SKKN Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ

Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ A - MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Mơn Tốn trường trung học phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc trở thành công cụ để học tốt môn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết cịn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo thẩm mĩ Thực tế trường THPT Chu Văn An chúng tơi nay, chất lượng vào đầu cấp cịn thấp so với mặt chung thành phố, đặc biệt đa số em xuất thân từ gia đình kinh tế khó khăn, có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ lớp lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa nặng phần lớn học sinh nên việc truyền tải phát triển khả nhận thức, tư cho phù hợp với đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại Đặc biệt, học sinh khối 12 học tích phân vất vả để tiếp thu áp dụng Vì để nhiều giúp học sinh học tốt phần chương trình này, chọn đề tài “rèn luyện kỹ giải tập nguyên hàm, tích phân” II Mục đích nghiên cứu: Tạo hứng thú học tập, tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Chu Văn An Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ dạng toán thường gặp liên quan đến nguyên hàm tích phân Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh chất lượng giảng dạy tiết học III Cấu trúc đề tài: A – MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Cấu trúc đề tài B - NỘI DUNG 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ Cơ sở lí luận Thực trạng đề tài Giải vấn đề Định nghĩa nguyên hàm tích phân Một số tính chất nguyên hàm tích phân Các dạng tập Một số tập tham khảo C - KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo B - NỘI DUNG I Cơ sở lí luận: Trong q trình giảng dạy, giáo viên cần trọng phát huy động học tập giúp học sinh thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội kiến thức Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có em thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Dù khả nữa, học sinh cần thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển phải có tri thức, phải ln học hỏi Riêng mơn giải tích 12, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh học nguyên hàm, tích phân em thường có tâm lí “sợ” giải tập nguyên hàm tích phân đặc biệt em học trung bình trở xuống, lí em không hệ thống dạng tập, em ‘sợ’ tập chương Thế nên giáo viên cần rõ, đưa ví dụ cụ thể hướng dẫn cho học sinh Ngoài việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đối tượng học sinh để em yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, cịn số em khơng thấy chán nản, vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ II Thực trạng đề tài: - Học sinh lúng túng giải tập nguyên hàm, tích phân - Kiến thức hệ thống tập nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư lơgíc cịn hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Đa số học sinh có tâm lí sợ học tích phân Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích Thực khó khơng học sinh mà cịn khó giáo viên việc truyền tải kiến thức Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc cần thực tiết học biện pháp rèn luyện tích cực, • Trang bị cho học sinh kiến thức ngun hàm, tích phân • Hướng dẫn học sinh ghi nhớ cách phân biệt dạng tập ngun hàm, tích phân • Phân dạng tập, phương pháp bước thực chung • Khai thác triệt để tập sách giáo khoa, sách tập cho đối tượng trung bình, yếu số tập đòi hỏi tư cao dành cho đối tượng giỏi III Giải vấn đề: TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa: Nguyên hàm: Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định K hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x)=f(x) với x thuộc K Kí hiệu: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C (C số) Nhận xét: bắt đầu học nguyên hàm em học sinh thường hay lúng túng hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm em nên nhớ : “ để tính ∫ f ( x)dx ta cần tìm hàm số cho đạo hàm f(x)” 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ tìm ngun hàm hàm phân thức hữu tỷ Tính chất nguyên hàm : ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ f (t )dt = F (t ) + c ⇒ ∫ f [u ( x)]u '( x)dx = F[u ( x)] + C phương pháp tính nguyên hàm Việc tính nguyên hàm hàm số không đơn giản chút Do mà đưa phương pháp có tính đườn lối Nó dẫn dắt từ đạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm Đó phương pháp sử dụng nguyên hàm bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phân phần I TÍNH NGUN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT Bảng cơng thức tính đạo hàm ngun hàm số hàm thường gặp STT Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm ∫ dx = x + C Y=x y' = Y = xα y' = α x α −1 Y = sin x y' = cosx ∫ cos xdx = sinx + C Y = cosx y' = sinx ∫ sin xdx = − cosx + C Y = tgx y' = Y = cotgx y' = − Y = lnx y' = α ∫ x dx = π , ∀x ≠ + kπ cos x , ∀x ≠ kπ sin x , ∀x ∈ R * + x x α +1 + C ( α ≠ −1) α +1 dx ∫ cos x = tgx + C dx ∫ sin x = − cot gx + C ∫ dx = ln x + C x ( x ≠ 0) 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ Y = logax y' = , x ln a ∫ x ln a dx = log a x + C ∀x ∈ R * ,0 < a ≠ + Y = ex 10 x ∫e y' = ex x Y=a x dx = e x + C ax ∫ a dx = ln a + C ( < a ≠ 1) x y' = a lna ( < a ≠ 1) II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : ' 1) DẠNG 1:Tính I = ∫ f[u(x)].u (x)dx cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: ∫ f [ u ( x)] u '( x)dx = ∫ f (t )dt 2) DAÏNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx cách đặt x = ϕ(t) Công thức đổi biến số dạng 2: I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ φ (t ) ] φ '(t )dt III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: ∫ u( x).v '( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u '( x)dx Công thức tích phân phần: Hay: ∫ udv = u.v − ∫ vdu Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau : Lựa chọn phép đặt v’ cho v xác định cách dễ dàng Tích phân ∫ vu ' dx xác định cách dễ dàng so với I nguyên hàm tích phân hàm hửu tỉ Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ có dạng: Hướng dẫn: Cần lưu ý hai điểm sau: 1/ Dùng công thức ∫ A ∫ ax + b dx A A dx = ln | ax + b | +C ax + b a 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ Ví dụ minh họa ∫ x dx = 5ln | x | +C ∫ x dx = ln | x | +C ∫ x − dx = ln | x − | +C ∫ x − dx = ln | x − | +C 5 7 6 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I= ∫ dx ax + bx + c Hướng dẫn: Tính ∆ hay ∆ ’của mẩu tùy theo dấu ∆ hay ∆ ’ để áp dụng công thức sau: 1) ∆ >0 hay ∆ ’>0 (có nghiệm x1,x2) I= x − x1 ln +C a ( x1 − x2 ) x − x2 −2 2) ∆ =0 hay ∆ ’=0: I= (ax + bx + c) ' + C (ax + bx + c) ' (ax + bx + c) ' arctan + C hay I= arctan +C 3) ∆ 0 suy 2x2-5x-3 có nghiệm phân biệt x1=3,x2=- x − x1 x−3 2( x − 3) ln +C = ln + C = ln +C 1 a ( x1 − x2 ) x − x2 2x +1 2(3 + ) x + 2 dx I= ∫ x − 24 x + 36 Ta thấy 4x2-24x+36 có ∆ ’=0 −2 −2 −1 +C = +C Vậy I= (4 x − 24 x + 36) ' + C = x − 24 x − 12 dx I= ∫ 5x − x + Vậy I= 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ Ta thấy 5x2-2x+2 có ∆ ’=-9