Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh khối 11 trường THPT hậu lộc 4

MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học bậc trung học phổ thơng, tốn liên quan đến góc khơng gian có tốn tính góc hai mặt phẳng nội dung quan trọng Các tập tính góc hai mặt phẳng thường gặp đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trước đây, đề thi THPT quốc gia nay, đề thi học sinh giỏi cấp Tuy nhiên, phương pháp tính góc hai mặt phẳng thường đề cập đến tài liệu tham khảo tập hình học khơng gian, số tài liệu có trình bày đến phương pháp giải dạng tốn chưa đầy đủ, chưa có hệ thống ví dụ minh họa chưa đủ sức thuyết phục Hơn nữa, dạng tốn khó học sinh, học sinh bộc lộ nhiều hạn chế học nhanh quên, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo không vận dụng kiến thức học vào giải tốn Do địi hỏi người học phải có khả tư duy, có trí tưởng tượng không gian vận dụng linh hoạt quan hệ vuông góc để tìm cách xác định góc trường hợp cụ thể Với thực ấy, để giúp học sinh có định hướng tốt trình giải tốn tính góc hai mặt phẳng, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận toán, khai thác yếu tố đặc trưng tốn để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen, quy chưa biết có Hơn từ năm 2017 đến nay, mơn tốn đổi sang hình thức thi trắc nghiệm, việc hiểu thành thạo kỹ giải tập cần thiết Vì vậy, tơi chọn đề tài “Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ tính góc hai mặt phẳng cho học sinh lớp 11 trường THPT Hậu Lộc 4” 1.2 Mục đích nghiên cứu Bồi dưỡng, hệ thống cho học sinh phương pháp giải tốn tính góc hai mặt phẳng thơng qua ví dụ minh họa nhằm trang bị cho học sinh số phương pháp kỹ giải đối mặt với tốn này, góp phần phát triển tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết số kỹ tính góc hai mặt phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng [1] 2.1.2 Góc hai mặt phẳng cắt Giả sử hai mặt phẳng ( α ) ( β ) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c , dựng ( α ) đường thẳng a vng góc với c dựng ( β ) đường thẳng b vng góc với c Khi góc hai mặt phẳng ( α ) (β) góc hai đường thẳng a b [1] 2.1.3 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng ( P ) , S ′ diện tích hình chiếu H ′ H mặt phẳng ( P′ ) ϕ ′ góc hai mặt phẳng ( P ) ( P ) S ' = S cos ϕ [1] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng nghiên cứu vào giảng dạy tiến hành khảo sát chất lượng học tập học sinh hai lớp 11A6 11A8 trường THPT Hậu Lộc với đề thi tự luận sau: KIỂM TRA 45 PHÚT Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết AB = a, AD = a , cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Tính góc giữa: ( SCD ) ( ABCD ) SCD ) ( SCD ) Hai mặt phẳng ( a) Hai mặt phẳng b) KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ Lớp Số SL % SL % SL % SL % SL % 11A6 39 2.6 17.9 17 43.6 11 28.2 7.7 11A8 40 7.5 13 32.5 14 35.0 22.5 2.5 Tôi nhận thấy đa phần học sinh làm câu a), số học sinh làm câu b) Tuy nhiên việc trình bày cịn chưa khoa học chặt chẽ, kỹ vẽ hình cịn kém, tính tốn cịn nhiều sai sót 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Tính góc hai mặt phẳng cách sử dụng định nghĩa: Bước Dựng đường thẳng a b: a ⊥ (α)   Bước b⊥(β) Khi góc hai mặt phẳng ( α ) ,( β ) góc hai đường thẳng a b Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tính góc hai mặt phẳng ( BA′C ) ( DA′C ) [7] ′ ′ Phân tích: Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy AB ⊥ ( A BC ) AD′ ⊥ ( A′CD ) Như tốn quy tính góc hai đường thẳng AB′ AD′ Lời giải  AB′ ⊥ A′B ⇒ AB′ ⊥ ( A′BC )  AB′ ⊥ BC  Ta có ′ ′ Chứng minh tương tự ta có AD ⊥ ( A CD ) ′ ′ Do góc hai mặt phẳng ( BA C ) ( DA C ) góc hai đường thẳng AB′ AD′ Dễ có AB′ = AD′ = B′D′ nên tam giác AB′D′ Suy góc hai đường thẳng AB′ AD′ 60 Vậy góc hai mặt phẳng ( BA′C ) ( DA′C ) 600 - - Nhận xét: Đây toán vận dụng trực tiếp định nghĩa Các bước làm cụ thể rõ ràng giúp cho học sinh có cách trình bày lời giải ngắn gọn, đầy đủ, xác Việc sử dụng trực tiếp định nghĩa vào tính góc hai mặt phẳng vận dụng vào giải tốn tương tự ví dụ 2, Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB, SD Tính góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABCD ) [8] Phân tích: Ta có sẵn SA ⊥ ( ABCD ) Như ta cần tìm thêm đường thẳng vng góc với ( AHK ) Dễ dạng nhận thấy SC Như ta quy tính góc SC SA Lời giải Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC AK ⊥ SC Tương tự ta có ⇒ SC ⊥ ( AHK ) Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) Do góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABCD ) góc hai đường thẳng SC SA , · tức góc ASC · Dễ thấy AC = a nên tam giác SAC vuông cân A Vậy ASC = 45° Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA = BC · BAC = 120° Hình chiếu vng góc A lên đoạn SB SC M N Tính góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AMN ) Lời giải · · Kẻ đường kính AD đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên ABD = ACD = 90° Do  BD ⊥ BA   BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SAB ) BD ⊥ AM AM ⊥ SB hay hay AM ⊥ ( SBD ) ⇒ AM ⊥ SD Chứng minh tương tự ta AN ⊥ SD SD ⊥ ( AMN ) Suy SA ⊥ ( ABC ) Do góc Mặt khác ABC ) AMN ) mặt phẳng ( ( góc ·DSA SA SD, tức góc BC = R sin A = AD Ta có ⇒ SA = BC = AD AD = tan ·ASD = ⇒ ·ASD = 30° SA Vậy Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) SA = x , Xác định x để hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) tạo với góc 60° [4] Phân tích: Đây tốn thuộc thể loại có hình vẽ quen thuộc Dễ dàng dựng đường thẳng qua A vng góc với hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) Cụ thể từ A kẻ AN ⊥ SB AN ⊥ ( SCD ) , kẻ AN ⊥ SD AM ⊥ ( SCD ) Từ góc mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) góc AM AN Lời giải Ta có ( SCD ) ⊥ ( SAD ) , vẽ AN ⊥ SD N ⇒ AN ⊥ ( SCD ) ( SAB ) ⊥ ( SBC ) , vẽ AM ⊥ SB M ⇒ AM ⊥ ( SBC ) Do góc mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) góc AM AN, tức · góc MAN = ax SM MN = x + a , SB BD 2 Ta có SB = SD = x + a , AM = AN SM BD ⇒ MN = SB x2 a 2 x2 x + a x2a SM = ⇒ MN = ⇒ MN = x2 + a2 x2 + a2 x + a2 xa x 2a ⇒ = 2 x + a2 ⇔ x2 + a2 = x x + a ∆AMN cho ta MN = AM ⇔ x=a Nhận xét: - Nhóm tốn tìm điều kiện để hai mặt phẳng tạo với góc cho trước cần yêu cầu học sinh nắm cách xác định góc hai mặt phẳng Từ kết hợp với giả thiết để tìm mối liên hệ yếu tố chưa biết với yếu tố biết - Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ xác định quy trình giải tốn, biết cách giải vấn đề nảy sinh cách khoa học, hình thành học sinh biết tương tự hóa, biết quy lạ quen giải toán 2.3.2 Giải pháp 2: Tính góc hai mặt phẳng mặt phẳng cắt nhau: “Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm” Bước Tìm giao tuyến d ( α ) ( β ) Bước Chọn điểm O d , từ đó: ( α ) dựng Ox ⊥ d  Trong ( β ) dựng Oy ⊥ d  Trong Bước Khi góc hai mặt phẳng ( α ) ,( β ) góc hai đường thẳng Ox, Oy Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình vng A′B′C ′D′ M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO = MI Khi MC ′D′ ) ( MAB ) cosin góc tạo hai mặt phẳng ( 85 A 85 85 B 85 17 13 C 65 13 65 D [5] Phân tích: Ở ví dụ này, việc tìm đường thẳng a, b vng góc với hai mặt phẳng ( MC ′D′ ) ( MAB ) tương đối khó khăn Hai mặt phẳng có điểm chung M chứa đường thẳng song MC ′D′ ) ( MAB ) song C ′D′ AB nên giao tuyến d mặt phẳng ( đường thẳng qua M song song với AB - Điểm mấu chốt toán tam giác MAB, MC ′D′ cân nên từ M ∈ d dễ dàng tìm đường thẳng MP, MQ thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến d Từ ta chuyển tốn tìm góc hai đường thẳng MP MQ Lời giải Khơng tính tổng quát, ta giả sử cạnh hình lập phương Hai mặt phẳng ( MC ' D ') ( MAB ) chứa hai đường thẳng song song C ' D ', AB nên giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng qua M song song với AB Gọi P, Q trung điểm C ' D ', AB Các tam giác ∆MC ' D ', ∆MAB cân M nên MP ⊥ C ' D ', MQ ⊥ AB Do α góc hai mặt phẳng ( MC ' D ') ( MAB ) · cos α = cosPMQ Ta có IP = 3, MI = 1, OM = 2, MJ = ⇒ MP = IM + IP = 10, MQ = MJ + JQ = 34, PQ = Áp dụng định lí cơsin ta MP + MQ − PQ −14 · cos PMQ = = 2MP.MQ 340 MC ′D′ ) ( MAB ) ta có Góc α góc hai mặt phẳng ( 14 85 = 85 340 · cos α = cos PMQ = Vậy chọn phương án B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB = 2a góc · BAD = 120° Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) trùng với SI = a giao điểm I hai đường chéo Tính góc tạo mặt phẳng ( SAB ) mặt phẳng ( ABCD ) A 30° B 45° C 60° D 90° Phân tích: Khi gặp tốn xác định góc mặt bên mặt đáy, ta thường dựng mặt phẳng qua chân đường cao hình chóp vng góc với giao tuyến mặt bên mặt đáy hình chóp Ở từ tâm I đáy ta dựng IH vng · góc với giao tuyến AB Khi góc cần tìm góc SHI Lời giải · · Ta có BAD = 120° ⇒ BAI = 60°  BI = AB sin 60° = a  Suy ra:  AI = AB cos 60° = a Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) Gọi H hình chiếu vng góc I AB Ta có: AB ⊥ ( SHI ) ⇒ AB ⊥ SH · Do đó: ϕ = ( SH , IH ) = SHI 1 = + ⇔ IH = a IA IB Xét tam giác vng AIB có: IH · tan SHI = SI · = ⇒ SHI = 30° HI hay ϕ = 30° Vậy chọn phương án A Nhận xét: Xuất phát từ tốn giáo viên tạo điều kiện tốt cho học sinh phát huy sáng tạo, sức tư duy, rèn luyện kỹ vận dụng toán phương pháp giải tương ứng để khai thác toán tương tự ví dụ sau Ví dụ Cho tứ diện SABC , hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vng góc với · · nhau, SA vng góc với mp ( ABC ) , SB = a 2, BSC = 45 , ASB = α Xác định α để hai mặt phẳng ( SCA ) ( SCB ) tạo với góc 600 [3] Phân tích: Đối với hình chóp, việc xác định góc hai mặt bên ta thường nghĩ tới việc dựng hai đường thẳng nằm hai mặt bên vng góc với giao tuyến điểm Trong ví dụ ta dựng mặt phẳng qua A vng góc với giao tuyến SC mặt phẳng ( SCA ) ( SCB ) Khi tốn trở tìm góc hai đường thẳng giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng ( SCA ) ( SCB ) Lời giải Gọi H K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Dễ chứng minh AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ HK , AH ⊥ SC Do SC ⊥ ( AHK ) Suy ·AKH góc ( SCA ) ( SCB ) Ta có AH = SH tan α , HK = SH sin 45 Vậy hai mặt phẳng ( SCA ) ( SCB ) tạo với góc 60 ⇔ tan α = ⇔ SH tan α = SH AH = HK tan 60 2 Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = AA′ = Gọi M , N , P trung điểm cạnh A′B′ , A′C ′ BC Côsin góc tạo hai mặt AB′C ′ ) ( MNP ) phẳng ( 13 13 A 65 B 65 C 17 13 65 18 13 D 65 [6] Lời giải 10 Gọi I , Q trung điểm MN , B′C ′ Gọi O = PI ∩ AQ O ∈ ( AB′C ′ ) ∩ ( MNP )   B′C ′ // MN  B′C ′ ⊂ ( AB′C ′ ) , MN ⊂ ( MNP ) Khi  nên AB′C ′ ) ( MNP ) đường giao tuyến ( thẳng d qua O song song MN , B′C ′ Tam giác AB′C ′ cân A nên AQ ⊥ B′C ′ ⇒ AQ ⊥ d Tam giác PMN cân P nên PI ⊥ MN ⇒ PI ⊥ d ′ ′ Do góc tạo hai mặt phẳng ( AB C ) ( MNP ) góc AQ PI IP = Ta có AP = , AQ = 13 , AP =2 ∆ OAP ∽ ∆ OQI IQ Vì nên 2 13 OP = IP = AQ = 3 ; 3 ′ ′ Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( AB C ) ( MNP ) Ta có · cos ϕ = cos ( AQ, PI ) = cos AOP OA = OA2 + OP − AP 13 = = 2OA.OP 65 Vậy chọn phương án B 2.3.3 Giải pháp 3: Tính góc hai mặt phẳng cách sử dụng diện tích hình chiếu của đa giác: Bước 1: Xác định đa giác H nằm mặt phẳng ( α ) hình chiếu vng góc H ' H mặt phẳng ( β ) Bước 2: Tính diện tích S đa giác H diện tích S' đa giác H ' Bước 3: Tính góc ϕ hai mặt phẳng ( α ) ( β ) theo công thức cos ϕ = S' S 11 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BA = BC = a; SA vng góc với đáy, SA = a Góc ϕ hai mặt phẳng ( SAC ) A 30° ( SBC ) B 45° C 60° D 75° Phân tích: Ta dễ dàng xác định giao tuyến SC = ( SAC ) ∩ ( SBC ) lại gặp khó khăn việc tìm mặt phẳng vng góc với SC, nhiều thời gian tính tốn…, khơng phù hợp với u cầu tốc độ hình thức thi trắc nghiệm Đồng thời nhận thấy việc xác định hình chiếu B lên ( SAC ) tính diện tích hai tam giác ∆SHC , ∆SBC dễ dàng nên ta vận dụng công thức diện tích hình chiếu đa giác đa giác để giải Lời giải Gọi H trung điểm AC ⇒ BH ⊥ AC Vì BH ⊥ AC , BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ ∆SHC hình chiếu ∆SBC lên ( SAC ) ⇒ cosϕ = S∆SHC S∆SBC 2 Ta có: AC = BA + BC = a S∆SHC = 1 a a2 SA.HC = a = 2 Vì BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vng B 12 Khi đó: S∆SBC cos ϕ = Vậy 1 a2 2 = SB.BC = a + a a = 2 S∆SHC S ∆SBC a2 = 24 = ⇒ ϕ = 60° a 2 Vậy chọn phương án C Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với · AB = AC = a , góc BAC = 120° , BB ' = a I trung điểm CC ' Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) Lời giải · Gọi M trung điểm BC ⇒ BAM = 60° · sin MAB = BM AB Xét ∆ABM vng M, có a ⇒ BM = sin 60° AB = ⇒ BC = 2.BM = a 2 Ta có AB ' = AB + B ' B = a 2, IB ' = IC '2 + B ' C '2 = Và a 13 a ⇒ AI + AB '2 = IB '2 ⇒ ∆AB ' I vuông A a 10 a2 ⇒ S ∆AB ' I = AI AB ' = S∆ABC = AM BC = 4 AI = AC + IC = Mà ∆ABC hình chiếu ∆AB ' I ⇒ cos ϕ = S ABC = S AB′I 10 Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình vuông cạnh a chiều cao AA′ = 6a Trên CC ′ lấy điểm M, DD′ lấy điểm N cho C ′M = 2MD, DN = ND′ Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( B′MN ) ( ABCD ) 13 20 A 21 21 B 21 22 C 21 23 D 21 Lời giải ′ Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( B MN ) ( ABCD ) a2 = ; D′N = 2a; C ′M = 4a S BCD Ta có Lại có B′D′ = a 2; B′N = B′D′2 + D′N = a B′M = B′C ′2 + C ′M = a 17; MN = a + ( 2a ) = a S = p ( p − a) ( p − b) ( p − c ) Theo cơng thức Hê-rơng ta tính a 21 S BMN = Do ∆BDC hình chiếu ∆B′MN nên theo cơng thức hình chiếu ta có S 21 cos ϕ = BCD = S B′MN 21 Vậy chọn phương án B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA vng góc với mặt đáy Gọi N trung điểm SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích S = 2a Tính góc mặt phẳng (NDC) mặt phẳng (ABCD) Lời giải Gọi ϕ góc mặt phẳng (NDC) mặt phẳng (ABCD) Do CD / / AB nên (NCD) cắt (SAB) theo giao tuyến MN / / AB ⇒ MN đường trung bình tam giac SAB Khi thiết diện hình thang MNDC Gọi H hình chiếu M (ABCD) H a + 2a S AHCD = 2a = 3a 2 trung điểm AB 14 Do tứ giác HADC hình chiếu tứ giác MNDC mặt phẳng (ABCD) nên theo cơng thức hình chiếu ta có S AHCD 3a cos ϕ = = = S NMCD 2a Do ϕ = 300 Nhận xét: Như thơng qua ví dụ ta nhận thấy việc sử dụng cơng thức diện tích hình chiếu đa giác lên mặt phẳng giúp giải vấn đề dễ dàng, rút gọn bước tính tốn để tìm kết cuối mà khơng cần cụ thể hóa việc xác định góc hai mặt phẳng Đó tính ưu việt phương pháp 2.3.5 Giải pháp 4: Tính góc hai mặt phẳng dựa vào khoảng cách: Cho tứ BCD ) ( ACD ) , CD diện ABCD , đặt ϕ góc mặt phẳng ( giao tuyến ( BCD ) ( ACD ) sin ϕ = d ( A, ( BCD ) ) Khi ta có: d ( A, CD ) Chứng minh: Gọi H, K hình chiếu A BCD ) mặt phẳng ( CD Khi CD ⊥ ( SHK ) ⇒ HK ⊥ CD, SK ⊥ CD Vậy góc mặt phẳng · ϕ = SKH sin ϕ = Do đó: ( BCD ) ( ADC ) AH d ( A, ( BCD ) ) = AK d ( A, CD ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Cạnh SA = a Tính sin góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SCD ) 15 Phân tích: Xét riêng vào tứ diện SACD , theo công thức chứng minh d ( A, ( SCD ) ) sinϕ = d ( A, SC ) ta có , với ϕ góc SAC ) hai mặt phẳng ( ( SCD ) Như tốn quy việc tính khoảng cách từ A đến SC đến mặt phẳng ( SCD ) áp dụng công thức nêu Lời giải Gọi H ,K hình chiếu A lên SD, SC ϕ góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SCD ) Ta có: SA AD 2a d ( A; ( SCD ) ) = AH = = SA2 + AD d ( A; SC ) = AK = SA AC = a 10 SA2 + AC Lại có ( SAC ) ∩ ( SCD ) = SC d ( A, ( SCD ) ) AH 2 ⇒ sin ϕ = = = d ( A, SC ) AK Nhận xét: Trong nhiều tốn, việc xác định định tính góc hai mặt phẳng tương dối khó khăn Khi giải pháp tỏ vô hiệu không cần xác định cụ thể góc cần tìm định lượng xác góc hai mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , SA vng góc với mặt đáy, AB = BC = a, AD = 2a Nếu góc SC mặt phẳng ( ABCD ) 45 góc ϕ hai mặt phẳng ( SAD ) ( SCD ) A ϕ = 60° B ϕ = 45° C ϕ = 30° D ϕ = 90° Lời giải 16 Vì AC hình chiếu SC mặt phẳng ( ABCD ) nên góc SC mặt · phẳng ( ABCD ) góc SCA = 45 Do tam giác SAC vuông cân A ⇒ SA = AC = a Suy tam giác ACD vuông C ⇒ CD ⊥ ( SAC ) Gọi I trung điểm AD Dễ có ABCI hình vng nên IA = ID = IC Gọi H , K hình chiếu A lên SC , SD Ta có CD ⊥ AH , AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ ( SCD ) Suy d ( A, ( SCD ) ) = AH = AK = SA AC SA2 + AC AS AD = = a a AS + AD Ngoài Lại có ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD nên d ( A, ( SCD ) ) AH sin ϕ = = = ⇒ ϕ = 600 d ( A, SD ) AK Vậy chọn phương án A Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) Lời giải Gọi H, I trung điểm AB, CD Khi SH đường cao hình chóp a SH = Gọi K P hình chiếu vng góc H, B lên SI, SC Suy CD ⊥ ( SHI ) ⇒ CD ⊥ HK Mà SI ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SCD ) Do BH / / ( SCD ) nên: d ( B, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HK = SH HI SH + SI = a 21 17 SB = SH + BH = a , SC = SB + BC = a Tam giác SBC vuông cân B nên Gọi d ( B, SC ) = BP = SC a = 2 ϕ góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) Ta có ( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC Khi đó: sin ϕ = d ( B, ( SCD ) ) d ( B, SC ) = 42 Do sin ϕ + cos 2ϕ = ⇒ cosϕ = − sin ϕ = Ví dụ Cho tứ diện D.ABC có DA vng góc với mặt phẳng (ABC) Hai mặt · · phẳng (DBA) (DBC) vng góc với nhau, DB = a , BCD = 45 , ADB = α π  0