skkn rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: TOÁN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2016 - 2017 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐẶNG THANH HÃN Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 08 – 1976 Nam, nữ: NAM Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: Fax: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0919302101 E-mail: Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp 10C1, 12A2, 12A10; Chủ nhiệm lớp 12A10 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2000 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán - Số năm có kinh nghiệm: 17 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: 02 -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Tên SKKN : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Trong chương trình Toán học THPT, môn hình học không gian nội dung quan trọng hai năm học cuối cấp Trong đó, toán tính khoảng cách nội dung phong phú đem lại nhiều thú vị Có thể nói, “Kỹ tính khoảng cách không gian” đỉnh cao môn hình học không gian , để giải tốt toán tính khoảng cách không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức hình học, phải biết phân tích có tư mức độ cao; biết cách nhận xét mối quan hệ đối tượng: “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” để từ đề xuất cách giải phù hợp - Tuy vậy, chương trình toán THPT môn hình học không gian, em học sinh tiếp cận với tính khoảng cách vài ví dụ đơn giản, thiếu hệ thống tính liên hệ Nhưng thực tế, toán tính khoảng cách xuất nhiều kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng gây không khó khăn cho em học sinh, có số em biết phương pháp để giải trình bày lủng củng chưa rõ ràng, chí mắc số sai lầm không đáng có trình bày Tại lại vậy? Lý là: Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hành, toán tính khoảng cách trình bày cuối chương III (cuối học kỳ II) hạn chế Chỉ có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải thích vắn tắt dễ mắc sai lầm Hơn nữa, số tiết phân phối chương trình cho phần (3 tiết) nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh cách giải có chung mục đích chuyển toán tính “khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng” - Trong năm học qua, phân công giảng dạy lớp 11, 12 qua nhận xét đánh giá, thấy đa số học sinh thiếu tư độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức; khả “quy lạ quen” hay mở rộng kiến thức vào dạng toán cụ thể.Vì vậy, dạy, việc củng cố kiến thức bồi dưỡng lực tư cho học sinh thông qua toán điều cần thiết Khi -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian người thầy phải có phương pháp truyền thụ tốt kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt học sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại tập để học sinh vận dụng có hiệu - Tôi viết chuyên đề với mục đích “Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian”, câu hỏi thường gặp kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng năm gần đây, nhằm giúp em học sinh lớp 12 tự ôn tập để nâng cao kiến thức đạt mức điểm đề thi Đại học - Cao đẳng Mặc dù có nhiều cố gắng chắn tránh thiếu sót, mong góp ý quý thầy cô em học sinh Chúc em học tập thật tốt đạt kết cao kì thi tới; Chúc quý thầy cô hạnh phúc thành công nghiệp trồng người Tôi xin chân thành cảm ơn ! -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận: - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy giáo viên hoạt động học học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông Trong đó, môn Toán môn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em học sinh gặp khó khăn môn học - Muốn học tốt môn Toán em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc “học đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn toán học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Mặt khác, tiến khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật tri thức Trong năm gần đây, ngành giáo dục liên tục có thay đổi nhằm để phù hợp với xu thời đại, điều thể năm học 2016 - 2017 thông qua hình thức thi trắc nghiệm liên môn Đối với hình thức thi này, người học phải nỗ lực không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên tục rèn luyện đạt kết cao Xét ví dụ sau: Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2006) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1C MN Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Ta có MN // BC nên MN // (A1BC) Do d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)) Gọi H = AB1 ∩ A1B K trung điểm BH MK // AH MK = AH Do AB1 ⊥ A1B nên MK ⊥ A1B Do CB ⊥ (BAA1B1) nên CB ⊥ MK ⇒ MK ⊥ (A1BC) 1 a Vậy d(MN, A1C) = d(M, (A1BC)) = MK = AH = AB1 = 4 -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Cách giải 2: Phương pháp toạ độ không gian Xét hệ trục toạ độ Oxyz với : z A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a 0), D(0; a; 0) A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a) D1(0; a; a) B uuur a ⇒ M( ; 0; 0) A1C = (a; a; – a) phương H r2 uuur với u = (1; 1; –1) ; BC = (0; a; 0) phương với r K v = (0; 1; 0) Khi VTPT mặt phẳng (A1BC) r r r n =  u, v  = (1; 0; 1) x B Phương trình tổng quát mặt phẳng (A1BC): x + z – a = Ta có MN // BC nên MN // (A1BC) D A C yD A N M C a Cách giải 3: Áp dụng công thức đổi khoảng cách tính thể tích khối đa diện Ta có MN // BC nên MN // (A1BC) Do d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)) d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)) = Mặt khác AM ∩ (A1BC) =B nên Mà VA1 ABC d ( M, ( A1BC ) ) d ( A, ( A1BC ) ) = MB 1 = ⇒ d ( M, ( A1BC ) ) = d ( A, ( A1BC ) ) AB 2 a3 a2 S ∆A BC = A1 B.BC = = VABCD A1B1C1D1 = 2 6 Vậy d(M, (A1BC)) = 1 3VA ABC a d ( A, ( A1 BC ) ) = = 2 S ∆A1BC Qua ví dụ minh họa ta thấy, học sinh hướng dẫn phân tích cụ thể đồng thời kết hợp với máy tính cầm tay em nhanh chóng cho đáp số xác Điều cần thiết cho thi trắc nghiệm khách quan Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán “Tính khoảng cách không gian” Trong giới hạn SKKN giới thiệu kỹ tính khoảng cách thường hay sử dụng chương trình toán THPT: • Kỹ tính khoảng cách phương pháp hình học tổng hợp, đồng thời kết hợp sử dụng công thức tính thể tích khối đa diện • Kỹ tính khoảng cách phương pháp toạ độ không gian -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Đưa số ví dụ có phân tích lời giải cho học sinh tham khảo tâp áp dụng Đây nội dung thường gặp kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng Đại học Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều đạt kết tốt III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP A TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ KẾT HỢP CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tóm tắt lý thuyết: TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG sinα = AB (ĐỐI chia HUYỀN) BC cosα = AC (KỀ chia HUYỀN) BC AB (ĐỐI chia KỀ) AC AC cotα = (KỀ chia ĐỐI) AB HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG tanα = BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) =>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC AB.AC = BC.AH AH2 = BH.CH 1 = + AH AB2 AC ĐỊNH LÍ CÔSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c = = = 2R sinA sinB sinC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (MN // BC) ĐỊNH LÍ SIN AM AN MN = = ; AB AC BC AM AN = MB NC -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: 1 abc S = ah ; S = ab sin C ; S = ; S = pr (r: bán kính đường tròn nội 4R 2 tiếp tam giác; p = a + b +c ); S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông) 2 Tam giác cạnh a: a2 a ; b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực a) Đường cao: h = Tam giác vuông: a) S = ab (a, b cạnh góc vuông) b) Tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): S= a (2 cạnh góc vuông nhau) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có góc 30o 60o a c) AC = b) BC = 2AB a2 d) S = Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình Thang: S=S= Hình bình hành: h(d1 + d2 ) (h: đường cao; d1, d2 cạnh đáy) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) 10 Hình thoi: d1.d2 (d1, d2 đường chéo) S= 11 Hình vuôngcạnh a: a) S = a2 b) Đường chéo a 12 Đường tròn: a) Chu vi = π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R2 CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian a) Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh độ dài trung tuyến Đường cao: Giao điểm ba đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm ba đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm ba đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác HÌNH HỌC KHÔNG GIAN HìnhChóp: Thông qua việc xác định chiều cao hình chóp, ta tạm phân thành dạng hình chóp (không xét hình chóp cụt) sau: - Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai mặt bên cắt vuông góc với đáy - Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy - Hình chóp có - Hình chóp có thường(chiều cao tùy thuộc vào giả thiết toán) Chú ý: Hình chóp đều: Hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đáy Tính chất: Các cạnh bên tạo với đáy góc nhau; Các mặt bên tam giác cân tạo với đáy góc Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Hình lăng trụ: Thông qua việc xác định chiều cao hình lăng trụ , ta tạm phân thành dạng hình lăng trụ sau: - Hình lăng trụ đứng (chiều cao cạnh bên lăng trụ) - Hình lăng trụ xiên (chiều cao tùy thuộc vào giả thiết toán) Chú ý: Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy hình bình hành⇒Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Chứng minh vuông góc:  Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) Ta thực cách thông dụng sau: + Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (α) -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian + Cách 2: Chứng minh a giao tuyến hai mặt phẳng cắt (β) (γ ) cho (β) (γ ) vuông góc với (α) + Cách 3: Chứng minh a song song với b b vuông góc với (α) + Cách 4: Chứng minh mặt phẳng (β) (α) vuông góc với theo giao tuyến d a nằm (β) vuông góc với d Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với đt b : Ta thực cách thông dụng sau: + Cách 1: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b  + Cách 2: Đường thẳng a song song với đường thẳng c c vuông góc với b  Bài toán có yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng (α) (β) vuông góc với Ta thực cách thông dụng sau: + Cách 1: Tìm mặt phẳng có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng + Cách 2: Chứng minh góc hai mặt phảng 900 thực sau: • B1: Xác định giao tuyến ∆ hai mặt phẳng • B2: Trên ∆ xác định điểm I thuận lợi nhất, từ I kẻ đường thẳng a (α) b (β) cho a b vuông góc với ∆ • B3: Chứng minh a b vuông góc với Khoảng cách: Từ vị trí tương đối ba đối tượng không gian điểm, đường thẳng, mặt phẳng ta có toán tính khoảng cách sau: • Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H ∆ kí hiệu d(M, ∆) = MH (MH ⊥ ∆ H ∈ ∆) • Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H mặt phẳng (α) kí hiệu d(M, (α)) = MH (MH ⊥ (α) H ∈ (α)) Để xác định hình chiếu H điểm M mặt phẳng (α ) : Ta thực : B1: Xác định mặt phẳng (P) qua M vuông góc với (α) theo giao tuyến d B2: Trong mặt phẳng (P) kẻ MH vuông góc với d (H thuộc d) MH ⊥ (α) Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) MH -Trang : 10 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Vậy EF ⊥ (AMN) d(E, (AMN)) = EF = Mà d ( O, ( AMN ) ) d ( E, ( AMN ) ) = a 21 14 OA a 21 = ⇒ d ( O, ( AMN ) ) = 2d ( E, ( AMN ) ) = EA Cách giải 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích 1 a Từ giả thiết ta tìm AM = AN = SB = SD = a; SA = a ; MN = BD = 2 2 Trong tam giác SAO ta có SO = a a 14 ; AI = SO = Diện tích tam giác AMN SAMN = a AI.MN = a3 Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = SA.SABCD = 3 Thể tích khối chóp S.AMN VS.AMN = Do d(S, (AMN)) = 1 a3 VS.ABD = VS.ABCD = 24 3VS.AMN a 21 = S∆AMN Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0),  a a 3 a a 3 D(a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; a ), M  0; ; ÷, N  ;0; ÷ 2    2 Ta có phương trình mặt phẳng (AMN): x + y – z = a a 21 = 7 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = AC = a, Do d(S, (AMN)) = a Gọi I trung điểm SC, hình chiếu vuông góc S (ABC) trung điểm H BC Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB) Giải Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu I lên mặt phẳng SA = (SAB), việc xác định khó phải chọn mặt phẳng qua I vuông góc với mặt phẳng (SAB) Tuy nhiên -Trang : 17 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian ta ý đến giải thiết toán dễ thấy IH // (SAB) thay tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) ta thực tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB) Ta có IH // SB IH ⊄ (SAB) IH // (SAB) Vậy d(I, (SAB)) = d(H, (SAB)) Kẻ HM ⊥ AB (M ∈ AB) AB ⊥ (SHM), mặt phẳng (SAB) ⊥ (SHM) (SAB) ∩ (SHM) = SM Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK ⊥ SM (K∈SM) HK ⊥ (SAB) Khi K hình chiếu vuông góc H lên mặt phẳng (SAB) hay d(H, (SAB)) = HK a a Từ giải thiết ta suy BC = a , BH = AH = BC = , SH = 2 a Tam giác AHB vuông cân H suy HM = a Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích Ta có IH // SB IH ⊄ (SAB) IH // (SAB) Vậy d(I, (SAB)) = d(H, (SAB)) a a Từ giải thiết ta suy BC = a , BH = AH = BC = , SH = 2 Trong tam giác SHM ta tính HK = Do VS.AHB = 1 1 a3 SH S∆AHB = S∆SAB = SM AB = a a = a2 2 24 3VS.AHB a = S∆SAB Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0), Vậy d(H, (SAB)) =  a a a   a 3a a  B(a; 0; 0), C(0; a; 0), S  ; ; ÷, I  ; ; ÷ 2 4     Ta có phương trình mặt phẳng (SAB): y – z = a Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên a , góc cạnh bên mặt đáy 600 Gọi O tâm hình vuông ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB, SC Do d(I, (SAB)) = -Trang : 18 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Giải Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Phân tích: Ta thấy AB SC hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB SC độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB SC không đơn giản, ta thực tính khoảng cách AB mặt phẳng (SCD) song song với chứa đường thẳng SC Khi ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn điểm A Lúc ta cần xác định hình chiếu A lên mặt phẳng (SCD), việc làm gặp phức tạp phải chọn mặt phẳng qua A vuông góc với (SCD) Do ta thực đổi khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) Gọi M trung điểm CD, (SOM) ⊥(SCD) (SOM) ∩ (SCD) = SM Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK ⊥ SM (K ∈ SM) OK ⊥ (SCD) Do d(O, (SCD)) = OK a a , SO = 2 a Hình vuông có độ dài cạnh a nên OM = a Từ tam giác SOM ta tính OK = 14 Từ tam giác vuông SAO ta tính AO = Mặt khác ta có AB // CD AB ⊄ (SCD) AB // (SCD) Vậy d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) d( A , ( SCD) ) AC = =2 Mà AO ∩ (SCD) = C nên d( O, ( SCD ) ) OC a 42 Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích ⇒ d(A, (SCD)) = d(O, (SCD)) = 2OK = Ta có AB // CD AB ⊄ (SCD) AB // (SCD) Vậy d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) -Trang : 19 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Từ tam giác vuông SAO ta tính AO = a a , SO = 2 Từ tam giác vuông SOM ta tính OM = a a , SM = 2 1 a2 a Khi S∆SCD = SM.CD = VS.ACD = SO.S∆ACD = 12 Vậy d(A, (SCD)) = 3VS.ACD a 42 = S∆SCD Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với O(0; 0; 0), a     a   a a 6  a  ;0;0 ÷, B  0; − ;0 ÷, C  − ;0;0 ÷, S  0;0 ;0 ÷ A ÷, D  0; 2 2           uuur uuu r uuur  AB, SC AC   a 42 uuur uuu r d(AB, CD) = =  AB, SC   Chú ý: Ta thực tính cách khác sau: Khi ta có phương trình mặt phẳng (SCD): 3x – 3y – z + a = a 42 Bài (Đề thi tập trung lần năm học 2015 – 2016, Trường THPT Nguyễn Trãi) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H đoạn AO Biết Do d(A, (SCD)) = a SC = 3a OH = Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) Giải Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Phân tích: Ta cần xác định hình chiếu A lên mặt phẳng (SBD), phải chọn mặt phẳng qua A vuông góc với mặt phẳng (SBD) Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến SO Khi -Trang : 20 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian mặt phẳng (SAO), kẻ AE ⊥ SO ( E ∈ SO) AE ⊥ (SBD) hay d(A, (SBD)) = AE Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a ∆SCH vuông H, nên ta có SH = SC − HC = 3a Tam giác SHO vuông H nên SO = SH + OH = a Ta có AE.SO = SH.AO, suy d(A, (SBD )) = AE = SH AO = 3a 21 SO 14 Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy đáy có độ dài cạnh a Tam giác SHO vuông H nên SO = SH + OH = a 1 a3 SH.S∆ABD = S∆SBD = SO BD = a2 2 3VS.ABD 3a 21 Vậy d(A, (SBD)) = = S∆SBD 14 Ta có VS.ABD = Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với O(0; 0; 0),  a 3a  A(0; –a; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), D(–a; 0; 0), S  0; − ; ÷ 2   Ta có phương trình mặt phẳng (SBD): 3 y + z = 0, d(A, (SBD)) = 3a 21 14 Bài (Đề thi tập trung lần năm học 2013 – 2014, Trường THPT Nguyễn Trãi) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B′ C′ có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a , AA′ = 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABB′ A′ ) Giải Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Phân tích: Ta cần xác định hình chiếu C lên mặt phẳng -Trang : 21 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian (ABB′ A′ ), phải chọn mặt phẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (ABB′ A′ ).Tuy nhiên việc xác định không khó tính khoảng cách từ C đến hình chiếu gặp phức tạp, ta thực đổi tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (ABB′ A′ ) Ta có CH ∩ (ABB′ A′ ) = B Do d( C, ( ABB′A ′ ) ) CB = = ⇒ d( C, ( ABB′A ′ ) ) = 2d( H, ( ABB′A ′ ) ) d( H, ( ABB′A ′ ) ) HB Gọi I trung điểm AB mặt phẳng (A′ HI) vuông góc cắt mặt phẳng (ABB′ A′ ) theo giao tuyến A′ I Trong mặt phẳng (A’HI) , kẻ HK ⊥ A′ I (K ∈ A′ I) HK ⊥ (ABB′ A′ ) hay d(H, (ABB′ A′ )) = HK Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI = a AC = 2 Trong tam giác A′ HA ta có A′ H = a Trong tam giác A′ HI ta có 1 a 15 = + = ⇒ HK = 2 HK A ′H HI 3a 2a 15 Vậy d( C, ( ABB′A ′ ) ) = 2d( H, ( ABB′A ′ ) ) = 2HK = Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích Từ giả thiết ta tính a Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI = AC = 2 Trong tam giác A′ HA ta có A′ H = a a 15 1 1 a3 a2 15 Mà VA ′.ABH = A ′H.S∆ABH = A ′H HI.AB = S∆A′AB = A ′I.AB = 3 4 Trong tam giác A′ HI ta có A′ I = -Trang : 22 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Do d( H, ( ABA ′ ) ) = 3VA′.ABH a 15 = S∆A ′AB 2a 15 Vậy d( C, ( ABB′A ′ ) ) = 2d( H, ( ABB′A ′ ) ) = 2HK = Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0), a a  ; a ÷ B(a; 0; 0), C(0; a ; 0), A′  ; 2  2a 15 Bài Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D ' có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Giải Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Phân tích: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D ' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến Ta có phương trình mặt phẳng (A′ AB): 2y – z = 0, d(C, (ABB′ A′ )) = mặt phẳng ( AB' D' ) Tuy nhiên ta cần chọn điểm cho qua điểm có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( AB ' D' ) , gọi O O′ lẩn lượt tâm hai hình vuông ABCD A 'B'C'D' điểm O điểm thỏa mãn yêu cầu Gọi O O′ lẩn lượt tâm hai hình vuông ABCD A 'B'C'D' Dễ thấy ( AB' D' ) // (C ' BD ) nên d( (AB'D') , (C ' BD) ) = d(O, ( AB' D' ) ) Mặt khác mặt phẳng ( A 'C'CA ) qua O vuông góc cắt mặt phẳng ( AB' D ' ) theo giao tuyến O'A , kẻ OK ⊥ O'A (K∈ O'A ) OK ⊥ ( AB ' D ' ) Vậy d(O, ( AB' D' ) ) = OK a a , suy OK = Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích Phân tích: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) Trong tam giác vuông O'OA ta có O'O = a OA = -Trang : 23 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Khác với cách giải 1, ta chọn điểm C' Ta có C'A′ ∩ ( AB ' D ' ) = O' nên d( C′,(AB'D') ) = d( A′,(AB'D') ) a3 a2 S ∆B′D′A = 3VA′.B′D′A a Vậy d( A′,(AB'D') ) = = S∆B′D′A Mặt khác VA′.B′D′A = Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian Phân tích: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) , ta chọn điểm B Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với C(0; 0; 0), B(a; 0; 0), A(a; a; 0), C′ (0; 0; a) B′ (a; 0; a), D′ (0; a; a) Ta có phương trình mặt phẳng ( AB ' D' ) : x + y + z – 2a = Vậy d( B,(AB'D') ) = a Bài (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – năm 2015) Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ có A′ ABD hình chóp AB = AA′ = a Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.Α ΒΧ∆ khoảng cách hai đường thẳng AB′ A′ C′ ∗ Tính thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ Do A′ ABD hình chóp đều, gọi G trọng tâm tam giác ABD A′ G ⊥ (ABD) hay A′ G chiều cao hình hộp -Trang : 24 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Gọi O giao điểm BD AC AG = a 3 Trong tam giác A′ AG ta có A′G = A′A − AG = a a2 a3 Do SABCD = 2SABD = VABCD.A′B′C′D′ = A′G.SABCD = 2 ∗ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB′ A′ C′ chéo Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Phân tích: Ta thấy AB′ A′ C′ hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB′ A′ C′ độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB′ A′ C′ phức tạp, ta thực tính khoảng cách A′ C′ mặt phẳng (AB′ C) song song với chứa đường thẳng AB′ Khi ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý A ′ C′ đến mặt phẳng (AB′ C), chẳng hạn điểm H Lúc ta cần xác định hình chiếu K H lên mặt phẳng (AB′ C), ta cần chọn mặt phẳng qua H vuông góc với mặt phẳng (AB′ C), ta thực giải sau: Gọi H giao điểm B′ D′ A′ C′ Do A′ C′ // AC nên A′ C′ // (AB′ C) Do d(A′ C′ , AB′ ) = d(A′ C′ , (AB′ C)) = d(H, (AB′ C)) Kẻ HE // A′ G (E ∈ AC) ta có mặt phẳng (B′ HE) vuông góc cắt mặt phẳng (AB′ C) theo giao tuyến B′ E Kẻ HK ⊥ B′ E (K ∈ B′ E) HK ⊥ (AB′ C) hay d(H, (AB′ C)) = HK Trong tam giác B′ HE ta có: 11 1 a 22 = ⇒ HK = = + 2 2 2a HK B′H HE 11 Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích Phân tích: Ta thấy AB′ A′ C′ hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB′ A′ C′ độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB′ A′ C′ phức tạp, ta thực tính khoảng cách A ′ C′ mặt phẳng (AB′ C) song song với chứa đường thẳng AB′ Khi ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý -Trang : 25 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian A′ C′ đến mặt phẳng (AB′ C), chẳng hạn điểm A′ Lúc ta cần xác định hình chiếu A′ lên mặt phẳng (AB′ C), nhiên việc xác định gặp phức tạp ta thực tính khoảng cách từ điểm B sau: Dễ thấy d(A′ , (AB′ C)) = d(B, (AB′ C)) Ta có VB′ ABC = a3 VABCD.A′B′C′D′ = 12 Trong tam giác B′ HE ta có B′E = B′H + HE = a 33 a 11 Khi tam giác AB′ C có diện tích S∆AB′ C = B′E AC = d(B, (AB′ C)) = 3VB′.ABC a 22 = S∆AB′C 11 Cách giải 3: Phương pháp tọa độ không gian: Từ giả thiết toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với O(0; 0; 0), a  a  −5a  −a −a a  a 6 a 6 ;0; ;0; ; ; ;0;0 ÷, A′  A , C′ , B′ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ÷ 3 3         uuuur uuur uuuu r  A ′C′, AB′ AC′   a 22 Ta có d(A′ C′ , AB′ ) = = uuuur uuur  A ′C′, AB′ 11   Chú ý: Ta thực tính cách khác sau: Từ hệ trục tọa độ lập ta có phương trình mặt phẳng (AB′ C): 2 y – 3z = d(A′ C′ , AB′ ) = d(A′ C′ , (AB′ C)) = d(A′ , (AB′ C)) = a 22 11 Kết luận chung: Giải toán tính khoảng cách không gian phương pháp hình học tổng hợp hầu hết qui toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta cần xác định hình chiếu điểm mặt phẳng xem toán giải Tuy nhiên số trường hợp việc tính trực tiếp gặp khó khăn ta thực đổi khoảng cách để việc tính toán đơn giản thuận lợi hơn; Trong trường hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách sử dụng công thức thể tích cần chọn khối đa diện cho dễ tính thể tích mặt phẳng đáy cho dễ tính diện tích -Trang : 26 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Giải toán tính khoảng cách không gian phương pháp tọa độ việc khó khăn tìm tọa độ điểm liên hệ yêu cầu toán Đôi việc kết hợp với hình học tổng hợp giúp ta đến kết nhanh đỡ phức tạp Một tọa độ xác định việc lại áp dụng công thức, ta không cần thời gian phân tích suy luận hình học tổng hợp Tuy vậy, phương pháp có ưu điểm nhược điểm nó, ta không nên nên coi trọng phương pháp mà xem nhẹ phương pháp kia, tập nhấn mạnh ưu điểm nhược điểm Hy vọng chuyên đề giúp em củng cố kiến thức có hứng thú với môn hình học không gian Bài tập tự luyện Bài ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Đáp số: d ( A, ( BCD ) ) = 34 cm 17 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) c) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB, AC a3 Đáp số: a) b) d ( B, ( SCD ) ) = c) d ( SB, AC ) = a a 10 -Trang : 27 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a SA ⊥ (ABCD) SA= 2a , gọi M trung điểm SD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng BD CM Đáp số: a) d ( BD,CM ) = 2a 11 11 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, = 1200 v A ' C = a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng AB’ BD 2a Đáp số: V = a 3; d ( AB′, BD ) = 17 Bài Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) ( ) Đáp số: d B1 , ( A1BD ) = a -Trang : 28 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C, cạnh đáy AB = 2a góc ·ABC = 300 Mặt phẳng ( C ' AB ) tạo với (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AC′ CB′ theo a Đáp số: V = 3 a , d ( AC ′, CB′ ) = a Bài (trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC Đáp số: MN // (SAC) BD ⊥ (SAC) suy BD ⊥ MN a Bài ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ·ABC = BAD · = 900 , AB = BC = a , AD = 2a, SA d ( MN , AC ) = vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Đáp số: Tam giác SCD vuông C a d ( H ,( SCD ) ) = -Trang : 29 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Bài ( trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A, A1 năm 2014 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 3a hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Đáp số: VS ABCD = a3 2a IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Tài liệu phù hợp với đối tượng học sinh, học sinh tích cực, tự giác học tập d ( A,( SBD) ) = - Củng cố nhiều kỹ Phân tích, Tư Tổng hợp Giúp em học sinh tự tin việc học môn Toán - Tránh áp đặt cách giải theo ý giáo viên đưa nhiều chương trình giải mẫu làm tính sáng tạo học sinh - Học sinh tiến qua toán từ phát huy tính ham học em - Thống kê: Năm học ĐTB < 6,5 6,5 ≤ ĐTB < 8,0 8,0 ≤ ĐTB 2015 – 2016 15% 55% 30% 2016 – 2017 5% 35% 60% V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ - Có thể đưa vào chương trình học xem đọc thêm, sở giáo viên học sinh tham khảo rèn luyện - Đối với số học sinh yếu bước đầu nhọc nhằn từ dễ sinh chán nản Phải kiên trì thực bước thành công VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO -Trang : 30 SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Một số tập trích từ đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2015 Văn Như Cương (chủ biên), SGK Hình học 12, Nhà xuất giáo dục năm 2000 Một số đề thi tập trung trường THPT Nguyễn Trãi năm 2013, 2014 Một số toán tác giả tích lũy trình giảng dạy NGƯỜI THỰC HIỆN Đặng Thanh Hãn -Trang : 31 ... : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Tên SKKN : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN. .. phương pháp giải gặp toán Tính khoảng cách không gian Trong giới hạn SKKN giới thiệu kỹ tính khoảng cách thường hay sử dụng chương trình toán THPT: • Kỹ tính khoảng cách phương pháp hình học... -Trang : SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ tính khoảng cách không gian Cách giải 2: Phương pháp toạ độ không gian Xét hệ trục