Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ TÌM CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN QUAN HỆ VNG GĨC CỦA BA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Người thực hiện: Phan Anh Thắng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .Error: Reference source not found MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nhân loại bước vào kỷ XXI, kỷ tri thức, kỹ ngừời xem yếu tố định phát triển xã hội Trong xã hội tương lai, giáo dục phải đào tạo người có trí tuệ phát triển thơng minh sáng tạo Muốn có điều này, từ trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho HS hệ thống kiến thức bản, đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam phát triển lực tư sáng tạo Trong trình giảng dạy với việc ứng dụng nhiều phương pháp vào dạy học nhận thấy phương pháp “phát giải vấn đề” có nhiều ưu điểm phù hợp với công tác giảng dạy mơn Tốn THPT.Tuy nhiên để thành cơng phương pháp “phát giải vấn đề”ngoài lực chun mơn,nghiệp vụ sư phạm cịn địi hỏi người Thầy phải đầu tư nhiều thời gian thực tâm huyết với nghề Để có giảng hay,thu hút học sinh giúp học trò phát triển tư niềm say mê Tốn học, tơi bao giáo viên u nghề u Tốn khác ln trăn trở với khó khăn học trị tiếp cận tốn Trong chương trình Tốn THPT, tốn hình học giải tích phẳng ln gây nhiều khó khăn cho đối tượng học sinh đặc biệt học sinh có lực trung bình Trong số tốn hình học giải tích có lớp tốn thường có tính chất “hình học phẳng túy” gây nhiều khó khăn cho học sinh tiếp cận Vì tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác tìm cách giải số tốn quan hệ vng góc ba điểm đường thẳng hình học phẳng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong trình giảng dạy phát huy hợp lý phương pháp “phát giải vấn đề” đem lại hiệu tích cực giải lớp giải tích phẳng Tìm hiểu khó khăn mà học sinh gặp phải tiếp cận tốn hình học phẳng Phát triển tư khái qt hóa,tương tự hóa,trừu tượng hóa… phát triển kỹ giải toán tư sáng tạo cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Do điều kiện thời gian có hạn nên phạm vi đề tài tơi vào nghiên cứu số toán quan hệ vng góc ba điểm đường thẳng hình học phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu a Nghiên cứu lý thuyết Để hồn thành đề tài tơi đọc nghiên cứu tài liệu có liên quan sau: - Các tài liệu việc đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, lấy học sinh làm trung tâm -Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan hình học giải tích phẳng,phương pháp dạy học mơn Tốn b Nghiên cứu thực tế - Tìm hiểu thực trạng tổ chức hoạt động dạy học giáo viên trường THPT cách dự thăm lớp, trao đổi với giáo viên tổ chuyên môn trường trường cụm - Tổ chức trò chuyện với học sinh để nắm nhu cầu, sở thích em c Thực nghiệm sư phạm Tôi tiến hành dạy thực nghiệm số lớp 11A1, 11A3 chương trình Hình học 11 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến Trong q trình dạy học thân nhận thấy, chưa áp dụng nghiên cứu đề tài vào giảng dạy đa phần em học sinh lúng túng, khơng có hứng thú q trình tiếp cận giải tốn hình học mang tính chất “hình học túy” phần lớn em chờ gợi ý, kiến thức mà giáo viên cung cấp Khảo sát cho thấy lớp giảng dạy, đa phần học sinh khơng làm được,khơng có hứng thú với tốn.Thậm chí với học sinh đội tuyển học sinh giỏi nhà trường lúng túng tiếp cận toán xây dựng dựa tốn có tính chất “hình phẳng túy” kiến thức hình học phẳng nắm khơng vững THCS Việc “Hướng dẫn học sinh khai thác tìm cách giải số tốn quan hệ vng góc ba điểm đường thẳng hình học phẳng” giúp học sinh tiếp cận tốn quan hệ vng góc cách tự nhiên, chủ động để giải vấn đề thơng qua chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ giúp nâng cao chất lượng học tập 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a.Thuận lợi * Về phía giáo viên : - Có sức khỏe, có kiến thức tâm huyết với nghề - Được giảng dạy chuyên môn học nên phát huy hết kiến thức, phương pháp đào tạo - Trực tiếp giảng dạy mơn Tốn số lớp khối 11 trường THPT Đơng Sơn nên thực việc khảo sát thống kê ưu điểm việc áp dụng đề tài kết học tập em - Được tham gia dạy học dự trường nên học hỏi trao đổi kinh nghiệm dạy học với đồng nghiệp mơn từ phát huy ưu điểm khắc phục nhược điểm thân - Nhà trường học buổi nên ơn tập, phụ đạo thêm cho học sinh vào buổi chiều nhằm phát huy vai trò trung tâm học sinh trình dạy học *Về phía học sinh: - Được trang bị đủ sách giáo khoa - Đa số em ngoan, có ý thức thực tốt nội quy trường lớp - Một số gia đình thực quan tâm đến việc học tập em nên tạo điều kiện để em học tập nâng cao kiến thức b Khó khăn * Về phía giáo viên: -Thư viện nhà trường chưa có nhiều tài liệu tham khảo đầy đủ dẫn đến việc sưu tầm tài liệu để phục vụ cho việc giảng dạy hạn chế *Về phía học sinh: - Đa số học sinh cịn ham chơi, chưa tự giác học tập, số cịn nghỉ học vơ lí do, khơng làm tập nhà không đọc trước đến lớp 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Bài toán sử dụng đề tài: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ): ax+by+c=0 hai điểm A( xA;yA);B(xB;yB) d khơng nằm (d).Tìm điểm M (d) để AM vng góc với AB Cách giải: M -Lập đường thẳng (d’) qua A vng góc với (d) -Khi M giao điểm (d) (d’) A B Giải pháp thực hiện: Hiện tốn hình giải tích phẳng thường chia thành hai mảng mảng “đại số “ xây dựng sở tham số hóa mảng” hình học” xây dựng sở dựa vào toán hình học túy.Trong đề tài này,tơi trình bày ý tưởng giải dạng tốn hình học giải tích phẳng mảng “ hình học ” thơng qua số toán Xuất phát từ mối quan hệ vng góc “ ba điểm” để gỡ “nút thắt ” “ mấu chốt ” để tìm yếu tố cịn lại tốn.Từ giúp học sinh hình thành kỹ giải tốn ,phát triển tư duy,tạo hứng thú cho học sinh giải tốn hình học giải tích phẳng.Đồng thời,tơi đề xuất giải pháp xử lý mối quan hệ xây dựng tốn tổng qt ,nêu cách nhìn nhận khác xung quanh mối quan hệ vng góc Sau số tốn phân tích, suy luận, giải từ mối quan hệ vng góc ba điểm đường thẳng trình bày thơng qua tốn sau: Bài tốn 1( Trích từ đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) hình chiếu vng góc A lên BD Điểm M ( ;3) trung điểm cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A ∆ ADH : x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Bước 1:Phát thâm nhập vấn đề -Gọi K trung điểm DH.Khi tốn xoay quanh ba điểm A,H,K.Bằng trực quan ta giả sử AH ⊥ DK -Để kiểm tra giả thuyết ta kiểm tra với hình chữ nhật có A(0;0) ,B(2;0),C(2;1) D(0;1) -Khi ta tìm K yếu tố cịn lại Bước 2.Tìm giải pháp Cách 1:Chứng minh theo hình học túy Gọi P trung điểm AH Tứ giác BMKP hình bình hành PK // BM PK=BM Vì PK ⊥ AB AH ⊥ KB nên P trực tâm tam giác ABK nên BP ⊥ AK suy MK ⊥ AK Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxy với D ≡ O Khi D(0;0),A(0;a),C(c;0),B(c;a) Phương trình đường thẳng BD ax-cy=0;đường thẳng AH có phương trình cx+ay-a2=0.Tọa độ H nghiệm hệ phương  ca x=  ax − cy =  a + c2 ⇔ trình   cx + ay − a = y = a  a2 + c2  ca a3 Suy H( ; ) a2 + c2 a2 + c2 ca a3 ca − a − 2ac ; ; Ta có K( ) nên AK =( ) 2(a + c ) 2(a + c ) 2( a + c ) 2( a + c ) − ca − 2c − ac a ; M (c; ) nên MK =( ).Suy AK MK =0 hay MK ⊥ 2(a + c ) 2(a + c ) AK Bước 3:Trình bày giải pháp -Ta chứng minh MK ⊥ AK (sử dụng hai cách trên) -Đường thẳng KM qua M ( ; 3) vng góc với AK: x + y − = nên MK có phương trình: x − y + 15 =0 Do K = AK ∩ MK ⇒ Toạ độ K nghiệm hệ 4 x + y =    x = nên K ( ; 2)  15 ⇔   x − y = −  y = Do K trung điểm HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) ⇒ phương trình BD: y – = 0.AH qua H(1; 2) vng góc với BD nên AH có PT: x - = A = AK ∩ AH ⇒ A(1; 0) Đường thẳng BC qua M ( ; 3) song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = Bước 4:Nghiên cứu sâu giải pháp - Ta nhận thấy toán thực chất xoay quanh tốn hình phẳng sau “Cho hình chữ nhật ABCD H hình chiếu vng góc A BD.Các điểm M,K trung điểm BC,DH.Chứng minh MK ⊥ AK” -Nếu cho ABCD hình vng ta tốn hình phẳng sau ”Cho hình vng ABCD.Gọi M trung điểm BC,trên đoạn BD lấy điểm N cho DN = DB Chứng minh AN ⊥ MN” -Đây trường hợp riêng toán : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC, đoạn BD lấy điểm N cho DN = DB Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết 3 2 M(3;1),N( ; ) điểm D nằm đường thẳng ∆ :x-y+1=0 Bài toán (Trích từ đề thi HSG tỉnh hóa năm 2013-2014) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD với M, N trung điểm đoạn AB BC Gọi H chân đường cao kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết N ( −1; − ), H (−1;0) điểm D nằm đường thẳng (d ) : x − y − = Bước 1:Phát thâm nhập vấn đề -Bài toán xoay quanh điểm D,H,N Dựa vào hình vẽ ta đưa nhận định HD ⊥ HN -Ta kiểm tra nhận định với hình vng ABCD có A(0;2),D(0;0) ,C(2;0) B(2;2) Bước 2.Tìm giải pháp Cách 1.Theo phương pháp hình học túy Trong tam giác vng BCH ta có : HN=NC (1) Mặt khác: BH ⊥ MC (*) mà ∠ NDC+ ∠ MCD = ∠ MCD + ∠ MCD = 900 nên ∠ DIC =900 ⇒ DN ⊥ MC (**) Từ (*) (**) suy BH // DN ( 2) Từ (1) (2) suy H C đối xứng qua DN ⇒ ∠ DHN= ∠ DCN=900 ⇒ DH ⊥ HN Cách 2:Theo phương pháp tọa độ Gắn hệ tọa độ Oxy hình vẽ với O ≡ D Khi D(0;0),C(a;0),B(a;a),A(0;a), a a M( ;a),N(a; ).Đường thẳng CM có phương trình 2x+y-2a=0.Đường thẳng BH ⊥ CM BH qua B nên có phương trình x-2y +a=0 Tọa độ H nghiệm hệ phương 3a  x=  2 x + y − a = 3a 4a  ⇔ ⇒ H( ; ) trình  5 x − y + a =  y = 4a  3a 4a 2a − 3a HD =( ; ) ; HN =( ; 10 ) ⇒ HD HN =0 hay DH ⊥ HN Bước 3:Trình bày giải pháp -Ta chứng minh DH ⊥ HN (Bằng hai cách trên) Đường thẳng DH có phương trình y=0 Mà D=DH ∩ d nên D(4;0) Vì H C đối xứng qua DN tìm C (1; −4) Từ tìm : A(0;3), B(−3; −1) Bước :Nghiên cứu sâu giải pháp Thực chất tốn xuất phát từ tốn hình phẳng sau “ Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD với M, N trung điểm đoạn AB BC Gọi H chân đường cao kẻ từ B xuống CM Chứng minh HD ⊥ HN” Từ toán ,ta cắt bỏ tam giác MBC hình thang AMCD vuông A D , CD = 2AB Kết hợp với toán ta toán sau: Bài tốn 3: Cho hình thang ABCD vng A D ,CD = 2AB Gọi H hình chiếu vng góc D AC , M trung điểm HC Cho B( 3;8) , M( 57 38 ; ) điểm D nằm đường thẳng (d) : 3x-y-1 = 13 13 Bước 1:Phát thâm nhập vấn đề -Bài toán xoay quanh điểm B,M,D Bằng trực quan ta đưa nhận định MD ⊥ MB -Nếu nhận định từ ta tìm điểm D tìm hai điểm cịn lại hình thang Bước 2.Tìm giải pháp Cách 1.Theo phương pháp hình học túy Gọi N trung điểm DH ,khi ABMN hình bình hành.Trong ∆ ADM có DH ⊥ AC , MN ⊥ AD nên N trực tâm ∆ ADM suy AN ⊥ DM mà AN// BM nên BM ⊥ DM Cách 2:Theo phương pháp tọa độ Gắn hệ tọa độ Oxy hình vẽ với D ≡ O Khi D(0;0) , C(2c;0) , A(0;a) , B(c;a) Đường thẳng AC có phương trình: ax +2cy -2ac=0 Đường thẳng DH ⊥ AC DH qua D nên có phương trình: 2cx-ay=0 Tọa độ H nghiệm hệ phương trình:  2a c x=  ax + 2cy − 2ac =  a + 4c ⇔  2cx − ay =  y = 4ac  a + 4c  2a c 4ac ) ; 2 2 a + 4c a + 4c 2a c + 4c 2ac M trung điểm HC nên M ( ) ; a + 4c a + 4c 2a c + 4c 2ac a 2c − a − 2ac DM = ( a + 4c ; a + 4c ) , BM = ( a + 4c ; a + 4c ) Khi DM BM = hay BM ⊥ DM Suy H ( Bước 3:Trình bày giải pháp -Ta chứng minh BM ⊥ DM (Bằng hai cách trên) Khi đường thẳng MD có phương trình 3x-11y + 19 =0.Tọa độ D 3 x − 11 y + 19 = x = ⇔ 3 x − y − = y = nghiệm hệ:  nên D (1;2).Gọi I giao điểm BD AC, ∆ IDC ta có ∆ IAB nên ta có IA IB AB = = = IA ID CD Gọi I (m;n) BD = 3BI suy I ( ;6 ) Đường thẳng AC qua I , M nên có phương trình 3x + 2y - 19 = Mà A nằm đường trịn đường kính BD có phương trình (x-2)2 + (y-5)2 =10.Tọa độ x =   y = 3 x + y − 19 =  57 ⇒ A(1;8) ⇔ A nghiệm hệ  x = 2 ( x − ) + ( y − ) = 10 13   (loai )   38  y = 13  Vì CD = BA nên C ( 5;2) Vậy A(1;8),C(5;2),D(1;2) Bước :Nghiên cứu sâu giải pháp Bài toán xây dựng dựa tốn hình phẳng sau :” Cho hình thang ABCD vuông A D ,CD = 2AB Gọi H hình chiếu vng góc D AC , M trung điểm HC.Chứng minh BM ⊥ DM” Dựa vào cơng cụ vectơ tốn hình phẳng thay đổi kiện cách hợp lý , ta đưa nhiều tốn khác cho hình vng Từ lời giải tốn , ta thấy có điểm đặc biệt “ID = 2IB ” 10 Như ta tiếp tục cắt bớt tam giác ABD hình ABCD ,ta tốn sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân A (4;4),trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = 2IA.Gọi H hình chiếu vng góc B IC ,M trung điểm HC.Tìm tọa độ B,C tam giác ABC biết B thuộc đường thăng (d) :2x-y-2=0 B có hồnh độ khơng nhỏ Bài tốn học sinh hồn tồn tự giải tiếp thu tri thức từ tốn Bài tốn (Trích đề thi đại học khối A năm 2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD với điểm C thuộc đường thẳng d:2x+y+5=0 điểm A(-4;8).Gọi M điểm đối xứng B qua C , N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD.Tìm tọa độ điểm B C biết N(5,-4) Bước 1:Phát thâm nhập vấn đề Ta thấy giả thuyết toán xoay quanh ba điểm A,C,N.Bằng trực quan ta đưa nhận định AN ⊥ NC.Từ ta tìm C,B Bước 2.Tìm giải pháp Cách 1:Chứng minh theo hình học túy Vì ∠ BCD= ∠ BND=900 nên tứ giác BDNC nội tiếp.Suy ∠ BDC= ∠ BNC mà ∠ BDC= ∠ BAC ∠ BNC= ∠ BAC hay tứ giác ABCN nội tiếp ⇒ ∠ ANC=900 hay AN ⊥ NC Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxy với O ≡ D hình vẽ Khi D(0;0) A(0;a),C(c;0),B(c;a),M(c;-a) Đường thẳng DM có phương trình ax +cy=0 Đường thẳng BN ⊥ BM qua B nên BN có phương trình cx-ay-c2+a2=0 nên tọa độ N ax + cy = nghiệm hệ  2 cx − ay − c + a =  c (c − a ) x =  a2 + c2 ⇔ 2  y = a (a − c ) a2 + c2  c (c − a ) a ( a − c ) ⇒N ( ; 2 ) Khi a + c2 a +c 2 − c(c − a ) 2ac ; 2 ); NA = ( a2 + c2 a +c 2ca − a (a − c ) ( ; ) NC = a + c2 a2 + c2 ⇒ NA NC =0 hay AN ⊥ NC 11 Bước 3:Trình bày giải pháp -Chứng minh AN ⊥ NC (sử dụng hai cách trên) -Đường thẳng NC qua N vng góc với AN nên NC có phương trình :3x-4y-31=0 Khi tọa độ N nghiệm hệ phương trình x = 3x − y − 31 = ⇒ C(1;-7) ⇔   x + y + = y = −   Vì ACMD hình bình hành ⇒ AC // DM mà NB ⊥ MD nên NB ⊥ AC Phương trình đường thẳng NB x-3y-17=0 Đồng thời B nằm đường trịn đường kính AC 2 có phương trình (x+ ) + (y- )2 = 125  x = (Loại)   x − y − 17 =    y = −4 Nên tọa độ B nghiệm hệ:  2 125 ⇔   x = −4 ( x + ) + ( y − ) =   y = −7 Vậy B (-4;-7) , C(1;-7) Bước :Nghiên cứu sâu giải pháp -Bài toán xây dựng tốn hình học “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C , N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Chứng minh NA ⊥ NC” Một số lưu ý cho học sinh Thơng qua tốn trên, ta đưa số nhận định sau: Khi vẽ hình, học sinh phải vẽ hình thật xác, từ hình ảnh đưa nhận định mấu chốt để giải toán Khi tiếp cận tốn hình học giải tích phẳng,đặc biệt tốn liên quan chặt chẽ với hình học phẳng,ta cần xem xét mối quan hệ điểm, kiểm tra xem chúng có mối quan hệ đặc biệt hay khơng quan hệ vng góc mà tơi đưa thơng qua ví dụ Trong “ bước 2: Tìm giải pháp ” tơi đưa hai phương pháp chứng minh bản: Phương pháp hình học túy: Đây phương pháp khó, địi hỏi học sinh phải học tốt chương trình hình học phẳng THCS lời giải ngắn ngọn, rõ ràng Phương pháp phù hợp cho học sinh có lực tốt, kiến thức vững vàng hình học phẳng 12 Phương pháp tọa độ: Phương pháp dễ làm biến đổi cồng kềnh,chủ yếu biến đổi “đại số” Phương pháp phù hợp cho học sinh có lực trung bình, Các tốn mà đưa đề tài xây dựng dựa tốn “hình học phẳng túy” Vì mà từ tốn gốc,giáo viên hướng dẫn để học sinh tự đưa toán khác cho trường hợp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Việc nghiên cứu áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác tìm cách giải số tốn quan hệ vng góc ba điểm đường thẳng hình học phẳng” có ý nghĩa quan trọng giáo viên học sinh : a Đối với giáo viên: - Có thể chủ động, sáng tạo thiết kế hoạt động dạy học nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giáo dục - Thông qua áp dụng đề tài học sinh dễ dàng tiếp cận tốn quan hệ vng góc cách tự nhiên, chủ động để giải vấn đề thơng qua chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ từ nâng cao hiệu dạy học b Đối với học sinh: - Tạo tâm lí thoải mái, nhẹ nhàng tiếp thu khiến thức bước hình thành thói quen tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo trình lĩnh hội tri thức giúp em ghi nhớ lâu hơn, vận dụng tốt đem lại kết dạy học cao - Tạo hứng thú, tính tích cực, tự giác học tập học sinh Các em đam mê, hứng thú với tiết học Toán điều quan trọng kết học tập học sinh ngày tiến rõ rệt - Hình thành phát triển lực người học: phân tích, tổng hợp, so sánh lực hợp tác để giải vấn đề học tập sống c Đối với nhà trường: - Nâng cao chất lượng giáo dục - Thông qua việc áp dụng đề tài số tốn cụ thể, tơi khảo sát thấy chất lượng học mơn Tốn nói chung mơn Tốn 11 nói riêng học sinh THPT Đông Sơn nâng lên rõ rệt Cụ thể số liệu khảo sát học sinh lớp 11A1, 11A3 THPT Đông Sơn sau áp dụng đề tài sau: + Lớp thực nghiệm : 11A1 + Lớp đối chứng : 11A3 Đây hai lớp có lực học tập tương đương Lớp Sĩ số Điểm