SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH học để GIẢI NHANH một số bài TOÁN cực TRỊ về TOẠ độ TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ VỀ TOẠ ĐỘ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực : Lê Minh Hoà Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn học THANH HỐ, NĂM 2019 – MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 mơn Tốn tiếp tục năm thứ với hình thức thi trắc nghiệm Các toán cực trị hình học độ toạ khơng gian thường tốn vận dụng Vì thế, học sinh dễ bình tĩnh, hoang mang khơng biết phải nhận dạng làm toán cực trị toạ độ hình học tọa độ khơng gian nào, lấy yếu tố điểm quan trọng để phát vấn đề Có nhiều phương pháp để giải toán phương pháp hàm số, phương pháp hình học Tuy nhiên, để giải nhanh tốn cực trị toạ độ hình học tọa độ khơng gian, cần tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính tốn vài dòng đơn giản kết Trong trình trực tiếp giảng dạy chương: Phương pháp toạ độ khơng gian chương trình hình học lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, rút phương pháp giúp học sinh giải vấn đề nhanh xác Và viết thành sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh số tốn cực trị toạ độ hình học khơng gian ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu trực quan dạng cực trị toạ độ hình học khơng gian, kĩ phán đốn, phân tích nhanh nhạy, xác vấn đề phát triển tư học sinh: tư phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo tạo thói quen cho học sinh giải vấn đề ln ln tìm tòi khám phá điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt để giải vấn đề nhanh, xác 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng chương: Phương pháp toạ độ khơng gian chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trên sở lý thuyết sách giáo khoa, trước câu hỏi trắc nghiệm cực trị toạ độ hình học khơng gian, thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ kiến thức học, trình bày cực trị toạ độ hình học gian nhận dạng có dài, thời gian hay khơng ? Có giải vấn đề hay khơng ? Có gặp khó khăn khơng? Từ khuyến khích em, phát tìm đặc điểm đặc trưng làm dấu hiệu nhận biết để giải vấn đề xác triệt để Để học sinh tiếp cận vấn đề, đưa tốn cực trị toạ độ hình học khơng gian đặc trưng phương pháp hàm số để giải qua thấy việc giải theo phương pháp thời gian Vì đưa dấu hiệu nhận biết đặc trưng tốn để từ học sinh hình dung cách trực quan biết cách sử dụng phương pháp hình học vào tốn để đưa phương án trả lời nhanh xác – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận: Để thực đề tài, cần dựa kiến thức bản: r r u1.u2 r r - Công thức tính góc hai đường thẳng cosϕ = r r u1 , u2 u1 u2 hai VTCP hai đường thẳng rr n.u - Cơng thức tính góc hai đường thẳng mặt phẳng sinΨ = ur ur r r u , n hai VTPT VTCP mặt phẳng đường thẳng r r n1.n2 r r - Cơng thức tính góc hai đường thẳng cosϕ = r r n1 , n2 n1 n2 lần luợt hai VTPT hai mặt phẳng - Cơng thức tính khoảng cách hai điểm A(x;y ;z ); B(xB;yB;zB) AB= ( xB − xA )2 + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) - Khoảng cách từ điểm M(x0;yo;zo) đến mặt phẳng (α) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 là: d(M,(α)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C - Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng ∆ qua M0 có vectơ r r r  M M , u  r phương là: d(M1, ∆ ) = u - Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆ ’, ∆ qua điểm M0 , có vectơ phương đường thẳng ∆ ’ qua điểm M1 , có vectơ r r uuuuur phương ’ là: d( ∆ , ∆′ ) = [ u , u '] MM ′ urur u ,u ′   uuur uuur - Cơng thức tính diện tích hình bình hành : SABCD=  AB, AD  uuur uuur - Cơng thức tính diện tích tam giác : SABC=  AB, AC  uuur uuur uuur  - Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A’B’C’D =  AB, AD  AA′ uuur uuur uuur - Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD =  AB, AC  AD Chú ý: Các công thức tính góc nêu có điều kiện: ≤ ϕ; Ψ ≤ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Cực trị toạ độ hình học khơng gian nội dung quan trọng chương trình tốn lớp12 khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia Bài toán cực trị toạ độ hình học khơng gian phần thể rõ việc nắm kiến thức cách hệ thống bao quát phần thể kĩ nhận dạng tính tốn nhanh nhạy, kĩ tổng hợp kiến thức học sinh thực giải quyếvấn đề Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm cực trị toạ độ hình học khơng gian nhìn đơn giản học sinh không nắm dấu hiệu đặc trưng thời gian giải vấn đề lâu, nhiều cơng sức, tạo tâm lí nặng nề, bình tĩnh, tiêu tốn thời gian dành cho câu trắc nghiệm khác Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12C1 trực tiếp giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Hàm Rồng , kết sau: Năm Lớp Sĩ số 2017- 2018 12C1 42 Số học sinh trả lời xác Số học sinh trả lời xác 30s – 1p 18 Đứng trước thực trạng nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức, trọng rèn rũa kỹ phát phân dạng toán, cần tìm vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy Từ phát triển tư cho học sinh để sở học sinh khơng học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề: Để làm tốn cực trị toạ hình học khơng gian, học sinh dựa vào phương pháp hàm số Sau ta xét số toán cực trị toạ độ không gian phương pháp hàm số Đây cách thức trước đổi 2.3.1 Các tốn cực trị toạ độ hình học không gian giải phương pháp hàm số Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d cách điểm M ∉ d khoảng lớn Ví dụ 1: Lập phương tình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d: = = cho khoảng cách từ M(2;5;3) tới (α) lớn Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (α) chứa d có VTPT: (A;B;C) có dạng: A(x-1) + By + C(z-2)=0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) r r Ta có d ⊂(α) ⇔ ud n = ⇔ B = -2A -2C α ⇒ d ( M , (α )) = A+C A2 + AB + 5C ( A + C )2 = A2 + AB + 5C TH1: Nếu C= d ( M , (α )) = TH1: Nếu C ≠ đặt t = d ( M , (α )) = Xét hàm số: f (t ) = (t + 1) 5t + 8t + (t + 1) 5t + 8t + = f (t ) ⇒ f '(t ) = ⇔ t = ±1;f(−1) = 0;f(1) = f (t ) = , tlim →±∞ Lập bảng biến thiên ⇒ Max f(t) = t= Vậy Max d(M,(α)) = =1 Từ TH1 TH2 suy A = C B = -4C ⇒ phương trình mặt phẳng cần tìm x - 4y + z - = Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’( d’ khơng song song với d) góc lớn Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: = = d’: = = , Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d chogóc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ lớn Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (α) chứa d có VTPT: (A;B;C) có dạng: A(x-1) + By + C(z-2)=0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) Ta có d ⊂ (α) ⇔ urd nr α ⇔ = ⇔ C = A+2B Gọi góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ là: Ψ, (0 ≤ Ψ ≤ ) sinψ = A + 3B A2 + AB + 5B = (4 A + 3B) 2 A2 + AB + 5B - TH1: Nếu B = Sin Ψ= (1) - TH2: Nếu B ≠0, đặt t = sinψ = Xét hàm số f(t) = (4t + 3) 2t + 4t + (4t + 3) 2t + 4t + ⇒ Max f(t) = t = -7 hay = -7 Vậy Max Sin Ψ= So sánh TH1 TH ⇒ Ψmax ⇔ Sin Ψ= với = -7 ⇒ Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - = Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng ( P ) cho trước cách điểm M cho trước khoảng nhỏ ( AM khơng vng góc với (P)) Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) : x + 3y - z - = 0, A(1;0;0) , M(0; - 2;3) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách M khoảng lớn nhất,nhỏ nhất: Hướng dẫn : r Gọi VTCP đường thẳng d là: u (a; b;c), a + b + c ≠ uu r uu r d ⊂ (P) ⇔ ud nq = ⇔ c = a +2 b ; uuuu r AM (−1; 2; −3) ; uu r uuuu r ud , AM  = ( - 2a - 7b ; 2a - 2b ; 2a + b )   12a + 24ab + 54b => d( M, d) = 2a + 4ab + 5b - TH1: Nếu b = d (M,d ) = 12a + 24ab + 54b - TH2 : Nếu b≠0 d (M,d ) = = f (t ) 2a + 4ab + 5b 12t + 24t + 54 f ( t ) Xét hàm số = => < d( M, d ) ≤ 14 2t + 4t + So sánh TH1 TH2 => ≤ d ( M, d ) ≤ 14 +) Max (d (M,d)) = 14 ⇔ a = -b chọn b = -1 => a =1 , c = -1  x = −1 − t  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y = t z = t  +) Tương tự cho trường hợp lại Nhận xét: Có nhiều tốn cực trị toạ độ khơng gian giải phương pháp hàm Tuy nhiên cách làm lại gặp khó khăn nhiều thời gian Vì tơi hướng dẫn học sinh dựa vào vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy để tìm phương án xác cách nhanh Sau ta xét số toán quen thuộc thêm khác để thấy rõ tính ưu việt phương pháp hình học giải nhanh toán cực trị toạ độ hình học khơng gian.Trên sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa cách giải ngắn gọn Sau toán sau đổi mới: 2.3.2 Các toán cực trị toạ độ hình học khơng gian giải phương pháp hình học Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d cách điểm M ∉ d khoảng lớn Hướng dẫn : Gọi hình chiếu vng góc M mặt phẳng d lần M lượt H, K Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng đoạn MH ≤ MK Vậy MH lớn H trùng K Hay mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng chứa M d dK H r uur uuuu r uur Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến n =  ud , AM  , ud  A ∈ d Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng d : x −1 y z + = = cách −1 M(2;1;1) khoảng lớn uur Hướng dẫn :Ta có ud = (2;1; −1) , A(2;1;-1) => AM = (1;1;3) Vậy r uur uuuu r uur n =  ud , AM  , ud  = (−6; −6; −18) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:   (x - 1) + y + 3(z + 2) = x + y + 3z + = Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng 1  (Q): 2x - y + z - = cách điểm M  ;0;2 ÷ khoảng lớn 2  Hướng dẫn: Bản chất mp cần tìm qua đường thẳng cố định qua O vng góc với (P) Nếu véc tơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm r uuuu r uuuu r uuuu r n =   n(Q ) , OM  , n(Q )    Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’ khơng song song với d) góc lớn Hướng dẫn: Lấy K điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song với d’ Gọi H I hình chiếu vng góc M (P) MH MI · = ≤ d Khi sin(d ',( P)) = cos KMH KM KM (dK Hd' IM P ) Vậy góc d (P) lớn H trùng I, hay (P) mặt uuur phẳng nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) mặt phẳng chứa d vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song với d’ r uur uur   n = u , u  ; Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) cần tìm  d d   Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d : x −1 y +1 z − = = tạo 2 x +1 y z −1 = = góc lớn r uur uuu r uur   Hướng dẫn: Ta có: n =  ud , ud ′  , ud  = (3; −12;3) (P) qua điểm A(1; −1;2) với đường thẳng d ': nên có phương trình (x-1)-4(y+1)+(z-2)=0 x-4y+z-7=0 Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng qua O vng góc với mặt phẳng (P):2x+y-z-1=0 tạo với trục Oy góc lớn Hướng dẫn: Bản chất không thay đổi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến r uur r uur   n =  nP , j  , nP  = (−2;5;1) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm 2x-5y-z=0   Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng qua O, song song với đường thẳng d: x −1 y z − = = vào tạo với mặt phẳng (P): x+2y-z+1=0 góc nhỏ Hướng dẫn: Bản chất tốn tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a (qua O song song với d) tạo với đường thẳng b vng góc với mp (P) góc lớn Vậy véc tơ pháp tuyến mp cần tìm r uur uur uur n =  ud , nP  , ud  = (−12; −27;17) nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: 12x   + 27y - 17z = Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) tạo với trục Ox góc lớn Hướng dẫn: Mặt phẳng cần tìm qua AB, mặt phẳng chứa đường thẳng r uuu r r uuu r   = ( −17; −1;4)   n = AB , i , AB AB cố định cho trước Vậy    Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng ( P ) cho trước cách điểm M cho trước khoảng nhỏ ( AM không vuông góc với (P)) Hướng dẫn: Gọi H K hình chiếu vng góc M (P) d Dễ thấy d ( M ; d ) = MK ≥ MH M Khoảng cách nhỏ K ≡ H Hay d đường thẳng qua A hình chiếu H M (P).Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm uur uuuu r uuuu r uuuu r ud =   n( P ) , AM  , n( P )    d A KH Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ O, nằm mặt phẳng (P): 2x - y + z = cách điểm M(1;2;1) khoảng nhỏ Hướng dẫn: Ta có véc tơ phương đường thẳng cần tìm uur uuuu r uuuu r uuuu r    ud =  n( P ) , OM  , n( P )  = (−4; −13; −5)   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x y z = = 13 Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;2), vng góc với đường thẳng a: x +1 y z − = = cách gốc toạ độ O khoảng nhỏ 2 Hướng dẫn: Bản chất d đường thẳng qua A nằm mặt phẳng cố định (qua A vng góc với a) Nên vec tơ phương uur uur uuu r uur ud =  ua , OA , ua    Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d qua O song song với mặt phẳng (P):2x-y-z+1=0 cách điểm M(1;-1;2) khoảng nhỏ Hướng dẫn: Bản chất d đường thẳng qua O nằm mặt phẳng cố định (qua O song song với (P)) Nên véc tơ phương uur uuuu r uuuu r uuuu r    ud =  n( P ) , OM  , n( P )    Ví dụ 10: Tìm cặp số nguyên dương (a,b) nhỏ để khoảng cách từ O đến  x = + a + at  (a ≠ 0) nhỏ đường thẳng d :  y = + b + bt  z = + 2a − b + (2a − b)t  Hướng dẫn: Đường thẳng d cho qua điểm cố định A(1;2;1) uur r ud = (a; b;2a − b) ⊥ n(2; −1; −1) nên d nằm mặt phẳng (P) qua A có véc tơ r pháp tuyến n Vậy véc tơ phương đường thẳng cần tìm uur r uuu r r a = a b 2a − b ud =   n, OA , n  = ( −8; −11; −5) Vậy ta phải có: = = =>    11 b = 11 Bài tốn 4: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước, nằm mặt phẳng (P) cách điểm M ( M khác A, MA khơng vng góc với (P)) khoảng lớn Hướng dẫn:Gọi H , K hình chiếu vng góc M (P) d Khi ta dế thấy d (M ; d ) = MK ≤ MA , M khoảng cách d ( M ; d ) lớn K trùng A, hay d đường thẳng nằm (P), qua A vng góc với AM d uur A KH uuuu r uuuu r Đường thẳng d cần tìm có véc tơ phương là: ud =  n( P ) ; AM  10 Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;-1) cho trước, nằm mp (P): 2x - y - z = cách điểm M(0;2;1) khoảng lớn Hướng dẫn: Ta có vec tơ phương đường thẳng cần tìm r uuuu r r u =  AM , n  = (1;3; −1) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x −1 y −1 z +1 = = −1 Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ O, vng góc với x −1 y z = = cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn −1 −2 r uuu r uuuu r   u = u , AM Hướng dẫn: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm  d1  đường thẳng d1 : Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;0;2), song song với mặt phẳng (P): 2x-y+z-1=0 cách gốc toạ độ O khoảng lớn r uuu r uuuu r  u = OA ; n Hướng dẫn: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm là: ( P )    z = − 2a + at  Ví dụ 14: Tìm a để đường thẳng d :  y = −2 + 2a + (1 − a)t z = 1+ t  (a tham số) cách 1  điểm M  ;1;4 ÷ khoảng lớn 2  Hướng dẫn: Dựa vào phương trình tham số đường thẳng d cho, ta thấy d qua điểm cố định A(1;0;3) ứng với t=2 vng góc với đường thẳng có véc uu r tơ phương u1 = (1;1; −1) Do véc tơ phương đường thẳng d uur uu r uuuu r  −1  khoảng cách từ điểm M đến lớn : ud = u1, AM  =  2; ; ÷  2 a 1− a = = a = −1 Vậy ta có: 2 11 Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) điểmA ∈ ( P ) , đường thẳng d ( d cắt (P) d khơng vng góc với (P)) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, nằm (P) tạo với d góc nhỏ Hướng dẫn: Từ A vẽ đường thẳng AM//d Gọi H, I hình chiếu vng góc M (P) d’ Ta có MH MI · cos(d ; d ') = cos MAH = ≤ AM MA Vậy góc (d;d’) bé I trùng H d M (dA IH P' ) Hay d’ qua A H, hay d’ qua A song song với hình chiếu vng góc d (P) Véc tơ phương đường thẳng d’ cần tìm uuu r uuuu r uuuu r uur ud ' =  n( P ) ,  n( P ) , ud     Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O, nằm mặt phẳng (P):2x+y-z=0 tạo với đường thẳng d : x y −1 z +1 = = góc nhỏ −1 Hướng dẫn: Véc tơ phương đường thẳng cần tìm uur uuuu r uuuu r uur ua =  n( P ) ,  n( P ) , ud   = (−10;7; −13)   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x y z = = −10 −13 Ví dụ 16: Viết phương trình đường thẳng qua O, vng góc với đường thẳng d: x −1 y −1 z +1 = = tạo với mặt phẳng (P): x - y + 2z - =0 góc lớn 2 12 Hướng dẫn: Bản chất toán 5, với véc tơ phương đường thẳng r uur uuuu r uur    ,u  u = u , n cần tìm là:   d ( P)  d  Ví dụ 17: Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O, cắt đường thẳng d : x y −1 z = = tạo với trục Oy góc nhỏ Hướng dẫn: Bản chất đường thẳng cần tìm qua O nằm mp(O;d) Do r urr r véc tơ phương cần tìm u =   n, j  , n  Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( P) điểm A ∈ ( P ) đường thẳng d cắt (P) điểm khác M khác A Viết phương trình đường thẳng d’ nằm (P), qua A khoảng cách d d’ lớn Hướng dẫn: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d song song với d’ Khi d (d; d ') = d (( Q); d ') = d (A, ( Q)) Theo toán 1, khoảng cách lớn uuuu r uur uur uuu r     , B ∈ d Khi d’//(Q) d’ nằm (P), nên n = u , u , AB (Q )  d  d  uuu r uuuu r uuuu r  ud ' =  n(Q ) , n( P )  Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm là: uuu r uuuu r uur uur uuu r ud ' =  n( P ) , ud , u d , AB    , B ∈ d    Ví dụ 18: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z - = 0, A(0;2;1) đường thẳng d ': x −1 y z = = Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm (P) khoảng cách d d’ lớn Hướng dẫn : Gọi (Q) mặt phẳng chứa d cách A khoảng lớn Khi uuuu r uuu r uuu r uuu r     = (−10;4;2) , B (1;0;0) ∈ d ' n = u , u , AB ta có: , (Q )  d '  d '  uur uuuu r uuuu r  u = n , n Véc tơ phương đường thẳng d cần tìm là: d  (Q ) ( P )  = (2;14; −18) 13 Phương trình đường thẳng d : x y + z −1 = = −9 Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng d / / ( P ) Viết phương trình đường thẳng d ′ / /d cách d khoảng nhỏ Hướng dẫn :Gọi A điểm thuộc d, A’ hình chiếu A (P) Khi đường thẳng d’ cần tìm qua A’ song song với d Ví dụ 19: Cho mặt phẳng ( P) : 2x − y + z +1 = Viết phương trình đường thẳng d nằm mp(P), song với mặt phẳng ( Q) : x − y + z + = cách gốc O khoảng nhỏ Hướng dẫn :Đường thẳng d cần tìm qua hình chiếu O’ O mp(P) có uur uuuu r uuuu r  u = n , n véc tớ phương d  ( P ) (Q )  Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A cách điểm M ( khác A) khoảng lớn r uuuu r Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến mp cần tìm n = AM Ví dụ 20: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1;1;-3) cách điểm M(2;1;1) khoảng lớn r uuuu r Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến mp cần tìm n = AM = ( 1;1; −3) Do phương trình mặt phẳng cần tìm ( x −1) + y − ( z + 2) = ⇔ x + y − 3z − = Bài tốn 9: Các tốn khác đòi hỏi cần có trực giác hình học để giải nhanh Ví dụ 21: Cho đường thẳng d : x −1 y z −1 = = , viết phương trình đường thẳng 2 d’ song song với d, cách d khoảng cách điểm K(-3;4;3) khoảng lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn : Giả sử mp(P) qua K vng góc với d cắt d I, d’ M Khi ta có IM = , mp(P): ta cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính 14 R=3 cách K khoảng nhỏ nhất, lớn Gọi I ( 1+ 2t;t;1+ 2t ) , KI = ( + 2t;t −4; −2 + 2t ) , ud = ( 2;1; 2) , KI.ud = ⇔ t = Vậy I ( 1; 0;1)và IK = > Dễ thấy KM nhỏ M trùng E, KM lớn M trùng F Để tìm E ( x; uur uur y; z ) ta dùng véc tơ IE = IK E = (−1;2;2) K F IM E Vậy phương trình đường thẳng d’ cách K khoảng nhỏ x +1 y − z − = = Tương tự phương trình đường thẳng d’ cách K khoảng 2 lớn x −3 y −2 z = = 2 Ví dụ 22: Cho đường thẳng d : x −3 y −3 z −3 = = Viết phương trình đường −2 1 thẳng d’ song song với d, cách d khoảng ∆: cách đường thẳng x − y x −1 = = khoảng nhỏ (lớn nhất) −2 Hướng dẫn :đường thẳng d’ cần tìm đường sinh mặt trụ tròn xoay có trục d, bán kính R = Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆ song song với d Dễ dàng thấy ngay, d’ giao mặt trụ với mặt phẳng (Q) chứa d vng góc với (P) ( trường hợp (P) khơng cắt mặt trụ ) uuuu r uur uur Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) = ud , u∆  = (3;3;3) Phương trình mặt phẳng (P) : x + y + z - = Lấy I(3;3;3) ∈ d, hình chiếu I (P) 15 H(1;1;1), IH = Gọi M(x;y;z) giao điểm IH với mặt trụ (Gần (P)) uuur uuu r Ta có: IM = IH => M (2;2;2) Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm qua M là: x−2 y−2 z−2 = = −2 1 *Bài tập tự luyện: x = 1+ t  Câu 1: Cho mặt phẳng (P) : 2x - y + z - = đường thẳng d :  y = + t Gọi z = 1− t  d’ đường thẳng nằm (P), song song với d khoảng cách d d’ nhỏ Hỏi d’ qua điểm sau đây? 2  1 4 2 2 5 2 A M  − ; ; − ÷ B M  ; ; ÷ C M  ; ; ÷ D M  ; −1; − ÷ 3  3 3 3 3 3 6 3 Câu 2: Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A(1;0;1), B(2;1;3) cách gốc toạ độ O khoảng lớn (P) qua điểm sau đây? A M(0;2;-1) B M(1;1;1) C M(3;2;1) D M(-1;1;1) Câu 3: Gọi d đường thẳng qua O nằm mặt phẳng (Oxy) cách điểm M(1;-2;1) khoảng nhỏ Tính góc d trục tung D arccos 5 x = + t  Câu 4: Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = − t tạo với trục Oz  z = 2t  A arccos B arccos C arccos góc lớn Hỏi mp (P) qua điểm dây? A M(1;3;2) B M(2;1;0) C M(4;1;1) D M(1;1;1) 16  x = at  (t ∈ R ) (a,b tham số biết) Câu 5: Cho đường thẳng d :  y = bt  z = − ( a + 2b)t  Biết khoảng cách d Ox lớn Tính a a a =− C = D = −4 b b b x = 1+ t  Câu 6: Cho đường thẳng d :  y = Gọi d’ đường thẳng qua điểm z = 1+ t  A a =0 b a b B I(1;2;1) tạo với d góc 300 cách điểm J(0;0;-2) khoảng nhỏ Một véc tơ phương d’ là: r r r r A u = (−1;1;0) B u = (1;1;0) C u = (−1;0;1) D u = (−1;1;2) Câu 7: Cho hai điểm A(0;0;3), B(1;4;0) mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 -8y +2z +9 =0 Gọi M thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ |MA - 2MB| A 2 B C D Câu 8: Gọi d đường thẳng qua O song song với mặt phẳng (P):2x+3yz+1=0 tạo với trục Ox góc nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây? A M(5;-3;1) B M(2;-3;-1) C M(4;6;2) D (5;-6;1) Câu 9: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;2;0) nằm mặt phẳng (xOy) cách điểm B(2;1;1) khoảng lớn Tìm véc tơ phương d r r r r A u = (1;2;0) B u = (1; −1;0) C u = (1;1;0) D u = (−2;1;0) Câu 10: Gọi (P) mặt phẳng qua O song song với đường thẳng d: x y −1 z +1 cách điểm A(-1;2;3) khoảng lớn Hỏi (P) song = = 2 song với đường thẳng sau đây? x −1 y z = = −1 −2 x + y −1 z +1 C = = 1 −2 A x + y z +1 = = 12 −4 x +1 y z D = = −2 −2 −1 B 17 x = + t  Câu 11: Cho đường thẳng d :  y = + t điểm M(2;-4;-1) Gọi d’ đường z = + t  thẳng song song với d cách d khoảng R = cách điểm M khoảng nhỏ Hỏi d’ qua điểm đây? A K(3;2;3) B K(0;-2;5) C K(3;1;2) D ??? Câu 12: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;2;4), nằm mp (P): 2x+y3=0 tạo với trục Oy góc nhỏ Hỏi d qua điểm sau đây? A M(-1;6;4) B M(-1;-6;4) C M(-1;6;-4) D M(1;2;6) Câu 13: Cho mp (P): 2x+y+z-4=0, A(1;1;1) Gọi d đường thẳng qua A nằm (P) cách O khoảng nhỏ Hỏi d qua điểm đây? A M(-1;6;0) B M(-1;3;3) C M(0;3;1) D M(0;0;4) Câu 14: Gọi d đường thẳng qua A(1;-2;1) vng góc với trục Oy tạo với x = − t  đường thẳng d :  y = 2t góc nhỏ d nhận véc tơ làm véc tơ z = 1+ t  phương? r r r r A u = (1;0;2) B u = (−1;2; −1) C u = (1;0;1) D u = (−1;0;1) Câu 15: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;-2;4), song song với mặt phẳng x+y-z+1=0 tạo với Oy góc lớn Góc d Ox là: A 600 B 300 C 450 D arccos x = + t  Câu 16: Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng d :  y = t cách A(1;1;1)  z = + 2t  khoảng lớn Hỏi (P) nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến? r r r r A n = (3;1; −2) B n = (1; −1;0) C n(0; −2;1) D n = (1;1; −1) 18 Câu 17: Gọi (P) mặt phẳng chứa trục Ox, tạo với đường thẳng d: x −1 y +1 z = = góc lớn Hỏi mp (P) qua điểm đây? −2 A A(3;-1;1) B A(1;3;4) C A(1;2;1) D A(-1;1;2) Câu 18: Gọi d đường thẳng qua A(1;2;-1) vng góc với trục Ox cách điểm M(2;1;-2) khoảng nhỏ Một vec tơ phương d là: r r r r A u = (3; −2;1) B u = (−1;2;1) C u = (0;2; −1) D u = (0;1;1) Câu 19: Gọi (P) mặt phẳng qua gốc toạ độ O, vng góc với mp (Q): 2x-yz+1=0 tạo với trục Oz góc lớn Hỏi (P) qua điểm đây? A M(-2;1;1) B M(1;2;-1) C M(1;1;1) D M(1;-1;1) Câu 20: Gọi d đường thẳng qua gốc toạ độ O vng góc với đường thẳng d : x + y −1 z = = cách điểm A(2;-1;1) khoảng lớn Hỏi d −1 qua điểm sau đây? A M(3;-4;1) B M(1;-2;0) C M(2;1;2) D M(-2;-4;0) Câu 21: Cho mặt phẳng (P): x-y+z=0 điểm A(2;1;-1) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) khoảng cách Oy d lớn Góc d Oz là: 1 C arccos D 600 Câu 22: Cho mặt phẳng (P): x - y - 2z + = điểm A(2;1;-1) Gọi d đường A 450 B arccos thẳng qua A, nằm (P) Tính khoảng cách lớn Oy d B d (d ; Oy ) = C d (d ; Oy ) = D d (d ; Oy ) = 5 5 2 Câu 23: Cho hai điểm A(0;0;3), B(4;1;-2) mặt cầu (S): x +y +z -8y+2z+9=0 A d (d ; Oy ) = Gọi M thuộc mặt cầu (S) cho MA + 2MB nhỏ Hoành độ điểm M là: D xM = Câu 24: Gọi d đường thẳng qua điểm A(1;-2;4, song song với mặt phẳng A xM = B xM = -3 C xM = − x+y-2z+1=0 tạo với Oy góc lớn Một véc tơ phương d là: 19 r r r r A u = (−1;5;2) B u = (1;1;1) C u = (5;1;3) D u = (2;0;1) Câu 25: Cho mặt phẳng (P): x- y + z -1 = điểm A(2;1;0) Gọi d đường thẳng qua A, nằm (P) khoảng cách Ox d lớn Một véc tơ phương d là: r r r r A u = (1;1; −1) B u = (0;1;1) C u = (1;1;1) D u = (0;1; −1) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp số ví dụ cụ thể tơi tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học sinh lớp kết sau: Năm Lớp Sĩ số Trước thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời trả lời xác xác 30s – 1p 201712C1 42 18 2018 Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời trả lời xác xác 30s – 1p 38 35 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12C1, trường THPT Hàm Rồng , nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, lại giải loại câu hỏi trắc nghiệm cách đơn giản, dễ hiểu Chính em cảm thấy hứng thú với môn học nên nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Ngoài em học cách tìm tòi, khám phá tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn, xác hiệu 3.2 Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần cực trị toạ độ hình học không gian hướng dẫn cho học sinh thực trắc nghiệm phần này, nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút đặc điểm dấu hiệu nhận biết vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy 20 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 2019 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Minh Hoà MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 2.2 Cơ sở lí luận: Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 21 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học Hình học nâng cao 12 nhà xuất giáo dục [2] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [3] Phương pháp giải tốn Hình học giải tích không gian tác giả Lê Hồng Đức năm 2012 [4] Đề minh hoạ Bộ giáo dục đào tạo năm 2018 [5] Ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian tác giả Phan Huy Khải năm 2012 23 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐẠT GIẢI Phương pháp toạ độ giải tốn hình học phẳng năm học 2014-2015 24 ... tốn cực trị toạ độ hình học tọa độ không gian nào, lấy yếu tố điểm quan trọng để phát vấn đề Có nhiều phương pháp để giải tốn phương pháp hàm số, phương pháp hình học Tuy nhiên, để giải nhanh toán. .. đề: Để làm toán cực trị toạ hình học khơng gian, học sinh dựa vào phương pháp hàm số Sau ta xét số toán cực trị toạ độ không gian phương pháp hàm số Đây cách thức trước đổi 2.3.1 Các tốn cực trị. .. dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa cách giải ngắn gọn Sau toán sau đổi mới: 2.3.2 Các toán cực trị toạ độ hình học khơng gian giải phương pháp hình học Bài