Phương pháp tọa độ trong hình học không gian_2

Header Page of 128 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI VIỆT HÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên, năm 2015 Footer Page of 128 Header Page of 128 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Sơ lược không gian Ơclit 1.2 Một số mơ hình xác định hệ trục tọa độ CHƯƠNG II: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán định lượng 2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán chứng minh 21 2.3 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán quỹ tích 26 2.4 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán cực trị 33 CHƯƠNG III: KIỂM TRA KẾT QUẢ LỜI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VỚI PHẦN MỀM MAPLE 45 3.1 Sơ lược câu lệnh phần mềm Maple gói cơng cụ hình học khơng gian 45 3.2 Sử dụng Maple minh họa kết vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán hình học khơng gian 46 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Footer Page of 128 Header Page of 128 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơn hình học đời từ thời Euclid (Thế kỷ thứ III trước công nguyên) đến năm 1619, Rene Descartes - nhà triết học kiêm vật lý nhà toán học người Pháp (1596 - 1650) dùng đại số để đơn giản hóa hình học cổ điển trình bày phương pháp tọa độ “La gesometrie” (1637) Sự đời phương pháp tọa độ thiết lập mối quan hệ mật thiết hình học đại số Trong chương trình tốn THPT hình học mơn học khó có tính hệ thống, chặt chẽ, logic trìu tượng Đặc biệt phần hình học khơng gian, với phương pháp tổng hợp việc đưa phương pháp tọa độ chương trình học hội để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp Các toán liên quan đến phương pháp tọa độ toán thường gặp kỳ thi Đại học, học sinh giỏi toán Hiện nhiều học viên cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên khai thác có hiệu vấn đề liên quan đến phương pháp tọa độ chưa có học viên sâu tìm hiểu phương pháp tọa độ hình học khơng gian việc vận dụng phương pháp tọa độ vào giải số dạng tốn hình học khơng gian chương trình tốn THPT Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ cơng tác giảng dạy THPT, chọn hướng nghiên cứu “ Phương pháp tọa độ hình học khơng gian ” để triển khai đề tài luận văn Thạc sĩ Luận văn có nhiệm vụ chính: (1) Sưu tầm số dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ (2) Phân dạng, hệ thống hóa, đưa lời giải chi tiết cho toán Footer Page of 128 Header Page of 128 (3) Đưa số định hướng, gợi ý để giúp học sinh nhận dạng thể phương pháp tọa độ việc giải toán tương tự (4) Mặt khác, ưu điểm phương pháp tọa độ chúng bao hàm số thuật toán Luận văn cố gắng minh họa vài thuật tốn với phần mềm Maple để kiểm tra kết lời giải tốn Ln văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Trịnh Thanh Hải – Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo Thầy Em xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô khoa Tốn – Tin, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K7 động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến quý thầy, cô độc giả quan tâm tới luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Học viên Bùi Việt Hà Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương I: KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi xin trình bày sơ lược lại số khái niệm, định nghĩa, tính chất…chủ yếu tài liệu [2], [3], [4], [7], [10] Đây kiến thức sở, tảng cho lời giải ví dụ trình bày chương 1.1 Sơ lược khơng gian Ơclit 1.1.1 Định nghĩa Không gian Ơclit không gian liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều Không gian Ơclit gọi n chiều khơng gian vectơ Ơclit liên kết với có số chiều n Không gian Ơclit thường ký  hiệu E, khơng gian Ơclit liên kết với kí hiệu E 1.1.2 Mục tiêu trực chuẩn    Mục tiêu afin O;e1, e2 , ,en  không gian Ơclit n chiều E n gọi mục tiêu trực chuẩn (hay hệ tọa độ đề vng góc), sở n      0 nÕu i  j O;e e ,e E , , sở trực chuẩn, tức ei e j = δij ,  ij =   n 1 nÕu i  j 1.1.3 Đổi mục tiêu trực chuẩn       Cho hai mục tiêu trực chuẩn O;e1, e2 , ,en  (I) O';e'1, e'2 , ,e'n  (II) không gian Ơclit n chiều E n Gọi C ma trận chuyển từ sở       ε = e1;e2 ;en  sang sở ε' = e'1;e'2 ;e'n  Các sở sở trực chuẩn nên C ma trận trực giao cấp n Khi đó, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn X = C X’ + a Với C.Ct = In, a ma trận cột tọa độ gốc O’ mục tiêu (I) X X’ hai ma trận cột tọa độ điểm mục tiêu thứ thứ hai 1.1.4 Hệ tọa độ đề vng góc thuận, nghịch Với E3 mục tiêu trực chuẩn (I) (II) Ta quy định sở Footer Page of 128 Header Page of 128    ε = e1;e2 ;en  mục tiêu trực chuẩn (I) thuận Khi ma trận chuyển từ sở (I) sang sở (II) có định thức dương hệ tọa độ Đề vng góc thuận, ngược lại có hệ tọa độ nghịch 1.1.5 Hệ trục tọa độ không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gọi hệ trục tọa độ Đề vng góc khơng gian kí hiệu Oxyz    Ta gọi vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz i, j, k    hệ tọa độ Oxyz viết hệ tọa độ (O; i, j, k ) cần ý:    i = j = k 1      i.j = j.k = k.i  1.1.6 Tọa độ vectơ hệ tọa độ     Trong hệ tọa độ Đề vuông góc (O; i, j, k ) cho vectơ tùy ý v Vì    vectơ i, j, k không đồng phẳng nên tồn số (x; y; z)      cho v  xi  y j  z k (x; y; z) gọi tọa độ v   Kí hiệu: v = (x; y; z) v (x; y; z) 1.1.7 Tọa độ điểm hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Đề vng góc Oxyz cho điểm M Khi đó:  Tọa độ vectơ OM tọa độ điểm M Như vectơ      OM = (x; y; z) tức OM  xi  y j  z k ba số (x; y; z) tọa độ điểm M Kí hiệu: M = (x; y; z) M(x; y; z) 1.1.8 Một số tính chất (xét trong E3)       +) b phương a ( a  )   k   , cho b  ka   +) Tích có hướng a = ( x; y; z) b = (x’; y’; z’) vectơ    y z z n = [a, b] =  ; y' z' z'  Footer Page of 128 x x ; x' x' y  y'  Header Page of 128   +) Cho u =(x; y; z) v = (x’; y’; z’), k     u  v = (x  x’; y  y’; z  z’)   u v = x.x’+ y.y’+ z.z’  2 u = u  x + y2 + z   cos u, v =   x.x' + y.y' + z.z' x + y + z x '2 + y'2 + z '2       +) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng  a, b  c      AB, AC  2    +) VTø diÖn ABCD   AB, AC  AD    +) VHình hép ABCD.A'B'C'D'   AB, AD  AA ' +) SABC +) VLăng trụ ABC.A'B'C'     AB, AC  AA' 2 +) Khoảng cách từ M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = 0: d(M0,( α )) = Ax + By0 + Cz + D 2 A +B +C  +) Cho đường thẳng 1 ,  chéo nhau, 1 qua M1 có vtcp u1 ,   qua M2 có vtcp u Khi khoảng cách 1  là:     u1 ,u  M1M   d(  ;  ’) =    u1 , u      u1.u a1.a + b1.b + c1.c Góc hai đường thẳng: cos φ =   = , 2 2 2 u1 u a1 + b1 + c1 a + b + c2   đó: u1 (a1; b1; c1); u ( a2; b2; c2) Góc đường thẳng mặt phẳng: Gọi θ góc  ( α ), ta có Footer Page of 128 Header Page of 128 sin θ = A.a + B.b + C.c  00  θ  900 ; với u (a; b; c) vectơ A + B2 + C a + b + c  phương  ; n (A; B; C) vectơ pháp tuyến ( α ) +) Góc ( γ ) hai mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = ( α ’): A’x + B’y + C’z + D’ =  n.n' A.A' + B.B' + C.C' cos γ =   = n n' A + B2 + C2 A '2 + B'2 + C'2   n n ' vectơ pháp tuyến ( α ) ( α ’) 1.2 Một số mơ hình xác định hệ trục tọa độ Để vận dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học không gian trước tiên ta phải chọn hệ trục tọa độ Ta vào số mơ hình sau z  Mơ hình Hình lập phương Xét hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 C1 B1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho    S  O, AB, AD, AA1 hướng với tia Ox, Oy, Oz Khi D1 A1 A O D x y C B A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C1( 1; 1; 1)  Mơ hình Tam diện vng z C Xét tam diện vng S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho S  O,    SA, SB, SC hướng với tia O S Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm A S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c) x Footer Page of 128 B y Header Page of 128  Mơ hình Hình hộp chữ nhật Xét hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có z A' độ dài cạnh AB = a, AD = b, AA’ = c D' C' B' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O B, D, A’ thuộc tia Ox, A O Oy, Oz Tọa độ điểm y D A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0), A’(0; 0; c), B’(a; 0; c), C’(a; b; c), D’(0; b; c) x B C  Mơ hình Hình chóp tứ giác z Xét hình chóp tứ giác S.ABCD S có gốc O giao hai đường chéo SO= h, AC = 2a, BD = 2a Chọn hệ trục tọa dộ Oxyz cho    OA, OB, OS hướng với C D O x A tia Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm là: B y O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(- a; 0; 0), D(0; - a; 0)  Mơ hình Hình chóp tam giác z Xét hình chóp tam giác S.ABC có O S tâm tam giác ABC SO = h, BC = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho    OA, CB, OS hướng với tia C B O Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm là: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), x y A a   a a   a a  ; 0;  , B  ; ; 0 , C; - ; 0 A 6       Nhận xét: Nếu mơ hình khác ta phải tìm góc tam diện vng hợp lý, từ ta chọn hệ trục Oxyz tương ứng để giải toán Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 Chương II: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Để giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ ta thực theo bước sau đây: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz Bước 2: Tọa độ hóa điểm hình khơng gian Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích Bước 4: Giải tốn Vì dạng tốn hình học khơng gian vơ phong phú, đa dạng, chương chúng tơi trình bày số dạng quen thuộc như: Bài toán định lượng, chứng minh, cực trị, tốn điểm quỹ tích Các tốn trình bày chương lựa chọn, trích dẫn từ nguồn tài liệu [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6], [7], [8]… 2.1 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán định lượng Bài tốn 2.1 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng A1B AC1 b) Gọi K trung điểm DD1 Tính góc khoảng cách đường thẳng CK A1D c) Mặt phẳng (P) qua BB1 hợp với đường thẳng BC1, B1D hai góc Tính góc z Lời giải: A1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với O  A, B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay A1 thuộc tia B1 C1 D1 Az, đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), K D(0; a; 0); A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a), A D1(0; a; a)   a) Ta có A1B (a; 0; - a); AC1 (a; a; a) Footer Page 10 of 128 yD B x C Header Page 42 of 128 Bài tốn 2.29 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm M, OC lấy điểm N, A’D’ lấy điểm P cho AM = CN = D’P = x (  x  a ) a) Chứng minh tam giác MNP Tính diện tích tam giác MNP theo a x Tìm x để diện tích nhỏ b) Cho x = a , tính thể tích khối tứ diện B’MNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Lời giải: a) Chứng minh MNP MN2 = CM2 + CN2 = MB2 + CB2 + CM2 = (x  a)2 + a2 + x2 NP2 = NC’2 + PC’2 = NC’2 + C’D’2 + D’P2 = (x  a)2 + a2 + x2 MP2 = PA2 + A’M2 = P’A2 + AA’2 + AM2 = (x  a)2 + a2 + x2  MN = NP = MP =  SMNP = MN2 ( x2 + a2 – ax)  MNP 3 = [ (x  a)2 + a2 + x2] = ( x + a2 – ax) Đặt y = x2  ax + a2 (  x  a ), ta có: y’ = 2x – a  y’ =  x = a  ymin = f( ) =  minS = a 2 z P x D' C' x N a a 3a  + a2 = 4 2 3a 3a a = x = A' B' O D C y A x a M B b) Tính thể tích tứ diện B’MNP x = x Chọn hệ trục Oxyz sau: Gốc O trùng với D; trục Ox qua DA; trục Oy qua DC; trục Oz qua DD’ a a a ; ), N ( 0; a; ), P ( ; 0; a), B’(a; a; a) 2  a a  a a  MN = (  a; ; ), MP = (  ;  ; a) 2 2 Khi đó: M (a; Footer Page 42 of 128 41 Header Page 43 of 128 3    3a 3a 9a  =   MN,MP  MB' = 8 V =    9a 3a  MN,MP  MB' =  ( đvdt)   16 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện B’MNP: MI = B'I  Gọi I (x; y; z) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện   NI2 = B'I2 PI2 = B'I   a 2 2   x  a  +  y   + z =  x  a  +  y  a  +  z  a  2    a 2 2   x +  y  a  +  z   =  x  a  +  y  a  +  z  a  2    a 2 2  x   + y +  z  a  =  x  a  +  y  a  +  z  a  2   17a 5a  7a 7a 7a  x = y = z =  I ; ;  R= 12 12  12 12 12  Bài tốn 2.30 Cho hình cầu nội tiếp hình nón tròn xoay Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu có đáy nằm mặt phẳng đáy hình nón Gọi V1, V2 thể tích hình nón hình trụ B a) Chứng minh V1  V2 b) Tìm giá trị nhỏ tỉ số V1 V2 α Lời giải: a) Giả sử hình nón có đường cao BD = h, bán O E kính đáy DC = a, góc đường sinh trục α ; bán kính hình cầu nội tiếp hình nón r A πha Ta có: V1 = Footer Page 43 of 128 D C * 42 Header Page 44 of 128 h = OB + OD = a= r 1+ sinα  r +r = , sinα sinα r 1+ sinα  tanα sinα πr3 1+ sinα  πr3 1+ sinα  = Thay kết vào (*) ta được: V1 = 3sinα.cos2α 3sinα 1-sinα  Thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu V2 = 2πr3 , 2 V1 1+ sinα  = 1+ s  , ta đặt s = sin  , < s < = V2 6sinα 1-sinα  6s 1-s  Giả sử V1 =1 (tức V1 = V2), ta phương trình 7s2 - 4s +1= 0, V2 phương trình bậc hai theo s lại vơ nghiệm, điều có nghĩa khơng tồn α để V1 = V2 khẳng định đề chứng minh b) Đặt V1 = k, ta có phương trình (1+6k)s2 +2(1- 3k) s +1 = 0, để V2 phương trình có nghiệm, ta phải có  ' =(1-3k)2 – (1+6k)   k  Vậy giá trị nhỏ Footer Page 44 of 128 V1 = k , ứng với s = sinα = OB = 3r V2 3 43 Header Page 45 of 128 Chương 3: KIỂM TRA KẾT QUẢ LỜI GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VỚI PHẦN MỀM MAPLE 3.1 Sơ lược câu lệnh phần mềm Maple gói cơng cụ hình học khơng gian Để bắt đầu thực câu lệnh hình học khơng gian, phải mở gói hình học khơng gian câu lệnh sau: [> with(geom3d):  khai báo [ > _EnvXName:=`x`: _EnvYName:=`y`: _EnvZName:=`z`: Các đối tượng hình học gói là: Điểm, đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, hình cầu hình đa diện Để tạo đối tượng bản, ta sử dụng hàm gọi sau: dsegment, line, plane, point, segment, sphere, triangle… Bài toán: - Vẽ đoạn thẳng qua điểm A(1; 2; 3) điểm B(2; 3; 4): [> point(A,1,2,3):point(B,2,3,4): segment(AB,[A,B]);  [> draw(AB):   - Xác định đường thẳng l qua điểm A (1; 2; 3) v = (0; 2; 4): [> point(A,1,2,3): line(l,[A,[0,2,4]]);  -Xác định mặt phẳng (P) qua ba điểm: A=(1; 2; 3), B=(1; 0; 3), C=(0; 2; 3), [> point(A,1,2,3):point(B,1,0,3):point(C,0,2,3):  [> plane(p,[A,B,C]):  - Xác định mặt phẳng (P) qua điểm A = (1; 2; 3) với véc tơ pháp  tuyến u = (0; 2; 4): [> point(A,1,2,3): plane(p,[A,[0,2,4]]);  - Mặt cầu (S) qua bốn điểm không đồng phẳng A=(1; 2; 3), B = (-1; -4; -5), C = (1/2;1/3;1/4), D=(2/3;1; 0): [>point(A,1,2,3): point(B,-1,-4,-5):point(C,1/2,1/3,1/4): point(D,2/3,1,0):A=coordinates(A):B=coordinates(B): C=coordinates(C):D=coordinates(D): sphere(S,[A,B,C,D]): Footer Page 45 of 128 44 Header Page 46 of 128 Equation(S,[x,y,z]):  - Xác định mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 =1 [> with(geom3d): sphere(S2,x^2+y^2+z^2-1=0,[x,y,z]): Equation(S2,[x,y,z]):  3.2 Sử dụng Maple minh họa kết vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán hình học khơng gian Bài tốn 3.1 Viết phương trình mặt phẳng (P1) qua điểm A=(1; 1; 5) song song với mặt thẳng (P) có phương trình x+3y+z=2 [>plane(p,x+3*y+z=2,[x,y,z]); point(A,1,1,5); parallel(p1,A,p); Equation(p1);  Bài toán 3.2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A (1; 2; -1) vng góc với mặt phẳng (P): 3x-2y+5z+6=0 [>point(A,1,2,-1); plane(p,3*x-2*y+5*z+6=0,[x,y,z]); perpendicular(A,p,d);  Bài tốn 3.3 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 1; 1) vng góc với đường thẳng BC qua hai điểm B(-1; 0; 2), C(3; 1; 0) [> point(A,0,1,1);point(B,-1,0,2);point(C,3,1,0); line(BC,[B,C]); print(`pt mặt phẳng (p) là:`); perpendicular(p,A,BC);  Bái toán 3.4 Qua điểm A (2; 4; 7) dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P): x+2y - 6z - 4=0 (lấy điểm B hình chiếu A P, lấy AB làm véc tơ phương) [>plane(P,x+2*y-6*z=4,[x,y,z]): point(A,2,4,7); projection(B,A,P): coordinates(B); line(l,[A,B]): draw({l,P(color=yellow)});  Footer Page 46 of 128 45 Header Page 47 of 128 Bài toán 3.5 Kiểm tra bốn điểm hai đường thẳng có đồng phẳng hay không?: [>point(A1,0,0,0):point(B1,0,0,1):point(C1,0,1,0):point(D1,1,0,0): AreCoplanar(A1,B1,C1,D1):  [>line(ab,[A1,B1]):line(cd,[C1,D1]):line(bc,[B1,C1]): line(bd,[B1,D1]):line(ad,[A1,D1]): AreCoplanar(ab,cd):  Bài tốn 3.6 Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3; -1) đến mp (P): x+ 4y-2z-2=0 [> with(geom3d): point(A,2,3,-1); plane(p,x+4*y-z=2,[x,y,z]); distance(A,p);  Kết quả: 13 Bài toán 3.7 Xét vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu [> restart;  [> VitriMP_MC:= proc(p, s) local H, R, d, M, l; H:= center(s): R:= radius(s): d:= evalf(distance(H, p)): line(l, [H, p]); intersection(M, l, p): if d > R then print(`Mặt phẳng mặt cầu không cắt nhau`); draw([p, s], axes = none); elif d = R then print(`Mặt phẳng mặt cầu tiếp xúc với điểm có toạ độ`, coordinates(M)); sphere(g, [M, 0.02]): # Minh hoạ điểm tiếp xúc draw([s, p(color = blue), g(color = magenta)], axes = none); else print(`Mặt phẳng mặt cầu cắt theo đường tròn`); draw([s, p(color = blue)], axes = none); end; end:  Footer Page 47 of 128 46 Header Page 48 of 128 Sử dụng thủ tục để xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mp() [> with(geom3d):  [> sphere(s, x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 6*y + 4*z - 22 = 0, [x, y, z]);  [> plane(p, x + 2*y - 2*z - = 0, [x, y, z]);  [> VitriMP_MC(p, s);  Kết quả: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn Bài tốn 3.8 Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm: A(0; 1; 2); B(2; 3; 1), C(2; 2; - 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Chứng tỏ gốc toạ độ nằm mặt phẳng b) Chứng tỏ tứ giác OABC hình chữ nhật.Tính diện tích hình chữ nhật c) Tính thể tích hình chóp biết đỉnh S(9; 0; 0) Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau: [> with(geom3d): point(A,0,1,2); point(B,2,3,1); point(C,2,2,-1); plane(p,[A,B,C],[x,y,z]); Equation(p);point(O,0,0,0); point(S,9,0,0);line(l1,[O,A]):line(l2,[B,C]):line(l3,[A,B]): Equation(l3,[x,y,z]):Equation(l1,[x,y,z]):Equation(l2,[x,y,z]):IsOnPlane(O,p): AreParallel(l1,l2) ;ArePerpendicular(l2,l3); print(`Vì OA song song với BC,OA vng góc AB nên OABC hình chữ nhật:`); print(` diện tích hình chữ nhật là:`); s:=distance(O,A)*distance(B,A); print(`Chiều cao h hình chóp khoảng cách từ S(9,00) tới (p):`); h:=distance(S,p); print(` Thể tích hình chóp SOABC là:`); V:=h*s/3;  Kết thực chương trình: 5 x4 y2 z0 O S Footer Page 48 of 128 47 Header Page 49 of 128 .Râ rµng O thuéc (P) true true Vì OA song song với BC,OA vuông góc AB nên OABC hình chữ nhật: diện tích hình chữ nhËt lµ: s := ChiỊu cao h cđa hình chóp khong cách từ S(9,00) tới (p): h := Thể tích hình chóp SOABC là: V := 15 Bài toán 3.9 Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) (P1) có phương trình (P): 2x – y + z + = 0; (P1) x + y + 2z = a) Chứng tỏ (P) (P1) cắt Viết phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) (P1) b) Tính góc hai mặt phẳng Lời giải: Ta sử dụng lệnh sau: [>with(geom3d):plane(p,2*x-y+z+2=0,[x,y,z]):plane(p1,x+y+2*z=1,[x,y,z]): #Các mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến không cộng tuyến nên (p) (p1) cắt Để tìm p.trình tham số đường thẳng ta cho z=3t tính x,y theo t intersection(l,p,p1): detail(l): print(`Góc hai mặt phẳng là:`): FindAngle(p,p1):  Kết thực chương trình: name of the object: l form of the object: line3d equation of the line: [x = -1/3-3*_t, y = 4/3-3*_t, z = 3*_t] Góc hai mặt phẳng là: Footer Page 49 of 128 48 Header Page 50 of 128 Bài toán 3.10 Trong khơng gian cho mặt phẳng (P) (P1) có phương trình (P) 2x - y+2z =1; (P1) x+6y+2z+5=0 a) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc với b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P2) qua gốc toạ độ qua giao tuyến (P) (P1) c) Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 2; -3) song song với hai mặt phẳng (P) (P1) Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau [>with(geom3d): plane(p,2*x-y+2*z=1,[x,y,z]): plane(p1,x+6*y+2*z+5=0,[x,y,z]): ArePerpendicular(p,p1): print(`Phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng là:`): intersection(l,p,p1): detail(l): print(`Lấy hai điểm thuộc l sau viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm`): randpoint(M,l):randpoint(N,l): point(O,0,0,0 ):plane(p2,[O,M,N],[x,y,z]): print(`Phương trình mặt phẳng (p2) là:`): Equation(p2): draw({p,p1(color=magenta),p2(color=red),l(color=blue)}): print(`Phương trình đường thẳng qua điểm A(1,2,-3) song song với hai mặt phẳng là:`); point(A,1,2,-3): parallel(d,A,l);detail(d):  Bài toán 3.11 Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phương trình (P) 2x + ky + 3z = 5, (Q) mx - 6y - 6z + = a) Xác định giá trị k, m để hai mặt phẳng song song với Trong trường hợp tính khoảng cách hai mặt phẳng b) Trong trường hợp k = m = 0, gọi d giao tuyến (P) (Q) Hãy tính toạ độ hình chiếu H điểm A(1; 1; 1) d khoảng cách từ A tới d Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau [> with(geom3d): assume (m0,k0): Footer Page 50 of 128 49 Header Page 51 of 128 f(x,y,z,k):= 2*x+k*y+3*z-5=0;plane(p,2*x+k*y+3*z-5=0,[x,y,z]): g(x,y,z,m):=m*x-6*y-6*z+2=0: plane(q,m*x-6*y-6*z+2=0,[x,y,z]): AreParallel(p,q,'cond'): cond: print(`Giải hệ ta tìm m,k`): print(`Phương trình (p) (q) là:`): subs(k=3,f(x,y,z,k)):subs(m=-4,g(x,y,z,m)): print(`Để tính khoảng cách từ (p) đến (q) ta lấy điểm thuộc (P) Sau tính khoảng cách từ điểm tới (q)`): plane(q,-4*x-6*y-6*z+2=0,[x,y,z]):plane(p,2*x+3*y+3*z-5=0,[x,y,z]): distance(p,q): print(`Ta chuyển phương trình (d) dạng tham số sau lấy điểm thuộc Tích vơ hướng AH phương (d) Từ tính toạ độ H tính AH`); plane(h,2*x+3*y=5,[x,y,z]);plane(q3,3*y+3*z=1,[x,y,z]); intersection(l,h,q3); point(A,1,1,1);detail(l);randpoint(M,l);evalf(distance(M,A));  Bài tốn 3.12 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1; 2; -1) mặt phẳng (P) có phương trình: 3x - 2y + 5z + 6=0 a) Chứng tỏ A nằm (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (P) c) Tính sin góc đường thẳng( d) mặt phẳng (P) Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau [>with(geom3d): point(A,1,2,-1); plane(p,3*x-2*y+5*z+6=0,[x,y,z]); print(`Thay toạ độ điểm A vào phương trình (p) rõ ràng A thoả mãn `); perpendicular(m1,A,p); print(`Góc OA (p) là:`); point(O,0,0,0);line(l,[O,A]); detail(l);FindAngle(l,p);  Footer Page 51 of 128 50 Header Page 52 of 128 Bài tốn 3.13 Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng qt: x + 19  x = + 6t   11   y = + 3t  z = + 2t   y z + = đường thẳng (d) có phương trình tham số tR a) CMR (d) cắt mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm I chúng b) CMR đường thẳng (d) vuông góc với (P) c) Gọi A, B, C giao điểm (P) ba trục toạ độ Tìm toạ độ A, B, C chứng tỏ (d) qua trọng tâm tam giác ABC Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau [>with(geom3d): plane(p,x+y/3+z/3=1,[x,y,z]);line(d2,[19/3+6*t,11/3+3*t,3+2*t],t); print(`Thay x,y,z pt (d) vào pt (p) Tính t thay vào (d) tìm toạ độ giao điểm`); intersection(I4,d2,p);coordinates(I4); print(`Vì véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (p) cộng tuyến với vec tơ phương (d) nên (d) vng góc với (p)`); print(`Dùng cơng thức tính trọng tâm tam giác Nếu trùng với toạ độ điểm I ta có (d) qua trọng tâm tam giác`); A:=[1,0,0];B:=[0,2,0];C:=[0,0,3];I1:=[29/69,49/69,71/69]; if(A[1]+B[1]+C[1]=3*I1[1] and A[2]+B[2]+C[2]=3*I1[2] and A[3]+B[3]+C[3]=3*I1[3] ) then print(`I1 trọng tâm tam giác:`);fi;  Bài tốn 3.14 Trong khơng gian cho ba điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2, C(3; 1; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với BC b) Xác định toạ độ giao điểm I cuả BC (P) c) Tính khoảng cách từ A tới BC , tính diện tích tam giác ABC Footer Page 52 of 128 51 Header Page 53 of 128 Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau: [>restart: with(geom3d): point(A,0,1,1);point(B,-1,0,2);point(C,3,1,0); line(bc,[B,C]);print(`pt mặt phẳng (p) là:`); detail(bc);perpendicular(p,A,bc); print(`Khoảng cách từ A,tới bc là:`);distance(A,bc); print(`Diện tích tam giác ABC là:`);area(triangle(abc,[A,B,C]));  Bài tốn 3.15 Minh hoạ định lí:"Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó." Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau [> restart:with(geom3d): plane(P,3*x-y+z-2=0,[x,y,z]): plane(Q,x+4*y+2*z-5=0,[x,y,z]):intersection(a,P,Q): point(M,1,1,0): v1:=ParallelVector(a): line(d,[point(A,1,2,3),v1]): if AreParallel(a,d)=true then print(`Duong thang d song song voi duong thang a`) ;fi; draw([P(color=cyan),Q(color=yellow),d(color=blue),M(color=black),a(color=red)]);  Bài toán 3.16 Minh hoạ định lí:"Qua điểm cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) cho trước" Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau: [> restart; with(geom3d): point(O,1,2,3): plane(P,3*x+5*y-z-2=0,[x,y,z]): line(a,[point(A,2,-2,-6),point(B,1,-1,-4)]): n:=ParallelVector(a): plane(Q,[O,n]): intersection(b,P,Q):m:=ParallelVector(b): n:=[-1,-7,3]: line(delta,[O,n]): ArePerpendicular(a,Q); ArePerpendicular(delta,Q); draw([O(color=black),P(color=green),Q(color=cyan),a(color=blue),b(color=black),delta (color=red)]);  Bài toán 3.17 Xác định thiết diện mặt phẳng qua ba điểm nằm ba cạnh tứ diện: Thuật toán: Footer Page 53 of 128 52 Header Page 54 of 128 - Lấy ngẫu nhiên ba điểm G, G1, G2 nằm ba cạnh tứ diện lệnh randpoint - Xác định mặt phẳng (P) qua ba điểm - Xác định giao điểm (P) với cạnh tứ diện - Xác định mặt phẳng thiết diện qua giao điểm Lời giải: Ta sử dụng câu lệnh sau: [> restart: with(geom3d): point(A,-2,-1,2); point(B,4,0,-1);point(C,-2,1,2); point(D,2,-2,5);line(l1,[A,B]):line(l2,[C,D]):line(l3,[B,C]):line(l4,[D,A]):line(l,[B,D]); randpoint(G,l1,xcoord(A) xcoord(B),ycoord(A) ycoord(B),zcoord(A) zcoord(B));evalf(c oordinates(G)); randpoint(G2,l2,xcoord(C) xcoord(D),ycoord(C) ycoord(D),zcoord(C) zcoord(D)) ; evalf(coordinates(G2)); randpoint(G1,l3,xcoord(C) xcoord(B),ycoord(C) ycoord(B),zcoord(C) zcoord(B)) ; evalf(coordinates(G1)); line(g1,[G,G1]);line(g2,[G,G2]);line(a,[G1,G2]); plane(p,[G,G1,G2]); gtetrahedron(v,[A,B,C,D]);AreCoplanar(G1,G2,B,D); intersection(H,a,l);evalf(coordinates(H)); line(b,[H,G]); intersection(L,b,l4); evalf(coordinates(L)); segment(c,G1,G2):segment(d,G,G2):segment(e,G,L):segment(f,L,G1):segment(g,G2,L) :segment(h,G,G1):plane(s,[G,G1,G2]):segment(hg,H,G):segment(hg1,H,G1):segment( hb,H,B): sphere(s1,[G,0.03]):sphere(s2,[G1,0.03]):sphe re(s3,[G2,0.03]): draw({c(color=red),e(color=red),g(color=red), hb(color=black),hg1(color=black),hg(color=bla ck),h(color=red),v(color=blue),s1(color=brown ),s2(color=green),s3(color=magenta)},title="T hiet dien di qua ba diem cua tu dien" );  Kết thực chương trình: Footer Page 54 of 128 53 Header Page 55 of 128 KẾT LUẬN Qua số tốn trên, luận văn mơ tả cách trực quan vấn đề vận dụng phương pháp tọa độ hình học khơng gian với chủ đề: - Các toán định lượng - Các toán chứng minh - Các tốn quỹ tích - Các toán cực trị Từ lời giải toán cho ta thấy, việc vận dụng phương pháp tọa độ hình học khơng gian gồm bước sau: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz Bước 2: Tọa độ hóa điểm hình khơng gian Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích Bước 4: Giải tốn Ngồi luận văn thực cài đặt cơng thức, tính chất, thuật toán thường gặp lời giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ với phần mềm Maple Thông qua hệ thống toán minh họa việc vận dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học khơng gian chương trình THPT giúp cho học sinh phát triển tư duy, nhìn thấy đa dạng tốn học thực tiễn hình thành cho học sinh thói quen, bên cạnh phương pháp tổng hợp, biết lựa chọn phương pháp tọa độ hình học khơng gian Mặt khác luận văn mơ tả mối quan hệ mật thiết hình học đại số thể qua lời giải tốn hình học không gian Hướng phát triển luận văn từ kết vận dụng phương pháp tọa độ hình học khơng gian THPT (3 chiều) khái qt lên tốn khơng gian nhiều chiều Footer Page 55 of 128 54 Header Page 56 of 128 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hải Châu (1992) Thi vơ địch tốn quốc tế NXB TP Hồ Chí Minh [2] Phan Đức Chính, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn (1995) Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Quý Dy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoa (2009) Tuyển tập 200 tốn vơ địch toán (tập 3) Nhà xuất Giáo dục [4] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2012) Phương pháp giải tốn Hình học giải tích khơng gian, NXB ĐHQG Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Xoa (2006) Tuyển tập Đề thi tuyển sinh Trung học phổ thơng Chun mơn Tốn NXB Giáo dục [6] Lê Hồnh Phò (2010) Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Hình học 12, NXB ĐHQG Hà Nội [7] Đỗ Thanh Sơn (2010) Một số chun đề hình học khơng gian NXB Giáo dục [8] Nguyễn Quang Sơn (2006) Chuyên đề trọng điểm: Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Đào Tam (2005) Giáo trình hình học sơ cấp, NXB ĐH Sư phạm [10] Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Văn Dũng (2011) 18 Chủ đề Hình học 12, NXB ĐHQG Hà Nội [11] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho (2001) 40 năm Olympic Toán học quốc tế NXB Giáo dục [12] Tuyển tập (2009) Các toán chọn lọc 45 năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục [13] Diễn đàn toán học, http:// www math.vn [14] IF.Sharygin (1998) Tuyển tập 340 tốn hình học khơng gian (Problems in Solid Geometry) Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh Footer Page 56 of 128 55 ... dụng phương pháp tọa độ vào toán định lượng 2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán chứng minh 21 2.3 Vận dụng phương pháp tọa độ vào tốn quỹ tích 26 2.4 Vận dụng phương pháp tọa độ. .. phần hình học không gian, với phương pháp tổng hợp việc đưa phương pháp tọa độ chương trình học hội để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp Các tốn liên quan đến phương pháp tọa độ toán... hóa hình học cổ điển trình bày phương pháp tọa độ “La gesometrie” (1637) Sự đời phương pháp tọa độ thiết lập mối quan hệ mật thiết hình học đại số Trong chương trình tốn THPT hình học mơn học khó