Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi (từ tháng 9 năm 2014 đến tháng 3 năm 2015), trên cơ sở tham khảo các tài liệu, tham dự các buổi hội thảo các chuyên đề Toán học và kinh nghiệm qua các năm công tác. ii Mục lục Mở đầu 1 1 Phương pháp tọa độ và các tính chất liên quan 4 1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian . . 4 1.1.1 Véctơ và tọa độ trên đường thẳng . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Véctơ và tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . 7 1.2.1 Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ . . . . . . . . 7 1.2.2 Dạng bài toán đã cho trước hệ trục tọa độ . . . . . . . 15 1.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian . 18 1.3.1 Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ . . . . . . . . 18 1.3.2 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học 30 2.1 Dạng toán hình học tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Dạng toán mạng lưới ô vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Một số đề toán Olympic 52 3.1 Đề toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Đề toán hình học tổ hợp và mạng lưới ô vuông . . . . . . . . 55 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Chuyên đề về phương pháp tọa độ có vị trí quan trọng trong toán học bậc trung học phổ thông. Nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của hình học mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của giải tích, đại số, lượng giác và các ứng dụng khác. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán quốc tế thì các bài toán liên quan đến các dạng toán rời rạc trong hình học tổ hợp và số học cũng hay được đề cập và được xem như là những dạng toán thuộc loại khó. Các bài toán dạng này thường ít được đề cập trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông. Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học" nhằm cung cấp một số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận các dạng toán từ hình học tổ hợp và số học liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập Hình học tổ hợp và Số học bằng phương pháp tọa độ đồng thời nắm được một số kỹ thuật tính toán liên quan. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các bài toán Hình học tổ hợp và Số học giải theo phương pháp tọa độ, bài toán liên quan đến lưới ô vuông. 3.2. Phạm vi nghiên cứu 2 Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo các chuyên đề bồi dưỡng HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủ sách chuyên Toán. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo các tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng HSG. Tham gia các buổi seminar: Các chuyên đề toán phổ thông, Các trường hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận văn là một chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông. Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học và dạy các chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo trong việc dạy và học toán. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây: Chương 1 trình bày về phương pháp tọa độ và các tính chất liên quan. Chương 2 trình bày phương pháp tọa độ giải các bài toán trong hình học tổ hợp và số học. Chương 3 trình bày một số đề toán thi Olympic. 3 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình và nghiêm túc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cùng với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, các thầy cô giảng dạy lớp Cao học K7N (Khóa 2013-2015) - trường Đại học Khoa học; Ban giám hiệu Trường THPT Trần Nhân Tông - Nghĩa Hưng - Nam Định và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015 Tác giả Lại Tiến Đẩu 4 Chương 1 Phương pháp tọa độ và các tính chất liên quan 1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian Định nghĩa 1.1 (Hệ tọa độ Đề-các tổng quát và hệ tọa độ trực chuẩn). a) Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã chọn một điểm O làm gốc và một véctơ −→ e ( −→ e khác −→ 0 ). Ta lấy điểm I trên đường thẳng đó sao cho −→ OI = −→ e thì tia OI (có gốc O và đi qua I) gọi là tia dương của trục. Ta ký hiệu tia đó là Ox. Tia đối của tia Ox là tia âm của trục và ký hiệu là Ox  . Trục nói trên được ký hiệu là trục x  Ox. b) Trên mặt phẳng cho hai trục x  Ox và y  Oy cắt nhau tại O. Các véctơ đơn vị −→ e 1 , −→ e 2 lần lượt được đặt trên Ox, Oy và có chung gốc O. Chú ý rằng các véctơ −→ e 1 , −→ e 2 đều khác −→ 0 , có thể độ dài khác nhau. Hệ gồm hai trục đã cho gọi là hệ trục tọa độ tổng quát hay hệ trục tọa độ Đề-các xiên góc trong mặt phẳng, ký hiệu Oxy. Cặp véctơ ( −→ e 1 , −→ e 2 ) có thứ tự gọi là cơ sở của hệ tọa độ. Các trục x  Ox, y  Oy lần lượt được gọi là trục hoành và trục tung, O là gốc tọa độ. c) Trong không gian cho ba trục x  Ox, y  Oy, z  Oz có chung gốc O và không cùng nằm trên một mặt phẳng. Gọi −→ e 1 , −→ e 2 , −→ e 3 là các véctơ đơn vị trên các trục đó (đơn vị ở đây là của từng trục), các véctơ này đều khác −→ 0 . Hệ thống gồm ba trục đã cho với cơ sở ( −→ e 1 , −→ e 2 , −→ e 3 ) gọi là hệ tọa độ Đề -các tổng quát trong không gian, ký hiệu Oxyz. Điểm O gọi là gốc tọa độ và các trục x  Ox, y  Oy, z  Oz lần lượt gọi là trục hoành, trục tung và trục cao. d) Hệ tọa độ Đề-các vuông góc Trong trường hợp các trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một (ở O) 5 và các véctơ đơn vị trên các trục có cùng độ dài, nghĩa là | −→ e 1 | = | −→ e 2 | = 1 (trong mặt phẳng) hoặc | −→ e 1 | = | −→ e 2 | = | −→ e 3 | = 1 (trong không gian), thì hệ trục tọa độ Oxy (hay Oxyz) được gọi là hệ tọa độ Đề-các vuông góc hay hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng (hay trong không gian). 1.1.1 Véctơ và tọa độ trên đường thẳng Trên đường thẳng có định hướng và gốc ở O, một điểm M được gắn với tọa độ là x thì ký hiệu là M = (x). Giả sử hai điểm A, B nằm trên đường thẳng Ox và có tọa độ là A = (a), B = (b) thì số b−a gọi là tọa độ của véctơ −→ AB, ký hiệu −→ AB = (b −a). Độ dài của véctơ −→ AB, ký hiệu | −→ AB| = |b −a|. Với ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường thẳng, ta có (a) −→ AB + −−→ BC = −→ AC; (b) | −→ AB| + | −−→ BC| ≥ | −→ AC|. Dấu đẳng thức trong (b) xảy ra khi và chỉ khi hai véctơ −→ AB và −−→ BC cùng hướng, tức là tồn tại số k > 0 sao cho −→ AB = k −−→ BC hoặc có một trong hai véctơ là véctơ không. 1.1.2 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng Trên mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc x  Ox, y  Oy với −→ e 1 , −→ e 2 là các véctơ đơn vị. Nếu −−→ OM = x −→ e 1 + y −→ e 2 thì x, y gọi là tọa độ của điểm M và ký hiệu M(x; y). Nếu −→ a = a 1 −→ e 1 + a 2 −→ e 2 thì a 1 , a 2 gọi là tọa độ của véctơ a và ký hiệu −→ a = (a 1 ; a 2 ). Cho điểm A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) và các véctơ −→ a = (a 1 ; a 2 ), −→ b = (b 1 ; b 2 ). Ta có, −→ AB = (x B − x A ; y B − y A ), −→ a + −→ b = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ), −→ a − −→ b = (a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ), k −→ a = (ka 1 ; ka 2 ), −→ a = −→ b ⇔  a 1 = b 1 a 2 = b 2 −→ a và −→ b (khác −→ 0 ) cùng phương với nhau khi và chỉ khi a 1 .b 2 = a 2 .b 1 . Độ dài của −→ AB là | −→ AB| =  (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 . Độ dài của véctơ −→ a là | −→ a | =  a 2 1 + a 2 2 . 6 Tích vô hướng của hai véctơ −→ a và −→ b , ký hiệu −→ a . −→ b được định nghĩa: −→ a . −→ b = | −→ a |.| −→ b |. cos( −→ a , −→ b ). Biểu thức tọa độ của tích vô hướng là −→ a . −→ b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 . −→ a vuông góc với −→ b khi và chỉ khi a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0. Công thức tính góc giữa hai véctơ: cos( −→ a , −→ b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2  a 2 1 + a 2 2 .  b 2 1 + b 2 2 . Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng() có phương trình Ax + By + C = 0 là: d(M, ) = |Ax 0 + By 0 + C| √ A 2 + B 2 . 1.1.3 Véctơ và tọa độ trong không gian Trong không gian xét hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz với −→ e 1 , −→ e 2 , −→ e 3 là các véctơ đơn vị. Nếu −−→ OM = x −→ e 1 + y −→ e 2 + z −→ e 3 thì ta gọi x, y, z là tọa độ của điểm M và ký hiệu là M(x; y; z). Nếu −→ a = a 1 −→ e 1 + a 2 −→ e 2 + a 3 −→ e 3 thì ta gọi a 1 , a 2 , a 3 là tọa độ của −→ a và ký hiệu −→ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ). Cho điểm A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) và các véctơ −→ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), −→ b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ). Ta có −→ AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ), −→ a + −→ b = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ; a 3 + b 3 ), −→ a − −→ b = (a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ; a 3 − b 3 ), k −→ a = (ka 1 ; ka 2 ; ka 3 ), −→ a = −→ b ⇔    a 1 = b 1 a 2 = b 2 a 3 = b 3 −→ a và −→ b (khác −→ 0 ) cùng phương với nhau khi và chỉ khi bộ số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) tỉ lệ với bộ số (b 1 ; b 2 ; b 3 ). Độ dài của −→ AB là | −→ AB| =  (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 . Độ dài của véctơ −→ a là | −→ a | =  a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 . Tích vô hướng của hai véctơ −→ a và −→ b , ký hiệu −→ a . −→ b được định nghĩa: −→ a . −→ b = | −→ a |.| −→ b |. cos( −→ a , −→ b ). [...]... N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN 30 Chương 2 Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học 2.1 Dạng toán hình học tổ hợp Hình học tổ hợp là một nhánh mới của hình học, nó được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây Các bài toán hình học tổ hợp không đòi hỏi nhiều về kiến thức và kỹ năng tính toán, chủ yếu đòi... được các bài toán giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì học sinh phải nắm chắc các công thức của phần Phương pháp tọa độ trong không gian” và những kiến thức cơ bản nhất của hình học không gian Sau đây tôi trình bày một số lưu ý với học sinh trong việc chọn hệ trục tọa độ Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật Ta chọn gốc tọa độ là một đỉnh của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật, chọn các... sang việc tính toán dựa vào tọa độ Cách giải bài toán như vậy còn gọi là phương pháp tọa độ hóa Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán có thể sẽ dài dòng và phức tạp hơn phương pháp tổng hợp Nhưng cách giải này thực sự rất hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững những phương pháp trong cách giải hình học không gian tổng hợp còn yếu hoặc trong những bài toán hình không gian về xác định... nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó 1.3 1.3.1 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ Đối với một số loại hình chóp, hình lăng trụ trong một số bài toán ta có thể sử dụng việc đặt một hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp (mà việc này có thể gặp nhiều khó khăn trong dựng hình, tính toán với các em học sinh)... và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD d) Tính khoảng cách từ C đến mp(AC D) Lời giải Đây là một bài tính toán và chứng minh các yếu tố liên quan đến hình lập phương, chúng ta có thể thực hiện bằng phương pháp tổng hợp, tôi không trình bày phương pháp đó nữa, mà giải bài toán này theo phương pháp tọa độ Như đã nói ở phần trước, với hình lập phương và hình hộp chữ nhật thì việc chọn hệ trục tọa. .. tạo, linh hoạt trong khi giải toán Chính vì vậy, trong các kỳ thi HSG quốc gia và quốc tế, hình học tổ hợp là một trong những nội dung thường gặp trong các đề thi Để giải loại toán này, người ta thường dùng các phương pháp như: phản chứng, nguyên lý Dirichlet, quy nạp toán học, tạo đa giác bao, tạo dải song song, nguyên lý cực hạn, Một trong những công cụ để giải các bài toán hình học tổ hợp một cách... tia Ox, Oy, Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình vuông, hình chữ nhật Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc: Ví dụ như hình thang vuông, tam giác vuông,... cho M N = 5 Ví dụ 1.19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có phương trình: y − 3 = 0 Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại của hình vuông đó Ví dụ 1.20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : 2x+y−4 = 0 và hai điểm M (3; 3), N (−5; 19) Kẻ M K vuông góc với (d) tại K và gọi P là điểm đối xứng với M qua (d) a) Tìm tọa độ của K và P b) Tìm điểm A trên... thẳng đó điểm A có tọa độ A = (−1) 31 Hình 2.1: và tọa độ B là B = (1) Giả sử X1 , X2 , , Xn là n điểm đánh dấu đỏ và tọa độ của Xi là Xi = (xi ) với i = 1, 2, , n Gọi Y1 , Y2 , , Yn là n điểm đánh dấu xanh và tọa độ của chúng là Yi = (yi ) với i = 1, 2, , n Theo giả thiết có n cặp điểm đối xứng qua gốc O nên ta có x1 + x2 + · · · + xn + y1 + · · · + yn = 0 (1) −→ − Ta có tọa độ của các véctơ... trên AD và điểm G ; 3 là 3 trọng tâm của tam giác BCD Tìm tọa độ các điểm B và D Lời giải −→ − Gọi E, F lần lượt là giao điểm của HM và HG với BC Suy ra HM = −→ − −→ − − → M E và HG = 2GF Do đó tính được E(−6; 1) và F (2; 5) Đường thẳng − → BC đi qua E và nhận EF làm vectơ chỉ phương, nên BC có phương trình − → x − 2y + 8 = 0 Đường thẳng BH đi qua H và nhận EF làm vectơ pháp tuyến, nên BH có phương . viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn " ;Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học& quot; nhằm cung cấp một số phương pháp có tính hệ thống. từ hình học tổ hợp và số học liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập Hình học tổ hợp và Số học bằng phương pháp tọa độ đồng thời nắm được một số. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC