Tuy nhiên bạn đọc hãy cố gắng chứng minh lại tất cả các ví dụ trên theo cách thông thường để thấy vẻ đẹp của nó và đồng thời bởi lí do đơn giản là bài hình mà có nhiều đường tròn hay dữ [r]
(1)HÌNH HỌC PHẲNG
Nguyễn Đăng Khoa - THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ July 10, 2019
1 Giới thiệu
Trong tất lĩnh vực Tốn học có lẽ hình học đòi hỏi nhiều kiến thức tư để giải tốn hình học Tuy nhiên chúng lại ln có cách giải chung dùng phương pháp tọa độ Chắc hẳn nhiều bạn làm hình nghe qua phương pháp đa số sợ không làm gặp bế tắc theo cách thơng thường lí sợ vẻ đẹp hình học, sợ biến đổi phức tạp khó khăn Tác giả viết nghĩ tác giả thử làm thấy thú vị đồng thời giúp ta thêm kiên trì, kĩ
Bài viết hồn thành xun suốt q trình tác giả thử làm phương pháp tọa độ từ tốn hình có phương pháp tọa độ mạnh Barycentric hay số phức tác giả biết cách tọa độ thơng thường hay cịn gọi tọa độ Descartes viết thành viết Vậy nên đôi lúc để số thay cho vẻ đẹp đường thẳng
2 Kiến thức sở
Trong mặt phẳngOxy, điểm có tọa độ riêng ta có phương trình đường thẳng, đường trịn Khi ta giải tốn cho trước liệu ví dụ như:Cho tam giác ABC, cho đường trịn (O), ta phải biết cách đặt chúng vào hệ tọa độ phù hợp để giải toán cách dễ dàng
(2)25 20 15 10
5
30 20 10 10 20 30 40
hình 1: Mô tả cách đặt tọa độ cho tam giác
Đối với tam giácABC cân tạiAta hồn tồn giả sửB,C có tọa độ là(−1,0);(1,0) đỉnh A có tọa độ(a,0) (Phép đặt giống cách tam giác cân tạiAnên ta hoàn tồn giả sử thế)
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
3 1
B
A
C
Hình 2: Tam giácABC cân tạiA
(3)1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
3 1
w
B C
Hình 3: Đường trịnω
Nói chung có nhiều cách đặt phù hợp với toán, lựa chọn tinh tế hay không người giải bài, lựa chọn đặt hình vào tọa độ có số hai ví dụ
Sau số công thức liên quan đến tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường trịn
1 Phương trình đường thẳng qua hai điểmA(xa,ya) vàB(xb,yb)là
d: (ya−yb)(x−xa) + (xb−xa)(y−ya) = hoặc(ya−yb)(x−xb) + (xb−xa)(y−yb) =
2 Phương trình đường thẳng qua điểmM(xm, ym)và vng góc với đường thẳng nối hai điểmA(xa,ya), B(xb,yb)là
(xb−xa)(x−xm) + (yb−ya)(y−ym) =
3 Phương trình đường thẳng qua điểmM(xm, ym)và song song với đường thẳng nối hai điểmA(xa,ya), B(xb,yb)là
(ya−yb)(x−xm) + (xb−xa)(y−ym) = Phương trình đường trịn tâmO(xo,yo)và bán kínhR
(x−xo)2+ (y−yo)2=R2
5 Khoảng cách từ điểmM(xm,ym) tới đường thẳngax+by+c= 0là
d= |axm√+bym+c|
a2+b2
(4)3 Một số ví dụ
Trong phần này, tác giả xây dựng số công thức tọa độ điểm trọng tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp thơng qua ví dụ
Ví dụ 1.(Đường thẳng Euler) Cho tam giácABC có trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp H, G, O Chứng minh H,G,O thẳng hàng HG= 2GO
Chứng minh Ta đặt tam giácABC vào hệ tọa độ Oxy ta giả sử điểm
A,B,C có tọa độ là(0, a);(b,0);(c,0)
Ta kẻ đường kínhADcủa(O), ∠ABD=∠ACD= 90◦
Áp dụng cơng thức số ta có phương trình đường thẳngBD là−bx+ay+
b2= 0, tương tự ta có phương trình đường thẳngCDlà−cx+ay+c2= 0.
Từ ta cóD có tọa độ làD(b+c,bc
a), suy tọa độ điểmO(b+2c,bc+a
2 2a )
Đường cao ứng với đỉnhBcủa tam giác đường thẳng quaB vuông góc vớiAC nên có phương trình làc(x−b)−ay= DoAnằm trụcOy nên ta có phương trình đường cao ứng với đỉnhAlàx=
Suy tọa độ trực tâmH là(0,−abc)
GọiM,N trung điểm AC,ABthì hai điểm có tọa độ là(c2,a2)và(b2,a2) Phương trình đường thẳngBM
a
2(x−b) + (b−
c
2)y= Phương trình đường thẳngCN
a
2(x−c) + (c−
b
2)y= Suy trọng tâmGcó tọa độ(b+3c,a3)
Ta có−−→HG= (b+c
3 ,
a
3 +
bc a) = (
b+c
3 ,
a2+3bc
3a ) và−GO−→= (b+2c −b+c
3 ,
bc+a2
2a − a
3) = (
b+c
6 ,
a2+3bc
6a ) Suy ra−−→HG= 2−GO−→, hay ta có đpcm
Nhận xét Qua toán ta xây dựng tọa độ điểm trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp điểmD (đối xứng vớiA) quaO
thông qua cách đặt tọa độ ba điểmA,B, C ban đầu Ngồi trọng tâm cịn xác định nhanh dựa vào tính chất trọng tâm là−→GA=−2−−→GA0 với
(5)Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BM Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC D Chứng minh BD= 2DC
Chứng minh Không tỉnh tổng quát, ta giả sử điểm A, B, C có tọa độ(0,2);(−2,0);(2,0) (do tam giácABC vng cân tạiA)
Khi đóM có tọa độ là(1,1), đường thẳng ADcó phương trình 3x+y−2 =
Từ suy điểmD có tọa độ(23,0) Vậy ta rút đượcBD= +23 = 2·(2−2
3) = 2DC (đpcm)
Ví dụ 3.(Caribbean Mathematical Olympiad, P3) Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O).D chân đường cao ứng với đỉnh A.M, N trung điểm AB, AC Q điểm đối xứng với A qua O E trung điểmDQ Chứng minh đường thẳng quaM vng góc với EM, đường thẳng qua N vng góc vớiEN cắt trênAD
Chứng minh Khơng tính tổng quát, ta giả sử A, B, C có tọa độ (0, a); (b,0);(c,0) Đương nhiên điểmD có tọa độ(0,0)
Hai điểmM,N có tọa độ là(b2,2a)và(c2,a2) Ta cóQ(b+c,bc
a) nên điểmE có tọa độ là( b+c
2 ,
bc
2a)
Đường thẳng quaM vng góc với EM có phương trình
c
2
x−b
+
bc
2a− a
2
y−a
=
Tương tự đường thẳng quaN vng góc vớiEN có phương trình
b
2
x−c
+
bc
2a− a
2
y−a
=
Ta dễ thấy hai đường thẳng cắt điểm có hồnh độ hay chúng cắt trênAD(đpcm)
(6)Chứng minh Giả sử ba điểmA,B,C có tọa độ là(0, a);(b,0);(c,0)trong
a,b,c khơng đổi
ĐiểmDchạy trênBC có tọa độ là(d,0)
Phương trình đường thẳng AB, AC ax+by−ab = vàax+
cy−ac=
Ta có DE kAC nên phương trình đường thẳngDE làa(x−d) +cy = Từ điểmE có tọa độ là(bcc−−bbd,adc−−abb )
Tượng tự ta có điểmF(bc−cd b−c ,
ad−ac b−c )
Chú ý nếu(AEF)đi qua điểm cố định tương đương với tâm của(AEF) nằm đường thẳng cố định Bây ta việc xác định tâm của(AEF)
GọiM,N trung điểm AE vàAF
Khi đóM,N có tọa độ là(2(bcc−−bdb),ad+2(acc−−b)2ab)và(2(bcb−−cdc),ad+2(abb−−c2)ac) Suy đường trung trực củaAE có phương trình
b
x− bc−bd 2(c−b)
−a
y−ad+ac−2ab 2(c−b)
=
Đường trung trực củaAF có phương trình
c
x− bc−cd 2(b−c)
−a
y−ad+ab−2ac 2(b−c)
=
Suy tâm Ocủa (AEF)có tọa độ
2a2d−a2(b+c)−bc(b+c) + (b2+c2)d
2(c−b)2 ,
−4a2bc+a2b2+a2c2−2b2c2+a2d(b+c) +bcd(b+c) 2(c−b)2
ĐiểmOnày thuộc đường thẳng sau
(a2+bc)(b+c)
2(c−b)2
x+(a
2+bc)(b+c)
2(c−b)2
−(2a
2+b2+c2)
2(c−b)2
y+4a
2bc−a2(b2+c2) + 2b2c2
2(c−b)2
=
(Bạn đọc kiểm tra cách thay vào)
Mà đường thẳng cố định doa,b,c không đổi nên suy ra(AEF)đi qua điểmA0 cố định đối xứng củaAqua đường thẳng vừa tìm
Nhận xét Bài tốn giải hình học túy gọn cách dựng hai đường tròn phụ điểm cố định (AEF) qua điểm
(7)cịn lại tìm đường thẳng XY thay tọa độ điểm O vào phương trình vừa tìm thấy thỏa mãn xong!
Ví dụ Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Gọi H hình chiếu D lên EF Chứng minhHDlà phân giác góc BHC
Chứng minh Giả sử điểmB,C có tọa độ là(b,0) và(c,0) Đường trịn(I)có bán kính tâmIcó tọa độ là(0,1) thìD có tọa độ(0,0)
Ta có phương trình đường thẳngBI làx+by−b= GọiM trung điểmDF
Khi phương trình đường thẳngDM là−bx+y= 0, suy raM( b b2 +1, b
2
b2 +1)
Từ ta có−−→DF = 2−−→DM = (b22+1b ,
2b2
b2+1)nên điểmF có tọa độ( 2b b2+1,
2b2
b2+1)
Tương tự điểmE có tọa độ( 2c c2+1,
2c2 c2+1)
Suy đường thẳngEF có phương trình (b+c)
x− 2b
b2+ 1
+ (bc−1)
y− 2b
2
b2+ 1
=
Kết hợp phương trình đường thẳngDH là(bc−1)x−(b+c)y= 0thì ta có tọa độ điểmH
2bc(b+c)
(b2+ 1)(c2+ 1),
2bc(bc−1) (b2+ 1)(c2+ 1)
Áp dụng cơng thức tính khoảng cách ta có
HB2= 2bc(b+c) (b2+1)(c2+1)−b
2
+(b22bc+1)((bcc−21)+1)
=b2·A.
Trong đóA=4b2c2−4b3c3−4bc(b2+c2)−4((bca+2b+1)(4c4+2b2+1))b2c2(2b2+c2)+b4+c4+2(a2+b2)+1
Tương tự ta cóHC2=c2·A Suy ra HB HC =
DB
DC hay ta cóHDlà phân giác gócBHC
Nhận xét Trong lời giải ta khơng chọn ba đỉnh xác định tâm đường tròn nội tiếp khó Vì chọn điểm
(8)Ví dụ 6.(Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giácABC khơng cân nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến A cắtBC T, T O cắt AB, AC P, Q Đường thẳng qua P vng góc với AB cắt đường thẳng quaQvng góc vớiAC tạiR Chứng minhARln qua điểm cố định khiA di chuyển mặt phẳng không thuộcBC
Chứng minh Do toán cần chứng minhARđi qua điểm cố định A
di chuyển mặt phẳng nên cách đặt dễ hiểu làB(−1,0);C(1,0)và điểm
Acó tọa đơ(xa, ya)
Tuy nhiên làm theo cách đặt rối vẽ vài trường hợp ta thấyARđi qua trung điểmM củaBC nên ta đặt lúc đầu làA(0,a); B(b,0); C(c,0) Ta chứng minh ARđi qua điểm M có
tọa độ(b+2c,0)là
Ta biết tâmO có tọa độ(b+2c,bc2+aa2)
Tiếp tuyến tạiAcủa(O)chính đường thẳng quaAvà vng góc vớiAO
nên có phương trình
(b+c)x+
bc
a −a
(y−a) = Suy raT có tọa độ là(bc−a2
b+c ,0)
Đường thẳngT O có phương trình bc2+aa2(x−bc−a2 b+c )−
b2+c2+2a2
2(b+c) y=
Mà đường thẳngAB có phương trình ax+by−ab= 0nên suy điểm
P giao hai đường thẳng nên có tọa độ
(a2+b2)(a2+c2)b
b(b+c)(bc+a2) +a2(b2+c2+ 2a2),
a5+ab(b+c)(bc+a2)−ab2c2
b(b+c)(bc+a2) +a2(b2+c2+ 2a2)
Để ý rằngb(b+c)(bc+a2) +a2(b2+c2+ 2a2) = (a2+b2)(bc+ 2a2+c2)
vàa4+b(b+c)(bc+a2)−b2c2= (bc+a2)(a2+b2).
Nên tọa độ điểmP ta viết gọn lại thành
(a2+c2)b
bc+ 2a2+c2,
a(bc+a2)
bc+ 2a2+c2
Suy phương trình đường thẳng P Rlà
b
x− (a
2+c2)b
bc+ 2a2+c2
−a
y− a(bc+a
2)
bc+ 2a2+c2
= Tương tự ta có phương trình đường thẳngQR
c
x− (a
2+b2)c
bc+ 2a2+b2
−a
y− a(bc+a
2)
bc+ 2a2+b2
(9)
Suy hoành độ tung độ điểmR
xR=
(a2+b2)(a2+c2)(b+c)
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2)
và
yR=
a(4a2bc+bc3+cb3+ 2a4)
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2)
GọiM trung điểmBC thìM có tọa độ(b+2c,0) Ta có−−→AM = (b+c
2 ,−a)và
−→
AR=
(a2+b2)(a2+c2)(b+c)
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2),
a(4a2bc+bc3+cb3+ 2a4)
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2)−a
Mà a(4a
2bc+bc3+cb3+ 2a4)
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2)−a=
−2(a2+b2)(a2+b2)a
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2)
Từ suy ra−→AR= 2(a
2+b2)(a2+b2)
(bc+ 2a2+c2)(bc+ 2a2+b2)·
−−→
AM
Hay ta cóARđi qua trung điểm đoạnBC cố định (đpcm)
Nhận xét.Bài tốn địi hỏi khéo léo người giải, ta đặt lúc đầu điểmA(xa,ya)thì thực khó mà ta phải đốn điểm cố định trước, khơng thể đốn bắt buộc phải làm Thơng thường tốn qua điểm cố định mà có đỉnh ban đầu làA,B,C di chuyển ta ln phải dự đốn điểm đặt tọa độ ba điểm ta chứng minh tích chất Ngồi cịn phải tinh tế số chỗ nhóm nhân tử tọa độ gọn gàng Để có lời giải hồn chỉnh tác giả tốn nhiều cơng sức ln mắc phải vừa nói đến, mong bạn đọc rút kinh nghiệm chứng minh tọa độ cách "trâu bò" làm theo cách "trâu bò" cần tư duy, khéo léo
Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có đường caoAD,BE,CF.ADcắt lại đường trịn(O)tạiP,P Ecắt lại đường trịn(O)tạiQ Chứng minhBQchia đơi đoạnEF
Chứng minh Giả sử ba điểmA, B,C có tọa độ là(0, a);(b,0);(c,0) Ta xây dựng tọa độ trực tâmH là(0,−bc
a )và tâm ngoại tiếp O (b+c
2 ,
bc+a2
2a )
Theo kết quen thuộc P đối xứng với H quaBC nên có tọa độ (0,bca)
Ta dễ có tọa độ điểmE,F là(c(ca22++abc2),
(c−b)ac c2+a2 )và(
b(a2+bc)
b2+a2 ,
(b−c)ab b2+a2 )
(10)Ta có phương trình đường thẳngP Elà
c(2a2b+bc2−ca2)
(c2+a2)a x+
c(a2+bc)
a2+c2
y−bc
a
= hay có dạng
2a2b+bc2−ca2
a x+ (a
2+bc)
y−bc
a
= (1)
Ta biết phương trình đường trịn(O)là
x−b+c
2
+
y−bc+a
2
2a
2
=
b+c
2
2
+
a2−bc
2
2
(2)
Từ(1)và(2)ta có tọa độ điểmQlà
xQ=
(a2+bc)(2a4c−a4b−a2bc2+ 3b2ca2+b2c3)
(a2+c2)(b2c2−2a2bc+ 4a2b2+a4)
và
yQ=
(ca2−2a2b−bc2)(2a4c−a4b−a2bc2+ 3b2ca2+b2c3)
a(a2+c2)(b2c2−2a2bc+ 4a2b2+a4) +
bc a
hay
yQ=
2a3(b−c)2(a2−bc)
(a2+c2)(b2c2−2a2bc+ 4a2b2+a4)
Suy −−→
BQ= (xQ−b, yQ) =
2a2(c−b)(a4+2a2b2+b2c2)
(a2+c2)(b2c2−2a2bc+4a2b2+a4),
2a3(b−c)2(a2−bc)
(a2+c2)(b2c2−2a2bc+4a2b2+a4)
Mặt khác, lấyM trung điểmEF thìM có tọa độ
(a2+bc)2(b+c)
2(a2+c2)(a2+b2),
(a2−bc)(c−b)2a
2(a2+b2)(a2+c2)
Suy ra−−→BM=(c−2(b)(a2a+4+c2b)(2ca22+2+bb22)a2),
(a2−bc)(c−b)2a
2(a2+b2)(a2+c2)
Vậy ta có ngayBQ−−→= b2c2−42aa22(bca2+4+ba22)b2+a4 ·
−−→
BM, hay ta có đpcm
Ví dụ Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnhBC,CA,AB tạiD,E,F Lấy điểmB0,C0 đối xứng củaB vàCquaD Đường thẳng quaB0,C0 vng góc vớiBClần lượt cắtAC,AB X, Y Chứng minh XY tiếp xúc với đường tròn
(11)Chứng minh Giả sử điểmB,C có tọa độ là(b,0),(c,0) vàD có tọa độ(0,0) Đường trịn(I)có bán kính tâmI có tọa độ là(0,1)
Ta dựa vàoBài 5thì biết điểmF có tọa độ(b22+1b ,
2b2
b2+1)
và điểmE có tọa độ(c22+1c ,
2c2
c2+1)
DoB0,C0 đối xứng củaB vàCquaD nênB(0−b,0) vàC(0−c,0)
Ta có đường thẳngCAhay đường thẳng CEcó phương trình
2c2
c2+1(x−c) +
c(c2−1)
c2+1 y=
và đường thẳng quaB0 vng góc vớiBC có phương trìnhx+b= Suy điểmX có tọa độ là(−b,2cc(2b−+1c))
Tương tự điểmY có tọa độ là(−c,2bb(2b−+1c))
Từ ta viết phương trình đường thẳngXY xong áp dụng cơng thức tính khoảng cách để khoảng cách từItới XY bằng1
Từ ta có đpcm
Nhận xét.Do ta đặt điểmB,Ccó tọa độ là(b,0),(c,0)nên khib >−1,
c <1thì lập tức(I)biến thành đường trịn bàng tiếp ứng với đỉnhAcủa tam giácABC mà không ảnh hưởng đến việc chứng minh Qua ta thấy tốn đường trịn bàng tiếp Đây lợi mạnh việc tọa độ hóa hình học, giúp ta khơng phải xét hình, đơi lúc cịn nhận tốn tổng qt mà khơng bị bắt bẻ việc trình bày so với cách giải hình học túy
Ví dụ 9.(VMO 2011) Cho đường trịn (O)đường kínhAB.P điểm tiếp tuyến của(O)tạiB(P 6=B) Đường thẳngAP cắt(O)
lần thứ hai tạiC.D điểm đối xứng với C quaO Đường thẳng DP cắt(O)lần thứ hai tạiE Chứng minh rằngAE,BC,P O đồng quy
Chứng minh Giả sử tâmO có tọa độ(0,0)và hai điểmA(−1,0),B(1,0).P nằm
trên tiếp tuyến tạiP của(O)nên có tọa độ (1, a)trong đóa6=
AP cắt (O) C nên C hình chiếu củaB trênAP Từ ta tìm tạo độ điểmClà(44+−aa22,
4a
4+a2) Khi điểm D có tọa độ(
a2−4
a2+4, −
4a a2+4)
Ta có phương trình đường thẳngP Dlà (a2+ 8)a
a2+ 4 (x−1)−
8
a2+ 4(y−a) =
Ta lại có phương trình đường thẳng(O)làx2+y2= 1.
Từ suy tọa độ điểmE là(aa44+12+4aa22+16+16,
4a(a2+4)
a4+12a2+16)
Ta có
Phương trình đường thẳngAE là2a(x+ 1)−(a2+ 4)y= Phương trình đường thẳngBClà2(x−1) +ay=
Suy giao điểm củaAE vàBC có tọa độ là(a22+2,
(12)Dễ thấy điểm thuộc đường thẳng P Ocó phương trình làax−y=
Kết luận.Phương pháp tọa độ hình học ln có ứng dụng thú vị hình học phẳng Mong qua viết này, bạn học thêm phương pháp bế tắc giải hình theo cách túy Tuy nhiên bạn đọc cố gắng chứng minh lại tất ví dụ theo cách thông thường để thấy vẻ đẹp đồng thời lí đơn giản hình mà có nhiều đường trịn hay kiện phương pháp coi vơ dụng phức tạp Sau phần tập rèn luyện
4 Bài tập rèn luyện
Bài Cho tam giácABCnội tiếp đường trịn(O) GọiElà hình chiếu vng góc B lên AC, M trung điểm BC Dựng đường thẳng qua B
vng góc với AOtạiJ Chứng minhE,J,M thẳng hàng
Bài Cho tam giácABC có đường trịn nội tiếp(I)tiếp xúc vớiBC tạiD Đường thẳng quaD vng góc với ADcắtIB,IC tạiM
N Chứng minhD trung điểmM N
Bài Cho tam giácABC nội tiếp(O) Hai điểmE,F đoạnAB
vàAC GọiM,N,P trung điểm CE,BF, EF GọiK hình chiếu của(O)lênEF Chứng minh M,N,P,Kđồng viên
Bài Cho tam giácABC nội tiếp(O).AOcắtBCtạiD.(ADB)cắt lạiAC
tạiE,(ADC)cắt lạiABtại F GọiI trung điểmEF Chứng minh rằngIB=IC
Bài Cho tam giác ABC có đường caoAH nội tiếp (O) Đường trung bình ứng với đỉnh B tam giác cắt AO D Chứng minh
HDkAC
Bài Trong tam giácABCvuông tạiAvẽ hai đường trịn có bán kính Một đường tròn tiếp xúc với ABvà vớiBC tạiM, đường tròn lại tiếp xúc với AC với BC N, đồng thời hai đường tròn tiếp xúc với Chứng minh trung điểm M N nằm tia phân giác gócBAC
Bài Cho tam giácABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến tạiAcắt BC tạiT, T O
cắt AB, AC X vàY Lấy M,N trung điểmAC, AB Chứng minh M X,N Y,AOđồng quy
Bài Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) Lấy E, F thuộcAB vàCD
(13)Bài Cho tam giácABC ngoại tiếp đường tròn(I)và đường caoAH Lấy
K điểm đối xứng củaH quaD TừK kẻ tiếp tuyến tới(I)cắtAC
tại L Chứng minhID chia đôi đoạnBL
Bài 10 Cho tam giácABC có điểmM,N,Klà trung điểmBC,CA,AB TrênAM lấyDsao cho AD=M B GọiLlà trung điểmDM Chứng minh ∠KLN = 90◦
Bài 11 Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt H Gọi M
là trung điểm EF, dựng hình bình hành AEIH Chứng minh
BM ⊥IF
Bài 12 Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyếnM A, M B tới (O) LấyH trung điểmAB,I trung điểmM H.AIcắt lại đường tròn (O)tại K Chứng minh ∠M KB= 90◦
Bài 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên đoạn BC lấy hai điểm M, N cho M N = BC
2 Đường thẳng quaM vng góc với
BC cắtAB tạiX, đường thẳng quaN vng góc vớiBC cắtAC
Y Chứng minh đường tròn (AXY)đi qua điểm cố định khác A
khi M,N di chuyển trênBC mà thỏa điều kiện