Rèn luyện kỹ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6

MỤC LỤC STT Nội dung Trang 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 10 2.4 Hiêu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường 17 11 Kết luận, kiến nghị 18 12 3.1 Kết luận 18 13 3.2 Kiến nghị 19 14 Tài liệu tham khảo 20 Mở đầu: 1.1 Lý chọn đề tài: Toán học môn học coi trọng hàng đầu chương trình giáo dục phổ thơng Bởi vì, khơng Tốn học vận dụng phục vụ rộng rãi đời sống khoa học mà kiến thức phương pháp Tốn học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác Trong dạy học mơn Tốn giải tốn có vai trò đặc biệt quan trọng, việc mà người học người dạy thường xuyên phải làm Đối với học sinh phổ thông, giải tốn hình thức chủ yếu để học tốn Các tốn ln coi phương tiện có hiệu để giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Trong chương trình Số học trường THCS học sinh biết đến dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Trong dạng toán lại chia thành nhiều dạng nhỏ khác như: dãy tổng số ngun cách đều, dãy tổng tích có thừa số cách viết theo quy luật; dãy tổng lũy thừa số nguyên có số mũ cách đều; dãy tổng phân số viết theo quy luật, Đây dạng toán khó học sinh lớp đại trà phần lý thuyết khơng có sách giáo khoa, phần tập có vài sách tập Tuy nhiên chương trình bồi dưỡng nâng cao Số học cho học sinh THCS nói chung, cho học sinh giỏi lớp nói riêng lại khơng thể thiếu dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Thực tế có yêu cầu học sinh giỏi, kiểm tra cuối học kì, đề thi học sinh giỏi lớp có dạng tốn Tuy nhiên nhiều học sinh giỏi bắt đầu gặp dạng tốn bị lúng túng, nhiều khơng tìm cách giải Trong khn khổ thời gian khơng cho phép tơi xin trình bày sáng kiến việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phần tính tổng dãy phân số viết theo quy luật mà tảng khai thác từ tập 87 chương III- Sách tập Đề tài có tên: “ Rèn luyện kĩ tính tổng dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Tôi chọn đề tài nhằm phát triển tư tốn cho học sinh lớp 6, góp thêm cách làm có hiệu việc rèn luyện kĩ tính tổng dãy phân số viết theo quy luật Góp phần tạo tự tin, chủ động kiến thức cho học sinh trình giải tập, thi cử, kiểm tra, đặc biệt kì thi học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong đề tài này, nghiên cứu về: + Nội dung tập 87 chương III- Sách tập Các hướng khai thác toán để vận dụng vào dãy phân số tương tự + Các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp + Các kĩ biến đổi cần có để tính tổng dãy phân số viết theo quy luật + Vận dụng kĩ biến đổi dãy phân số viết theo quy luật vào giải dạng tốn tìm x, chứng minh bất đẳng thức, 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Khi lên ý tưởng hồn thiện đề tài tơi sử dụng phương pháp: + Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu ý tưởng nội dung 87 chương III- Sách tập để tìm quy luật làm chung dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật - Nghiên cứu dãy phân số viết theo quy luật thường gặp đề thi + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập số liệu thông tin: Điều tra, khảo sát lớp 6A trường THCS Cẩm Phong thông qua kiểm tra + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng dạy lớp đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi tơi thấy dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật dạng toán khó học sinh đại trà, học sinh giỏi giai đoạn đầu em tiếp cận khó khăn Tuy nhiên hướng dẫn khéo léo giáo viên, nguyên tắc làm chung cho dạng tốn sau buổi học sinh trội tự làm tương tự, học sinh trung bình cần hướng dẫn thêm vài lần buổi sau em làm + Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động: Qua trình giảng dạy trình bồi dưỡng học sinh giỏi tơi thấy dạng tốn mà có quy tắc làm chung học sinh làm tốt Như dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật, lúc đầu học sinh chưa định hướng cách giải sau làm theo bước gợi ý tập 87 sách tập theo hướng dẫn giáo viên thấy học sinh dần làm tốt thành thạo Các học sinh trung bình biết làm Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình Số học trường THCS nói chung, Số học nói riêng dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật có vai trò quan trọng rèn luyện phát triển tư cho học sinh nhiều, khơng giúp học sinh học tốt dạng tốn tìm x có chứa dãy phân số viết theo quy luât, dạng toán chứng minh bất đẳng thức mà vế tổng dãy phân số viết theo quy luật, dạng tốn so sánh , Ngồi vận dụng vào tính tổng phân thức viết theo quy luật giải phương trình lớp Tuy dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật khơng phải dạng khó phần Số học song nhiều học sinh chưa làm chưa nắm chất phép tính phân số chưa thành thạo Trong qua theo dõi tơi thấy dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật toán phải vận dụng dãy phân số viết theo quy luật thường xun có kì thi hết học kì II, kì thi học sinh giỏi mơn tốn lớp huyện Cẩm Thủy huyện khác tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác nước Thế sách giáo khoa khơng đề cập toán dãy phân số viết theo quy luật, sách tập có hai 87 95 (trong chương III - Phân số) Bài 87 coi tốn gốc dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật, phải biết vận dụng linh hoạt nội dung 87 làm 95 tập khác Từ thực tế q trình giảng dạy tơi ln trọng rèn luyện kĩ tính tổng dãy phân số viết theo quy luật mà điểm xuất phát khai thác tốn 87 Từ việc giải theo trình tự câu tập 87 xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá dãy phân số tương tự, đặc biệt kĩ vận dụng tốn 2.1.1.Muốn rèn luyện kĩ tính tổng dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp trước tiên em phải nắm công thức sau: a,Định nghĩa phân số : Ta gọi a với a,b  Z, b≠ phân số, a tử số, b mẫu số phân b số b,Tính chất phân số + Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác phân số phân số cho a a.m  ( với m � ; m �0 ) b b.m + Nếu ta chia tử mẫu phân số với ước chung chúng đươc phân số phân số cho a a:n  ( với n �ƯC(a ; b ) ) b b:n c,Rút gọn phân số : + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu với ước chung chúng ( ước chung khác – 1) + Phân số tối giản phân số khơng rút gọn Ước chung tử mẫu – + Muốn rút gọn phân số đến tối giản ta chia tử mẫu chúng với ước chung lớn chúng d, Cộng hai phân số +Cộng hai phân số mẫu a b a+b + = m m m (a,b,m  Z ;m 0) + Cộng hai phân số không mẫu : Ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu cộng tử giữ nguyên mẫu chung a c a  c     b d b  d a c a.b  f) Nhân hai phân số: b d c.d a c a.d : = (c �0) g) Chia hai phân số: b d b.c e) Trừ hai phân số: k) Tính chất phép nhân phân số : a c c a * Giao hoán :  b d d b  a c  p a  c p * Kết hợp :       b d q b  d q a a a * Nhân với số 1: 1  b b b * Phân phối phép nhân với phép cộng: a  c p a c a p      b  d q  b d b q 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Để khảo sát mức độ tự học khả tư vận dụng học sinh, sau học xong “Phép nhân phân số” yêu cầu học sinh làm tập 87chương III- sách tập toán tập II thời gian 15 phút Nội dung đề sau: a Cho hai phân số (n  Z, n > 0) Chứng tỏ tích hai phân số hiệu chúng (4 điểm) b Áp dụng kết để tính giá trị biểu thức sau: A= + + + + + + (3 điểm) B= + + + + + + (3 điểm) Khảo sát từ lớp 6B trường THCS Cẩm Phong năm học 2017 - 2018 (Một lớp có 90% học sinh khá, giỏi mơn Tốn học kì I) tơi thu kết sau: Kết Tổng số Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 34 0 17,6 26,5% 19 55,9% Cần thích thêm là: Khơng có học sinh tính giá trị biểu thức B cách vận dụng kết câu a (6 học sinh đạt điểm biết áp dụng câu a vào tính giá trị biểu thức A), số học sinh tính giá trị biểu thức B cách quy đồng mẫu số phân số nên chưa đến kết cuối (không kịp thời gian) Qua kết khảo sát cho thấy tỉ lệ học sinh khá, giỏi học kì I lớp cao, song khả tự học tư linh hoạt với dạng tốn nhiều hạn chế Vì tiết luyện tập, ơn tập buổi dạy thêm phải chữa hướng dẫn học sinh khai thác lại tập 87, đồng thời soạn thêm nhiều tập dạng tốn tính tổng dãy phân số viết theo quy luật để hướng dẫn học sinh tự giải Với cách làm qua khảo sát đối chứng lại thu kết tốt Cụ thể thi học sinh giỏi lớp cấp huyện huyện Cẩm Thủy vừa qua học sinh làm trọn vẹn hai tốn có liên quan đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Tổ chức hướng dẫn học sinh làm lại tập 87- chương III- Sách tập, khai thác để rút cách làm chung cho dãy phân số tương tự Bài tập 87- Chương III- SBT toán tập hai: a Cho hai phân số (n  Z, n > 0) Chứng tỏ tích hai phân số hiệu chúng b Áp dụng kết để tính giá trị biểu thức sau: A= + + + + + + B= + + + + + + * Hướng dẫn học sinh tìm hiểu giải toán: a Bài toán yêu cầu chứng minh tích hai phân số cho hiệu chúng, tức ta cần chứng minh đẳng thức: = Quy đồng mẫu, ta được: - = = = Vậy: = - (1) b Trong tổng A: Mỗi tích tổng A dạng cụ thể Như ta cần viết tích tổng thành hiệu phân số công thức (1), ta có: A= + + + + + + A= - + - + - + - + - + - + A= - = - Trong tổng B: Mỗi phân số chưa có dạng Vậy em tìm cách đưa phân số thành tích hai phân số có tử 1và hai mẫu số hai số tự nhiên liên tiếp để sử dụng công thức (1)? Chẳng hạn: = = Với cách gợi ý học sinh biến đổi tương tự phân số lại Yêu cầu học sinh trình bày hồn chỉnh: B= + + + + + + B= + + ++++ B= + + + + + + B= - + - + - + - + - + - + B= - = GV: Vì = nên đề cho phân số có dạng ta áp dụng cơng thức (1) mà không cần biến đổi sang dạng Như tổng B ta biến đổi từ đề đến bước 1, bỏ qua bước để đến bước cho nhanh gọn Vậy, tổng quát ta có : = - (2) * Khai thác tốn: + Quan sát cơng thức (2) ta thấy: Nếu phân số có mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp (cách đơn vị), có tử số 1, khoảng cách hai thừa số mẫu phân số viết thành hiệu hai phân số có tử 1, hai mẫu số hai thừa số mẫu phân số cho Nhờ cách làm ta biến dãy cộng thành dãy cộng, trừ đan xen để ước lược số hạng đối Chẳng hạn - + ; - + ; … Do tốn giải nhanh chóng , quy đồng mẫu phân số chắn gặp nhiều khó khăn (như số bạn làm) Đó chưa kể đến có cần tính tổng dãy gồm trăm , nghìn phân số việc quy đồng mẫu số Từ công thức tổng quát nhấn mạnh lời, yêu cầu học sinh làm số tập vận dụng sau: Bài 1: Hãy tính tổng sau: 1 1     a) A = 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1    � � � � � � �  b) B = (với n �1; n �N) 1� 2� 3� 4� n� (n 1) * Lời giải: a) Học sinh tự làm 1 1    � � � � � � �  b) B = 1� 2� 3� 4� n� (n  1) B = - + - + - + …… + - = 1- = Bài 2: Khơng quy đồng, tính nhanh tổng sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1      a) B     12 20 30 42 56 72 90 b) S = Hướng dẫn: a) Đặt (-1) làm thừa số chung biến đổi mẫu thành tích thừa số liên tiếp B=- ( + + B=-( ) + + ) B = - (1- )= b) Học sinh giải tương tự câu a) S= ) S=-( ) S=-( S=-( Bài (Bài 95- Chương III - SBT toán tập hai) Tính nhanh: M= Khi gặp tốn số học sinh lúng túng mắc sai lầm sau (vì làm tương tự 1, cách máy móc.): M= M= M= + - = Từ cách làm cho học sinh thấy sai lầm em phân tích tốn, hướng dẫn cách giải tập sau Hai thừa số mẫu hai đơn vị, tử số nên ta thử tính: ,… Vậy: M = M= - + = Bài Tính: C= Tương tự học sinh làm được: C= + C=1 = C=1 Bài 5: Tính tổng: S = + + + …… + 50.53 Hướng dẫn: Tử số khoảng cách hai thừa số mẫu Vậy thử làm tương tự 3, Lời giải: S = + + + …… + 50.53 S = - + - + - + ……+ S= S= 50 - 53 53 51 106 * Giáo viên: Như toán ta thấy hạng tử tổng phân số có dạng: tử số khoảng cách hai thừa số mẫu.Vậy với dãy phân số có tử khơng khoảng cách hai thừa số mẫu ta làm nào? Bài 6: Tính tổng a) A = 1 1   � � � � � �  1� 3� 5� 2009 � 2011 Hướng dẫn: a) Đặt làm thừa số chung để đưa dãy phân số có mẫu hai thừa số tự nhiên liên tiếp, tử khoảng cách hai thừa số mẫu b) B = A= A= (1 ) A = 2.(1- = b) Khi gặp toán số học sinh mắc sai lầm sau (vì làm tương tự 1, cách máy móc.): 1 1    � � � � � � � � �  B= 1� 3� 5� 7� 2009� 2011 B=1- 1 1 1     � � � � � �   3 5 2009 2011 B=1- 2011 = 2010 (kết sai đáng tiếc) 2011 Từ cách làm cho học sinh thấy sai lầm em ≠ 1- ; ;… ; Như vậy, ; … nên ta phải biến đổi B sau: 1 1   � � � � � �  B= 1� 3� 5� 2009 � 2011 B= + B= - B= (1- )= = Bài Tính tổng sau cách nhanh mà khơng dùng máy tính: S= + + + + Tương tự 6b) ta có: S = - ( + S=-( + S=- ( + + + + + + + + + + ) ) S = - (1- + S = - (1- ) ) =- = Bài Tính giá trị biểu thức: C = 2 2     1.4 4.7 7.10 97.100 Lời giải: 1 1 C = ( 1.4  4.7  7.10   97.100 ) C= C= C= 3 3     ) 1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 1 1 (         ) 4 7 10 97 100 1 99 33 (  )  100 100 50 Bài 9: Tính tổng: 5 5   � � � � � � �  a) A = � 4� 6� 98 � 100 b) B = 1 1   � � � � � � �  1� 4� 7� 10 (3k  1) � (3k  4) Lời giải: a) A 5 5 = �4  �6  �8  ������� 98 � 100 �2 2 � �1 1 1 1 �  �   � � � � � � �  � � � � �   � �       � � �2 � 4� 6� 98 � 100 � �2 4 6 98 100 � �1 � 49  � � �2 100 � 40 b) B = 1 1   � � � � � � �  1� 4� 7� 10 (3k  1) � (3k  4) � �3 3  �   � � � � � � �  � 3� 1� 4� 7� 10 (3k  1) � (3k  4) � 1� 1 1 1 1 �  �     � � � � � �   � 3� 4 7 10 3k  3k  � 1� � 3k   k 1  � 1 ) � ( � 3k  � 3k  3k  k 1 3k  Bài 10: Tính nhanh tổng sau: 10 10 10 10     a) A = 56 140 260 1400 Vậy B = b) B = Hướng dẫn: a) Bài học sinh đem đặt thừa số chung 10 nên phân tích mẫu thành tích hai thừa số mẫu khơng có quy luật Tơi hướng dẫn học sinh trước hết rút gọn phân số cho để phân số có mẫu quen thuộc có quy luật: 5 5 10 10 10 10         = 56 140 260 1400 28 70 130 700 5 5 = 4.7  7.10  10.13   25.28 3 3 = ( 4.7  7.10  10.13   25.28 ) 1 1 1 1  (         ) 7 10 10 13 25 28 1  (  ) 28 28  14 A= 10 Vậy A= 14 b) Bài tử tách mẫu thành tích hai thừa số mẫu khơng có quy luật Tơi gợi ý học sinh quan sát mẫu xem có liên hệ với mẫu câu a) khơng có học sinh phát Lời giải: B= B= B = 2( ) B= + B= (1- + B= (1- )= ) ) = 2.3.2 Vận dụng kĩ tính tổng dãy phân số có mẫu tích hai thừa số viết theo quy luật vào tính tổng dãy phân số có mẫu tích 3, thừa số viết theo quy luật Giáo viên: Nếu mẫu tích 3, số tự nhiên cách sao? Bài 11: Rút gọn biểu thức sau: a) A = b) B = + + + …… + c) C = + …+ Hướng dẫn: a) Ở tốn này, mẫu tích số tự nhiên liên tiếp, tử khoảng cách thừa số mẫu, em thử xem có viết phân số thành hiệu hai phân số không mà phân số phải có mối liên hệ? Giáo viên hướng dẫn học sinh thử: ; ;… Vậy: A = = = + ) ) 11 = = = b) Là dãy tổng quát dãy câu a ) B = + + + …… + = ( + + + …… + ) = ( - + - + - + …+ - ) - )= = c) Vẫn theo nguyên tắc phải tách phân số thành hiệu hai phân số.Vận dụng cách thử tương tự câu a) ta có: ; ;… Vậy: C= + …+ = + …+ = + = ) - = +…+ = Bài 12: Rút gọn: A = Hướng dẫn: ; ; … Vậy: A = = + ) = = ) = = 2.3.3 Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán so sánh, chứng minh 12 Bài 13: Chứng minh : S = 22 + 32 + Hướng dẫn: Ta biết tính tổng A= 42 + + 100 +Ta lại có: Suy ra: Vậy: (1) 1 1     < 2 1 1 1 1 <            22 32 42 92 2 9 S< Từ (1) (2) ta có (2) S Bài 15 Cho A= + Chứng tỏ A < Hướng dẫn: Ta khó quy đồng mẫu phân số này, xem mẫu viết theo quy luật nào? Học sinh viết được: A = + 13 Giáo viên: Hãy tính tổng A xem kết có so sánh với khơng? Học sinh tính được: A= + A= A = (1A = (1 ) )< (Vì