Hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng từ một bài toán chứng minh trong sách hình học 7

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong trường phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người cơng dân Hình học mơn học có vai trò thực tiễn cao giúp học sinh phát triển tư trực quan, lực phán đoán sáng tạo đồng thời rèn luyện tư logic lực thẩm mỹ Đó lực cần thiết cho sống Việc khai thác tốn hình học lạ khó học sinh THCS đặc biệt học sinh lớp đầu cấp khối 6,7 Nếu chương trình học phân mơn hình học khối giúp học sinh phát triển lực mức đơn giản tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc chương trình hình học đòi hỏi mức độ tư cao nhiều Do em học sinh gặp khó khăn việc nhận biết, hiểu khai thác tốn hình học cách có hệ thống, có chiều sâu Chính tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác mở rộng từ tập sách tập Hình học 7” nhằm giúp em học sinh biết tìm hướng giải vấn đề thơng qua việc mở rộng khai thác có chiều sâu nội dung toán đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức, phát triển tư lo gic, sáng tạo giải tốn hình học 1.2 Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu: Dạng tốn chứng minh Hình học Đối tượng nghiên cứu: khai thác mở rộng từ tập sách tập Hình học 1.3 Mục đích nghiên cứu: Giúp giáo viên có cách khai thác mở rộng toán sách tập cách có chiều sâu từ hình thành định hướng giảng dạy hình học có chiều sâu giúp giáo viên có thêm kinh nghiệm việc ơn tập bồi dưỡng học sinh Giúp em hiểu sâu dạng tập từ có thêm khả mở rộng phát triển tư thông qua toán mở rộng Củng cố, khắc sâu kiến thức số dạng tốn chứng minh hình học Rèn luyện cho học sinh khả tư sáng tạo từ tạo niềm đam mê với mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Khảo sát mức độ tiếp nhận kiến thức hình học vận dụng chúng thông qua kiểm tra - Nghiên cứu dạng tập chứng minh - Nghiên cứu sơ đồ chứng minh - Tổng kết, khái quát sâu dạng tập chứng minh hình học NỘI DUNG 2.1Cơ sở lý luận: 2.1.1 Vị trí vai trò “bài tốn chứng minh hình học” chương trình tốn THCS: Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng có ứng dụng rộng rãi nghiên cứu khoa học thực tiễn đời sống người Bài tập chứng minh hình học dạng tốn có ứng dụng cao thực tiễn Bài tập chứng minh hình giúp học sinh rèn luyện tư logic, sáng tạo, phát triển lực phán đoán lực tổng hợp kiến thức Bài tốn chứng minh hình học dạng toán thường gặp kỳ thi tuyển sinh vào THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học kỳ thi học sinh giỏi cấp 2.1.2 Một số vấn đề liên quan đến “bài toán chứng minh hình học” chương trình Tốn THCS Để làm tốn chứng minh hình học, học sinh cần nắm vững định nghĩa, định lý liên quan đến vấn đề cần chứng minh; Học sinh cần có tư trực quan, sáng tạo việc tìm hiểu khai thác toán Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu toán chứng minh hình học cách có hệ thống, vận dụng lý thuyết vào làm tập, cách mở rộng khai thác có chiều sâu nội dung tốn 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 2.2.1 Thực trạng học sinh: Trường PTDTBT THCS Trung Thượng trường thuộc vào vùng đặc biệt khó khăn Đa số em học sinh khó khăn sống Mơn Tốn mơn mà học sinh cảm thấy khó học, khó hiểu khó vận dụng Qua thực tế kiểm tra khảo sát em học sinh có học lực khá, giỏi mơn Tốn đa số em nhận biết tốn SGK Tuy nhiên dạng tập chứng minh hình học (Từ dạng nhất), 95% học sinh chưa biết khai thác chứng minh tốn (chỉ có 1/20 học sinh giải dạng chứng minh hình học) 2.2.2 Thực trạng từ giáo viên: Giáo viên mơn tốn Trường PTDTBT THCS Trung Thượng nhiệt tình cơng tác giảng dạy, nhiên tuổi nghề trẻ nên kinh nghiệm giảng dạy có hạn chế định Việc mở rộng khai thác có chiều sâu tốn chứng minh hình học giúp giáo viên nắm rõ chương trình, có cách khai thác giảng dạy cách có chiều sâu, giúp giáo viên có thêm cách bồi dưỡng học sinh giỏi Từ thúc đẩy lòng u nghề, khả tìm tòi sáng tạo giáo viên 2.2.3 Thực trạng từ chương trình: Nội dung chương trình tốn THCS giảng dạy lớp theo PPCT chưa sâu vào việc khai thác có hiệu dạng tốn chứng minh tập hình học, thực tế dạng toán thường gặp kỳ thi Do việc khai thác mở rộng tập hình học để giúp giáo viên học sinh hiểu sâu tốn từ rèn luyện khả tư duy, sáng tạo giải tốn hình học 2.3 Các giải pháp thực hiện: Từ thực trạng với việc nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh giáo viên với giải pháp giúp học sinh khai thác mở rộng có chiều sâu tốn chứng minh hình học sách tập 2.3.1 Bài toán bản: Bài tập 46 ( Trang 103, Sách tập Toán 7, tập Nhà xuất giáo dục) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB ( D khác phía C AB), Vẽ AE vng góc AC ( E khác phía B AC) Chứng minh rằng: a) b) Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh: a b DC cắt AB BE O F, ta có sơ đồ chứng minh: Chứng minh: a Ta có: (1) Mặt khác ta có (2) Từ (1) (2) a Ta có: Mặt khác: 2.3.2 Các tốn phát triển từ toán bản: Bài toán 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC a Từ B kẻ BK  CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng b Gọi P,Q,R trung điểm BD, BC, EC Chứng minh tam giác PQR tam giác vuông cân Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh: a ba điểm E, K, B thẳng hàng b a Ta có: PQR vng cân Lời giải: ( c/m câu b tập 46) (gt) Theo tiên đề Ơclit b E, K, B thẳng hàng Trên tia QP lấy điểm F cho PQ=PF Xét ta có DF=BQ=CQ (*) ( góc vị trí so le trong) Do đó: DF//BQ (**) ( góc vị trí so le trong) Từ (*) (**) Mặt khác DC ⊥ BE BE (1) Chứng minh tương tự ta có: , QR//BE (2) Theo toán dễ dàng chứng minh CD=BE Từ (1), (2) (3) (3) vuông cân Q Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác vuông cân A a Chứng minh rằng: b Chứng minh: c Kẻ Chứng minh AH qua trung điểm MN ( Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Quan Hóa năm học 2017 -2018) Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh: - Câu a, b chứng minh tương tự toán - Sơ đồ chứng minh câu c sau: Chứng minh: b) AD cắt MN D Từ M kẻ Từ N hạ đường vng góc cắt tia AD F Xét ta có: MA=AB (gt) ( theo cách vẽ trên) Mà (Do ) (g.c.g) ( hai cạnh tương ứng) Tương tự ta chứng minh được: (g.c.g) ( hai cạnh tương ứng) Do đó: FN=EM Xét ta có: (theo cách vẽ trên) Từ ( hai góc so le trong) ( Hai cạnh tương ứng) Vậy D trung điểm MN Bài toán 3: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi M trung điểm DE kẻ tia MA cắt BC H Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MA = MN a Chứng minh b Chứng minh : MH  BC c Kẻ BK (K BK cắt AH I Chứng minh rằng: CI d Gọi P, Q trung điểm AD DN Chứng minh rằng: 2PQ =BC Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh: a MH  BC b c I trực tâm CI d CM tốn a Xét ta có: MD = ME (gt) MA=MN (gt) ( góc đối đỉnh) (c.g.c) ( hai góc tương ứng vị trí so le trong) b Ta có: DN = AE ( Do ) Mà AE = AC ( gt) DN = AC (*) AD = AB (gt) (**) Mặt khác: Do ( Hai góc phía) (***) Từ (*), (**), (***) = (c.g.c) ( Hai góc tương ứng) ( Do Mà ) (Vì AE ) AH 2.3.3 Một số tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC góc A nhọn, AB< AC Dựng phía ngồi tam giác ABD vuông cân A tam giác ACE vuông cân A Chứng minh a DC = BE DC vng góc với BE b BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K Chứng minh K trung điểm BC ( Đề thi HSG huyện Quan Sơn năm học 2016 -2017) Bài 2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Kẻ đường cao AH vng góc với BC H Tia đối tia AH cắt DE M Các đường vng góc DQ, ER cắt tia AM Q R a Chứng minh rằng: b Chứng minh rằng: ∆AHC=∆ARE c Chứng tỏ M trung điểm cạnh DE Bài 3: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H trung điểm BC Tia đối tia AH cắt DE M Lấy điểm A’ tia đối tia HA cho HA=HA’ a Chứng minh rằng: ∆AHC=∆A’HB b Chứng minh rằng: ∆EAD=∆ABA’ c Chứng minh rằng: Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM ( Bài tập sưu tầm internet) Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM  EF Bài 6: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng: a) DE = AM b) AM  DE 2.4 Thực nghiệm kết thực nghiệm 2.4.1 Kết đạt q trình nghiên cứu: Trên tơi vừa trình bày nội dung sáng kiến kinh nghiệm mở rộng khai thác sâu tốn hình học chương trình Tốn Tồn kiến thức sử dụng viết hệ thống cho phù hợp với chương trình tốn THCS Đề tài thực từ tháng 3/2018 với thời lượng tiết dạy Kết đạt là: Kết thứ nhất: Học sinh biết khai thác vận dụng kiến thức để chứng minh toán hình học Kết thứ hai: Rèn luyện cho học sinh tư sáng tạo, lập luận logic biết sử dụng liên hệ vấn đề biết để thực nhiệm vụ Kết thứ ba: Rèn luyện tư sáng tạo, tư giải vấn đề, tư biện chứng, biết cách mở rộng khai thác sâu toán sách giáo khoa để hiểu rõ sử dụng chứng minh hình học Giúp giáo viên có cách dạy học có chiều sâu phát huy sáng tạo tư logic chứng minh hình học Kết thực nghiệm cho thấy tiến em học sinh thể rõ rệt Các em giải tốt dạng toán tự luyện đưa 2.4.2 Phương pháp đánh giá Để đánh giá hiệu đề tài tiến hành kiểm tra đánh giá kiểm tra đánh giá chuyên môn Bài số 1: - 80% tập vẽ hình, hiểu khái niệm - 20% tập tập chứng minh hình học Bài số 2: Gồm tập đòi hỏi học sinh biết tư duy, biết lập sơ đồ chứng minh theo sơ đồ 2.4.3 Kết thực nghiệm Kết kiểm tra nhóm lớp 7B không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Giỏi Khá TB Yếu Kém SL Nhóm Lớp 7B Sĩ số 10 Bài kiểm tra số Bài kiểm tra số 2 TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 70% 30% 20% 70% 10% SL TL (%) SL TL Kết kiểm tra nhóm lớp 7A áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Giỏi Khá TB Yếu Kém SL Nhóm Lớp 7A Sĩ số 10 Bài kiểm tra số Bài kiểm tra số TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 60% 40% 70% SL TL (%) SL TL 30% Thông qua hai kết ta thấy thành tích học tập em học sinh hai lớp có thực nghiệm khơng thực nghiệm có tăng trưởng đáng kể Tuy nhiên mức độ tăng trưởng nhóm khác Đối với khối lớp khơng có thực nghiệm giáo dục, tăng trưởng chậm Còn khối lớp có thực nghiệm q trình tăng trưởng có nhiều bước đột phá, hầu hết em biết tư thực tập tự luyện 10 KẾT LUẬN 3.1 Giá trị sáng kiến kinh nghiệm: Từ toán sách giáo khoa biết khai thác mở rộng trở thành toán rèn luyện học sinh mức tư duy, sáng tạo cao với khả vận dụng kiến thức Với hệ thống tập hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh cách cụ thể nên dễ dàng sử dụng giảng để giảng dạy cho tất em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học sinh giỏi luyện thi học sinh giỏi cấp huyện Giúp em nhận thức đầy đủ kiến thức, phương pháp có nhiều hội để rèn luyện kỹ chứng minh tập hình học, giúp học khai thác tốt tập từ tạo tảng kiến thức vững để em học sinh có tư sáng tạo lo gic sở mở rộng từ toán đơn giản Mặt khác với hệ thống tập tự luyện nguồn tài liệu để giúp giáo viên học sinh có tư liệu giảng dạy giúp học sinh rèn luyện kỹ chứng minh hình học, giúp bồi dưỡng, rèn luyện đội tuyển học sinh giỏi 3.2 Đề xuất, kiến nghị: Đề tài xây dựng cho phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi để khai thác hiểu sau toán sách tập từ hình thành cho học sinh lực phán đốn, sáng tạo chứng minh hình học Tơi mong hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tơi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Trung Thượng, ngày 05 tháng 03 năm 2018 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm khơng chép nội dung người khác Người viết Lương Minh Thắng 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO Để hoàn thành đề tài tơi có nghiên cứu sưu tầm số toán tài liệu sau: - Sách tập toán – nhà xuất giáo dục - Đề thi HSG huyện Quan Sơn, huyện Quan Hóa - Web: www.MATHVN.com MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 3.1 3.2 Nội dung MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phạm vi đối tượng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng từ học sinh Thực trạng từ giáo viên Thực trạng từ chương trình Các giải pháp thực Bài tốn Các toán phát triển từ toán Các tập tự luyện Thực nghiệm kết thực nghiệm Kết đạt trình nghiên cứu Phương pháp đánh giá Kết thực nghiệm KẾT LUẬN Giá trị sáng kiến kinh nghiệm Đề xuất, kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO MỤC LỤC Trang 1 1 2 2 3 4-6 6-7 7 8 10 10 10 11 11 12 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC, MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TỐN CHỨNG MINH TRONG SÁCH BÀI TẬP HÌNH HỌC Người thực hiện: Lương Minh Thắng Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị: Trường PTDTBT THCS Trung Thượng SKKN thuộc lĩnh vực: Mơn Tốn THANH HĨA NĂM 2018 13 14 ... THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học kỳ thi học sinh giỏi cấp 2.1.2 Một số vấn đề liên quan đến bài tốn chứng minh hình học chương trình Tốn THCS Để làm toán chứng minh hình học, học sinh cần nắm... Tuy nhiên dạng tập chứng minh hình học (Từ dạng nhất), 95% học sinh chưa biết khai thác chứng minh tốn (chỉ có 1/20 học sinh giải dạng chứng minh hình học) 2.2.2 Thực trạng từ giáo viên: Giáo... 4-6 6 -7 7 8 10 10 10 11 11 12 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC, MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG SÁCH BÀI TẬP HÌNH HỌC Người