Đa thức chia đường tròn và ứng dụng

Đa thức chia đường tròn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THUỲ NINH ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THUỲ NINH ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - Năm 2013 Mục lục Mục lục 1 Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Số phức và các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . 5 1.2 Kháiniệmđathức 7 2 Một số tính chất cơ sở của đa thức chia đờng tròn 13 2.1 Công thức nghịch chuyển Mobius . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Căn nguyên thủy bậc n củađơnvị 16 2.3 Tính chất cơ sở của đa thức chia đờng tròn . . . . . . . . 19 2.4 Một số ứng dụng của đa thức chia đờng tròn . . . . . . . 27 3 Tính bất khả quy 31 3.1 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn . . . . . . . 34 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 2 Lời cảm ơn Trớc hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hớng dẫn. Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dới sự hớng dẫn khoa học của Cô, luận văn \Đa thức chia đờng tròn" của tôi đã đợc hoàn thành. Có đợc kết quả này, đó là nhờ sự nhắc nhở, đôn đốc, dạy bảo hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo-Khoa học-Quan hệ quốc tế và Khoa Toán-Tin của Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại trờng cũng nh thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán-Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tợng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn Phòng Giáo dục và Đào tạo Quận Lê Chân - thành phố Hải Phòng và Trờng trung học cơ sở Nguyễn Bá Ngọc - nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K5B (Khóa 2011-2013) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. 3 Lời nói đầu Ta biết rằng với mỗi số nguyên dơng n, có đúng n căn bậc n của đơn vị: k = cos 2k n + i sin 2k n , k =0, 1, ,n 1. Chú ý rằng k là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu gcd(k, n)=1. Vì thế có đúng (n) căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, trong đó là hàm Euler. Gọi k 1 , , k (n) là các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó đa thức chia đờng tròn thứ n, kí hiệu là n (x), là đa thức bậc (n) đợc cho bởi công thức n (x)=(x k 1 ) (x k (n) ). Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả về đa thức chia đờng tròn, những ứng dụng của đa thức chia đờng tròn trong một số bài toán sơ cấp, và chứng minh tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn. Luận văn gồm 3 chơng. Các kiến thức chuẩn bị về số phức và đa thức đợc nhắc lại trong Chơng 1. Phần đầu của Chơng 2 dành để trình bày một số tính chất quan trọng của đa thức chia đờng tròn. Chúng tôi chứng tỏ rằng x n 1= d|n d (x) (Định lí 2.3.3), và từ đó ta suy ra n (x) có các hệ số đều nguyên (Hệ quả 2.3.5). Hơn nữa, nếu x Z và p là một ớc nguyên tố của n (x) thì p 1 (mod n) hoặc p|n (Định lí 2.3.11). Phần cuối Chơng 2 trình bày một số ứng dụng của đa thức chia đờng tròn để chứng minh lại một Định lý của Dirichlet và giải quyết một số bài toán thi học sinh giỏi toán quốc tế liên quan đến phơng trình nghiệm nguyên và đánh giá số ớc của một số tự nhiên. Chơng 3 trình bày một số phơng pháp chứng minh tính bất khả quy trên Q của đa thức chia đờng tròn. Chú ý rằng đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống nh vai trò của số nguyên tố trong tập các số nguyên. Với n là số nguyên dơng, đa thức chia đờng tròn n (x) là một đa thức bất khả quy đặc biệt, nó là 4 một ớc của x n 1 nhng không là ớc của x k 1 với mọi k<n.Khi p là số nguyên tố, tính bất khả quy của p (x) đã đợc giải quyết vào đầu Thế kỷ thứ 19, đợc chứng minh lần đầu tiên bởi C. F. Gauss 1801 [Gau] với cách chứng minh khá phức tạp và dài dòng. Sau đó chứng minh đợc đơn giản hoá đi nhiều bởi các nhà toán học L. Kronecker 1845 [K] và F. G. Eisenstein 1850 [E]. Còn việc chứng minh tính bất khả quy của n (x) với n tuỳ ý đợc giải quyết vào khoảng giữa Thế kỷ 19, đợc chứng minh lần đầu tiên bởi Kronecker 1854 [K2]. Sau đó, R. Dedekind 1857 [D] và một số nhà toán học khác đã đa ra chứng minh đơn giản hơn. Nội dung của luận văn đợc viết dựa theo cuốn sách \Lý thuyết Galois" của S. H. Weintraub [W1], bài báo \Elementary Properties of Cyclotomic Polynomials" của Y. Ge [Ge] và bài báo \Several proofs of the irreducibility of the cyclotomic polynomial" của S. H. Weintraub [W2]. Bên cạnh đó có tham khảo một số bài báo cổ điển của C.F. Gauss [Gau], F. G. Eisenstein [E], L. Kronecker [K] và R. Dedekind [D] về tính bất khả quy của n (x). Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị Trớc khi trình bày các kết quả về đa thức chia đờng tròn ở Chơng 2, chúng ta nhắc lại kiến thức cơ sở về số phức và đa thức. 1.1 Số phức và các phép toán trên số phức 1.1.1 Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng z = a + bi trong đó a, b R và i 2 = 1. Ta gọi a là phần thực và b là phần ảo của z. Số phức i đợc gọi là đơn vị ảo. Nếu a =0thì z = bi đợc gọi là số thuần ảo. Nếu b =0thì z = a là số thực. Tập các số phức đợc kí hiệu là C. Số phức z = a bi đợc gọi là số phức liên hợp của z = a + bi. 1.1.2 Chú ý. (i) Hai số phức bằng nhau nếu và chỉ nếu phần thực và phần ảo tơng ứng bằng nhau: a + bi = c + di a = c, b = d. (ii) Nếu z = a + bi thì z z = a 2 + b 2 là một số thực. (iii) Liên hợp của tổng (hiệu, tích, thơng) bằng tổng (hiệu, tích, thơng) của các liên hợp: z z = z z , zz = z z và z z = z z với mọi z =0. Biểu diễn số phức z = a + bi đợc gọi là biểu diễn đại số của z. Các 5 6 phép toán trên số phức đợc thực hiện nh sau: (a + bi) (c + di)=(a + c) (b + d)i; (a + bi)(c + di)=(ac bd)+(bc + ad)i; a + bi c + di = (a + bi)(c di) (c + di)(c di) = ac + bd c 2 + d 2 + bc ad c 2 + d 2 i Tập C các số phức với phép cộng và phép nhân là một trờng chứa trờng số thực R, trong đó mỗi số thực a đợc đồng nhất với số phức a +0i. 1.1.3 Định nghĩa. Trong mặt phẳng P với hệ trục tọa độ vuông góc xOy, mỗi số phức z = a + bi đợc đồng nhất với điểm Z(a, b). Khi đó tập số phức lấp đầy P và ta gọi P là mặt phẳng phức. Xét góc tạo bởi chiều dơng trục hoành với véc tơ OZ và gọi r là độ dài của véc tơ OZ , khi đó z = a + bi = r(cos + i sin ). Biểu diễn z = r(cos + i sin ) đợc gọi là biểu diễn lợng giác của z.Ta gọi r là môđun của z và ký hiệu là |z|. Góc đợc gọi là argument của z và kí hiệu là arg(z). Chú ý rằng môđun của một số phức là xác định duy nhất và argument của một số phức là xác định sai khác một bội nguyên lần của 2, tức là r(cos + i sin )=r (cos + i sin ) nếu và chỉ nếu r = r và = +2k với k Z. Với mỗi số phức z = a + bi, rõ ràng |z| = a 2 + b 2 = |z|. Hơn nữa, với z 1 ,z 2 C ta có |z 1 |.|z 2 | = |z 1 |.|z 2 | và |z 1 + z 2 | |z 1 | + |z 2 |. 1.1.4 Chú ý. Cho z = r(cos + i sin ) và z = r (cos + i sin ) là hai số phức. Khi đó zz = rr cos( + )+i sin( + ) và nếu z =0thì z z = r r cos( )+i sin( ) . Từ đây ta có thể nâng lên lũy thừa bằng công thức sau (gọi là công thức Moirve): z n = r n (cos n + i sin n). 7 1.1.5 Định nghĩa. Số phức u là một căn bậc n của số phức z nếu u n = z. Chú ý rằng mỗi số phức z = r(cos + i sin ) khác 0 đều có đúng n căn bậc n, đó là k = n r(cos + k2 n + i sin + k2 n ),k =0, 1, ,n 1. Đặc biệt, có đúng n căn bậc n của đơn vị, đó là k = cos 2k n + i sin 2k n ,k=0, 1, ,n 1. 1.2 Khái niệm đa thức Trong suốt tiết này, luôn giả thiết K là một trong các trờng C, R, Q. 1.2.1 Định nghĩa. Một biểu thức dạng f(x)=a n x n + + a 0 trong đó a i K với mọi i đợc gọi là một đa thức của ẩn x (hay biến x) với hệ số trong K. Nếu a n =0thì a n đợc gọi là hệ số cao nhất của f(x) và số tự nhiên n đợc gọi là bậc của f(x), kí hiệu là deg f(x). Nếu a n =1thì f(x) đợc gọi là đa thức dạng chuẩn (monic polynomial). Chú ý rằng hai đa thức f(x)= a i x i và g(x)= b i x i là bằng nhau nếu và chỉ nếu a i = b i với mọi i. Ta chỉ định nghĩa bậc cho những đa thức khác 0, còn ta quy ớc đa thức 0 là không có bậc. Kí hiệu K[x] là tập các đa thức ẩn x với hệ số trong K. Với f(x)= a i x i và g(x)= b i x i , định nghĩa f(x)+g(x)= (a i + b i )x i và f(x)g(x)= c k x k , trong đó c k = i+j=k a i b j . Rõ ràng nếu f(x) =0và f(x)g(x)=f(x)h(x) thì g(x)=h(x). Hơn nữa ta có deg(f(x)+g(x)) max{deg f(x), deg g(x)} deg f(x)g(x) = deg f(x)+degg(x). 8 1.2.2 Định nghĩa. Cho f(x),g(x) K[x]. Nếu f(x)=q(x)g(x) với q(x) K[x] thì ta nói rằng g(x) là ớc của f(x) hay f(x) là bội của g(x) và ta viết g(x)|f(x). Tập các bội của g(x) đợc kí hiệu là (g). Ta có ngay các tính chất đơn giản sau đây. 1.2.3 Bổ đề. Các phát biểu sau là đúng. (i) Với a K và k là số tự nhiên ta có (x a)|(x k a k ). (ii) Nếu f(x) K[x] và a K thì tồn tại q(x) K[x] sao cho f(x)=q(x)(x a)+f(a). Định lí sau đây, gọi là Định lí chia với d, đóng một vai trò rất quan trọng trong lí thuyết đa thức. 1.2.4 Định lý. Cho f(x),g(x) K[x], trong đó g(x) =0. Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x),r(x) K[x] sao cho f(x)=g(x)q(x)+r(x), với r(x)=0hoặc deg r(x) < deg g(x). Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử f(x)=g(x)q(x)+r(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x), trong đó r (x),r 1 (x) bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Khi đó g(x)(q(x) q 1 (x)) = r 1 (x) r(x). Nếu r(x) = r 1 (x) thì deg(r r 1 ) = deg g(q q 1 ) = deg g + deg(q q 1 ). Điều này mâu thuẫn vì deg(r r 1 ) max{deg r, deg r 1 } < deg g deg g + deg(q q 1 ). [...]... 1 và bằng việc đánh số lại các nhân tử qi (x) ta suy ra pi (x) = qi (x) với mọi i = 2, , n 3.2 Tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn Đa thức chia đờng tròn n (x) luôn là đa thức bất khả quy với mọi số nguyên dơng n Đây là một kết quả cơ sở của lí thuyết số Chứng minh tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn có một lịch sử khá dài Với n nguyên tố, tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn. .. minh Để chứng minh đẳng thức trên, ta chỉ cần chứng minh hai đa thức xn 1 và d|n d (x) đều có dạng chuẩn, đều không có nghiệm bội, và có cùng tập nghiệm Theo định nghĩa, mỗi d (x) là một đa thức dạng chuẩn Vì thế đa thức phía bên phải có dạng chuẩn Do đó hai đa thức ở hai vế đều có dạng chuẩn Chú ý rằng một đa thức có nghiệm bội nếu và chỉ nếu đa thức đó và đạo hàm của nó phải có nghiệm chung Vì thế... (4) = 2 căn nguyên thuỷ bậc 4 của đơn vị là i và i 2.3 Tính chất cơ sở của đa thức chia đờng tròn 2.3.1 Định nghĩa Cho n là số nguyên dơng Đa thức chia đờng tròn thứ n là đa thức dạng chuẩn (tức là có hệ số cao nhất bằng 1) và có đúng (n) nghiệm là các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị Ta kí hiệu đa thức chia đờng tròn thứ n là n (x) Nh vậy n (x) có bậc (n) và n (x) = (x ) n =1 ord( )=n 2.3.2 Ví dụ Các... d|t, t|A, d < A và p|A (x), nên theo Hệ quả 2.3.10 ta có p|A, điều này là mâu thuẫn với điều giả sử ban a đầu p không là ớc của A Do đó A = B, vì vậy = p b 2.4 Một số ứng dụng của đa thức chia đờng tròn Một ứng dụng phổ biến của đa thức chia đờng tròn là chứng minh Định lý Dirichlet 2.4.1 Định lý (Dirichlet) Cho n là số nguyên dơng Khi đó tồn tại vô số số nguyên tố p sao cho p 1 (modn) Chứng minh Với... f1(x) và ta đợc đa thức f2 (x) Cứ tiếp tục quá trình trên ta đợc dãy đa thức f1(x), f2 (x), , nếu chúng đều khác 0 thì chúng có bậc giảm dần Vì thế sau hữu hạn bớc ta đợc một đa thức có bậc bé hơn bậc của g(x) và đó chính là đa thức d r(x) Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì d r(x) = 0 Thế vào rồi nhóm lại ta tìm đợc q(x) Trong định lý trên, q(x) đợc gọi là thơng và r(x) đợc gọi là d của phép chia. .. Ví dụ Đa thức x3 7 Q[x] là đa thức bất khả quy của 3 7 R; đa thức x2 + 1 R[x] là đa thức bất khả quy của i C Tiếp theo, Định lí cơ bản của Số học nói rằng mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đợc thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số Kết quả sau đây là một sự tơng tự của định lí này đối với đa thức 33 3.1.7 Định lý Mỗi đa thức. .. Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức p(x) K[x] bất khả quy dạng chuẩn nhận a làm nghiệm, và mọi đa thức g(x) K[x] nhận a làm nghiệm đều là bội của p(x) Chứng minh Vì a là nghiệm của một đa thức khác 0 với hệ số trong K nên chọn đợc đa thức khác 0 với hệ số trong K có bậc bé nhất nhận a làm nghiệm Gọi p(x) K[x] là dạng chuẩn của đa thức này Khi đó a là nghiệm của p(x) Ta chứng minh p(x) bất khả quy... 2 2 Do đó đa thức chia đờng tròn thứ ba là 1 1 3 3 3 (x) = (x + ( i ))(x + ( + i )) = x2 + x + 1 2 2 2 2 Các căn bậc 4 của đơn vị là k = cos 2k 2k + i sin , k = 0, 1, 2, 3 4 4 Các căn nguyên thuỷ bậc 4 của đơn vị là 1 = i và 3 = i Đa thức chia đờng tròn thứ t là 4 (x) = (x i)(x + i) = x2 + 1 2.3.3 Định lý Cho n là số nguyên dơng Khi đó xn 1 = d (x) d|n Chứng minh Để chứng minh đẳng thức trên,... đợc chứng minh bởi C F Gauss [Gau] năm 1801 Hơn 40 năm sau, năm 1845, L Kronecker [K] đã đa ra một chứng minh đơn giản hơn Ngay sau đó, T Schonemann [Sch] năm 1846 và F Eidenstein [E] năm 1850 đã đa ra hai chứng minh đơn giản hơn nữa Cho đến bây giờ, chứng minh của Eidenstein [E] vẫn là chứng minh chuẩn mực nhất Với n tùy ý (không nhất thiết nguyên tố), tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn n... = 1 tức là nghiệm của đa thức xn 1 2.3.4 Bổ đề Giả sử f (x) = xm + am1 xm1 + + a1 x + a0 và g(x) = xn + bn1 xn1 + + b1 x + b0 là hai đa thức với hệ số hữu tỉ Nếu các hệ số của f g đều là số nguyên thì các hệ số của f và g cũng nguyên Chứng minh Bằng cách quy đồng mẫu số, ta có thể chọn đợc m và n là hai số nguyên dơng nhỏ nhất để tất cả các hệ số của hai đa thức mf (x) và ng(x) là các số nguyên . là đa thức bậc (n) đợc cho bởi công thức n (x)=(x k 1 ) (x k (n) ). Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả về đa thức chia đờng tròn, những ứng dụng của đa thức chia đờng tròn. củađơnvị 16 2.3 Tính chất cơ sở của đa thức chia đờng tròn . . . . . . . . 19 2.4 Một số ứng dụng của đa thức chia đờng tròn . . . . . . . 27 3 Tính bất khả quy 31 3.1 Đa thức bất khả quy . . . . . tròn trong một số bài toán sơ cấp, và chứng minh tính bất khả quy của đa thức chia đờng tròn. Luận văn gồm 3 chơng. Các kiến thức chuẩn bị về số phức và đa thức đợc nhắc lại trong Chơng 1. Phần