skkn phương pháp tọa độ trong hình học phẳng (một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn)

TRƯỜNG THPT TIÊN LỮSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Môn: Toán THPT Tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Hiền Giá

TRƯỜNG THPT TIÊN LỮ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

(MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ

ĐƯỜNG TRÒN)

Môn: Toán THPT Tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Hiền Giáo viên môn: Toán

Năm học 2013 - 2014

MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặpcác dạng toán trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Đó là những dạngtoán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được hoặc có thể giải đượcnhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp Hơn nữa kiến thức áp dụng rất rộng đượcxuyên suốt từ THCS đến THPT Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng

về phương pháp cũng như tính toán Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon vềmột số dạng toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đềtài "Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài toán có liên quanđến đường thẳng và đường tròn"

II PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu đối tượng là học sinh trường trung học phổ thông Tiên Lữ

- Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học,Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

III CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượnghọc sinh, điều kiện của từng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khảnăng hợp tác; Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh Quátrình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ nănghoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trìnhhoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tựđiều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra

IV THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy giải các bài toán liên quanđến đường thẳng và đường tròn học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường

lúng túng về phương pháp cũng như tính toán Phương pháp tọa độ trong mặtphẳng học sinh bắt đầu được làm quen ở chương trình THCS, đến cấp THPT họcsinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về dạng này, nhưng học sinh khôngnhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phươngpháp để giải quyết bài toán trọn vẹn Số lượng bài toán thuộc các dạng toán nêutrên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng

và học sinh giỏi những năm gần đây

V CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạngtoán và phương pháp giải theo các dạng

VI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lạihiệu quả rõ nét Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua

đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo Nâng cao khả năng tự học, tự bồidưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán

VII ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quanđến đường thẳng và dường tròn và áp dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 11A2,11A3 trường THPT Tiên Lữ

NỘI DUNGCÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy

1) a= (a1; a2) <=> a= a1 i +a2 j

2) Cho a = (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

a b = (a1 b1; a2 b2)3) Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

a.b= a1b1 + a2b2

a = 2

2 2

k

kx x x

B A M

B A M

11

Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

2

B A M

B A M

y y y

x x x

Nếu G là trọng tâm ABC thì

C B A G

y y y y

x x x x

3 Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương

Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2) Ta có:

1) a b  a.b= 0  a1b1 + a2b2 = 0

1 Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến Khoảng cách

từ đỉnh tam giác đến trọng tâm bằng 2

3 độ dài trung tuyến

2 Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao

H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC 0

Hoặc I d 1 d2 với d1, d2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC

4 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong củatam giác đó

5 Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

5) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và song song với: Ax + By+ C = 0

- d song song với: Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng:

7) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau

2 1

1 1 1

B A

C y B x A

2 2 2

B A

C y B x A

AA BB c

1 Góc giữa hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng 1 và 2cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1

và n2

Gọi  là góc hợp bởi 1 và 2, ta có: cos =

2 1

2 1

.

.

n n

n n

(0 900)

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng :

Ax + By + C = 0 được cho bởi:

d(M0; ) = 0 2 0 2

B A

C By Ax







Lưu ý:

1 Tìm một số x tương đương dạng toán lập phương trình ẩn số x và giải

2 Tìm hai số x, y tương đương dạng toán lập phương trình 2 ẩn số x và y rồigiải

3 Tìm tọa độ điểm A(x; y) tương đương dạng toán lập hệ phương trình 2 ẩn

4 Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phương trình

TH1: A  :y f x   A x y f x ;     (đã loại bớt ẩn y của điểm A)

TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thểtính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M VD A(a; b); M(c; d) thìB(2c-a; 2d-b)

TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độcác điểm A, C và G

5 Phương pháp khai thác giả thiết khi bài toán cho đường phân giác trongcủa một góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At,nếu từ B kẻ By vuông góc với At và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A Từ

đó nếu biết được phương trình At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’thuộc đường thẳng AC như sau:

B1: Viết phương trình đường thẳng By: B By

B3: ABB' cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’ Biết tọa độ điểm B

và điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’

2 Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2 + B2 – C > 0

là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R = A2B2 C

* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì Mnằm trên đường tròn tâm I bán kính R (suy từ định nghĩa)

II Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường thẳng  và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R

Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng 

 Nếu d > R thì  và (C) không có điểm chung

 Nếu d = R thì  và (C) có một điểm chung duy nhất Khi đó  gọi làtiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm

 Nếu d < R thì  và (C) có hai điểm chung.

III Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:

- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính

 Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toánviết phương trình tiếp tuyến chính là bài toán viết phương trình đường thẳng

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho A( 2;-1), B( -2;2)

a Viết phương trình đường tròn đường kính AB

b Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A

b Tiếp tuyến tại A có vec tơ pháp tuyến là: AB= (-4;3)

Phương trình tiếp tuyến là: -4x +3y + 11 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2 ; 3) và đường thẳng : x - 2y -1 = 0

a Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng 

b Tìm tọa độ tiếp điểm

Vậy tiếp điểm H(3;1)

Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x2 +y2 -6x +2y = 0 vuông góc với đường thẳng 3x – y +6 = 0

Giải: Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 10

Gọi  là đường thẳng vuông góc với đường thẳng: 3x – y +6 = 0 nên phương trình đường thẳng  có dạng: x +3y +C = 0

Do  tiếp xúc với (C) nên d(I; ) = R 3 3 10 10

Vậy có hai tiếp tuyến là: x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0

Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C): x2+y2 - 6x +2y +6 = 0 và A(1;3) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( C) và qua A

Giải: Gọi : Ax +By + C = 0 A2 B2  0

Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 2

Do  qua A(1;3) nên: A +3B +C = 0

Và  tiếp xúc với đường tròn ( C) nên: d(I; ) = R 3A B C2 2 2

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A,

biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0   ,

Hướng dẫn

d 1  d 2 và ABC vuông cân tại A nên A cách đều d 1 , d 2  A là giao điểm

của d và đường phân giác của góc tạo bởi d 1 , d 2  A(3; 2)

Hướng dẫn

1

; 2

A(2;–3), B(3;–2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung

điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng

1 2

3 2 2

6 12

Hướng dẫn

Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là ( ; )

n a b (a 2 + b 2  0))

=> VTPT của BC là: n1   ( ; )b a

Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0)  ax + by –2a –b =0)

Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2)

Giả sử I(a; a – 1)  d (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên

Hướng dẫn

(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2 Gọi M(0; m)  Oy

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB  

0 0

Vì MI là phân giác của AMB nên:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1)2 (y 2)2 9 và

đường thẳng d: x y m 0   Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A

mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABCvuông (B, C là hai tiếp điểm)

2 ; trọng tâm G của ABC nằm trên đường thẳng

d: 3x – y – 8 = 0 Tìm bán kính đường tròn nội tiếp  ABC

Hướng dẫn

Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0  d(C; AB) = a b S ABC

AB

5 2 2

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có

phương trình d1: x y  1 0 Phương trình đường cao vẽ từ B là

d2: x 2y 2 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình các

cạnh bên của tam giác ABC

AB  CM  phương trình đường thẳng AB: x2y 2 0

AC  BN  phương trình đường thẳng AC: 6x3y 1 0

Bài 12

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 vàđiểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệtsao cho MA = 3MB

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x 7y 17 0  ,

d2: x y  5 0 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1,

d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2

Hướng dẫn

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho D ABC cân có đáy là BC Đỉnh A có tọa

độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh

AB : y = 3 7(x 1)- Biết chu vi củaD ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B,C

a b

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng

4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng

5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác

đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O

Hướng dẫn

Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0  A(0;3)

Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0  B(–4; –7)

A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy  BC: y + 7 = 0

Bài 20

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 3y – 4 = 0 vàđường tròn (C): x2 + y2 – 4y = 0 Tìm M thuộc d và N thuộc (C) sao cho chúng đốixứng qua điểm A(3;1)

 a =  34b: chọn a = 3, b = – 4  Đường thẳng d: 3x – 4 y + 5 = 0.

Bài 22

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng

1: 2   5 0

d x y d2: 3x + 6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua

điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam

giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2

Hướng dẫn

d1 có VTPT a1 (2; 1)  ; d2 có VTPT  2  (3;6)

a

Ta có:  1 2 2.3 1.6 0 

a a nên d1 d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi

d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x:  3y 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: 3x y  5 0 ;

 phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC: 2 2 83 17 338

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam

giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), 1;0 , (2;0)

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành độ là

1 b và bán kính cũng bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng

Ta có: I I1 2  3 R1 R2  (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

 (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là

x = 3 song song với Oy

* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b   ( ) : ax y b  0 ta có:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(3; 1) và đường thẳng

: x  2y 1 = 0 Tìm điểm C thuộc đường thẳng  sao cho diện tích tam giác ABCbằng 6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

12, tâm I thuộc đường thẳng ( ) :d x y  3 0  và có hoành độ 9

Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4).

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)

Bài 29

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4y – 5 = 0 Hãy

viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2;

( ) :C x y  4x 2y 0;  :x 2y 12 0  Tìm điểm M trên  sao cho từ M

vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600

Hướng dẫn

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R  5

Gọi A, B là hai tiếp điểm Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thìIAM là nửa tam giác đều suy ra IM  2R=2 5

Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình:

(x 2)  (y 1)  20

Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0.

Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: 4 0 5 5;4

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đườngtròn (C): x2 y2  2x 4y 8 0  Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đườngtròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm tọa độ Cthuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.

Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(–3;–1)

Vì ABC 90 0 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm

A qua tâm I của đường tròn Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4)

Bài 33

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 1 = 0,d2: 2x – y – 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1;–1) cắt d1 và d2tương ứng tại A và B sao cho 2                                           0

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0

và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực Gọi I là tâm củađường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích

Do đó SABI lớn nhất khi và chỉ khi sinAIB = 1  AIB vuông tại I

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 y2  2x 4y 5 0

và A(0; –1)  (C) Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho ABCđều

X

H Y