SKKN rèn luyện kỹ năng tìm số hạng tổng quát của dãy số cho các em học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO CÁC EM HỌC SINH THPT Người thực hiện: Nguyễn Hữu Tới Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ, NĂM 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên nhiệm vụ quan trọng nhà trường nói chung trường THPT nói riêng Trường THPT Như Thanh thường xuyên phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng, … Mơn tốn có nhiều đơn vị kiến thức quan trọng mà em học sinh cần trang bị chắn để vượt qua kỳ thi THPT quốc gia thi HSG cấp tỉnh Trong tốn dãy số đơn vị kiến thức nói Từ lý từ thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi đại học với kinh nghiệm q trình giảng dạy Tơi tổng hợp, đúc rút thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện kỷ tìm số hạng tổng quát dãy số cho em học sinh THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hình thành hệ thống tốn tìm số hạng tổng qt dãy số, từ tổng hợp kỹ cho em học sinh việc giải toán dãy số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tốn tìm số hạng tổng quát dãy số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tự đọc tài liệu nghiên cứu Tổng hợp, thống kê, phân loại 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sang kiến kinh nghiệm: Có nhiều cách định nghĩa khác kỹ Tuy nhiên hầu hết thừa nhận kỹ hình thành áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ học trình lặp lặp lại một nhóm hành động định Trong hoạt động dạy học mơn tốn nói riêng kỹ thể qua phương pháp dạy - học, kỹ trình bày, kỹ thuyết trình Trong mơn tốn ngồi kỹ chung dạy học thể qua yếu tố đặc thù môn chẳng hạn: kỹ giải tốn, kỹ tính tốn, kỹ giải phương trình, bất phương trình … 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm : Khuyến khích học sinh vận dụng kiến thức từ thực tiễn học tập Làm cho kiến thức toán học thêm phong phú, đa dạng, tăng thêm đam mê, hứng thú sinh động học sinh, nhằm phát triển, lực phẩm chất học sinh Khuyến khích tìm tòi, sáng tạo giáo viên học sinh đổi phương pháp giảng dạy, học tập góp phần nâng cao kết dạy học Qua đó, kiến thức học sinh thu nhận sâu sắc Học sinh thấy chủ đề “ Dãy số ” có vai trò quan trọng việc giáo dục kĩ giải toán, giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi THPT kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề : Giáo viên đưa hệ thống tốn tìm số hạng tổng quát dãy số phù hợp giúp học sinh tư định hướng dẫn đến giải tốn cách phù hợp Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức dãy số từ tự suy biểu thức thường gặp Sau giáo viên chọn số tốn điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số tập tìm số hạng tổng quát dãy số 2.3.1 kiến thức liên quan * Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N * gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N* → R n a u ( n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , , un , , Trong un = u (n) viết tắt (un ) , u1 gọi số hạng đầu, un gọi số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số * Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1, 2,3, , m} , m ∈ N * gọi dãy số hữu hạn * Cách cho dãy số +) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát; +) Dãy số cho công thức mô tả; +) Dãy số cho phương pháp truy hồi * Định nghĩa 2: Dãy số (un ) gọi dãy tăng ta có un +1 > un , ∀n ∈ N * Dãy số (un ) gọi dãy giảm ta có un +1 < un , ∀n ∈ N * Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M , ∀n ∈ N * Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ M , ∀n ∈ N * Dãy số (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho un ≤ M , ∀n ∈ N * *Cấp số cộng +) Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số(hữu hạn hặc vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng +) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát xác định sau: un = u1 + ( n − 1)d +) Tính chất: Trong cấp số cộng, trừ số hạng đứng đầu số hạng đứng cuối, số hạng đứng trung bình cộng hai số hạng liền kề un = un −1 + un+1 +) Tổng n số hạng đầu cấp số cộng Gọi Sn tổng n số hạng đầu cấp số cộng , sn = u1 + u2 + + un , ta có Sn = * Cấp số nhân n n (u1 + un ) = [ 2u1 + (n − 1)d ] 2 +) Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số(hữu hạn hặc vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân +) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát xác định sau: un = u1.q n −1 +) Tính chất: Trong cấp số nhân, trừ số hạng đứng đầu số hạng đứng cuối, trị tuyệt số hạng đứng trung bình nhân hai số hạng liền kề un = un −1un +) Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Gọi Sn tổng n số hạng đầu cấp số nhân , sn = u1 + u2 + + un , ta có S n = u1 qn −1 q −1 2.3.2 Một số tốn tìm số hạng tổng quát dãy số 2.3.2.1 Dự đoán số hạng tổng quát chứng minh quy nạp Bài tốn Tìm số hạng tổng qt dãy số, biết u1 =  un , ∀n = 1, 2,3,  un +1 = + u n  Ta tìm số số hạng đầu : u1 = 1; u2 = ; u3 = ; n Ta dự đoán un = , ∀n ≥ (1) Sử dụng phương pháp quyu nạp, ta chứng minh công thức (1) +) Với n=1, công thức (1) k +) Giả sử công thức (1) đến n = k , (k ≥ 1) , nghĩa ta có uk = +) Ta cần chứng minh (1) đến n = k + 1, (k ≥ 1) , nghĩa cần chứng minh uk +1 = Thật k +1 uk +1 = ⇔ u 1 ⇔ k = k + 1 + uk k + 1 k +1 k = 1 ⇔ = k +1 k +1 k +1 n Đẳng thức hiển nhiên đúng, un = , ∀n ≥ Bài tốn 2.Tìm số hạng tổng quát dãy số, biết  u1 = , ∀n = 1, 2,3,  u = 2u − u n  n +1 Ta tìm số số hạng đầu : u1 = ; u2 = Ta dự đoán un = 3 ; u3 = ; u5 = ; 2 , ∀n ≥ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh un = , ∀n ≥ Bài tốn 3.Tìm số hạng tổng qt dãy số, biết u1 = , ∀n = 1, 2,3,  un +1 = + un π Ta tìm số số hạng đầu : u1 = = cos ; u2 = + = cos Ta dự đoán un = cos π π , ∀n ≥ 2n +1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh un = cos π , ∀n ≥ 2n +1 Bài tốn 4.Tìm số hạng tổng qt dãy số, biết  u1 = , ∀n = 1, 2,3,  u = 2u − n  n +1 Ta dự đoán chứng minh un = tan nπ , ∀n ≥ 12 2.3.2 Áp dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số Đưa dãy số công thức cấp số cộng cấp số nhân, tìm số hạng tổng quát Bài toán1 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 = , ∀n = 2,3,  un = un −1 − Ta có un = un−1 − cấp số cộng có u1 = 1; d = −2 Vậy số hạng tổng quát un = − 2n Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 = −2 , ∀n = 2,3,  un = 3un −1 − Ta có un − = 3un −1 − 2  v1 = − , ∀n = 2,3, Đặt un − = , ta thu cấp số nhân  vn = 3vn −1 Suy số hạng tổng quát cấp số nhân (vn ) = − 3n −1 Theo cách đặt ta có un = − 3n −1 + Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 = , ∀n = 2,3,  un = 2un −1 + 3n − v1 = , ∀n = 2,3, vn = 2vn −1 Đặt un + 3n − = ,ta thu cấp số nhân  Suy số hạng tổng quát cấp số nhân (vn ) = 5.3n −1 Theo cách đặt ta có un = 5.3n −1 − 2n +1 u1 = α , ∀n = 2,3, un = aun −1 + b Tổng quát: Tìm số hạng tổng quát dãy số biết  Ta thu un = u1 + (n − 1)b a = ; un = u1.a n −1 + b a n −1 − a ≠ a −1 Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 = , ∀n = 2,3,  n un = 3un −1 + Ta có un + 2n +1 = 3(un −1 + 2n ) v1 = , ∀n = 2,3, v = v n n −  Đặt = un + 2n +1 ,ta thu cấp số nhân  Suy số hạng tổng quát cấp số nhân (vn ) = 5.3n −1 Theo cách đặt ta có un = 5.3n −1 − 2n +1 Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 = , ∀n = 2,3,  n un = 2un −1 + − n Ta có un − 3n +1 − n − = 2(un −1 − 3n − (n − 1) − 2) v1 = −11 , ∀n = 2,3, vn = 2vn −1 Đặt = un − 3n +1 − n − ,ta thu cấp số nhân  Suy số hạng tổng quát cấp số nhân (vn ) = −11.2n −1 Theo cách đặt ta có un = 3n +1 + n + − 11.2n −1 Trên ta xết dãy số cho dạng hàm đa thức, số dãy cho dạng hàm phân thức ta áp dụng ta biết cách đặt phù hợp Bài Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 =  2un −1 , ∀n = 2,3,  u = n  3un −1 +  3 Ta phân tích u = + u ⇔ u + = 2( u + ) n n −1 n n −1 Đặt u + = vv ,ta thu cấp số nhân n  v1 = , ∀n = 2,3,  vn = 2vn −1 Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 =  −9un −1 − 24 , ∀n = 2,3,  un = 5u + 13 n −1  Ta đặt un −1 = xn −1 + t thay vào công thức ta xn + t = −9( xn −1 + t ) − 24 −9 xn −1 − 9t − 24 ⇔ xn = 5( xn −1 + t ) + 13 xn −1 + 5t + 13 ⇔ xn = xn −1 (−5t − 9) − 5t − 22t − 24 xn −1 + 5t + 13 Ta chọn t cho 5t + 22t + 24 =  x1 =  x1 =   Ta chọn t = −2 , thu  x = xn −1 ⇔  = +  n 5x + x n −1  n xn −1  2.3.2.3 Xác định số hạng tổng quát dãy số phương pháp sử dụng phương trình đặc trưng Dãy số (u n ) cho theo công thức truy hồi biết u u1 ; un = a.un −1 + b.un −2 Ta xết phương trình đặc trưng : x − a.x − b = (1) Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 Khi số hạng tổng quát dãy số un = α x1n + β x2 n , kết hợp với giả thiết biết u u1 ta tìm α , β Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u0 = −1; u1 = , ∀n = 2,3,  un = 5un −1 − 6un − x = x = Xét phương trình đặc trưng x − x + = ⇔  Vậy số hạng tổng quát dãy số có dạng un = α 2n + β 3n u0 = −1 α + β = −1 α = −6 ⇔ nên ta có   2α + 3β =  β = u1 = Do  Vậy số hạng tổng quát dãy số un = 5.2n − 6.3n Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u0 = 1; u1 = , ∀n = 1, 2,3,  un +1 = 4un + un −1 x = + Xét phương trình đặc trưng x − x − = ⇔   x = − Số hạng tổng quát dãy số có dạng un = α (2 + 5) n + β (2 − 5) n  α=  α + β =  u0 =   ⇔ Do  nên ta có  (2 + 5)α + (2 − 5) β = u1 = β =  2 Vậy số hạng tổng quát dãy số un = (2 + 5) n + (2 − 5) n Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u0 = 1; u1 = , ∀n = 2,3,  un − 4un −1 + 4un − = Xét phương trình đặc trưng x − x + = ⇔ x = Số hạng tổng quát dãy số có dạng un = (k n + l ).2n −1 u0 = 11 Do  nên ta có u1 = 1 l =  l =1 ⇔ 2  k + l =  k = Vậy số hạng tổng quát dãy số un = (n + 2).2n −1 Chú ý: 1) Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép x = x0 (có nghiệm), số hạng tổng quát dãy số có dạng un = (k n + l ).x n −1 2) Ta dùng phương trình đặc trưng bậc dãy số cho biết liên hệ bậc số hạng Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) cho u1 = 0; u2 = 1; u = , ∀n = 4,5,  un = 7un −1 − 11un − + 5un −3 =  x1,2 = Xét phương trình đặc trưng x − x + 11x − = ⇔   x3 = Số hạng tổng quát dãy số có dạng un = α + β n + γ 5n 13  α = − 16 u1 = α + β + 5γ =     Do u2 = nên ta có α + 2β + 25γ = ⇔  β = u = α + 3β + 125γ =     γ 80  Vậy số hạng tổng quát dãy số un = − 13 5n + n+ 16 80 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với học sinh: ∗ Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 11C1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15 học sinh khác (lớp 11C1 lớp chọn khối A) trường THPT Như Thanh ∗ Chọn tập xây dựng tập khác đề thi thử THPT Quốc Gia năm gần Tiến hành hướng dẫn học sinh giải tập chọn ∗ Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề ‘‘Rèn luyện kỷ tìm số hạng tổng quát dãy số cho em học sinh THPT” Yêu cầu học sinh viết thành đề tài, nạp cho giáo viên (chỉ chọn học sinh giỏi) ∗ Tiến hành kiểm tra đánh giá 45 phút cho lớp nói ∗ Kết kiểm tra: Đối với nhóm học sinh giỏi kết kiểm tra tốt, điểm học sinh đạt từ loại trở lên, lớp khác kết đạt từ loại trung bình trở lên ∗ Đối với chủ đề nghiên cứu lớp học sinh giỏi, em thực tốt Được rèn luyện kỹ giải toán dãy số Đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm em tham dự kì thi cấp tỉnh đạt ba giải Ba, hai giải khuyến khích ∗ Dạng tập phương pháp có hiệu cao với học sinh khá, giỏi 2.4.2 Đối với thân đồng nghiệp: ∗ Đề tài dùng làm tài liệu cho học sinh giáo viên trình dạy học mơn tốn, ơn thi THPT Quốc Gia thi học sinh giỏi ∗ Từ đề tài mở rộng ứng dụng việc giải tốn khó dãy số 2.4.3 Đối với nhà trường: ∗ Đề tài áp dụng hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng giáo dục mơn Tốn, nâng cao kết thi học sinh giỏi, kết thi THPT Quốc gia học sinh trường THPT Như Thanh 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Quá trình nghiên cứu đề tài thu số kết sau: ∗ Trong đề tài nghiên cứu kỹ giải số tập tìm số hạng tổng quát dãy số ∗ Xây dựng hệ thống tập tìm số hạng tổng quát dãy số Nghiên cứu sở lý luận kỹ dạy học nói chung kỹ dạy học mơn tốn nói riêng 3.2 Kiến nghị Sau tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tơi có số đề xuất sau: ∗ Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học để phù hợp với đối tượng, nội dung học Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để tạo sản phẩm hữu ích giúp em có lượng kiến thức kỹ tốt để chuẩn bị cho kỳ thi ∗ Nhà trường, tổ chun mơn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm học sinh theo hướng dẫn giáo viên, từ tạo điều kiện cho giáo viên học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp em có tảng kiến thức thật vững XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Hữu Tới TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Sách giáo khoa đại số & giải tích 11; NXB Giáo dục 2008 [ 2] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ NXB Giáo dục [ 3] Các đề thi đại học mơn tốn từ năm 2002-2017 [ 4] Nguồn internet: http://diendantoanhoc.net http://k2pi.net.vn ... Một số tốn tìm số hạng tổng qt dãy số 2.3.2.1 Dự đoán số hạng tổng quát chứng minh quy nạp Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số, biết u1 =  un , ∀n = 1, 2,3,  un +1 = + u n  Ta tìm số số hạng. .. quát dãy số * Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1, 2,3, , m} , m ∈ N * gọi dãy số hữu hạn * Cách cho dãy số +) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát; +) Dãy số cho công... từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước nhân với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân +) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát