skkn hướng dẫn cho học sinh cách khai thác và tìm tòi lời giải từ một bài toán

Với vai trò là môn công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện giáo dục học sinh nhận thức vươn lên tìm tòi và sáng tạo, giúp các em say mê học toán, khi đó một bài toán không phải là

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN VĨNH BẢO TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM

==========&=========

ĐỀ TÀI : HƯỚNG DẪN TÌM TÒI, KHAI THÁC LỜI GIẢI

TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7

===&==

Tác giả: Lê Thị Hồng Vân Chức vụ: Giáo viên Đơn vị : Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm

NĂM HỌC: 2008 - 2009

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do về tính cấp thiết:

Toán học là môn khoa học có ứng dụng hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống, chính

khoa học và đối với học sinh Toán học giúp học sinh đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực

và có ý chí vượt khó Với vai trò là môn công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện giáo dục học sinh nhận thức vươn lên tìm tòi và sáng tạo, giúp các em say mê học toán, khi đó một bài toán không phải là những con số khô khan mà một bài hát, một vần thơ, một bức tranh với nhiều cảnh đẹp

2 Mục đích nghiên cứu:

* Học sinh khối 7 mới được làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong hình học Song việc cần thiết làm cho học tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng , biết vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để biết cách chứng minh hình học,

giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau

3 Đối tượng phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:

*Đối với lớp 7: Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, chúng tôi thấy việc cần

thiết là làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải từ một bài toán đồng thời cho học sinh nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để thấy được sự phong phú của toán học và thêm yêu thích bộ môn

4 Kết quả đạt được:

Với mục tiêu trên, cùng với quá trình giảng dạy tôi xin trình bày một kinh

nghiệm của bản thân về việc "Hướng dẫn cho học sinh cách khai thác và tìm tòi lời

giải từ một bài toán" dành cho đối tượng học sinh lớp 7 bước đầu có hiệu quả cao Tôi

viết với mục đích mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến thức phong phú , đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK Qua đó chúng

ta có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn về toán học, giúp các em học sinh hình thành tốt các kỹ năng giải toán, và thêm yêu thích bộ môn

PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lí luận:

Toán học mang lại cho con người biết bao sự đam mê, lí thú và nó mang lại cho

Khi thấy hiểu một vấn đề nào đó, thấy được sự đa dạng phong phú của một vấn

đề nào đó thì các em cảm thấy yêu thích hơn, đi sâu nghiên cứu hơn và sẽ giải Giáo viên dạy tốt, nâng cao được chuyên đề nào đó, học sinh thấy được vai trò của người thầy, thấy “ cái tài” của người thầy, sẽ kích thích thúc đẩy để học sinh học tốt hơn

Rèn luyện kỹ năng cho học sinh vận dụng kiến thức, giúp các em có sự tư duy sâu săc hơn, rèn tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt cho học sinh

2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Qua những năm giảng dạy toán THCS, đặc biệt là những năm dạy hình học lớp

7 , đây là bộ môn vừa lạ, vưà khó với học sinh Hơn nữa theo yêu cầu của bộ môn, chỉ khi nào học sinh nắm được một cách bản chất , hệ thống khái niệm, tính chất , định lí

và các hệ quả SGK đồng thời có có kĩ năng, phân tích, tổng hợp trên hình vẽ mới có khả năng đạt được yêu cầu chung của chương trình Chính vì vậy, học sinh chẳng những bỡ ngỡ, vận dụng kiến thức đã học chưa tốt mà còn hiểu vấn đề lẽ tự nhiên, cứng nhắc Đa số học sinh như bắt gặp một điều mới lạ, lo sợ, rất ngại khi học môn này, một số học sinh say mê làm bài song đôi lúc còn lúng túng Từ ý thức như vậy , nên học sinh hay bị hổng kiến thức, dẫn đến mất đà cho các năm học sau

Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học sinh trong khi học hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác bài toán nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dưới nhiều góc độ cho một bài toán hình học

3 Mô tả giải pháp.

A BÀI TOÁN:

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Kẻ AHBC (HBC), Từ B, C kẻ các đường thẳng song song với AH chúng cắt đường thẳng thẳng đi qua A lần lượt tại M

và N CMR: AM= AN

Tóm tắt bài toán

Nhìn nhận của giáo viên:

Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình thang do BM//CN(vì cùng song song với AH) và H là trung điểm BC nên AH là đường trung bình của hình thang BMNC Song việc khai thác chứng minh A là trung điểm của MN đối với học sinh lớp 7 khi chưa học vê tính chất hình thang thì quả là một điều không dễ và rất thú vị

Dưới đây là cách nhìn nhận, hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán này:

AM=AN

có AB=AC

AHBC (HBC)

BM//AN; CN//AH

KL

GT

<1> Định hướng giải quyết bài toán theo phương pháp tạo ra hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.

a, Một cách nhìn nhận trực tiếp:

Cách1:

Cách 2:

Hạ MEAH ( EAH)

AFCN (FCN)

Ta có ME=BH ; AF=HC

Mà BH=HC  ME= AF Lại có AF// ME  NAF= AME

MAF ANF  



Cách 3:

Cách 4:

* Hạ MEAH (EAH) ;

NF AH (FAH)

Từ đó chứng minh cho 2 tam giác vuông NAF và MAE bằng nhau suy ra MA= NA

Qua A kẻ EF//BC dẫn đến

 AME= ANF  AM=AN

b, Một cách nhìn nhận gián tiếp:

Cách 1:

Cách 2:

Kẻ AEBM (EBM);

NFAH( FAH);

Suy ra AEM=NFA( g.c.g)

suy ra AM=AN( 2 cạnh tương ứng)

Kẻ BE// MN; HF// MN

Dễ dàng chứng minh được : BE= MA ; HF = AN(1)

Ta chứng minh:

BEH= HFC(g.c.g)

 BE=HF(2)

Từ (1) và (2) có AM=AN

Cách 3:

Cách 4:

Qua H kẻ EF //MN ( EBM; FCN)

Dễ chứng minh được EH=AM ; HF = AN(1)

có  BEH= CFH( g.c.g)

 HE=HF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN

Kẻ BE // MN( EAH) CF//MN( FAH)

Dễ chứng minh được:

BE=AM; CF= AN( tính chất đoạn chắn) (1)

Ta chứng minh:

 BEH= CFH( g.c.g)

 HE=HF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN

<2> Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh sử dụng định lí " đường thẳng đi qua

trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba" thì bài toán có thể giải quyết theo hướng sau

Chứng minh định lí:

a, Một cách nhìn trực tiếp

Cách 1:

Kẻ HE//MN( EBM)

CF // MN( FAH)

 HE=MA; CF= AN(1)

Ta chứng minh được:

 BEH=HFC( g.c.g)

 HE=HF(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN

Hướng dẫn:

Từ C kẻ CE// AB cắt MN tại E

Vì MN//BC CE//AB  CE= MB

Mà MA=MB nên CE= AM

 MAN= ECN(g.c.g)

 AN=NC( 2 cạnh tương ứng)

Cách 2:

b, Cách nhìn nhận gián tiếp:

Cách 1:

H

ư ớng dẫn: Kẻ MD// BC cắt AH tại

I

Ta có MI= BH; ID= HC

 I là trung điểm MD Xét MDN có

MI=ID AI// ND  AM=AN

Kẻ ND //BC cắt AH tại I

Ta có DI= BH; NI= HC

Mà BH=HC nên ID= IN Suy ra I là trung điểm của ND

Xét tam giác NDM có : NI= ID

IA// DM  AM=AN

Cách 2:

H

ư ớng dẫn :

Kẻ BD // MN cắt AH tại I Xét BCD có BH=HC; IH//DC

 BI= ID

dễ chứng minh được BI= AM; ID= AN nên AM=AN

Từ C kẻ CD//MN cắt AH tại I Xét BCD có BH = HC, HI//BD suy ra DI= IC

Dễ dàng chứng minhđược

DI = MA; IC = AN nên AM= AN

Cách 4:

<3> Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh kết hợp giữa phương pháp 1 và phương pháp 2thì ta có thể có những cách sau:

Cách 1

Nối M với C cắt AH tại I

Xét  BMC có BH=HC ; HI// BN

 MI=IC Xét MNC có:

MI=IC IA//NC  AM=AN

Nối B với N

- làm tương tự như cách 3

Cách 2:

Nối B với A cắt CN tại D Xét BCD có:

BH=HC AH//DC  AB= AD Xét AMB= AND (g.c.g)

 AM=AN

Chú ý : Có các cách giải sẽ là tương tự của nhau, nhưng tôi vẫn đưa ra để giúp học

sinh khai thác bài toán một cách triệt để

B BÀI TẬP THAM KHẢO.

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ CHAB(HAB)

CMR: BCH= BAC

2 1

Hướng dẫn:

Cách 1: Nối A với trung điểm M của BC sau đó chứng minh BCH và MAC là hai góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc và cùng nhọn

Cách 2: Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HB= HD sau đó chứng minh  BCD=  BAC

Cách 3: Từ B kẻ Bx //CH sau đó chứng minh  CBx = BAC

2

1

Cách 4: Từ H kẻ HN// BC sau đó chứng minh NHC= BAC

2

1

Nối AC cắt BM tại D XétBDC có BH =HC; AH//BD

 CA=AD

Dễ chứng minh ADM=

ACN((g.c.g)

 AM=AN

Cách 5:Từ A kẻ Ax//HC Tính cụ thể BCH và  BAC rồi so sánh

Cách 6: Từ B kẻ BxAB ( chứng minh tương tự cách 3)

Bài 2: Cho ABC; AB=AC ; MAB; N tia đối của tia CA sao cho MB=CN;

MN cắt BC tại I Chứng minh: IM=IN

Hướng dẫn :

Cách 1: Kẻ Mx // AC cắt BC tại D

MDI=NIC(g.c.g)

Cách 2: Từ N kẻ Nx // AB ắt tia đối của tia CB tại E; MBI= INE(g.c.g)

Cách 3: Từ M kẻ Mx // BC cắt AC tại D ; My// AC cắt BC tại E

NDM có CD=CN ; CI//MD  IM=IN

Cách 4: Từ N kẻ Nx//BC cắt tia đối của tia BA tại E; từ B kẻ By //AC cắt Nx tại D Cách 5: Từ M kẻ MHBC ; NKBC

Bài 3 Cho ABC, đường cao AH, BK cắt nhau tại E ; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR: a, Khoảng cách từ O tới AC bằng nửa khoảng cách từ E tới B

b, Khoảng cách từ O tới BC bằng nửa khoang cách từ E tới A

Hướng dẫn:

Cách 1: Lấy I,J lần lượt là trung điểm EA và EB

Cách 2: Lấy R, S sao cho R, S lần lượt là điểm đối xứng của O qua AC và BC

Cách 3: KẻBx//AE và Ay//BE , Bx cắt Ay tại Q( hoặc lấy Q sao cho Q là điểm đối xứng của C qua O)

Cách 4: Lấy D là trung điểm của EC

Bài 4: Cho ABC; AB> AC;  A=α , trên AB lấy D sao cho AC=BD lấy E là trung điểm của BC ; F là trung điểm của AD Tính DEF?

Hướng dẫn:

Cách 1: Nối AE , lấy A' sao cho E là trung điểm AA'

Cách 3: Nối D với C , lấy I là trung điểm của DC

Cách 4: Lấy C' sao cho F là trung điểm CC'

Cách 5: Lấy K là trung điểm AB

4 Kết quả thực nghiệm

III KẾT QUẢ THỰC HIỆN.

Trong quá trình dạy hình học 7 tôi áp dụng chuyên đề không chỉ dạy và bồi dưỡng cho học sinh giỏi mà còn cho cả học sinh đại trà Đặc biệt đối với học sinh khối

7, chứng minh hình học bước đầu đối với các em còn mới lạ, tương đối khó, đòi hỏi tư duy cao nên lúc đầu nhiều em còn rất ngại học hình, hầu như học sinh chỉ có ý thức làm bài được một cách đã thoả mãn với chính mình, rất ngại khó khi suy nghĩ cách khác hoặc tiếp thu cách của bạn Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn luyện được tính

tư duy sáng tao, tính kiên trì trong khi học toán

Song qua một thời gian kiên trì áp dụng chuyên đề và dạy học sinh theo ý tưởng trên đến nay hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khi làm thành thạo một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó Do đó trong giờ học được các em hưởng ứng nhiệt tình, có nhiều phát hiện cách giải độc đáo

Thực tế tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho lớp 7B, 7D năm học 2008-2009 thì kết quả cho thấy đều có ý thức thi đua nhau, rất hào hứng phát biểu các cách làm của mình Còn đối với bồi dưỡng học sinh giỏi thì 90% học sinh có thể tìm được 2 cách trở lên

Và một điều quan trọng hơn cả là sau khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy tinh thần học tập, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực không những nắm vững kiến thức trong SGK các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán khó sách nâng cao, báo toán học

Qua thực tế tôi thấy , việc khai thác bài toán giúp cho học sinh định hướng tìm

ra lời giải 1 bài táon hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong khi giảng dạy moon hình học lớp 7 Chính vì vậy tôi cũng xin mạnh dạn có những khuyến nghị mong PGD tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề cụm liên trường,

các chuyên đề, để giáo viên được trao đổi và học hỏi kinh nghiệm, tạo hiệu quả giảng dạy-học tập cao nhất

Hiện nay SGD không tổ chức thi HSG các môn cho khối 6-7-8 song tôi cũng mong muốn PGD tổ chức thi HSG huyện các môn cho các khối này, không chỉ tạo động lực cho các em học sinh say mê học môn mà mình yêu thích mà còn là động lực cho giáo viên có cơ hội, ý thức tự học, tự nghiên cứu trang bị cho kiến thức của mình sâu rộng hơn

III KẾT LUẬN

Sau một thời gian nghiêm túc thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp tôi đã hoàn thành chuyên đề: " Hướng dẫn tìm tòi, khai thác lời giải từ một bài toán" với mong muốn tạo cho học sinảìen cho học sinh tính kiên trì và có khả năng sáng tạo khi làm bài và thấy được sự phong phú, đa dạng của toán học Do thời gian không cho phép , kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên chuyên đề không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh bảo-Ngày 6 tháng 2 năm 2009

Người viết:

Lê Thị Hồng Vân

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán môn toán ở trường THCS-

Bộ giáo dục và đào tạo

2- Sách giáo khoa toán 7 - sách bài tập toán 7 - Tập1

2 Tuyển chọn 400 bài tập toán 7- Nguễn Anh Dũng

4- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán- Bùi Văn Tuyên

5- Nâng cao và phát triển toán 6- Vũ Hữu Bình

6 Giúp em học giỏi toán cấp II- Lê Hải Châu

III Các giải pháp thực hiện 3

Phần B Một số bài tập 12

III Kết quả thực hiện 14