa ra cách xác định khoảng cách cho phù hợp

2.3.3 Giải pháp 3: Tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên không của chứa đường cao của hình chóp.

* Mục đích:- Giúp học sinh biết cách tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt

bên không của chứa đường cao của hình chóp thông qua việc tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp

- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác khi làm bài cho học sinh

* Yêu cầu: - Học sinh chuyển được bài toán tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ

đến mặt bên không của chứa đường cao của hình chóp về bài toán tính khoảng cách

từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng a ,

0

60

ABC  , SA vuông góc với đáy và SA a

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD

c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SCD

Bài giải

a) Kẻ AI CD AH d A SCD ,  











Chứng minh

 

, , ,

SA ABCD SA CD CD AI

CD SAI CD AH AH SI

AH SCD AH d A SCD

ACD

 cân có D 600 nên ACD là tam

giác đều, do đó I là trung điểm CD

3

2

AI a

I O

B

S

D A

C H

Trong tam giác SAI ta có 2 2 2 2    

;

3 AH d a SCD 7 a

AH AS  AI  a   

b) Ta có

          21

7

AB CD AB SCD  d B SCD d A SCD  a

c) Ta có

 

;

d O SCD OC

d A SCD AC

Kết luận: Ví dụ trên hình thành cho học sinh cách chuyển được bài toán tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên không của chứa đường cao của hình chóp về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp

Ví dụ 2 (Đề thi TSĐH năm 2013 - khối D) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  1200, M là

trung điểm của cạnh BC và SMA 450 Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳngSBC

Bài giải

Theo bài ra ta có ABC là tam giác đều

cạnh

3 ,

2

a

Chứng minh

 

, ,

SA ABCD SA BC BC AM

BC SAM BC AH AH SM

M O

D

C

S

H

   ,  

AH SBC AH d A SBC

    , SAM vuông cân tại A nên có

a

Ví dụ 3 (Trích đề thi TSĐH năm 2014 - khối A, A1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

3 2

a

SD 

, hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng  ABCD là trung điểm của cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD 

Bài giải

Gọi H là trung điểm của AB .

Vẽ

 

HK d H SBD











Chứng minh

 

, ,

SH ABCD SH BD BD HI

BD SHI BD HK HK SI

   ;  ;

HK  SBD  HK d H SBD

I

H B

S

D A

C K

;

a

2

4

AB

SH SD  DH SD  DH  a

 

3

a

HK d H SBD

HK SH  HI a   

 

d H SBD AB

Ví dụ 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh, mặt phẳng

SAC và  SBD cùng vuông góc với đáy, 2 2 AD  AB  a,

3 2

a

SA 

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD 

b) Gọi M là trung điểm của SB Tính khoảng cách từ M đến mpSCD

Bài giải

Gọi H ACBD

SH SAC SBD SH ABCD











Chứng minh

, ,

M

I H

S

K

 

2

HK SCD HK d H SCD

a

a

HK d H SBD

HK SH HI a

 

;

;

d A SCD AC

d H SCD HC

b) ta có

 

d M SCD SM

d B SCD SB

         

 

AB CD AB SCD d B SCD d A SCD

a

d M SCD d A SCD

Kết luận: Ví dụ 2, 3, 4 nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng chuyển bài toán khoảng

cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp về bài toán khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt bên của hình chóp

2.3.4 Giải pháp 4: Tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên của hình chóp.

* Mục đích: - Giúp học sinh biết cách phân tích và xác định được khoảng cách từ

một điểm bất kỳ đến mặt bên của hình chóp

- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác khi làm bài cho học sinh

* Yêu cầu: - Học sinh thành thạo cách phân tích, xác định và tính được khoảng

cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên của hình chóp

Ví dụ 1 (Đề thi TSĐH năm 2012 - khối D) Cho hình hộp đứng ABCD , có đáy là

hình vuông, tam giác ’A AC vuông cân, ’ A C a Tính khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng BCD theo a.’

Bài giải

Phân tích: Chuyển việc tính khoảng cách

từ điểm A đến mặt phẳng D BC thông’ 

qua khoảng cách từ D đến mặt phẳng

D BC’  trong hình chóp ’.D BCD

Tam giác BCD vuông tại C nên vẽ

Chứng minh Ta có

D D ABCD D D BC BC CD

BC D DC BC DH

DH D B DH D BC

B'

A

B

A'

H

3

a

DH d D D BC

Vì / / / / '   ; '    ; '   3

3

a

AD BC AD D BC  d A D BC d D D BC 

Ví dụ 2 Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, 1 1 1 1 AB a;

a 3

AD  Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng 1 ABCD trùng với

giao điểm của AC và BD , góc giữa hai mặt phẳng ADD A và 1 1 ABCD bằng

600 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 1 A BD theo a.1 

Bài giải

Gọi O AC BD AO1 ABCD,

E là trung điểm của AD suy ra

OEAD 

1

A EO

 là góc giữa hai mp

ADD A và 1 1 ABCD , ruy ra

3

2

a

A EO  AO OE 

Ta có B C1 / /A D1  B C1 / /A BD1 

 

 1; 1   ; 1  

d B A BD d C A BD



Gọi H là hình chiếu của C trên BD

C 1

B 1

E O

C B

H

H

Do A BD1   ABCD nên

 

2

d B A B

CB

D

D

B

C





2.3.5 Giải pháp 5: Bài tập tự luyện.

* Mục đích: - Cũng cố, khắc sâu kiến thức về tính khoảng cách từ một điểm bất kì

đến mặt bên của hình chóp

- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác khi làm bài cho học sinh

* Yêu cầu: - Học sinh hoàn thành bài tập được giao trong một tuần.

Bài 1 (Đề thi ĐH khối A, A1 2013) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC 300, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc

với mặt đáy Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳngSAB 

Bài 2 (Đề thi DH khối B 2014) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác dều ' ' ' cạnh a Hình chiếu vuông góc của ' A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng ' A C và mặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC A 0' '

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AB BC  ; 2 ;

DA a CD  a cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳngABCD ; SC tạo với