SKKN rèn kĩ năng tính tổng dãy số viết theo quy luật cho học sinh trường THCS lý tự trọng

1.PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tính tổng dãy số viết theo qui luật tốn khó chương trình THCS , khó địi hỏi khả tư duy, sáng tạo cách học Các tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật học sinh tiếp cận từ lớp đến lớp 9, chương trình khơng có tiết lý thuyết đề cập đến mà dạng tập đơn giản.Trong kỳ thi HSG , thi vào lớp 10 PTTH thi vào trường chuyên tỉnh quốc gia thường có dạng Thực tế qua theo dõi kỳ thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh , thi vào chun có nhiều tốn tính tổng dãy số khó ,học sinh khơng định hướng cách giải giải cách thiếu chặt chẽ khơng xác Vì mà việc giúp em định hướng cách giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật rèn khả linh hoạt sáng tạo giải toán việc làm thật quan trọng cần thiết Với lí nêu tơi viết đề tài “ Rèn kỹ tính tổng dãy số viết theo qui luật cho học sinh trường THCS Lý Tự trọng - TPTH ” Thông qua đề tài muốn góp thêm cách làm để giúp học sinh phát huy lực tư sáng tạo học tốn, từ tốn cụ thể khai thác từ giúp em nắm chất dạng tốn ln có ý tưởng sáng tạo giải tốn, giúp em thêm u thích mơn tốn nhiều 1.2.MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài giúp học sinh nắm dạng tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật từ lớp đến lớp từ giúp em định hướng cách làm toán - Đề tài giúp học sinh biết xuất phát từ tốn khai thác để có tốn - Đề tài cịn giúp bồi dưỡng lực phát tìm tịi lời giải toán , phát huy khả suy luận óc phán đoán học sinh - Nghiên cứu đề tài tơi muốn trao kinh nghiệm dạy “ Tính tổng dãy số theo qui luật” với đồng nghiệp giúp việc dạy học đạt kết tốt 1.3: ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu cách tính tổng dãy số viết theo qui luật chương trình toán THCS 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: +) Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết +) Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin +) Phương pháp thống kê, xử lý số liệu 2: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Trong xu phát triển ngày cao xã hội giáo dục ngày phải đổi nhiều để tiến kịp với phát triển Với mục tiêu đào tạo học sinh trở thành người phát triển tồn diện đạo đức ,trí tuệ , thẩm mỹ, kỹ , phát triển lực cá nhân , tính động sáng tạo Vì dạy học cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động , sáng tạo học sinh phù hợp với đặc trưng môn , bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học , khả hợp tác rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế gây hứng thú học tập cho học sinh Do để giúp cho học sinh có phương pháp tự học tốt chủ động sáng tạo việc tiếp thu kiến thức việc hình thành cho học sinh kỹ giải tập , cách phát đường lối giải đứng trước tốn cụ thể việc làm vơ quan cần thiết điều làm cho HS vững vàng tự tin làm tốn Đối với việc dạy học sinh tính tổng dãy số theo qui luật: - Cần giúp cho học sinh xác định phương pháp tính tổng dãy số viết theo qui luật thuộc dãy quen thuộc từ giúp học sinh định hướng cách giải - Học sinh cần hiểu chất việc tính tổng dãy số viết theo qui luật thơng qua hệ thống tập - Cần giúp học sinh biết tính tổng dãy số theo qui luật dạng - Học sinh biết đưa dạng tốn khác tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật 2.2 Thực trạng việc dạy tính tổng dạy số viết theo qui luật trường phổ thơng 2.2.1 Về phía giáo viên : - Đây phần tốn khó khơng có tiết lí thuyết chương trình mà đưa dạng tập đơn giản sách giáo khoa tốn giáo viên hầu hết dạy qua không trọng đến nhiều - Đối với việc ôn thi học sinh giỏi giáo viên đề cập chưa có nhiều tài liệu viết nhiều vấn đề lớp đề cập đến số việc dạy ơn HSG gặp nhiều khó khăn 2.2.2 Về phía học sinh : - Chưa có phương pháp giải tốn dạng nên sợ lười suy nghĩ - Chưa nắm chất việc tính tổng dãy số - Việc tự học em nhiều hạn chế Xuất phát từ yêu cầu thực tế mạnh dạn viết kinh nghiệm mà thân tích luỹ nhiều năm giảng dạy đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp dạng đề tài: “ Kinh nghiệm rèn kỹ tính tổng dãy số viết theo qui luật cho học sinh THCS ” 2.3.NHỮNG GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Để dạy học sinh tính tổng dãy số trước tiên ta cho học sinh tiếp cận số phương pháp tính tổng thường dùng sau MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG DÃY SỐ THƯỜNG DÙNG: 1.1.Phương pháp 1: Nhóm số hạng để tạo thành nhóm có giá trị Ví dụ 1: Tính tổng số nguyên x thoã mãn :  x / x  Z ; x 50 Ta có x � 50; 49; 48; ; 2; 1;0;1; 2; ;48; 49;50 Gọi tổng số nguyên x A ta có : A = -50 + (-49)+(-48)+ +(-2)+(-1) + + + 2+ + 48 + 49 + 50 Đối với tổng học sinh thấy nhóm số đối để tạo thành nhóm có giá trị A = -50 + (-49)+((-48)+ +(-2)+(-1) + + + 2+ + 48 + 49 + 50 A = (-50+ 50) + (-49 +49) + (-48+48) + .+ (-2 +2) + (-1+ 1) + A = + + + .+ = 1.2.Phương pháp 2: Phương pháp khử liên tiếp Để tính tổng dãy số ta biến đổi số hạng tổng thành hiệu hai số hạng dãy khác cho số liên tiếp số đối , từ ta rút gọn để kết đơn giản Chẳng hạn muốn tính tổng : S = x1  x2  x3   xk Ta biến đổi x1  y1  y2 ; x2  y2  y3 ; x3  y3  y4 xk  yk  yk 1 S = ( y1  y2 )  ( y2  y3 )  ( y3  y4 )   ( yk  yk 1 )  y1  yk 1 Ví dụ : Tính tổng sau : S= 1 1     1.2 2.3 3.4 99.100 Bằng cách tách số hạng tổng hiệu hai phân số có tử số , mẫu số số tự nhiên nằm mẫu tính tổng 1 1 1 3 S =        1 1 99     99 100 100 100 1.3 Phương pháp 3: Đưa phương trình chứa ẩn tổng cần tính Ví dụ : Tính tổng : A =   32  33   329 Đối với tốn ta biến đổi phương trình mà ẩn A cách nhân hai vế với số 3 A   32  33  34   330  (1   32  33  34   329 )  330  A  A  330  (*) Giải phương trình (*) ta A = 330  1.4.Phương pháp 4: Phương pháp qui nạp Đơi q trình giải tốn tính tổng cách thử với giá trị cụ thể ta dự đốn kết tổng sau phương pháp chứng minh ta chứng minh kết Ví dụ : Tính tổng : S = 13  23  33   1003 Nhận xét 13   12 13  23   (1  2) 13  23  33  36  (1   3)2 Dự đoán S = 13  23  33   1003 = (1     100) n(n  1) ) (*)bằng phương pháp qui nạp: 2 1(1  1) � � 1 - Với n = 1, vế trái (*) = 1, vế phải (*) � � � � Ta chứng minh 13  23  33   n3  ( Vế trái bằngvế phải Vậy (*) với n = - Giả sử (*) với n = k (k �N, k �1) , tức là: k (k  1) � � S k      k  � � � � 3 3 Ta phải chứng minh (k  1)(k  2) � S k 1  S k 1  13  23  33   ( k  1)3  � � � � � Thật k ( k  1) � k (k  1) 4(k  1)3 � S k 1  S k  (k  1)  �  (k  1)    4 � � � 2 (k  1)2 � k  4(k  1) � ( k  1)( k  2) � � � (k  1) ( k  2)  � � � 4 � � Vậy mệnh đề (*) với số nguyên dương n 100(100  1) � �  50502 Áp dụng kết vừa chứng minh S = � � � � Sau trang bị phương pháp tính tổng dãy số ta nên cho học sinh tiếp cận với dạng tốn tính tổng dãy số để học sinh rèn luyện kỹ phát huy tính linh hoạt sáng tạo giải toán CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ: 2.1.Tống dãy số nguyên: 2.1.1.Tổng đãy cách : Dãy cách dãysố mà hai số hạng liên tiếp số không đổi thường gọi khoảng cách Phần cần trang bị cho học sinh công thức cần nhớ sau đây: Số số hạng dãy = (số cuối – số đầu ): khoảng cách +1 Tổng dãy cách = (số đầu + số cuối ) Số số hạng : Ví dụ 1: Tính S = + 7+ 11+ + 83 + 87 (Lớp 6) Số số hạng tổng : (87-3):4 +1= 22 S= (3  87).22  990 Ở toán số hạng số tự nhiên , thay số hạng số nguyên viết theo qui luật dấu việc tính tổng tính nào? Ví dụ 2: Tính tổng S = 1- +3 - +5 – +7 - +999 - 1000 Phân tích tìm lời giải: Rõ ràng tổng thực theo công thức tính tổng dãy số cách cần hướng cho học sinh cách kết hợp số hạng cho nhóm phải có giá trị , kết hợp theo qui luật dấu Trong ví dụ dấu số hạng thay đổi theo qui luật: “ + ; -“ nhóm sau: S = (1- 2) +(3 - )+(5 – 6) +(7 - 8)+ + (999 - 1000) tổng có 1000 số hạng S = (-1)+(-1)+(-1)+ +(-1) (có 1000: = 500 số (-1)) S = -500 Ví dụ 3: Tính tổng : S = 1-2 - 3+4 +5- -7+8+9 – 10 – 11+12+ .+101- 102 – 103 +104+105 Trước tiên cho HS tính số số hạng tổng là: 105 số hạng qui luật dấu số hạng : “ +; - ;- ;+” nhóm: S = (1-2 - 3+4) +(5- -7+8)+(9 – 10 – 11+12)+ .+(101- 102 – 103 +104)+105 S= + + + .+ + 105 = 105 Nhận xét : Đối với dãy mà số hạng số cách dấu tn theo qui luật nên hướng cho học sinh dùng phương pháp thứ “Nhóm số hạng để tạo thành nhóm có giá trị nhau” để tính tổng 2.1.2.Tổng có số hạng tích số nguyên: Ví dụ 4: a) Chứng minh rằng: với n số tự nhiên khác : n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = 3n(n+1) b) Tính tổng : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .+ 99.100 Phân tích tìm lời giải: - Học sinh dễ dàng chứng minh câu a biến đổi vế trái : dùng phương pháp đặt thừa số chung để có kết vế phải - Ta thấy số hạng tổng có dạng vế phải để sử dụng câu a ) cần phải làm xuất hệ số đứng trước số hạng , để ý thừa số số hạng tổng đơn vị hệ số lần khoảng cách thừa số A = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4+ + 3.99.100 3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 +3.4.5 – 2.3.4 + .+ 99.100.101- 98.99.100 3A = 99.100.101- 0.1.2 = 99.100.101 A = 99.100.101: = 30300 Ví dụ 5: TÝnh : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Phân tích tìm lời giải: Ta nhận thấy số hạng tổng đơn vị áp dụng làm tương tự ví dụ cách nhân hai vế với 3.2 = 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 95) = 1.3.5 + 1.3.1 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + .+ 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 � A 1 97.33.101 = 161 651 n Nhận xét: tính tổng số �n(n  k ) với n= 1; 2; ta nhân vế với 3.k sử dụng công thức 3k n(n + k) = n(n + k)(n + 2k) - (n - k) n (n + k) tớnh tng Thay đổi số thõa sè tÝch ta cã tốn: Ví dụ6: TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Phân tích tìm lời giải: Ở ví dụ ta thấy số hạng gồm hai thừa số đơn vị ta nhân vế với = 2+1( số số hạng cộng 1) Do để tính tổng ví dụ ta để ý số hạng tổng tích gồm thừa số , thừa số đơn vị ta nhân với vế với = 3+1 (bằng số số hạng cộng 1) 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 � A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay ®ỉi khoảng cách thừa số hạng tử ë ví dụ ta tốn: Ví dụ 7: TÝnh A = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 95.97.99 Phân tích tìm lời giải: Trong Ví d ta nhân A với (bốn lần khoảng c¸ch) , ví dụ khoảng cách ta nhân hai vế với 4.2 = 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7+ 15 + 3.5.7.9 -1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + .+ 95.97.99.101- 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 � A 15 95.97.99.101 = 11 517 600 n Nhận xét: Nh để giải toán dạng n(n k)(n 2k) ta nhân n1 với 4k (4 lần khoảng cách) sau tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n k)(n + k)n(n + 2k) Tương tự ví dụ q trình dạy giáo viên cho HS làm tập có số thừa số số hạng 4; 5;6 .thừa số thay đổi khoảng cách thừa số cách tuỳ ý để tốn có cách giải tng t Thay đổi lặp lại c¸c thõa sè Ví dụ ta tốn Ví dụ :TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 Phân tích tìm lời gii: Trong toán ta không nhân A với số hạng mà tách thừa số tích làm xuất dÃy số mà ta đà biết cách tính dễ dàng tính đợc Làm tơng tự với toán: A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + ….+ 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + ….+ 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Ví dụ 9: TÝnh A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Phân tích tìm lời giải: Thực chất tốn tốn tính tổng: A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 +….+ 100.100 thực theo cách làm ví dụ tách trực tiếp mọt thừa số số hạng để đưa dãy quen thuộc A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = + 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( + + + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách số vớ d ta cã ví dụ 10: Ví dụ 10: TÝnh A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Tương tự ví dụ 10: A= + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + + 99(2 + 97) = + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99 + 97.99 = + 2(3 + + + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99) = + 4998 + 161651 = 166650 Trong Ví dụ Ví dụ 9: ta cã thĨ sư dơng : (n - a) �((n + a) = n2 - a2  n2 = (n - a)(n + a) + a2 a khoảng cách số Vớ d 11 : TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + ….+ 98.99.100 Phân tích tìm lời giải: Ta nhận thấy số hạng tổng tích gồm thừa số có thừa số lẻ , thừa số chẵn gợi ý cho ta tách thừa số chẵn hiệu hai số lẻ để đưa toán dạng quen thuộc A = 1.3.( - 3) + 3.5.( - 3) + 5.7.( -3) + … + 99.101.( 103 - 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 +….+ 5.7.9 +… + 99.101.103 ) - ( 1.3.3 +3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 - 3.171650 = 13002450 Ví dụ 12: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +… + 99.1002 Phân tích tìm lời giải: Ta viết lại biểu thức A = 1.2.2 + 2.3.3 + 3.4.4 + ….+ 99.100.100 Bài tốn đưa ví dụ ví dụ 11 cách tách thừa số cuối số hạng sau: A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Ví dụ 13: TÝnh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 Phân tích tìm lời giải: Viết lại tổng A = 12.1  22.2  32.3   1002.100 Để sử dụng ví dụ 10 ví dụ 12 cần phải tách số hạng cuối A = 12  22 (1  1)  32 (2  1)   1002 (99  1) A = 12  22.1  22  32.2  32   1002.99  1002 A = (1.22 + 2.32 + 3.42 +… + 99.1002) + (12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002) A= 25502500 Nhận xét: tốn tính tổng phần thường sử dụng việc tách thừa số thích hợp số hạng ta số hạng đối để rút gọn tách thành tổng mà sử dụng toán biết Bài tập tương tự : TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ ….+ 97.101 TÝnh C = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11 + ….+ 97.99.101 TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 7,G = 2+ +10 + 14 + + 100 8, H = + 10 + 13 + + 76 9, K = 49 +64 + 81+ + 169 10, P = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 2.3.Tổng có chứa số hạng dạng phân số a 1 Ví dụ 14: a) Chứng minh với x �0; x �a x( x  a)  a  x  a b) Áp dụng tính tổng : A = 2 2     1.3 3.5 5.7 97.99 Phân tích tìm lời giải: Đối với câu a) học sinh cần biến đổi vế phải cách qui đồng mẫu số phân số điều phải chứng minh Từ kết câu a) GV cần cho học sinh thấy phân số có mẫu tích hai thừa số mà hiệu chúng tử số viết dạng hiệu hai phân số có tử số mẫu thừa số tích b) theo kết câu a) ta đễ dàng tính tổng trên: 1 1 1 3 5 1 1 98     97 99 99 99 3 3     Ví dụ 15: Tính tổng M = 2.4 4.6 6.8 98.100 A =        Phân tích tìm lời giải: Các số hạng M có hiệu hai thừa số mẫu tử số khơng có dạng tổng qt cơng thức ví dụ 14 để sử dụng cần phải biến đổi để số hạng có tử cách nhân tử mẫu với đặt thừa số chung 10 3.2 3.2 3.2 3.2 2 2      (     ) 2.2.4 2.4.6 2.6.8 2.98.100 2.4 4.6 6.8 98.100 1 1 1 1 1 149 M  (         )  (  ) 2 4 6 98 100 2 100 200 32 32 32     Ví dụ 16: Tính tổng : N = 2.5 5.8 8.11 2009.2012 M Phân tích tìm lời giải: Mỗi số hạng tổng có hiệu thừa số mẫu số phải biến đổi để tử số phải ,do ta đặt thừa số chung ngồi xuất dạng ví dụ 14: 3 3 1 1 1 1     )  3.(         ) 2.5 5.8 8.11 2009.2012 5 8 11 2009 2012 1 3015 N  3.(  ) 2012 2012 N  3.( Thay đổi số thừa số mẫu số ta toán 1 1 Ví dụ 17: a Chứng minh rằng: n( n  1)(n  2)  ( n(n  1)  ( n  1)(n  2) ) ( n �N * ) Để ý khoảng cách hai thừa số liên tiếp mẫu số vế phải 1, tách thành hiệu hai hạng tử vế trái phải chia cho lần khoảng cách 2.1 = b Áp dụng tính tổng S = Ta cã S = S= 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 �1 � �1 � 1� 1 �  �  � �  �  � � 2� 1.2 2.3 � �2.3 3.4 � �98.99 99.100 � �1 1 1 � 1 4949      (  ) �  �= 2� 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 � 1.2 99.100 19800 Thay đổi khoảng cách thừa số ta có tốn mới: Ví dụ 18: Tính A 1    2.4.6 4.6.8 (2n  2)2n(2n  2) ( n �N * ) Nhận thấy khoảng cách thừa số liên tiếp số hạng mẫu số tách thành hiệu hai hạng tử ta phải chia cho lần khoảng cách 2.2 = 1 1 1 A = ( 2.4  4.6  4.6  6.8   (2n  2)2n  2n(2n  2) 1 ( n  2)( n  1) = ( 2.4  (2n  2)2n )  32(n  1)n VÝ dơ 19 : TÝnh tỉng 2n  Sn = (1.2)  (2.3)    n(n  1) Phân tích tìm lời giải: Xét số hạng thứ k 11 2k  1 Ta cã : k (k  1)  k  (k  1) ;   k = ; ; 3; ; n Áp dụng cho k từ đến n ta được; Do ®ã Sn = ( 1- n(n  2)  1   1    )        = 12  n (n  1)  (n  1) ( n  1) 2  22 32    Bài tập tương tự: 4    5.7 7.9 59.61 1, S = 2, A = 5 5     11 16 16.21 21.26 61.66 1 Sn = 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2) 1 4, Sn = 2    1.2.3 2.3.4 98.99.100 5, Sn = 1.2.3.4  2.3.4.5   n(n  1)(n  2)(n  3) 2.4 Tổng có chứa luỹ thừa số VÝ dơ 20: Tính S = 1 1     99 2 2 Phân tích tìm lời giải: Quan sát mẫu ta thấy chúng luỹ thừa số số hạng mẫu luỹ thừa có số mũ số tự nhiên liên tiếp nhân hai vế với số tổng nhiều số hạng giống tổng cho từ biến đổi thay để phương trình có ẩn tổng cho: 2.S = 1+ 1 1     98 2 2 =(  1 1    99 )+ (  99 ) 2 2 2S = S + (  1 � S   99 99 ) 2 Ta nhân vế S với làm tương tự kết Ví dụ 21: Tính S = 1   32  33   3n với n�N * Phân tích tìm lời giải: Quan sát tốn ta thấy đặt dấu (-) ngồi đưa tốn dạng quen thuộc , sau nhân vế với số làm tương tự : 12 S = (1   32  33   3n ) � 3S  (3  32  33   3n  3n1 ) 3S = (1   32  33   3n )  (3n1  1) 3S = -S - (3n1  1) nên S = (3n1  1) Nhận xét: Đối với tổng mà số hạng tổng luỹ thừa số ta thường nhân vế với số biến đổi để đưa phương trình có ẩn tổng càn tìm Bài tập tương tự: Tính tổng sau: 1) A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2) S = + + 53 + + 99 + 5100 3) M = 1 1     2005 3 3 2.5 Tổng có chứa giai thừa: VÝ dơ 22 : TÝnh tæng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) NhËn thÊy: 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 2.6 Tổng có chứa thức: Ví dụ 23 : Tính tổng: A= 1 1     1 3 5 2007  2009 Phân tích tìm lời giải: Để tính tổng dãy số ta cần trục thức mẫu với mục đích làm cho mẫu để thực phép cộng tử số A= 1 3 5 2007  2009     = 1 3 5 2007  2009 13        2007  2009 2009   2 Ví dụ 24: a) Chứng minh : b) Áp dụng tính : S = 1   (n  1) n  n n  n n 1 1    1  400 399  399 400 a) Ta nhận thấy mẫu số có thừa số chung n  n để biến đổi biểu thức phương pháp chung phải trục thức mẫu VT  = 1 ( n 1  n )   (n  1) n  n n  n  n ( n   n ) n  n (n   n) ( n 1  n) 1   n  n n n 1 b) Áp dụng kết câu a) ta có : 1 1 1 1 1 19        1  1  S = 1  20 20 2 3 399 400 400 Nhận xét : Đối với tổng mà số hạng chứa thức ta nên dùng phép biến đổi để khử thức : trục thức mẫu số, dùng đẳng thức A2  A , bình phương sau đưa phương pháp tính tổng học Bài tập tương tự : Tính 1) A = 1 1     1 2 3 24  25 2) B = 1 1     1 2 3 n 1  n 3) C =  1 1 1 1            2 3 99 1002 SỬ DỤNG TÍNH TỔNG DÃY SỐ ĐỂ GIẢI CÁC LOẠI TOÁN KHÁC : 3.1 Giải phương trình : (Tốn tìm x) 1 2007 Ví dụ 25: Tìm x biết :    10   x( x  1)  2009 Phân tích tìm lời giải: 14 Từ số hạng x( x  1) ta thấy số hạng tổng viết theo qui luật tử số cịn mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp Vì số hạng tổng cần làm xuất dạng tổng quát cách nhân tử mẫu với , sau đặt làm thừa số chung ta đưa tốn tính tổng dãy số quen thuộc tìm x 2 2 2007      1 12 20 x( x  1) 2009 1 1 2007 2.(      ) 1 1.2 2.3 3.4 4.5 x( x  1) 2009 1 1 1 1 1 � 2007 � �           � 1 2 3 4 x x  � 2009 � 4016 2.(1  ) x 1 2009 Từ tìm x = 2008 Như nhờ vào việc sử dụng tính tổng dãy số mà tốn tìm x phức tạp đưa tốn đơn giản nhiều Ví dụ 26 : Tìm x biết: x + (x + 1) + (x + 2)+(x + 3)+ +(x + 99) = 5450 Phân tích tìm lời giải: Ta tách tổng thành tổng sử dung cách tính tổng dãy cách để tìm x: (1 x 44x  4 43x )  (1     98  99)  5450 100 so x 100x + 4950 = 5450 từ tìm x = Bài tập tương tự : Tìm x biết : 1 1 101 1) 5.8  8.11  11.14   x( x  3)  1540 2) 1+ + + + x = 5050 biết vế trái tổng số tự nhiên liên tiếp 1 1 1991 3)    10   x( x  1) :  11993 3.2 Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 27 : Chứng minh : 1 1     1 2 100 15 Quan sát mẫu số ta thấy 22  2.2 32  3.3 ta làm trội phân số cho cách thay thừa số mẫu số liền trước Từ đưa dãy ban đầu dãy quen thuộc 1 1 1 1          2 100 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1      1 1 22 32 42 1002 100 Ví dụ 28: Chứng minh với số tự nhiên n �3 : B= 1 1      3 n 12 Phân tích tìm lời giải: Với cách làm tương tự ví dụ 27 ta làm trội số hạng tổng sau 1 1 1    (  ) n n  n (n  1)n(n  1) (n  1)n n(n  1) 1 1 1 1 1 1 Do B < ( 2.3  3.4  3.4  4.5   (n  1) n  n(n  1) )  ( 2.3  n(n  1) )  B< 12 Ví dụ 29: Chứng minh với số tự nhiên n �2 có n 1 1      2 n n Phân tích tìm lời giải: Nếu ta đặt A = A : 1 1      n ta dùng phương pháp làm giảm số hạng 1 1 1      nên A < n  n n n Mặt khác dùng phương pháp làm tội số hạng A ,sau trục thức mẫu khử liên tiếp số hạng A 2    2( n  n  1) n n n n  n 1 A < 2(        n  n  1)  n Vậy n  A2 n Nhận xét: Đối với toán phần thông thường dùng phương pháp làm 16 trội , làm giảm để đưa tổng quen thuộc biết cách giải từ chứng minh yêu cầu toán Bài tập tương tự : Chứng minh rằngvới số tự nhiên lớn 1 1 1 a) 22  42  62   (2n)2  1 1 b) 32  52  72   (2n  1)  2.Chứng minh : A > 1,999 Biết A = 1 1     1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 3.Chứng minh với mọ số nguyên dương n 1   