Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp vi phân

MỤC LỤC A Phần mở đầu Lý chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu B Phần nội dung Cơ sở lý luận SKKN Thực trạng vấn đề nghiên cứu trước áp dụng SKKN Các giải pháp sử dụng hoạt động giáo dục, với thân, đồng Trang 1 2 2 2 nghiệp nhà trường Nội dung cụ thể C Kết luận kiến nghị Kết luận Đề xuất kiến nghị Tài liệu tham khảo Phụ lục 18 18 19 20 21 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Phép tính vi phân, tích phân phần quan trọng Giải tích nói riêng Toán học nói chung, đối tượng nghiên cứu trọng tâm Giải tích mà hỗ trợ đắc lực nghiên cứu lý thuyết phương trình, lý thuyết hàm số Ngoài ra, phép tính vi phân sử dụng nhiều ngành khoa học khác Vật lý, Thiên văn học, Nó giải pháp hữu hiệu mô hình toán học cụ thể Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia thường gặp khó khăn giải tập chương Nguyên hàm tích phân Những người học làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải toán cụ thể Trong thực tế, học đến chương nguyên hàm tích phân, đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Vì trình tính tích phân học sinh thường mắc sai lầm dẫn đến lời giải sai Việc nhận mối liên hệ "đạo hàm, vi phân, nguyên hàm" sở quan trọng việc tính tích phân Quá trình giảng dạy hướng dẫn học sinh giải toán tích phân trường THPT Nguyễn Hoàng, đặt câu hỏi: “Làm để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng giải toán tích phân có sách giáo khoa, toán tích phân đề thi đại học?” Qua giảng dạy rút kinh nghiệm: Thứ nhất: Để giải toán tích phân tốt học sinh phải nắm vi phân “cơ bản” từ đơn giản đến phức tạp Thứ hai: Học sinh phải nắm bảng nguyên hàm thường gặp tính chất nguyên hàm Thứ ba: Học sinh phải nắm tích phân “cơ bản” cách tính tích phân Thứ tư: Học sinh phải biết tích phân “cơ bản” có cách tính phổ biến nhất, mối cách tính có thuận lợi, khó khăn gì? Từ học sinh tự chọn cách giải phù hợp cho toán giải Với hy vọng giúp học sinh nắm vững kiến thức nguyên hàm – tích phân, từ giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt kết cao giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết cao trình học tập môn Toán nói chung Nên chọn đề tài “Rèn luyện kỹ tính nguyên hàm tích phân phương pháp vi phân.” Phạm vi nghiên cứu Mối quan hệ Nguyên hàm, tích phân vi phân, số dạng toán nguyên hàm, tích phân– Giải tích 12 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A2 12A6 – Trường THPT Nguyễn Hoàng Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Nguyên hàm Tích phân Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em B PHẦN NỘI DUNG Thực trạng vấn đề nghiên cứu trước áp dụng SKKN Do đặc điểm học sinh lớp 12 phải tham dự kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia với mục đích xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng tốt nghiệp THPT nên phần lớn học sinh có ý thức học tập mong muốn trang bị kiến thức cần thiết cho em tự tin bước vào kỳ thi Nhằm giúp em giải tốt dạng tập Nguyên hàm tích phân chương trình lớp 12 Qua trình giảng dạy nhiều năm thấy học sinh thường lúng túng trước toán tích phân, không định hướng giải phải thử nhiều cách giải, công thức nhiều nhầm lẫn, hệ thống số công thức phép tính vi phân yêu cầu học sinh phải nắm vững từ mở rộng số công thức khác không cần phải thuộc công thức đưa số dạng tích phân TrườngTHPT Nguyễn Hoàng có học sinh điểm tuyển đầu vào thấp so với trường tỉnh chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu năm chiếm tỉ lệ 8% Với đề tài “Rèn luyện kỹ tính nguyên hàm tích phân phương pháp vi phân” giúp học sinh không bị lúng túng trước toán tìm nguyên hàm tích phân chương trình Các giải pháp thực I.1 Hệ thống tập, giải pháp phải thể rõ ý tưởng tích cực hoá hoạt động học sinh Quá trình dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, dựa nguyên tắc phát huy tính tích cực , tự giác, sáng tạo học sinh Thực chất trình tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, phát giải vấn đề sở tự giác tạo khả điều kiện chủ động học tập Tác giả Nguyễn Bá Kim rõ bốn yêu cầu: - Xác lập vị trí chủ thể người học, đảm bảo tính tự giác tích cực, sáng tạo hoạt động học tập - Dạy học phải dựa nghiên cứu tác động quan niệm kiến thức sẵn có người học, nhằm khai thác mặt thuận lợi, hạn chế mặt khó khăn, nghiên cứu chướng ngại sai lầm có kiến thức trình học tập học sinh - Dạy học không nhằm mục đích dạy nhứng tri thức,kiến thức , kỹ môn mà quan trọng dạy việc học, cách học cho học sinh - Quá trình dạy học bao gồm việc dạy học cách tự học thông qua việc để học sinh tự hoạt động nhằm đáp ứng nhu cầu thân xã hội Nói cách khác, tích cực hoá hoạt động học tập học sinh trình làm cho người học trở thành chủ thể tích cực hoạt động học tập họ I.2 Hệ thống biện pháp mang tính khả thi, phù hợp với điều kiện thực tiễn nhà trường THPT Tính khả thi yếu tố quan trọng nhằm đáp ứng với điều kiện thực tiễn yêu cầu dạy học I.3 Hệ thống biện pháp phải phù hợp với đặc điểm nhận thức học sinh tức phải đảm bảo tính vừa sức học sinh “Sức” học sinh, tức trình độ lực học sinh, bất biến mà thay đổi trình học tập Việc dạy cho học sinh mặt phải đảm bảo tính vừa sức để chiếm lĩnh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để phát triển lực học sinh Vì vậy, tính vừa sức thời điểm khác có nghĩa không ngừng nâng cao yêu cầu học tập I.4 Trong trình thực biện pháp cần đảm bảo thống vai trò chủ đạo thầy với tính tự giác trò Trong trình dạy học, thầy trò hoạt động, hoạt động có chức khác Hoạt động thầy thiết kế, điều khiển Hoạt động trò học tập tự giác tích cực Vì vậy, đảm bảo thống hoạt động điều khiển thầy hoạt động học tập trò thống vai trò chủ đạo thầy tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học tập trò II NỘI DUNG CỤ THỂ II.1 Nhắc lại khái niệm vi phân hàm số Vi phân hàm số y = f (x) kí hiệu dy cho công thức : dy = df(x) = y 'dx = f '(x)dx Ví dụ: a d(x - 2x + 2) = (x - 2x + 2)'dx = (2x-2)dx b d(sinx +2cosx) = ( sinx +2cosx)'dx + ( cos -2sinx)dx ☺Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau: d(2x) b d(3x) = 3dx => dx = d(3x) a d(2x) =2dx ⇒ dx =  x2  1 c x.dx = d   = d(x ± a) = - d( a - x ) 2   x  1 d x dx = d   = d(x ) = d( x ± a ) = - d(a - x ) 3   dx d (ax + b) dx e = = d( ln ax + b ) →= d( ln x ax + b a ax + b a x 1 f sin( ax+ b) dx = sin (ax + b) d (ax + b) = - d( cos (ax + b) ) a a 1 1 sin2xdx = - d ( cos 2x + k ) = d sin x = d sin x ± k = − d cos x ± k 2 2 1 g cos( ax+ b) dx = cos (ax + b) d (ax + b) = d( sin (ax + b) ) a a cos2xdx = d (sin2x + k) 1 h e ax+b dx = e ax+b d(ax+b) = d(e ax+b ) → e x = d(e x ) a a dx d (ax + b) dx 1 [ tan(ax + b)] → k cos (ax + b) = = d = d(tan2x) 2 a cos (ax + b) a cos x dx d (ax + b) dx 1 [ cot(ax + b)] → l sin (ax + b) = = d = d(cot2x) 2 a sin (ax + b) a sin x → ( ) ( ) ( ) → II.2 Khái niệm nguyên hàm tích phân + Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b).Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) F(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F(x) Nhận xét : Với C số ta có (F(x) + C)' = F'(x) nên ta viết ∫ f ( x)dx = F(x) + C F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số F(x).Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho + Cho hàm số y = f(x) liên tục [ a; b] F (x) nguyên hàm f(x) thì: b ∫ f ( x)dx = F ( x) | b a = F (b ) − F ( a ) a Định nghĩa không phụ thuộc vào kí hiệu biến số dấu tích phân II.3 Các công thức tìm nguyên hàm ● Công thức 1: ∫ dx = x + C ☻Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u(x) ,ta ∫ du = u + C n ∫ x dx = ● Công thức 2: ☻Chú ý: x n +1 +C n +1 u n +1 + Với hàm số hợp u = u(x) , Ta ∫ u du = +C n +1 dx dx du = 2∫ = x +C ↔ ∫ = u +C + Với n = - ⇒ ∫ x x u n Ví dụ: a I = ∫ x dx = x3 +C b I = ∫ ( x ) c I = ∫ + x dx = ∫ x dx + ∫ xdx = x−x dx = x 2010 d I = ∫ (1 − 3x) dx = - ∫ x5 + x2 + C 1 x 2 dx − xdx = x −2 dx − x = − x + C ∫ ∫ x 2 x 2011 2010 (1 − 3x ) u n du ( − x ) d ( − x ) +C  → I = 3∫ 2011 du dx d (2 x + 1) u 1 = ∫ → I = − +C = − +C e I = ∫ 2 (2 x + 1) 2x + 2(2 x + 1) (2 x + 1) dx ● Công thức 3: ∫ = ln x + C x ☻Chú ý: du = ln u + C u  dx = ln x + k + C ∫  dx d (ax + b)  2x + k = ∫ = ln ax + b + C →  + I =∫ ax + b a ax + b a  dx = − ln k − x + C  ∫ k − x + Với hàm số hợp u = u(x), ta ∫ Ví dụ:  1 dx x + dx = ∫ x dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C x x x x  dx d (3 x + 1) duu = → I = ln x + + C ∫ ∫ b I= 3x + (3x + 1) 3 a I = ∫  x + x2 + x + 3   dx = ∫  x + dx = 2x +1 x +   x + ln 2x + + C ● Công thức 4: ∫ sin xdx = −cosx+C c I = ∫ ∫ 2xdx + 3∫ dx d (2 x + 1) = x2+ ∫ = 2x +1 2x +1 ☻Chú ý: + Với hàm số hợp u = u(x) Ta ∫ sin udu = −cosu+C + ∫ sin(ax+b)dx= 1 sin(ax+b)d(ax+b)=- cos(ax+b)+C → ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ a a Ví dụ:  a.I = ∫  x x + s inx+   dx = 2x-1  ∫ x xdx + ∫ s inxdx+∫ dx d (2 x − 1) = ∫ x dx − cosx+ ∫ 2x-1 2x −1 = x − cosx+ ln x − + C  b I=  dx d (4 x − 3) 4x − ∫ sin x + x − dx = ∫ sin xdx + 3∫ x − = ∫ sin xd (2 x) + ∫ = − cos x + ln x − + C Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x +C ☻Chú ý: + Với hàm số hợp u = u(x),ta ∫ cos udu = sin u + C a + I = ∫ cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C → ∫ cos2xdx= sin x + C Ví dụ:   4x-1    ÷dx = ∫ cosxdx-∫ sinxdx+ ∫  4÷dx = s inx+cosx+4x-5ln x+1 + C x+1   x+1    b I = ∫ ( cos2x+sinx-x ) dx = ∫ cos2xdx + ∫ s inxdx-∫  4÷dx = s inx+cosx+4x-5ln x+1 + C  x+1  − cos2x 1 1  dx = ∫  − cos2x ÷dx = x - sin x + C c I = ∫ sin xdx = ∫ 2 2  dx ● Công thức 6: ∫ = t anx+ C cos x a I = ∫  cosx-sinx+ Chú ý: + Với hàm số hợp u = u(x) Ta dx d (ax+b) du ∫ cos x = tan u + C + I = ∫ cos (a + b) = a cos (ax+b) = a tan(ax+b)+C → ∫ dx = tan x + C cos x Ví dụ: dx  + cosx- sin2x ) dx = ∫ + ∫ cosxdx-∫ sin2xdx=tanx+sinx+ cos2x+C 2 cos x  cos x   dx dx + + 2∫ b I = ∫  = ÷dx = ∫ cos (2 x − 1) − 4x  cos (2 x − 1) − x  a I = ∫  du d (2 x − 1) d (5 − x) cos2u 1 − ∫  → = tan(2 x − 1) − ln x − + C ∫ cos (2 x − 1) − x 2 dx ● Công thức 7: ∫ = −cotx+C sin x ☻Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u(x),ta dx d (ax+b) du ∫ sin u + I = ∫ sin (ax+b) = a ∫ sin (ax+b) = − a cot(ax+b)+C → ∫ = − cot u + C dx = − cot x + C sin x Ví dụ:   a I = ∫  cos2x- dx x6 5 + x dx = c os2xdx+ x dx = sin x + cot x + +C ÷ ∫ ∫ sin x ∫ sin x  du dx d (1 − x) sin u = ∫  → I = − [ − cot(1 − x) ] + C b I = ∫ sin x(1 − x) sin (1 − x)  x d ÷ du dx x    sin u = → I = −2 cot  ÷+ C c I = ∫ ∫  x  x 2 sin  ÷ sin  ÷ 2 2 x x ● Công thức 8: ∫ e dx = e + C Chú ý: u u + Mở rộng vói hàm số hợp u = u(x),Ta ∫ e du = e + C  x+k e dx = e x + k + C ∫  1  + ∫ a ax+b dx = ∫ eax+b d (ax+b)= eax+b + C →  a a  e k − x dx = − e k − x + C  ∫ Ví dụ: a  ∫  e −2 x +1 −  dx −2 x+1 d (3 x) + dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e d (−2 x + 1) − ∫ ÷ sin x sin x sin x x x 1 + 4.2 x = − e−2 x +1 + cot 3x + x + C b.I = ∫ ( 4e3 x|+2 + cos(1-3x) ) dx = 4∫ e3 x+ dx + ∫ cos(1-3x)dx= ● Công thức 9: ∫ a x dx = 3x+2 e d (3 x + 2) − ∫ cos(1-3x)d(1-3x) ∫ 3 = e3 x + − sin(1 − 3x) + C 3 ax +C ln a ☻Chú ý: x u + Mở rộng với hàm số hợp u = u(x) , ta ∫ a du = a + C + ∫ a kx + m dx = kx + m a d (kx + m) = a kx + m + C ∫ k k Ví dụ: 3x 2x 23 x 32 x au du →I = + +C a I = ∫ (2 + )dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ d (3x) + ∫ d (2 x)  3ln 2 ln 3x 2x 3x 2x b ∫( 1− x ) − e x +3 dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x +3dx = − 1− x x +3 21−2 x x +3 d (1 − x ) − e d (4 x + 3) = − + e +C 2∫ 4∫ ln II.4 Các biểu thức vi phân quan trọng 1 2 1 x dx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d (a − x ) 3 sinxdx = - d( cosx) = - d ( cosx ± a) = d ( a-cosx) cosxdx = d( sinx) = d ( sinx ± a) = - d ( a-sinx) dx = d(tanx) = d(tanx ± a) = - d ( a-tanx) cos x dx = - d(cotx) = - d(cotx ± a) = d( a - cotx) sin x dx = d ( x ) = d ( x ± a) x e x dx = d (e x ) = d (e x ± a) = −d (a − e x ) dx = d (ln x) = d (ln x ± a ) = − d (a − ln x) x xdx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d (a − x ) - Các vi phân khác +) +) +) +) sin x dx = d ( ) cos x cos x x x +a 2 x a −x 2 dx = d ( x + a ) dx = − d ( a − x ) dx = d [ln( x + a )] x+a +) (1 − 1 )dx = d ( x + ) x x … Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm cúa hàm số sau: x dx a I = ∫ + x2 10 b I = ∫ x(1 + x ) dx c I = ∫ x dx x3 + Hướng dẫn giải:   x2  1 2 xdx = d   ÷ = d ( x ) = d ( x ± a)  2   a.Sử dụng công thức vi phân :   du  u = d (ln u ) du x d ( x ) d ( x + 1) ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C dx = ∫ = ∫ ¬  → I1 = ln( x + 1) + C Ta có I1 = ∫ 2 1+ x 1+ x 1+ x 10   x2  1 2 xdx = d   ÷ = d ( x ) = d ( x ± a)    b.Sử dụng công thức vi phân :  n +1 u n du = d  u   ÷   n +1   (1 + x )11 10 (1 + x ) d ( x + 1) = +C 2∫ 22   x3  x dx = d   ÷ = d ( x ± a)   3 c.Sử dụng công thức vi phân :   du = d ( u )  u Ta có I = ∫ x(1 + x )10 dx = Ta có I = ∫ d ( x + 1) d ( x + 1) x3 + = ∫ = ∫ = +C x3 + x3 + x3 + x dx Ví dụ 1.1 Tính tích phân sau: 2x + dx a I = ∫ x ( x + 1) x + x + 3x + x − dx b I = ∫ x2 + x c I= 3x + x − ∫ x − dx −1 Hướng dẫn giải: a I = ∫ ( 1 + )dx = ln x ( x + 1) 1 = ln x +1 x 2 2  1  16 − ÷dx =  x + 3x + ln x + − ln x  = + ln b I = ∫  x + + x +1 x  3 1 1 31   1 3 ÷ 17 31 17 31  17  I = ∫ x+ + ÷dx =  x + x + ln x −  = − ln c 2x − ÷ 4  −1 −1    Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: b I = ∫ a I = ∫ x − x dx dx 2x −1 c I = ∫ − xdx Hướng dẫn giải:   x2  1 2 xdx = d   ÷ = d ( x ) = − d (a − x )    a.Sử dụng công thức vi phân:  n +1 u n du = d  u   ÷   n +1   1 Ta có I = ∫ x − x dx = ∫ (1 − x ) d ( x ) = − ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = − 2 1   dx = a d (ax+b)=- a d (b − ax) b.Sử dụng công thức vi phân:  du  = d( u)  u (1 − x )3 +C 11 du dx d (2 x − 1) d (2 x − 1) u = d ( u ) = ∫ =∫ ¬  → I5 = 2x − + C 2x −1 2x −1 2x −1 1   dx = a d (ax+b)=- a d (b − ax)  c.Sử dụng công thức vi phân:  n +1  u n du = d  u ÷   n +1 Tacó I = ∫ 1 1 2(5 − x) − xdx = ∫ − xd (2 x) = − ∫ (5 x − 2) d (5 − x) = − +C 2 ⇒ I6 = ∫ =− (5 − x)3 +C Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm tính tích phân hàm số sau: x3 a I = ∫ x −5 e I = ∫ dx b I8 = ∫ (3x − x)5 dx ln x dx x(1 + ln x ) ln x dx c I = ∫ x e3 d I = ∫ 1 + ln x dx x e f I = ∫ ln x + ln xdx x Hướng dẫn giải:   x4  1 4 x dx = d   ÷ = d ( x ± a ) = − d (a − x ) 4    a Sử dụng công thức vi phân :  − n −1   du = d  u  ÷ u  n +1   ⇒ I7 = ∫  x4  d  ÷ − 5 ( x − 5) 2x 1 5( x − 5) b.T   4 dx = 2∫ = ∫ ( x − 5) d ( x − 5) = +C = +C 4 x −5 x −5 ( − 2x) + C dx = − (3 − x ) = − a có: I8 = ∫ (3 − x)5 2∫ 12 dx ln x ln x = d ln x ( ) ta I9 = ∫ x dx = ∫ ln xd (ln x) = + C c.Sử dụng công thức vi phân x e3 3 14 e I = + ln x d ln x = + ln x = ( ) ( ) d Ta có ∫1 3 ( ) 3 ln x d + ln x 1 d ( ln x ) = ∫ = 1 + ln x  = ln + ln e Ta có I = ∫ 2 1 + ln x 1 + ln x 2 e e ( ( e )) ln x + ln x dx = ∫ ln x + ln xd ( ln x ) = ∫ + ln xd + ln x = f Ta có I = ∫ x 21 1 ( ) ( 9−34 ) Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 3dx a I10 = ∫ (4 − x) 2010 b I11 = ∫ cos x dx x c I12 = ∫ cosx s inxdx Hướng dẫn giải: 12 a.Tacó: I10 = ∫ 3dx 3 (4 − x) −2010 −2010 = − (4 − 2) d (4 − x ) = − +C = +C 2010 ∫ (4 − x) 2 −2009 4018(4 − x) 2009 b.Sử dụng công thức vi phân: cosudu=d(sinu)   dx 2 x = d( x)  cos x cos x dx = 2∫ dx = 2∫ cos x d ( x ) = 2sin x + C x x cosudu=d(sinu) c.Sử dụng công thức vi phân:  sinxdx=-d(cosx) Ta có: I11 = ∫ Ta có: I12 = ∫ 2(cosx) 2 cos3 x cosx s inxdx=- ∫ (cosx) d (cosx)==− +C 3 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I13 = ∫ s inx cosxdx s inx b I14 = ∫ dx cos x c I15 = ∫ sin x cos xdx π d I = ∫ cos x dx (1 + sin x) Hướng dẫn giải: sin udu = −d (cosu) cosxdx=d(sinx) a.Sử dụng công thức vi phân:   u5  u du = d  ÷ ÷   Ta có : I13 = ∫ s inx cosxdx= ∫ (sinx) d (s inx) ¬ → I15 = sin x + C -4 s inx d (cosx) (cosx) dx = − ∫ =− +C = +C 5 cos x cos x −4 cos x cosxdx=d(sinx)  c Sử dụng công thức vi phân: u n du = d  u n +1   ÷   n +1  b.Ta có: I14 = ∫  u5  u du = d  ÷ ÷   sin x Khi ta I15 = ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd (s inx) ¬  → I15 = +C 4 d Sử dụng công thức vi phân cosx dx = d(1 + sinx) ta có: π I =∫ d ( + s inx ) ( + sin x ) π   = − =   + sin x  Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I16 = ∫ t anxdx b I17 = ∫ sin xcos4xdx c I18 = ∫ s inxdx 1+3cosx Hướng dẫn giải: s inxdx=-d(cosx)  a.Sử dụng công thức :  du  ∫ u = ln u + C 13 sinxdx d (cosx) = −∫ = − ln cosx + C cosx cosx 1 sin xcos4xdx= ∫ sin xcos4xd(4x)= ∫ sin xd (sin x) 4 Ta có I16 = ∫ t anxdx= ∫ b.Ta có: I17 = ∫ 3 = 2(sin x) + C = sin x + C s inxdx d (cosx) d (3cos x + 1) = −∫ =− ∫ = − ln + 3cos x + C c.Ta có I18 = ∫ + 3cos x 1+3cosx + 3cos x Ví dụ 7: Tìn nguyên hàm hàm số sau: cos xdx a I19 = ∫ (2 − 5sin x) b I 20 = ∫ cosxdx 4sinx-3 c I 21 = ∫ t anx.ln(cosx)dx Hướng dẫn giải: cosxdx=d(sinx)  a.Sử dụng công thức vi phân: du = d  −   ÷ u  u  cos xdx 2d (s inx) d (2 − 5sin x ⇒∫ =∫ = −∫ = +C 2 (2 − 5sin x) (2 − 5sin x) (2 − 5sin x) 5(2 − 5sin x) cosxdx=d(sinx)  b Sử dụng công thức vi phân  du = d ( u ) 2 u  cosxdx d (sin x) d (4sin x) d (4sin x − 3) =∫ = = = sin x − + C Ta được: I 20 = ∫ 4sinx-3 4sinx-3 ∫ 4sinx-3 ∫ 4sinx-3 c.Sử dụng công thức nguyên hàm bản: sinxdx d (cosx)   ∫ t anxdx= ∫ cosx = − ∫ cosx = − ln cosx + C   udu = u + C  ∫ Ta có: sinx d(cosx) dx = − ∫ ln | (cosx) = − ∫ ln(cosx)d(ln cosx cosx cosx ln (cosx) ln (cosx) + C → I 21 = − +C =2 I 21 = ∫ t anx.ln(cosx)dx= ∫ ln(cosx) Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm tính tích phân hàm số sau: a I 25 = ∫ π t anx dx cos x ecot x I = d ∫ dx π sin x b I 23 = ∫ tan x dx cos x c I 24 = ∫ tan x + dx cos 2 x π e I = ∫ dx4 cos x Hướng dẫn giải: 14  dx  cos x = d (t anx) a.Sử dụng công thức   udu= u + C  ∫ t anx dx tan x tan x I = dx = t a nx = t anxd(tanx)= + C → I = +C Ta có: 22 ∫ 22 ∫ cos x cos x ∫ 2  dx  cos x = d (t anx) b Sử dụng công thức:   = + tan x  cos x Tacó: tan x dx tan x 3 dx = tan x = tan x (1 + tan ) d (t anx)= (tan x + tan x ) d (t anx)= ∫ ∫ cos x cos x cos x ∫ 6 tan x tan x tan + C → I 23 = + +C + d (ax)  dx  cos ax = a cos 2ax = a d (tan(ax)) c.Sử dụng công thức   udu= u + C  ∫ tan x + tan xdx dx tan xd (2 x) d (2 x) dx = ∫ +∫ = ∫ + ∫ Ta có: I 24 = ∫ 2 cos x cos x cos x cos 2 x cos 2 x 1 tan 2 x tan x tan 2 x tan x + + C → I 24 = + +C = ∫ tan xd (tan x) + ∫ d (tan x) = 2 4 I 23 = ∫ π cot x d I = − ∫ e d ( cot x ) = e − π π π π e I = dx = + tan x d ( t anx ) =  t anx + tan x  = ) ∫ ∫(   cos x  0 Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I 25 = ∫ cot x dx sin x b I 26 = ∫ t anx dx cos3 x c I 27 = ∫ c otx dx π cos(x+ ) Hướng dẫn giải:  dx  sin x = − d (cot x) a Sử dụng công thức:   udu = u + C  ∫ cot x dx cot x cot x + C → I 25 = − +C Ta có: I 25 = ∫ dx = ∫ cot x = − ∫ cot xd (cot x) = − sin x sin x 2 15 s inxdx=-d(cosx)  b.Sử dụng công thức:  du u − n \1 +C ∫ n = −n +  u t anx s inxdx d (cosx) (cos x) −3 = − = − + C → I 26 = +C Ta có: I 26 = ∫ dx = ∫ 4 ∫ cos x cos x cos x −3 3cos3 x  cosxdx=d(sinx)  π   c.Sử dụng công thức: cos  x + ÷ = − s inx 2    du ∫ = − + C u  u cot x cosx cosxdx d (s inx) I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ π s inx.(-sinx) sin x sin x  Ta có: cos  x + ÷ 2  1 + C → I 27 = +C = s inx s inx Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I 28 = ∫ 3e d I 31 = ∫ e x x e t anx+2 dx cos x e 2ln x +3 dx e I 32 = ∫ x cosx c I 30 = ∫ x.e1− x dx b I 29 = ∫ dx s inxdx Hướng dẫn giải  dx  a.Sử dụng công thức:  x  eu du = eu + C ∫ Ta có: I 28 = ∫ 3e x x dx = 3.2∫ e x dx = 6∫ e x d ( x ) = 6e x x + C → I 28 = 6e x +C  dx  = d (t anx)=d(tanx ± k) b.Sử dụng công thức:  cos x  eu du = eu + C ∫ dx e t anx+2 dx t anx+2 e = ∫ e t anx+2 d (t anx+2)=e tanx+2 + C → I 29 = e tanx+2 + C Ta có I 29 = ∫ = ∫ cos x cos x 1  2  xdx = d ( x ) = − d (1 − x ) c.Sử dụng công thức:   eu du = eu + C ∫ ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x xdx = − 2 2 1− x2 1 e d (1 − x ) = − e1− x + C → I 30 = − e1− x + C ∫ 2 s inxdx=-d(cosx) d.Sử dụng công thức:  eu du = eu + C  ∫ 16 Ta có: I 31 = ∫ e cosx s inxdx =- ∫ ecosx d (cosx)=-ecosx + C → I 30 = −ecosx + C  dx  x = d (ln x ) = d (ln x ± k ) e Sử dụng công thức   eu du = eu + C ∫ 1 e 2ln x +3 2ln x+3 dx = ∫ e 2lnx+3 d (ln x ) = ∫ e 2lnx+3 d (2 ln x + 3) = e 2lnx+3 + C dx = ∫ e x 2 x 2ln x + e dx = e 2ln x +3 + C Vậy I 32 = ∫ x Ta có : I 32 = ∫ II.5 Kết Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng toán nguyên hàm tích phân Nhưng trăn trở kiên trì: bắt đầu hướng dẫn học sinh cách phân tích toán nguyên hàm tích phân từ hàm số dấu tích phân, công thức vi phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp, sở đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải tập tính nguyên hàm tích phân sách giáo khoa Giải Tích lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng THPT quốc gia năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải nhanh chóng Sáng kiến áp dụng năm học 2014 – 2015, 2015 -2016 Đựơc phân tích kỹ, chi tiết cho đối tượng học sinh qua tiết ôn tập, tự chọn, tăng tiết Kết kiểm tra tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) đối tượng lớp 12A2 (42 học sinh) ; 12A6 (40 học sinh) sau Xếp loại Giỏi Khá Tbình Yếu 12A2 42 52,4% 9,5% 26,2% 11,9% 12A6 40 12,5% 10,0% 17,5% 60,0% So sánh với kết kiểm tra lớp 12B3 (36 học sinh), 12B4 (38 học Lớp Sĩ số sinh), 12B6 (40 học sinh) phụ trách năm học 2014 – 2015 sau: Lớp Sĩ số 12B3 12B4 12B5 36 38 40 Giỏi 13,9% 7,9% 12,5% Xếp loại Khá Tbình 16,7% 33,3% 13,2% 15,8% 17,5% 35,0% Yếu 36,1% 63,2% 35,0% 17 Nhận thấy kết số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều số học sinh đạt điểm yếu, giảm rỏ rệt Hy vọng em có nhiều thành công kỳ thi tới Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Phương pháp vận dụng rộng rãi chương trình lớp 12 dạy chương “Nguyên hàm – tích phân ứng dụng” C PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau - Chỉ số công thức vi phân thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến tính nguyên hàm tích phân - Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nguyên hàm tích phân - Thiết kế cách thức dạy học ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành Qua thực tế giảng dạy thân trường THPT Nguyễn Hoàng với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Vấn đề thấy học sinh khá, giỏi hứng thú giáo viên nêu liên kết mà học sinh chưa nghĩ đến Đề xuất – Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sử dụng phương pháp vi phân giải toán nguyên hàm 18 tích phân Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi phương pháp thường gặp giải toán để em tránh sai lầm đáng tiếc làm tập Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập Xác nhận nhà trường Hà Trung, ngày 18 tháng năm 2016 Người viết CAM KẾT KHÔNG COP PY 19 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuẩn kiến thức kỹ toán 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 Nâng cao (Nhà xuất giáo dục) Phương pháp giải toán Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) Phương pháp giải toán Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán (Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) Sai lầm phổ biến giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB Giáo dục) 10 Tạp chí Toán học tuổi trẻ 20 BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Số 1) ∫( x 1.I = )  x 4.I = ∫  − x + ÷÷dx x   x 7.I = ∫ ( ) dx x −1 x   13 I13 = ∫  x − ÷ dx x  16 I16 = ∫ ( x − x ) (   5.I = ∫  x + ÷dx x  x4 + I = ∫ dx x ∫ ( 2x 11.I 11 = ) − dx 9.I = x2 − x x − x dx ∫ x ) x π x π x +1 x )dx 23 I 23 = ∫ cos dx 22 I 22 = ∫ (sin(3x + ) − sin 2 dx dx 25 I 25 = ∫ 26 I 26 = ∫ cos (2 x − 1) cos x 28 I 28 = ∫ tan xdx ∫ (x 20 I 20 = ∫ (sin x + sin )dx +4 ) 15 I15 = ∫ ( x − 3x x ) dx x +1 18 I18 = ∫ x − dx ( ) x x 24 I 24 = ∫ sin dx 21 I 21 = ∫ sin( − x )dx 27 I 27 = ∫ (tan x + x)dx dx 30 I 30 = ∫ sin (2 x + 3) 29 I 29 = ∫ cos xdx dx  2  32 I 32 = ∫  x + + cot x ÷dx x − cos6x    x+2  dx 34 I 34 = ∫  sin x − 35 I 35 = ∫ ÷dx − 5x  x −3  2x2 − x + 3x3 + x + x + dx dx 37 I 37 = ∫ 38 I 38 = ∫ x −1 x+2 −2 x + 3 x −1 40 I 40 = ∫ e dx 41 I 41 = ∫ cos(1-x)+e dx 31 I 31 = ∫ x − x + x dx dx x2   12 I 12 = ∫  − ÷ dx x  x   14 I14 = ∫  x − ÷ dx x  dx x − x dx 17 I17 = ∫ ( x − 3) 19 I19 = ∫ sin( − )dx ) I = 8.I = 3x + x3 − x + dx x2 10.I 10 = ∫ ∫(   2.I = ∫  − 3 x5 ÷dx x  + x dx  33 I 33 = ∫  x +  ÷dx 3x +   2x −1 dx 36 I 36 = ∫ 4x + x3 + x − dx 39 I 39 = ∫ 2x +1 42 I 42 = ∫ x.e− x +1dx Bài tập tự luyện( Số 2) I1 = ∫ x dx + x2 I = ∫ cosx sin dx x dx x +5 ln x I10 = ∫ dx x I = ∫ 2 10 I = ∫ x(1 + x ) dx I = ∫ s inx dx cos3 x I8 = ∫ I = ∫ cos x dx x I = ∫ s inx cosxdx dx 2x − 11 I11 = ∫ x.e x +1dx I8 = ∫ − xdx 10 12 I12 = ∫ sin x cos xdx 21 s inx dx cos5 x 13 I13 = ∫ 14 I12 = ∫ cot xdx tanx dx 16 cos x 15 I15 = ∫ x e t anx dx cos x dx 19 I19 = ∫ (3 − x)5 17 I17 = ∫ I 22 = ∫ x − x dx 23 I 23 = ∫ cosx + 4sin xdx 24 I 24 = ∫ x x + 1dx 25 I 25 = ∫ e 26 I 26 = ∫ x.e x + dx 27 I 27 = ∫ I16 = ∫ cosx e x 20 I 20 = ∫ x 18 I18 = ∫ x x + 1dx dx 21 I 21 = ∫ x + 5dx sin xdx 29 I 29 = ∫ ( e I 28 = ∫ x.e1− x dx sinx ) + cosx cosxdx x dx x3 +1 22 s inxdx 28 + 3cos x ln x +1 e dx 30 I 30 = ∫ x Bài tập tự luyện ( Số 3) π π 2 I = ∫ I = ∫ sin15 x cos xdx ( + 3cos x ) π I = ∫ ( + sin x ) sin2xdx π 10 I= ∫ π /2 13 I = ∫ 0 π /2 ∫ 19 I = ∫e dx 17.I = ln ∫ 23 I = ∫ x − x dx + x dx π /3 ∫ 25 I = π /4 28 I = ∫ −1 cos5 xdx tgx cos x + cos x 2dx x+5 +4 dx  x −1  26 I = ∫   dx x+2 −1 29 I = ∫ x4 x5 + 1 + ln x ln x dx x ∫ (e 15 I = sin x + cos x) cos x dx π /2 18 I = ∫ sin x sin x sin 3x dx x7 dx 21 I = ∫ + x − x 24 I = ∫ 27 I = dx ln x + ln x dx x π /2 2 12 I = ∫ 9 I = ∫ e π /2 cos x(sin x + cos x) dx 20 I = ∫x dx dx + 2e − x − x 22 I = e2 sin x cos x dx + cos x ln cos x + 4sin x ∫ + cos x cos x + 4sin x 14 I = dx I = ∫ sin 2x.cosx dx sin 2x π /2 π x dx 11 I = ∫ + x − 1 sin x ∫ ( + 3cos x ) sin x + sin x dx + 3cos x π /2 16 I = sin x I = ∫ dx I = ∫ sin 2x2 dx + cos x I = ∫ − 2sin x dx + sin x π π I = ∫ sin 2x + sinx dx + 3cos x π /4 π sin x 30 I = ∫ x5 + 2x3 x2 +1 dx dx ∫0 + e x 28 ∫ 1+ x dx x xdx 2+ x + 2− x 22 ... chương nguyên hàm tích phân, đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân. .. toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết cao trình học tập môn Toán nói chung Nên chọn đề tài Rèn luyện kỹ tính nguyên hàm tích phân phương pháp vi phân. ” Phạm vi nghiên cứu Mối quan hệ Nguyên. .. tài Rèn luyện kỹ tính nguyên hàm tích phân phương pháp vi phân giúp học sinh không bị lúng túng trước toán tìm nguyên hàm tích phân chương trình Các giải pháp thực I.1 Hệ thống tập, giải pháp