Phương pháp hàm số giải một số bài toán cực trị về góc và khoảng cách ở hình học tọa độ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Ở HÌNH HỌC TỌA ĐỘ Người thực hiện: Nguyễn Sỹ Duẩn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các công thức khoảng cách góc: 2.1.2 Các dạng tốn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp giải vấn đề: BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số phương trình tham số đường thẳng BÀI TỐN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến đường thẳng mặt phẳng BÀI TOÁN 3: Sử dụng vectơ phương đường thẳng khơng gian BÀI TỐN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến phương trình mặt phẳng khơng gian 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động dạy học: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 2 3 3 5 10 12 14 14 14 14 15 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hình học chương trình THPT mơn học mà đa số học sinh cảm thấy khó tiếp thu kiến thức đặc biệt phần tính khoảng cách tính góc Các em thường gặp khó khăn phương pháp, không Khi giải tốn khoảng cách góc lớn nhất, nhỏ hình giải tích lớp 10 lớp 12 đa số học sinh gặp nhiều khó khăn phương pháp sử dụng hình vẽ để so sánh độ dài đoạn thẳng với so sánh góc với nhau, việc đòi hỏi học sinh phải có khả tư tốt hình học dặc biệt khơng gian Trong học sinh sử dụng tham số để đưa xét hàm nhiều tốn trở nên đơn giản tránh việc phải sử dụng hình vẽ phức tạp Trong sách tập nhiều tài liệu tham khảo toán chủ yếu sử dụng phương pháp hình học, điều khó đa số học sinh Từ thực tế giảng dạy, đưa tốn góc khoảng cách lớn nhất, nhỏ gải cách đưa xét hàm số học sinh có khả tiếp thu cảm thấy hứng thú với phương pháp Từ lý chọn đề tài “ Phương pháp hàm số giải số toán cực trị góc khoảng cách hình học tọa độ ” góp phần giúp học sinh đồng nghiệp học tốt dạy tốt mơn hình học lớp 10 12 1.2 Mục đích nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải nhanh tập khoảng cách góc lớn nhất, nhr Việc nghiên cứu đề tài giúp cho giáo viên học sinh có thêm cơng cụ để giải số tập cực trị hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu việc tìm khoảng cách góc lớn nhất, nhỏ hình học tọa độ phẳng tọa độ không gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đề tài xây dựng dựa cơng thức góc, khoảng cách Các ví dụ đưa từ dễ đến khó phân chia theo dạng tập sử dụng tham số đường thẳng, sử dụng tọa độ vectơ pháp tuyến, vectơ phương, từ biến đổi đưa tìm GTLN, GTNN hàm số Đề tài sử dụng phương pháp thống kê xử lý số liệu: Thống kê toán dạng đưa cách xử lý toán 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các cơng thức khoảng cách góc: * Cho  : Ax  By  C 0 M( x0 ; y ) Khi : d ( M , )  Ax  By  C A2  B     * Đường thẳng 1 có vtpt n ( vtcp u ) ;  có vtpt n ( vtcp u )   Gọi  góc hai đường thẳng Khi đó: cos   cos( n , n )      n1 n ( n1 n     u1 u cos   cos(u , u )    u1 u ) * Cho (P): Ax  By  Cz  D 0 M( x0 ; y ; z ) , Khi đó: d(M, (P)) = Ax0  By  Cz  D A2  B  C   * Cho (P) có vtpt n P (Q) có vtpt nQ Gọi  hai mặt phẳng   n P nQ    cos   cos n P , nQ       n n P Q   * Cho (P) có vtpt n dường thẳng  có vtcp u Gọi  góc (P)    n u    sin   cos n , u       n u 2.1.2 Các dạng toán: BÀI TỐN 1: Sử dụng tham số phương trình tham số đường thẳng BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến đường thẳng mặt phẳng BÀI TOÁN3: Sử dụng vectơ phương đường thẳng khơng gian BÀI TỐN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến phương trình mặt phẳng khơng gian 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Ở số tập học sinh chọn cách vẽ hình để tìm lời giải, nhiên cách mà học sinh phải có tư tốt hình học Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z +5 x 1 y 1 z    Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 đường thẳng d cho ( ) tạo với (P) góc nhỏ = đường thẳng d: Giải: Cách ( Sử dụng hình vẽ): d cắt (P) I, ( )  (P)  Lấy A thuộc d kẻ AH  (P)  góc d với (P) góc AIH Kẻ HK    góc ( ) với (P) Là góc AKH AH AH  sin AIH AK AI  góc góc ( ) với (P) lớn Ta có sinAKH= A d H I K bắng góc AIK   Ta có d có phương u (2;1;1) ; (P) có vectơ pháp tuyến n (1;2; 1)   cos( u , n )   góc AIK = 30 Ta viết phương trình mặt phẳng ( ) sinAIK = chứa d tạo với (P) góc 30 Đường thẳng d qua hai điểm M(-1;-1;3) N(1;0;4) Giả sử mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d 0 ( a  b  c 0 ) Vì ( ) qua M N nên:   a  b  3c  d 0  c  2a  b    phương trình ( )   a  4c  d 0  d 7a  4b ax  by  ( 2a  b) z  a  4b 0  ( ) có vectơ pháp tuyến n (a; b; 2a  b) ; (P) có vectơ pháp tuyến  n1 (1;2; 1)   Gọi  góc hai mặt ( ) (P) Khi đó: cos   cos(n1 , n2 )      n1 n2 n1 n  a b 5a  4ab  b a b 3  5a  4ab  b  2(a  b) 5a  4ab  b  a 0 (chọ b= 1)  ( ) : y  z  0 Cách 2: (sử dụng phương pháp hàm số) Đường thẳng d qua hai điểm M(-1;-1;3) N(1;0;4) Giả sử mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d 0 ( a  b  c 0 ) Vì ( ) qua M N nên:   a  b  3c  d 0  c  2a  b    phương trình ( )   a  4c  d 0  d 7a  4b ax  by  ( 2a  b) z  a  4b 0  ( ) có vectơ pháp tuyến n (a; b; 2a  b) ; (P) có vectơ pháp tuyến  n1 (1;2; 1)   Gọi  góc hai mặt ( ) (P) Khi đó: cos   cos(n1 , n2 )      n1 n2 n1 n  a b 5a  4ab  b Ta có  nhỏ  cos  lớn TH1: b 0  cos   30 3(a  2ab  b ) TH2: b 0  cos   2(5a  4ab  b )  t 0  6t  6t a t  2t  /  f ( t )  0   t  (với ) 2 (5t  4t  1) b 5t  4t  t   1 lim f (t )  lim f (t )  ; f (0)  ; f (  1) 0 t   t   a So sánh hai trường hợp ta thấy cos  lớn t 0  0  a 0 b Ta xét hàm f (t )  (chọn b =1) Phương trình mặt phẳng ( ) : y  z  0 Nhận xét: Rõ ràng cách đòi hỏi học sinh phải có tư cao không gian 2.3 Các giải pháp giải vấn đề: BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số t phương trình tham số đường thẳng: 1) Phương pháp: Bước 1: Chuyển phương trình đường thẳng phương trình tham số chọn điểm thuộc đường theo tham số t Bước 2: Áp dụng cơng thức khoảng cách, góc xét hàm số theo biến t 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho  : x  y  0 hai điểm A(1;1), B(0;2) Tìm toạ độ điểm M  cho : a) 2MA  MB có giá trị nhỏ b) Tam giác MAB có chu vi nhỏ Giải:  x 1  2t  M (1  2t ; t )  có phương trình tham số:  y  t  a) 2MA  MB 2[4t  (t  1) ]  (2t  1)  (t  2) 15t  10t  15(t  )  16 16  3 16  t   M( ; ) 3 3 , phương trình AB: x  y  0 Chu vi tam giác MAB nhỏ  MA  MB có giá trị nhỏ b) Ta có: AB = MA + MB nhỏ MA + MB = 5t  2t   5t  Xét hàm f (t )  5t  2t   5t  Ta có: f / (t )  5t  5t  2t     5t (5t  1) 0 0   t 2 2 5t   (5t  1) (5t  5) 25t (5t  2t  1) 5t Bảng biến thiên: t   f (t ) f (t )   / 1/7 -  +  10 7 Từ bảng biến thiên suy MA + MB nhỏ t   M ( ; ) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0;2), B(0;3) đường thẳng d: x  y  0 Viết phương trình đường thẳng  qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến  lớn Giải:  x t  y t  Đường thẳng d có phương trình tham số:    Giả sử  cắt d M (t ; t  1)  AM (t ; t  1) đường thẳng phương trình  : (t  1)( x  0)  t ( y  2) 0  (t  1) x  ty  2t 0 t t2  2t  2t / d ( B,  )   d   f (t )  f (t )  0  2t  2t  (2t  2t  1) 2t  2t   t 0 t 1  Bảng biến thiên:   t f (t ) / f (t ) - 0 +  - 1 Từ bảng biến thiên  f (t ) max 1  t 1   : y 2 Ví dụ 3:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai điểm A(1;01), B(2;1;0) đường thẳng  : x  y 1 z   Tìm điểm M thuộc  cho khoảng cách 1 từ M đến AB nhỏ Giải:     Điểm M    M (1  t ;  2t ; t ) Ta có: AB (1;1; 1) ; AM (t;  2t; t  1)     [ AB , AM ] d ( M , )     2t  6t  AB 3  d Min  t   M ( ;2; ) 2 Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;-3) D(1;6;-5) Tìm điểm H đường thẳng CD cho tam giác ABH có chu vi nhỏ Giải: x 1   y4 z   Ta có: CD ( 2; 10;8)  phương trình đường thẳng CD: 1 5     H  CD  H (  t;  5t;3  4t ) ; HA (3  t ;7  5t ;  4t ) ; HB (7  t ;3  5t ;  4t ) Chu vi tam giác HAB nhỏ chi HA + HB nhỏ HA + HB = 42t  84t  59  42t  84t  83  f (t ) / Ta có: f (t )  42t  42 42t  84t  59  42t  42 42t  84t  83 0  t   Bảng biến thiên: t   f (t ) / f (t ) - -1   +  17  41 Từ bảng biến thiên  f (t ) Min  t   H (0;1; 1) Ví dụ 5:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) đường thẳng d : x y2 z   Trong số đường thẳng qua A cắt d, 1 viết phương trình mà khoảng cách từ B đến lớn nhất, nhỏ Giải: Giả sử  đường thẳng qua A cắt d M (1  t;  t ;2t ) Ta có : d ( B, )         AM , AB       56t  304t  416 AM 6t  20t  40 28t  152t  208 3t  10t  20  t   16(11t  8t  60) 28t  152t  208 / 0   30 Xét hàm f (t )  Ta có f (t )  t  (3t  10t  20) 3t  10t  20  11 Bảng biến thiên:   t f (t ) + -2 f (t ) 48 / - 30/11  + 28 28 35 30 11 x y z   Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến lớn  :  3 x y z   Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến nhỏ  : 15 18  19 Từ bảng biến thiên ta có: f (t ) Max  t  f (t ) Min  t  Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0) điểm B(0;2;1) Tìm trục Oz điểm M cho MA + MB nhỏ Giải:     Điểm M thuộc Oz nên M(0;0;t), đó: MA (1;0; t ) , MB (0;2;1  t ) MA + MB =  t   (1  t )  t   t  2t   f (t ) f / (t )  t   t (1  t ) 0 0   2 2 t  2t   t (t  2t  5) (1  t ) (t  1) t1 t 1  t (1  t ) 0   1t  t  1; t  Bảng biến thiên:   t f (t ) / f (t ) - 1/3   +  10  11 3 Từ bảng biến thiên ta có: MA + MB nhỏ  t   M (0;0; ) BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến đường thẳng mặt phẳng: 1) Phương pháp:  Bước 1: Đường thẳng qua M ( x0 ; y ) có vectơ pháp tuyến n (a; b) có phương trình: a( x  x0 )  b( y  y ) 0(a  b 0) a b Bước 2: Sử dụng cơng thức khoảng cách, góc đưa hàm theo biến t = 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;0), B(2;1) Viết phương trình đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ B đến  lớn Giải:  Đường thẳng  qua A có vectơ pháp tuyến n (a; b) có phương trình: a ( x  1)  b( y  0) 0  ax  by  a 0(a  b 0) 2a  b  a a b a  b  2ab d ( B,  )    d2  a2  b2 a2  b2 a2  b2 TH1: b 0  d 1  2t  a t  2t  /  f ( t )  0  t 1 t   f (t ) (với TH2: b 0  d  ) (t  1) b t 1 Bảng biến thiên: t   f / (t ) -1 - +  - f (t ) So sánh hai trường hợp ta thấy d (b, ) lớn t 1  a 1 b ( chọn a 1  b 1 )   : x  y  0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(2;1) Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt hai trục Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ Giải:  Đường thẳng  qua M có vectơ pháp tuyến n (a; b) có phương trình: a ( x  2)  b( y  1) 0  ax  by  2a  b 0(a  b 0) A   Ox  A( 2a  b 2a  b 2a  b a2  b2 ( ;0) ; B   Oy  B (0; )  AB  ab a b ab 0 ) 1  2a  b 2a  b ( 2a  b) S ABC  d (O, ) AB  a2  b2  2 a2  b2 ab ab 2a  b 2a  b    ab  ) (vì a b a 4t  4t  4t  1 xét hàm: f (t )  (với t   o )  f / (t )  0  t  b t t bảng biến thiên: t   f / (t ) f (t ) 1/2 -   +  Từ bảng biến thiên ta có: f (t ) Min 8  t   b 2a (chọn a 1  b 2 ) Vậy:  : x  y  0 BÀI TOÁN3: Sử dụng vectơ phương đường thẳng không gian 1) Phương pháp:  Bước 1: Gọi vectơ phương đường thẳng u (a; b; c) sử dụng giả thiết để tìm mối liên hệ a, b, c Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách, góc dưa xét hàm số 2) ví dụ: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(1;1;1) (P): x + y – z = Viết phương trình đường thẳng  qua A, nằm (P) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng lớn Giải:   Gọi u (a; b; c) vectơ phương  n (1;1; 1) vectơ pháp tuyến (P)    Ta có: u n 0  a  b  c 0  c a  b  u (a; b, a  b) 10       AB (0;1;0)   AB , u  (a  b;0; a )  d ( B,  )            AB , u      u 2a  2ab  b 2a  2ab  2b TH1: b 0  d 1 a 2t  2t  2t  2t  t  f ( t )  (Với ) Xét hàm: b 2t  2t  2t  2t  2t / lim f (t )  lim f (t ) 1 ; f (0)  Ta có: f (t )  (2t  2t  2) 0  t 0 ; t   t   So sánh hai trường hợp thì: d ( B, ) đạt giá trị lớn  b 0 (chọn a = TH2: b 0  d  1)  x 1  t  Phương trình  :  y 0  x   t  Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Giải:  Gọi  đường thẳng qua A song song với (P) Gọi u (a; b; c) vectơ  phương  n (1; 2;2) vectơ pháp tuyến (P)    Ta có: u n 0  a  2b  2c 0  a 2b  2c  u (2b  2c; b; c)       AB (4; 1;2)   AB , u  ( 2b  c;4b  8c;6b  2c)          AB , u  56b  84bc  69c    d ( B,  )    5b  8bc  5c u TH1: c 0  d  56 b 56t  84t  69 56t  84t  69 t  f ( t )  (Với ) Xét hàm: c 5t  8t  5t  8t   t   28t  130t  132 / 0   Ta có: f (t )  (5t  8t  5) t  11  56 11 84 f (t )  lim f (t )  ; f ( ) 21 ; f (  )  Ta có: tlim   t   449 TH2: c 0  d  11 So sánh hai trường hợp d  t    u (26;11; 2)  d : 11 b 11   (chọn b = 11 c = -2 ) c x 3 y z    16 11  BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến phương trình mặt phẳng khơng gian 1) Phương pháp: Gọi phương trình mặt phẳng có dạng: ax  by  cz  d 0 ( a  b  c 0 ),rồi sử dụng giả thiết để đưa phương trình hai ba tham số a, b, c 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) đường x y z   Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d cho 2 khoảng cách từ A đến ( ) lớn thẳng d: Giải: Đường thẳng d qua hai điểm M(1;0;2) N(-1;-1;0) Giả sử mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d 0 ( a  b  c 0 ) Vì ( ) qua M N nên:  2a  b   2a  b c   phương trình ( ) ax  by  ( ) z  a  b 0   d a  b  2a  b 2a  5b  3( )a b 9b 81b 2 d ( A, ( ))    d2  2 8a  5b  4ab  2a  b a  b  ab 2 a b ( ) TH1: b 0  d 0 81 a  f (t ) (với t  ) TH2: b 0  d  b 8t  4t  81 81 f (t )   18  f (t ) Max  t  Ta có 8t  4t  2(2t  )  2 a So sánh hai trường hợp ta thấy d ( A, ( )) lớn  t    b (chọn a 1  b  )  ( ) : x  y  z  0  a  2c  d 0     a  b  d 0 Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;-3) B(0; 4; -4).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A cho khoảng cách từ B đến ( ) lớn Giải: Giả sử mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d 0 ( a  b  c 0 ) Vì ( ) qua A nên:  3a  3c  d 0  d 3a  3c  ( ) : ax  by  cz  3a  3c 0 12 d ( B, ( ))  4b  4c  3a  3c a2  b2  c2  3a  4b  c a2  b2  c2 Ta có: (3a  4b  c) (32   12 )(a  b  c ) 26(a  b  c )  3a  4b  c  26(a  b  c ) a b c ( chọn c   a 3, b 4 )   1  phương trình (  ): x  y  z  0  x 1  t  Ví dụ 3:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y   t  z 2t  Viết phương trình mặt phẳng (  ) chứa d tạo với trục Oy góc lớn  d ( B, ( ))  26  d Maxx  26  Giải: Đường thẳng d qua hai điểm A(1;-2;0), B(0;-1;2) Giả sử mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d 0 ( a  b  c 0 ) Vì ( ) qua A B nên:  a  2b  d 0     b  2c  d 0  a b  (  a  b) c   phương trình ( ) ax  by  z  a  2b 0   d a  2b  ( ) có vectơ pháp tuyến n (a; b;  a b ) ; Trục Oy có vectơ phương  u (0;1;0)     Gọi  góc hai mặt ( ) trục Oy Khi đó: sin   cos( n , u )  n u   n1 u  2b 5a  ab  5b TH1: b 0  sin  0 a 4b Ta có f (t )  (với t  ) đạt giá 2 b 5t  2t  5a  2ab  5b a trị lớn  t    (chọn a = b = -5)  ( ) : x  y  z  0 b TH2: b 0  sin   2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động dạy học: Sau giảng dạy phương pháp đa số học sinh tiếp thu kiến thức biết vận dụng vào toán Dưới bảng kết thu qua hai khảo sát trước sau cho học sinh vận dụng kiến thức sáng kiến kinh nghiệm hai lớp giảng dạy 13 Điểm – 10 Lớp Lớp 10A1 (46 HS) Lớp 12A1 (46 HS) -7 Dưới Sử Sử dụng pp dụng pp khác SKKN 18HS = 30HS = 20HS = 39,1% 65,2% 43,5% Sử Sử dụng pp dụng pp khác SKKN 10HS = 20HS = 28HS = 21HS = 8HS = 5HS = 21,7% 42,5% 60,1% 45,7% 18,2% 11,8% Sử dụng pp khác Sử dụng pp khác Sử dụng pp SKKN 12 HS =26% Sử dụng pp SKKN Sử dụng pp khác Sử dụng pp SKKN 8HS = 4HS = 17,4% 8,8% Sử dụng pp khác Sử dụng pp SKKN Trong trình giảng dạy, giáo viên cần làm rõ hai bước: Chọn tham số thích hợp biến đổi đưa việc xét hàm số Học sinh phải tiếp cận phương pháp từ dễ đến khó từ gây hứng thú cho học sinh KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận “ Phương pháp hàm số giải số tốn cực trị góc khoảng cách hình học tọa độ ” chuyển toán phức tạp toán đơn giản, ngắn gọn, giúp học sinh có hứng thú với mơn hình học Đề tài áp dụng với nhiều đối tượng học sinh 3.2 Kiến nghị Sáng kiến kinh nghiệm cần giáo viên học sinh sử dụng buổi dạy có nội dung liên quan XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 14 Nguyễn Sỹ Duẩn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tập hình nâng cao lớp 10 - Nhà xuất giáo dục Sách tập hình nâng cao lớp 12 - Nhà xuất giáo dục Trần Phương Bài giảng trọng tâm ôn luyện mơn tốn tập NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2009 Nguyễn Thị Thu Hương (2010) Một số tốn cực trị hình học khơng gian; Tuyển chọn theo chuyên đề toán học & tuổi trẻ (quyển 5) NXB Giáo Dục Việt Nam 15 ... tốn góc khoảng cách lớn nhất, nhỏ gải cách đưa xét hàm số học sinh có khả tiếp thu cảm thấy hứng thú với phương pháp Từ lý chọn đề tài “ Phương pháp hàm số giải số tốn cực trị góc khoảng cách hình. .. viên học sinh có thêm cơng cụ để giải số tập cực trị hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu việc tìm khoảng cách góc lớn nhất, nhỏ hình học tọa độ phẳng tọa độ không gian 1.4 Phương. .. tính khoảng cách tính góc Các em thường gặp khó khăn phương pháp, không Khi giải tốn khoảng cách góc lớn nhất, nhỏ hình giải tích lớp 10 lớp 12 đa số học sinh gặp nhiều khó khăn phương pháp sử