Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp vi phân

Lý do chọn đề tài: Phép tính vi phân, tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng vàcủa Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm củaGiải tích mà

MỤC LỤC

Trang

A Phần mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Phạm vi nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Mục tiêu nghiên cứu 2

B Phần nội dung 2

1 Cơ sở lý luận của SKKN 2

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng SKKN 2 3 Các giải pháp đã sử dụng đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 3 4 Nội dung cụ thể 4

C Kết luận và kiến nghị 18

1 Kết luận 18

2 Đề xuất và kiến nghị 19

Tài liệu tham khảo 20

A PHẦN MỞ ĐẦU.

1 Lý do chọn đề tài:

Phép tính vi phân, tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng vàcủa Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm củaGiải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết

về hàm số Ngoài ra, phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các ngànhkhoa học khác như Vật lý, Thiên văn học, Nó như là một giải pháp hữu hiệu củacác mô hình toán học cụ thể Học sinh lớp 12 khi ôn thi THPT Quốc gia thường gặpkhó khăn khi giải các bài tập chương Nguyên hàm và tích phân Những người mớihọc và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháptiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụthể

Trong thực tế, khi học đến chương nguyên hàm và tích phân, đa số học sinhtính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cầntính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số,phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm củahàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân haykhông? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Vì thếtrong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giảisai Việc nhận ra mối liên hệ giữa "đạo hàm, vi phân, nguyên hàm" là cơ sở quantrọng của việc tính tích phân Quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải toántích phân ở trường THPT Nguyễn Hoàng, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp họcsinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân

có trong sách giáo khoa, các bài toán tích phân trong đề thi đại học?”

Qua giảng dạy tôi rút ra kinh nghiệm:

Thứ nhất: Để giải toán tích phân tốt học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” từđơn giản đến phức tạp

Thứ hai: Học sinh phải nắm được bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp và cáctính chất của nguyên hàm

Thứ ba: Học sinh phải nắm được các tích phân “cơ bản” và các cách tính các tíchphân này

Thứ tư: Học sinh phải biết mỗi tích phân “cơ bản” có những cách tính nào phổ biếnnhất, mối cách tính đó có thuận lợi, khó khăn gì? Từ đó học sinh tự chọn cách giảiphù hợp nhất cho bài toán đang giải.

Với hy vọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ

đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toánnguyên hàm – tích phân nói riêng, cũng như đạt kết quả cao trong quá trình học tập

môn Toán nói chung Nên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và

tích phân bằng phương pháp vi phân.”

2 Phạm vi nghiên cứu.

Mối quan hệ giữa Nguyên hàm, tích phân và vi phân, một số dạng toán vềnguyên hàm, tích phân– Giải tích 12

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12A2 và 12A6 – Trường THPT Nguyễn Hoàng

4 Mục tiêu nghiên cứu.

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt đượckết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trìnhhọc tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưunhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trìnhquy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bàitoán Nguyên hàm và Tích phân Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiếnthức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

B PHẦN NỘI DUNG

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng SKKN.

Do đặc điểm học sinh lớp 12 phải tham dự kỳ thi Trung học phổ thông quốc giavới mục đích xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng và tốt nghiệp THPT nên phần lớn họcsinh có ý thức trong học tập và mong muốn trang bị những kiến thức cần thiết chocác em tự tin bước vào các kỳ thi Nhằm giúp các em giải tốt các dạng bài tập vềNguyên hàm và tích phân trong chương trình lớp 12

Qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng trước mộtbài toán tích phân, không định được hướng giải quyết phải thử nhiều cách giải, côngthức thì nhiều có thể nhầm lẫn, vì thế tôi đã hệ thống một số công thức cơ bản củaphép tính vi phân yêu cầu học sinh phải nắm vững và từ đó mở rộng một số côngthức khác không cần phải thuộc công thức và đưa một số dạng tích phân cơ bản TrườngTHPT Nguyễn Hoàng có học sinh điểm tuyển đầu vào khá thấp so với cáctrường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm

còn chiếm tỉ lệ trên dưới 8% Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và

tích phân bằng phương pháp vi phân” sẽ giúp học sinh không bị lúng túng trước

một bài toán tìm nguyên hàm và tích phân trong chương trình

cơ sở tự giác và được tạo khả năng và điều kiện chủ động trong học tập Tác giả Nguyễn Bá Kim đã chỉ rõ bốn yêu cầu:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực, sáng tạo của hoạt động học tập

- Dạy học phải dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thức sẵn có của người học, nhằm khai thác những mặt thuận lợi, hạn chế những mặt khó khăn, nghiên cứu những chướng ngại hoặc những sai lầm có thể có của kiến thức đó trong quá trình học tập của học sinh

- Dạy học không chỉ là nhằm mục đích là dạy nhứng tri thức,kiến thức , kỹ năng bộ môn mà quan trọng hơn cả là dạy việc học, cách học cho học sinh

- Quá trình dạy học bao gồm cả việc dạy học cách tự học thông qua việc để họcsinh tự hoạt động nhằm đáp ứng các nhu cầu của bản thân và của xã hội Nói cáchkhác, tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là quá trình làm cho người học trởthành chủ thể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ

I.2 Hệ thống các biện pháp mang tính khả thi, phù hợp với điều kiện thực tiễn

của nhà trường THPT.

Tính khả thi là yếu tố quan trọng nhằm đáp ứng với điều kiện thực tiễn và yêucầu của dạy học

I.3 Hệ thống các biện pháp phải phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh

tức là phải đảm bảo tính vừa sức của học sinh.

“Sức” của học sinh, tức là trình độ năng lực của học sinh, nó không phải là cái bấtbiến mà thay đổi trong quá trình học tập Việc dạy cho học sinh một mặt phải đảm bảotính vừa sức để có thể chiếm lĩnh được tri thức, kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lạiđòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để phát triển năng lực học sinh Vì vậy, tínhvừa sức ở những thời điểm khác nhau có nghĩa là sự không ngừng nâng cao yêu cầuhọc tập

I.4 Trong quá trình thực hiện các biện pháp cần đảm bảo sự thống nhất giữa vai

trò chủ đạo của thầy với tính tự giác của trò.

Trong quá trình dạy học, thầy và trò cùng hoạt động, nhưng các hoạt động này

có chức năng khác nhau Hoạt động của thầy là thiết kế, điều khiển Hoạt động của trò là học tập tự giác và tích cực Vì vậy, đảm bảo sự thống nhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò chính là sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học tập của trò

II NỘI DUNG CỤ THỂ.

II.1 Nhắc lại khái niệm vi phân của hàm số.

Vi phân của hàm số y = f (x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức :

dy = df(x) = y 'dx = f '(x)dx

Ví dụ:

a d(x2- 2x + 2) = (x2- 2x + 2)'dx = (2x-2)dx

b d(sinx +2cosx) = ( sinx +2cosx)'dx + ( cos -2sinx)dx

☺Chú ý : Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau:

d(3x)

b ax d

+

+ ) (

) (

2 ax b

b ax d

) (

2 ax b

b ax d

II.2 Khái niệm về nguyên hàm và tích phân.

+ Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b).Hàm F(x) được gọi là

nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu F(x) = f(x) và được viết là

∫ f ( dx x) Từ đó ta có : ∫ f ( dx x) = F(x)

Nhận xét :

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)' = F'(x) nên ta viết

∫ f ( dx x) = F(x) + C khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số F(x).Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho + Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ ]a b; nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì:

f(x)dx F(x) |b F(b) F(a)

a b

Định nghĩa trên không phụ thuộc vào kí hiệu biến số dưới dấu tích phân

II.3 Các công thức tìm nguyên hàm.

● Công thức 1: ∫dx=x+C

☻Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u(x) ,ta được ∫du =u+C

2

u

du C

x x

dx x

dx

+

=

↔ +

=

2 2

Ví dụ:

a I =∫x2dx= x33 +C

b I =∫ (x4 + x)dx=∫x4dx+∫ xdx= x5 +x2 +C

5 2

2

x x dx x xdx dx

13

1 2 3

1

2 2

x

C x

I x

x d x

+ +

−

= + +

−

=

→

 +

1 2 (

) 1 2 ( 2

1 ) 1 2

(

2 2 2

3 3

+ +

+ Với hàm số hợp u = u(x) Ta được ∫sinudu= −cosu+C

+ Với hàm số hợp u = u(x),ta được ∫cosudu= sinu C+

+ I = cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C1 cos2xdx= sin 21

+ Mở rộng với hàm số hợp u = u(x),ta được 2 cot

x d

+ Mở rộng vói hàm số hợp u = u(x),Ta được ∫e du e u = +u C

+ ax+b 1 ax+b 1 ax+b

3 sinxdx = - d( cosx) = - d ( cosx±a) = d ( a-cosx)

4 cosxdx = d( sinx) = d ( sinx±a) = - d ( a-sinx)

1 ( cos

sin

x d dx x

+

) (

2

a x

x

+

= +

+

) (

2

x a

)]

[ln(

a x

1 1

(

x x d dx

1 1

2

1 1

( ) 2

1

n

a u

(3 2 )

x dx

dx I

c

I =∫ dx c.I12 =∫ cosx s nxdxi

Hướng dẫn giải:

2010 2010

cos (1 sin )

b.Ta có: 14 sinx5 ( osx)5 ( osx)-4 14

π π

Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a.I16 =∫t anxdx b.I17 =∫ sin 4 os4xdxxc c 18

sinxdx 1+3cosx

Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức :

sinxdx=-d(cosx) du

π

Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức 2

(t anx) os

u udu=

2

dx d

(t anx) os

1

1 tan cos

dx d

x x

x

=∫ c 27

c otx cos(x+ )

2

dx

x u

b.Sử dụng các công thức: \1

sinxdx=-d(cosx)

1

n n

Ta có: 26 t anx3 sinxdx4 ( osx)4 ( os )2 3 26 13

C u

sở tôi đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đến lời giải đúng.

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải bài tập tínhnguyên hàm và tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích lớp 12 và một số bài trongcác đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và THPT quốc gia các năm trước thì các

em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải nhanh chóng

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2014 – 2015, 2015 -2016 Đựơc phântích kỹ, chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tự chọn, tăng tiết Kếtquả bài kiểm tra 1 tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) trên các đốitượng lớp 12A2 (42 học sinh) ; 12A6 (40 học sinh) như sau

Nhận thấy kết quả số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều và số học sinh đạtđiểm yếu, kém giảm đi rỏ rệt Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công hơn trong các

kỳ thi sắp tới

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt

là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chấtcủa vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thểhiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Phương pháp trên

có thể vận dụng rộng rãi trong chương trình lớp 12 khi dạy chương “Nguyên hàm –tích phân và ứng dụng”

C PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

1 Kết luận.

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây

- Chỉ ra một số công thức cơ bản của vi phân thường gặp của học sinh trongquá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính nguyên hàm và tích phân

- Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết cácvấn đề liên quan đến nguyên hàm và tích phân

- Thiết kế cách thức dạy học các ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực

- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu quả củanhững biện pháp sư phạm được đề xuất

Như vậy có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm

vụ nghiên cứu đã được hoàn thành

Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường THPT Nguyễn Hoàng với nộidung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bàitoán Tích phân nói riêng và Toán học nói chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏirất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những liên kết mà học sinh chưa hềnghĩ đến

2 Đề xuất – Kiến nghị.

Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có sáchtham khảo nào viết về sử dụng phương pháp vi phân khi giải toán nguyên hàm và

tích phân Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách thamkhảo loại này để học sinh được tìm tòi về những phương pháp thường gặp khi giảitoán để các em có thể tránh được những sai lầm đáng tiếc trong khi làm bài tập.

Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.

Xác nhận của nhà trường Hà Trung, ngày 18 tháng 4 năm 2016

Người viết CAM KẾT KHÔNG COP PY

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12

7 Phương pháp giải toán Tích phân

(Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)

8 Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán

(Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)

9 Sai lầm phổ biến khi giải toán

(Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB Giáo dục)

10 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

x x

= +

2

5 0

∫

4 2( )5

2 0

1

ln ln 3 1

+

/ 2 0

sin 2 cos

1 cos

dx x

π

+

/ 2 sin 0

ln e x 2e x 3

dx

18 I =

/ 2 0

sin sin 2 sin 3x x x dx

1

2

dx x

x x

−

2 1

2

2

1

dx x